APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

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1 APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 L insieme N dei numeri naturali Introduzione La proprietà transitiva Caratteristiche dell insieme N L addizione nei numeri naturali La moltiplicazione nei numeri naturali La sottrazione nei numeri naturali La divisione nei numeri naturali Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni La priorità delle operazioni e le parentesi L uso delle lettere, e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma Le potenze Divisori, multipli, e numeri primi Criteri di divisibilità Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo Il sistema di numerazione posizionale in base dieci Esercizi Problemi L insieme Z dei numeri interi La nascita dei numeri interi Caratteristiche dell insieme Z Le operazioni coi numeri interi L addizione nei numeri interi La sottrazione nei numeri interi La moltiplicazione nei numeri interi La divisione nei numeri interi Le potenze nei numeri interi

3 2.9 La priorità delle operazioni, le parentesi e le espressioni Identificazione fra i numeri interi non negativi e i numeri naturali Esercizi L insieme Q dei numeri razionali L insieme delle frazioni di numeri Naturali Significato descrittivo delle frazioni Frazioni equivalenti Frazioni ridotte ai minimi termini Addizioni e sottrazioni fra frazioni Frazione di numeri interi La moltiplicazione fra frazioni La divisione fra frazioni La potenza di frazioni Espressioni con le frazioni Semplificazioni fra potenze Potenze con esponente negativo La notatazione scientifica Le frazioni e i numeri razionali Le proporzioni Le percentuali Le frazioni e i numeri decimali I numeri reali Errore assoluto, errore relativo e errore percentuale Esercizi Problemi Gli insiemi (cenni) Notazioni Rappresentazione degli insiemi Cardinalità di un insieme, l insieme vuoto e l insieme Universo I sottoinsiemi Operazioni fra insiemi Rappresentazione delle operazioni fra insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn Alcuni risultati importanti Il prodotto cartesiano fra insiemi

4 4.9 Esercizi

5 Capitolo 1 L insieme N dei numeri naturali 1.1 Introduzione L esigenza di contare e quantificare è presente nella vita quotidiana sin dalle origini dell umanità: il concetto di numero ha sempre accompagnato l uomo durante la sua evoluzione. Le proprietà, le notazioni e i risultati che incontreremo sono frutto del lavoro di studiosi nel corso dei secoli. Quanto ci apprestiamo ad affrontare è una sintesi di una parte di questo lungo e paziente lavoro ed ha lo scopo di porre le basi di una scienza in continua evoluzione: la matematica. 1.2 La proprietà transitiva Una proprietà apparentemente ovvia ma fondamentale è la seguente Proprietà transitiva Se A = C e anche B = C, allora risulta che A = B. o. Alessio è alto come Carlo. Anche Bernardo è alto come Carlo. Per la proprietà transitiva possiamo affermare che Alessio è alto come Bernardo. 3 2 = 9; anche 81 = 9. Per la proprietà transitiva possiamo affermare che 3 2 = Caratteristiche dell insieme N L insieme dei numeri naturali è costituito da: N = {0; 1; 2; 3; 4;...} Evidenziamo alcune caratteristiche dell insieme N: 1. L insieme N ammette naturalmente una relazione d ordine, cioé un criterio che ci permette di stabilire, presa una qualunque coppia di elementi di N, quale elemento viene prima. La relazione d ordine in questo caso è: essere minore di... Ad esempio, scelti gli elementi 3 e 27, l elemento 3 viene prima dell elemento 27 in quanto 3 è minore di 27; 2. L insieme N è costituito da infiniti elementi.

6 Alessandro Bocconi Figura 1.1: La semiretta dei numeri Naturali 3. L insieme N è illimitato, cioé non esiste un elemento di N che non è minore di nessun altro elemento di N. Osservazione. In base alle caratteristiche di N possiamo affermare che esiste il primo elemento dell insieme (cioé lo zero che è minore di tutti gli altri) ma non esiste l ultimo. Osservazione. La migliore rappresentazione grafica dell insieme N è, in base alle sue caratteristiche, una semiretta orientata (cioè che ha un ordine in cui cresce indicato dalla freccia) come quella rappresentata in figura L addizione nei numeri naturali Il concetto di addizione di due numeri naturali è così intuitivo che, darne qui una definizione, risulterebbe soltanto un inutile appesantimento. Quindi non spiegheremo ad esempio cosa vuol dire e perché il suo risultato sia 8, lasciando a queste domande l intuitiva risposta che il lettore può darsi. Ci soffermeremo però sulla terminologia: il risultato di un addizione si dice somma, e i due numeri che compongono l addizione si dicono addendi. Prendendo ad esempio l addizione 3 + 5; 3 e 5 sono addendi, e 8 è la somma. Anche se l addizione è un operazione fra due numeri, si utilizza spesso l espressione somma di più numeri. Con tale espressione si intende il risultato che si ottiene sommando i primi due addendi, al risultato si somma il terzo e così via. Proprietà dell addizione: 1. Proprietà commutativa: scambiando fra di loro i due addendi la somma non cambia (o la somma di 3+5 è uguale alla somma di 5+3) 2. Proprietà associativa: La somma di più numeri non cambia, cambiando l ordine in cui le addizioni vengono eseguite. o: Eseguiamo prima l addizione fra 3 e 7 che ha risultato 10: = = 15

7 Alessandro Bocconi 6 Adesso eseguiamo prima la seconda addizione (fra 7 e 5) che ha come risultato 12: = = 15 Si osserva che il risultato finale non cambia e conferma la proprietà associativa dell addizione. Osservazione. La proprietà associativa può risultare estremamente utile per facilitare il calcolo di una somma. Si consideri ad esempio: Effettuare, come viene naturale, prima la somma fra 49 e 97 non è molto semplice soprattutto se dobbiamo eseguirla a mente. Molto più semplice è determinare = 100 e poi effettuare la somma con 49: = 149. Osservazione. Se in un addizione uno dei due addendi è zero la somma è l altro addendo. : = 5; = La moltiplicazione nei numeri naturali Chiariamo con un esempio l espressione sommare un numero più volte che ci servirà per la definizione di moltiplicazione: sommare 4 volte il numero 3 significa: }{{} 4 volte La definizione di moltiplicazione deriva dall addizione: Definizione di moltiplicazione: moltiplicare fra loro due numeri vuol dire sommare il primo numero tante volte quanto è il secondo numero. : 5 3 = }{{} 3 volte = = } {{ } = 42 6 volte I due numeri che compongono una moltiplicazione si chiamano fattori, mentre il risultato di una moltiplicazione si dice prodotto. Nel primo esempio 5 e 3 sono i fattori mentre 15 è il prodotto. Problema Mettendo delle palline una sopra l altra abbiamo formato delle colonne costituite da queste palline (supponiamo che le palline stiano in equilibrio una sull altra). Ciascuna colonna è formata da 3 palline, e le colonne sono 5 (figura 1.2). Quante palline ci sono in tutto?

8 Alessandro Bocconi 7.. Figura 1.2: 3 palline per ciascuna delle 5 colonne La risposta è molto semplice: 3 palline nella prima colonna, più 3 palline nella seconda e così via fino ad arrivare alla quinta. Quindi: numero di palline = } {{ } = 15 5 colonne Ma sommare 5 volte il numero 3 è, per definizione, il prodotto 3 5. Quindi il problema è risolto moltiplicando il numero delle palline in ciascuna colonna (primo fattore) col numero delle colonne (secondo fattore). Osservazione importante. La definizione di moltiplicazione perde chiarezza nei casi in cui il secondo fattore è 1, oppure 0. L esempio delle palline messe in colonna ci aiuta ad analizzare questi due casi: Secondo fattore uguale a 1. Il prodotto è equivalente al seguente problema: abbiamo un certo numero di palline (primo fattore) messe in un unica colonna (secondo fattore). Quante palline abbiamo in tutto? Ovviamente la risposta è che abbiamo tante palline quante ci sono nell unica colonna. Quindi il prodotto di due fattori di cui il secondo è 1 è uguale al primo fattore. o: 8 1 = 8 Secondo fattore uguale a 0. Considerando come prima le palline e le colonne, in questo caso, dato che il secondo fattore è 0, non abbiamo nessuna colonna. Se non ci sono colonne non ci sono neppure palline (cioè 0 palline), e quindi il prodotto è uguale a 0. o: 8 0 = 0 Come per la somma, definiamo il prodotto di più fattori, come il risultato che si ottiene moltiplicando i primi due fattori fra loro, al risultato si moltiplica il terzo e così via. Proprietà della moltiplicazione: 1. Proprietà commutativa: scambiando fra di loro i due fattori il prodotto non cambia. Verifichiamolo ancora con l aiuto delle palline: in figura 1.2 abbiamo messo 3 palline in ciascuna delle 5 colonne, e abbiamo visto che il numero totale di palline è data dal prodotto 3 5.

9 .. Alessandro Bocconi 8 Figura 1.3: 5 palline per ciascuna delle 3 colonne Supponiamo adesso di ruotare il rettangolo dove sono contenute le palline, in modo da appoggiarlo sul lato più corto (figura 1.3). Adesso abbiamo 5 palline per ciascuna colonna, e le colonne sono 3. Quante sono le palline? La risposta è data dal prodotto 5 3. Ma ovviamente il numero delle palline è rimasto lo stesso nelle due figure, e quindi i due prodotti devono dare lo stesso risultato, quindi: 3 5 = 5 3 Considerando che tale procedimento è indipendente dalla scelta del numero delle palline e delle colonne, abbiamo verificato la proprietà commutativa della moltiplicazione. 2. Proprietà associativa: il prodotto di più fattori non cambia, cambiando l ordine con cui le moltiplicazioni vengono eseguite. Verifichiamolo con un esempio: ad un istruttore viene commissionato un corso che gli verrà retribuito 20 euro all ora, e dovrà lavorare per 5 ore al giorno, per 3 giorni. Quanto guadagnerà l istruttore? Riscriviamo l accordo con l istruttore: 20 euro all ora per 5 ore al giorno per 3 giorni. Il problema si traduce quindi in In realtà a noi non interessa quanto guadagna, ma che allo stesso risultato possiamo arrivarci in (almeno) 2 modi diversi. (a) Calcoliamo quanto guadagna al giorno e poi si moltiplica per il numero dei giorni: visto che guadagna 20 euro all ora e lavora 5 ore in un giorno, al giorno guadagna 20 5 = 100 euro. I giorni di lavoro sono 3 quindi il guadagno totale è = 300. (b) Calcoliamo quante ore di lavoro effettua nei 3 giorni, e poi moltiplichiamo per il compenso orario: visto che lavora 5 ore al giorno per 3 giorni, il numero di ore lavorative è 5 3 = 15 ore. Dal momento che riceve 20 euro all ora, il guadagno totale è = 300. Nel primo caso abbiamo effettuato prima la prima moltiplicazione (20 5) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 3. Nel secondo caso abbiamo effettuato prima la seconda moltiplicazione (5 3) e poi abbiamo moltiplicato il risultato per 20. Dal momento che il risultato

10 Alessandro Bocconi 9 è lo stesso nei 2 casi (e non potrebbe essere altrimenti visto che il compenso finale deve essere lo stesso comunque lo si calcoli), abbiamo dimostrato che il risultato non cambia, cambiando l ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni. Osservazione. Come già visto per l addizione, la proprietà associativa può risultare estremamente utile anche per calcolare un prodotto. Si consideri ad esempio: Effettuare, come viene naturale, prima il prodotto fra 79 e 5 non è molto semplice soprattutto se dobbiamo eseguirlo a mente. Molto più semplice è determinare 5 2 = 10 e poi effettuare il prodotto con 79: = 790. Tenuto conto dell osservazione importante e della proprietà commutativa della moltiplicazione possiamo affermare che: 1. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione è 1, il prodotto è uguale all altro fattore. 2. Se uno dei due fattori di una moltiplicazione è 0, il prodotto è La sottrazione nei numeri naturali Anche la definizione di sottrazione deriva dall addizione: Definizione di sottrazione: eseguire una sottrazione fra due numeri vuol dire determinare quel numero che sommato al secondo dei due, ha come risultato il primo. o: eseguire la sottrazione 10-6 vuol dire determinare quel numero la cui somma con 6 è uguale a 10. È corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 6 = 4 è dato dal fatto che = 10. Il primo numero di una sottrazione si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza. Nell esempio precedente 10 è il minuendo, 6 il sottraendo e 4 la differenza. 7 2 = 5 infatti = 7; 6 6 = 0 infatti = 6; 9 0 = 9 infatti = 9; 5 8 non si può fare perché non esiste nessun numero naturale che sommato a 8 ha come risultato 5.

11 Alessandro Bocconi 10 Dall ultimo esempio si ricava la seguente importante: Osservazione. Si può eseguire una sottrazione nei numeri naturali solo se il minuendo non è minore del sottraendo. Per la sottrazione non valgono né la proprietà commutativa, né quella associativa. Verifichiamolo con degli esempi: 7 5 = 2, se valesse la proprietà commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il minuendo col sottraendo, la differenza rimane la stessa, mentre invece 5 7 non ha nessun risultato. Per vedere che non vale la proprietà associativa consideriamo se eseguiamo prima la prima sottrazione (11 5 = 6) otteniamo: = 6 2 = 4 Se valesse la proprietà associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l ordine delle sottrazioni, mentre invece eseguendo prima la seconda sottrazione (5 2 = 3) si ottiene = 11 3 = 8 che è un risultato finale diverso dal precedente. 1.7 La divisione nei numeri naturali La definizione di divisione deriva dalla moltiplicazione (che, come ricorderemo, a sua volta derivava dall addizione): Definizione di divisione: Eseguire una divisione fra due numeri vuol dire determinare quel numero che moltiplicato al secondo dei due, ha come risultato il primo. o: eseguire la divisione 10 : 5 vuol dire determinare quel numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 10. È corretto quindi affermare che il motivo per cui 10 : 5 = 2 è dato dal fatto che 2 5 = 10. Il primo numero di una divisione si chiama dividendo, il secondo divisore e il risultato quoziente. Nell esempio precedente 10 è il dividendo, 5 il divisore e 2 il quoziente. Osservazione: È importante notare che, come per la sottrazione, non sempre è possibile effettuare la divisione fra due numeri: ad esempio 8 : 3 non ha alcun risultato nei numeri naturali, in quanto non esiste un numero naturale che moltiplicato per 3 ha come risultato 8.

12 Alessandro Bocconi : 3 = 5, infatti 3 5 = : 9 = 1, infatti 9 1 = : 1 = 8, infatti 1 8 = : 5 = 0, infatti 5 0 = : 5 non ha risultato perché non esiste un numero che moltiplicato per 5 ha come risultato 16 Osservazioni. Dalla definizione di divisione possiamo concludere che: La divisione di un numero (diverso da 0) per se stesso ha sempre quoziente 1 (secondo esempio). La divisione di un numero per 1 ha sempre come quoziente il numero stesso (terzo esempio). 0 diviso qualunque numero (diverso da 0) ha sempre come quoziente 0 (quarto esempio). La divisione per zero. Consideriamo adesso una divisione in cui il dividendo sia diverso da zero e il divisore uguale a zero, ad esempio 5 : 0. Il quoziente di questa divisione, se esistesse, dovrebbe essere un numero che moltiplicato per 0 ha come risultato 5, mentre sappiamo che qualunque numero naturale moltiplicato per 0 ha come risultato 0 (vedi paragrafo 1.5). Studiamo ora il caso in cui anche il dividendo è 0, cioé la divisione 0 : 0. In questo caso siamo di fronte a una forma indeterminata: infatti potremmo affermare che 0 : 0 = 1 infatti 0 1 = 0, ma potremmo anche dire che 0 : 0 = 2 infatti 0 2 = 0, oppure 0 : 0 = 18 infatti 0 18 = 0, oppure 0 : 0 = 0 infatti 0 0 = 0 e così via per tutti i numeri naturali. In altre parole la divisione 0 : 0 non ha un unico risultato ma ne ha infiniti. Per questo viene chiamata forma indeterminata: perché non è possibile determinare un unica soluzione dato che qualunque numero è soluzione di quella divisione. In ogni caso quindi non è mai possibile eseguire una divisione in cui il divisore sia 0. Per la divisione, come per la sottrazione, non valgono né la proprietà commutativa, né quella associativa. Verifichiamolo con degli esempi: 16 : 2 = 8, se valesse la proprietà commutativa dovrebbe risultare che, invertendo il dividendo col divisore, il quoziente rimane lo stesso, mentre invece 2 : 16 non ha nessun risultato. Per vedere che non vale la proprietà associativa consideriamo 24 : 6 : 2 se eseguiamo prima la prima divisione (24 : 6 = 4) otteniamo

13 Alessandro Bocconi : 6 : 2 = 4 : 2 = 2 Se valesse la proprietà associativa il risultato finale non dovrebbe cambiare invertendo l ordine delle divisioni, mentre invece eseguendo prima 6 : 2 = 3 si ottiene: cioé un risultato finale diverso dal precedente. 24 : 6 : 2 = 24 : 3 = Confronti e considerazioni sulle quattro operazioni. È utile effettuare un confronto fra le varie caratteristiche e proprietà che hanno le quattro operazioni. Innanzitutto presa una qualunque coppia di numeri naturali é sempre possibile effettuare la loro addizione e la loro moltiplicazione. Lo stesso non si può dire per la sottrazione e le divisione in quanto esistono coppie di numeri per le quali non esiste né la differenza né il quoziente. Inoltre la moltiplicazione e l addizione godono sia della proprietà commutativa che quella associativa, a differenza della divisione e della sottrazione che non godono di nessuna delle due. Si osservi a tal proposito che per l addizione e la moltiplicazione i due numeri si chiamano allo stesso modo (addendi per l addizione e fattori per la moltiplicazione), mentre per la sottrazione e la divisione il primo numero ha un nome diverso dal secondo (minuendo e sottraendo per la sottrazione e dividendo e divisore per la divisione). Ciò è dovuto al fatto che, godendo della proprietà commutativa, i termini della moltiplicazione e dell addizione possono essere scambiati, mentre quelli della divisione e sottrazione no. Se ad un numero addizioniamo o sottraiamo 0 il numero rimane invariato. Per questo si dice che 0 è l elemento neutro per l addizione e la sottrazione. Se moltiplichiamo o dividiamo un numero per 1 il numero rimane invariato. Per questo si dice che 1 è l elemento neutro per la moltiplicazione e la divisione. 1.9 La priorità delle operazioni e le parentesi. Chiameremo espressione numerica, una serie di numeri legati fra di loro da delle operazioni. Affrontiamo ora il caso di dover risolvere un espressione, partendo da un esempio: È facile osservare che il risultato di tale espressione cambia a seconda dell ordine in cui effettuiamo le singole operazioni; se ad esempio scegliamo di partre da sinistra a destra si ottiene: = = 32 1 = 31

14 Alessandro Bocconi 13 Se invece scegliamo l ordine inverso otteniamo: = = = 14 E avremmo ottenuto ancora un risultato diverso se avessimo scelto un ordine differente rispetto ai due precedenti (ad esempio prima la moltiplicazione poi la sottrazione e infine l addizione). Dal momento che in matematica le espressioni devono avere un unico risultato (altrimenti perderebbero senso), si è reso necessario fissare una priorità delle operazioni, cioé una classifica dell ordine in cui le operazioni devono venire effettuate. E questa è la classifica: Primo posto: moltiplicazione e divisione a pari merito. Secondo posto: addizione e sottrazione a pari merito. Con la regola che, se due operatori hanno la stessa priorità (cioé lo stesso posto in classifica) si effettua prima quello più a sinistra. Quindi per risolvere un espressione si risolvono prima tutte le moltiplicazioni e le divisioni presenti, una per ogni passaggio, partendo da sinistra a destra. Quando non ci sono più né moltiplicazioni né divisioni si passa alle addizioni e sottrazioni, sempre una per volta, e sempre da sinistra a destra. Risolvere la seguente espressione: = c é un unica moltiplicazione che ha priorità maggiore degli altri operatori e quindi si svolge per prima: = ci sono due operatori di uguale priorità, si effettua quindi per primo quello più a sinistra: 17 1 = 16 Quindi il risultato finale è 16. Risolvere la seguente espressione: 18 8 : 2 4 = Le moltiplicazioni e le divisioni hanno priorità maggiore, si effettua in questo caso prima la divisione perché è più a sinistra: = Adesso la moltiplicazione: = 2 Quindi il risultato finale è 2. Risolvere le seguenti espressioni: = = = 7

15 Alessandro Bocconi : 4 : : 4 : 2 = : 2 = = 12 Per cambiare l ordine delle operazioni, l unico strumento che esiste è l uso delle parentesi. Infatti se un espressione contiene delle parentesi, prima si risolvono le parti di espressione dentro le parentesi fino a che non rimane solo un numero. A quel punto si tolgono le parentesi e si procede come prima. o Risolvere la seguente espressione: 6 + (7 2 3) 4 = prima si risolve la parte di espressione dentro le parentesi, ricordando che, all interno di una parentesi valgono le priorità descritte in precedenza, quindi: 6 + (7 6) 4 = 6 + (1) 4 dentro le parentesi è rimasto solo un numero e quindi possono essere tolte: Quindi il risultato finale è = = 10 Può essere necessario, all interno di una parentesi aprirne e chiuderne altre. In questo caso, per evitare confusione, si usano parentesi diverse da quelle tonde, e precisamente le parentesi quadre e, se necessario, le parentesi graffe. Per convenzione le parentesi tonde stanno dentro le quadre che a loro volta stanno dentro le graffe. In un espressione con parentesi graffe, quadre e tonde, prima si risolvono tutte le tonde, poi tutte le quadre, e in ultimo tutte le graffe. o Risolvere la seguente espressione: 12 + {20 : [(7 5) 8 6] + 4 3} : 7 = 12 + {20 : [(2) 8 6] + 4 3} : 7 = 12 + {20 : [2 8 6] + 4 3} : 7 = 12 + {20 : [16 6] + 4 3} : 7 = 12 + {20 : [10] + 4 3} : 7 = 12 + {20 : } : 7 = 12 + { } : 7 = 12 + {2 + 12} : 7 = 12 + {14} : 7 = : 7 = = 14.

16 Alessandro Bocconi L uso delle lettere, e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. In matematica si usano molto frequentemente le lettere al posto dei numeri. Il motivo risiede nel fatto che con le lettere possiamo effettuare delle affermazioni che hanno carattere generale, cosa non possibile usando invece i numeri. Chiariamo quanto detto con un esempio: presi i numeri 3 e 5 vale che: 3 5 = 5 3 Quanto appena scritto afferma che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa? La risposta è no, perché si potrebbe obiettare che ciò che vale per i numeri 3 e 5, non necessariamente deve valere per tutti i numeri. Se invece scriviamo: siano a e b due numeri naturali qualunque. Vale che: a b = b a In questo modo abbiamo enunciato la proprietà commutativa della moltiplicazione, in quanto a e b sono due qualunque numeri naturali, e quindi l uguaglianza vale per tutti i numeri naturali. Tale esempio dimostra quanto può essere conveniente usare le lettere al posto dei numeri. Possiamo adesso enunciare una proprietà estremamente importante che lega la moltiplicazione con l addizione: La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione: il prodotto di una somma per un fattore è equivalente alla somma dei prodotti fra ciascun addendo e il fattore stesso. In formule: (a + b + c +...) k = a k + b k + c k... dove i puntini stanno a significare che la somma può essere composta da un qualsiasi numero di addendi. Chiariamo, e verifichiamo, questa proprietà tramite un esempio. o ( ) 4 (si noti che tale espressione deriva dalla formula letterale scritta sopra, scegliendo al posto di a il numero 5, al posto di b il numero 2, al posto di c il numero 8 e al posto di k il numero 4). Per la proprietà distributiva deve valere che il risultato della precedente espressione è uguale a quello della seguente espressione: (cioè, riprendendo sempre la formula letterale, a k + b k + c k). Verifichiamolo: e quindi la proprietà è verificata. ( ) 4 = 15 4 = = = 60

17 Alessandro Bocconi Le potenze. Consideriamo la seguente espressione: }{{} 5 volte Osserviamo che si tratta di un prodotto in cui i fattori sono tutti 2. È possibile, e preferibile, scrivere tale espressione in forma più compatta che prende il nome di potenza, cioé 2 5. Si dice che 2 5 è una potenza di base 2 ed esponente 5. Il concetto di potenza è fondamentale nella matematica, ed è così definito: Definizione di potenza nei numeri naturali: sia a un numero naturale e n un numero naturale maggiore di zero. Con l espressione a n (che si legge a elevato ad enne, o più semplicemente a alla enne) si intende una potenza di base a ed esponente n, che equivale a: a n = a a a a... }{{} n volte : è una potenza di base 3 ed esponente 4, si legge tre alla quarta ed equivale a: 3 4 = } 3 3 {{ 3 3} = 81 4 volte è una potenza di base 7 ed esponente 2, si legge sette alla seconda ed equivale a: 7 2 = }{{} volte = è una potenza di base 1 ed esponente 4, si legge uno alla quarta ed equivale a: 1 4 = } 1 1 {{ 1 1} = 1 4 volte è una potenza di base 0 ed esponente 5, si legge zero alla quinta ed equivale a: 0 5 = } 0 0 {{ 0 0 0} = 0 5 volte è una potenza di base 8 ed esponente 1, si legge otto alla prima ed equivale a: 8 1 = }{{} 8 1 volta = 8 Osservazioni: Dalla definizione di potenza e dagli esempi possiamo facilmente osservare che: Qualsiasi numero naturale elevato alla prima equivale al numero stesso (vedi esempio 5). Quindi qualsiasi numero naturale può essere visto come una potenza avente come base il numero stesso e come esponente uno (ad esempio 7 è equivalente alla potenza 7 1 ). Zero elevato a qualunque numero maggiore di zero è uguale a zero (vedi quarto esempio). Uno elevato a qualunque numero maggiore di zero è uguale a uno (terzo esempio).

18 Alessandro Bocconi 17 Si noti inoltre che tramite le potenze possiamo esprimere con numeri relativamente piccoli, anche numeri molto elevati, ad esempio: 6 7 = A tal proposito si legga con attenzione il seguente racconto. La nascita degli scacchi e i chicchi di riso. Narra la leggenda che gli scacchi furono inventati in India da un bramino (un sacerdote) di nome Sissa. Egli era così orgoglioso della sua invenzione che la portò in dono al suo sovrano. Anche il sovrano rimase entusiasta del nuovo gioco e, per ricompensare il bramino, disse che avrebbe potuto chiedergli in dono qualunque cosa: denaro, stoffe preziose, terre, gemme ecc. Il bramino fece una richiesta piuttosto insolita: mio sovrano per determinare la mia ricompensa dovrà essere messo un chicco di riso nella prima casella della scacchiera, 2 nella seconda, 4 nella terza, 8 nella quarta e così via fino all ultima casella. Quello che ti chiedo è di darmi il contenuto dell ultima casella Il re rise a quell insolita richiesta pensando di essersela cavata con pochi chicchi di riso. Quando però i suoi consiglieri determinarono la quantità di riso che spettava al bramino non ebbe più alcuna voglia di sorridere: per esaudire la richiesta non sarebbero state sufficienti le scorte di riso di tutto il regno. Vediamo perché: innanzitutto sappiamo che le caselle di una scacchiera sono 64. La richiesta del bramino era di un chicco sulla prima casella, 2 sulla seconda, 4 sulla terza e così via. Mettiamo questi dati in tabella: casella numero di chicchi Si osserva che nell colonna a destra sono tutte potenze del 2 (a cominciare da 1 che è 2 0 come vedremo nel prossimo paragrafo) quindi possiamo riscrivere la tabella come: casella numero di chicchi quindi la 64-esima casella corrisponde a 2 63 chicchi di riso cioè chicchi. Per rendersi conto dell enormità di tale numero si pensi che un chicco di riso pesa circa un quarantacinquesimo di grammo, quindi il peso di tutti quei chicchi è superiore a 200 miliardi di tonnellate. Considerando che nel 2006 la produzione annuale di riso del pianeta è stata di 636 milioni di tonnellate ci sarebbero voluti più di 300 anni per produrre una tale quantità di riso!!

19 Alessandro Bocconi 18 Capiamo bene quindi che se dovessimo effettuare il prodotto calcolando prima 6 7 poi 6 10, e poi moltiplicando fra loro i numeri ottenuti, avremmo come minimo bisogno di una calcolatrice (e anche piuttosto potente). Per questo ci vengono in aiuto le fondamentali proprietà delle potenze. Le proprietà delle potenze. 1. Il prodotto fra due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Verifichiamo tale proprietà con un esempio: = } 3 3 {{ 3 3 3} }{{} volte 2 volte = } {{ } 7 volte Quindi il risultato ha la stessa base dei fattori (cioé 3) e come esponente la somma degli esponenti (cioé = 7). 2. Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base, in cui la prima (dividendo) deve avere l esponente maggiore della seconda (divisore), è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Verifichiamo con un esempio: 5 7 : 5 4 Dal momento che il quoziente è quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 5 4 ha come risultato 5 7. Grazie alla prima proprietà possiamo affermare che = 5 7, e quindi 5 3 è il risultato cercato. Quindi il risultato ha la stessa base del dividendo e del divisore (cioé 5) e come esponente la differenza degli esponenti (cioé 7 4 = 3). 3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Verifichiamo tale proprietà con un esempio: (3 5 ) 2 = } 3 5 {{ 3} 5 = per la prima proprietà = = volte dove la parentesi iniziale sta a indicare che prima si determina 3 5 e poi si eleva alla seconda. Quindi il risultato ha la stessa base iniziale (cioé 3) e come esponente il prodotto degli esponenti (cioé 5 2 = 10). 4. Il prodotto fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. Verifichiamo tale proprietà con un esempio: = } 2 2 {{ 2 2} 3 } 3 {{ 3 3} = per la proprietà commutativa della moltiplicazione 4 volte 4 volte = (2 3) (2 3) (2 3) (2 3) = }{{}} 6 6 {{ 6 6} = volte 4 volte Quindi il risultato ha la stesso esponente dei fattori (cioé 4) e come base il prodotto delle basi (cioé 2 3 = 6). 5. Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. Verifichiamo con un esempio: 8 7 : 2 7 Dal momento che il quoziente è quel numero che moltiplicato per il divisore ha come risultato il dividendo, dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per 2 7 ha come risultato 8 7. Grazie = 3 7

20 Alessandro Bocconi 19 alla quarta proprietà possiamo affermare che = 8 7, e quindi 4 7 è il risultato cercato. Quindi il risultato ha lo stesso esponente del dividendo e del divisore (cioé 7) e come base il quoziente delle basi (cioé 8 : 2 = 4). Potenza con esponente zero. Dalla definizione che abbiamo dato di potenza risulta che non ha senso una potenza con esponente zero: infatti, nella stessa definizione, abbiamo specificato che l esponente fosse un numero naturale maggiore di zero. Risulta però estremamente utile dare un significato, e quindi un valore, ad una potenza, di base maggiore di zero, il cui esponente è zero. Si è deciso di adottare la seguente convenzione: Convenzione. La potenza avente come esponente 0 e come base un qualunque numero naturale maggiore di 0 vale = 1; 3 0 = 1; 1 0 = 1 Osservazione. La scelta di attribuire il valore 1, ad una potenza di esponente 0 è, come già detto, una convenzione. Risulta però estremamente utile osservare che, fra tutti i valori che avremmo potuto attribuire, 1 risulta la scelta migliore per conservare alcune proprietà delle potenze estendendole all esponente 0. Chiariamo quanto detto con due esempi. Ammettiamo l esistenza di una potenza ad esponente 0, ad esempio 3 0, e consideriamo il seguente prodotto: applicando la prima proprietà delle potenze risulta: = = 3 5 quindi 3 5 (ma avrebbe funzionato con qualunque potenza del 3) moltiplicata per 3 0 resta 3 5, quindi 3 0 funziona come elemento neutro della moltiplicazione. Allora, essendo 1 l unico elemento neutro della moltiplicazione, deve risultare che 3 0 = 1. Come secondo esempio consideriamo la divisione 2 5 : 2 5. La divisione fra due numeri uguali (siano essi potenze o meno), ha come risultato 1 (vedi paragrafo 1.7). Quindi deve risultare: 2 5 : 2 5 = 1 Ma se vogliamo estendere la seconda proprietà delle potenze al fatto che dividendo e divisore possano avere lo stesso esponente deve risultare che: 2 5 : 2 5 = = 2 0 Quindi la divisione 2 5 : 2 5 ha come risultato sia 1, sia 2 0. Per la proprietà transitiva deve risultare che 2 0 = 1, in accordo con la nostra convenzione.

21 Alessandro Bocconi 20 0 elevato a 0. Attribuire un valore a 0 0, qualunque esso sia, porterebbe a delle contraddizioni con altri risultati della matematica (purtroppo non abbiamo strumenti sufficienti per dimostrare questa affermazione e dobbiamo prenderla per buona). Per questo si è stabilito che: 0 0 non ha significato (cioé non vale nessun numero).

22 Alessandro Bocconi 21 Osservazioni sulle proprietà delle potenze. Analizziamo adesso alcuni casi. Di fronte alla addizione: , possiamo usare la prima proprietà delle potenze e affermare che il risultato è 3 9? La risposta è ovviamente no, perché tutte le proprietà delle potenze riguardano la moltiplicazione o la divisione o l elevamento a potenza e non sono quindi applicabili per l addizione e la sottrazione. Di fronte alla precedente addizione ci sono quindi due sole possibilità: o si calcolano le due potenze (in questo caso, dato che 3 5 = 243 e 3 4 = 81, si ottiene = = 324), oppure si lascia così com é (quest ultima ipotesi è senz altro da preferire se siamo di fronte a potenze grandi). Consideriamo la moltiplicazione: , possiamo applicare qualche proprietà delle potenze? La risposta è ancora no, perché in una moltiplicazione si può applicare la prima proprietà se le basi sono uguali, e la quarta proprietà se sono uguali gli esponenti, ma in questo caso non si verifica nessuna delle due condizioni. Quindi o si calcolano le potenze e poi si esegue il prodotto, oppure si lascia così com é. Lo stesso discorso appena fatto per la moltiplicazione si può applicare alla divisione Osservazione. Consideriamo la divisione: 8 5 : 3 5. Avendo uguali gli esponenti si potrebbe applicare la quinta proprietà. Ma in questo caso si osserva che 8 : 3 è una divisione che non ha quoziente nei numeri naturali, e quindi non si può applicare la proprietà citata, e scriveremo che tale divisione non ha risultato nei numeri naturali. Le potenze all interno delle espressioni. Nel paragrafo precedente abbiamo stabilito un ordine di priorità per le quattro operazioni all interno di un espressione. La domanda che ci poniamo è come si colloca l elevamento a potenza nella classifica delle priorità. La risposta è che l elevamento a potenza ha priorità maggiore di tutte le altre operazioni. o : = Prima di tutto l elevamento a potenza, quindi: : = : 4 5 = Poi si prosegue come già visto nel paragrafo precedente: = = = 18 Anche in caso di espressioni con le potenze, le parentesi possono cambiare l ordine delle operazioni: o (1 + 2) 4 = La parentesi ci impone di effettuare prima la somma, e poi l elevamento a potenza: (1 + 2) 4 = 3 4 = 81 Si osservi che senza le parentesi l espressione precedente diventa:

23 Alessandro Bocconi ed in questo caso dovremmo effettuare prima l elevamento a potenza e poi la somma ottenendo un risultato diverso. Osservazione importante. Quando è possibile bisogna sempre applicare la proprietà delle potenze invece di calcolarsi la potenza: questo semplifica e velocizza notevolmente lo svolgimento di un espressione. o Risolvere la seguente espressione: : 5 5. È da considerare sbagliato (anche se formalmente non lo è) calcolarsi 5 7 e 5 5 e poi effettuare la divisione, in quanto è possibile applicare la seconda proprietà delle potenze che ci permette di calcolare con estrema semplicità, il quoziente di quella divisione che è 5 2. Quindi : 5 5 = = = Divisori, multipli, e numeri primi. Torniamo all operazone della divisione vista al paragrafo 1.7. Abbiamo osservato che non tutte le divisioni hanno un risultato; ad esempio non esiste il quoziente di 9 : 5, mentre la divisione 15 : 3 ha come quoziente 5. Possiamo adesso definire: Definizione di multiplo e di divisore. Un numero a è multiplo di un numero b (e allo stesso tempo b è divisore di a), se la divisione a : b ha un quoziente. È facile osservare che fra i divisori di un numero ci sono sempre uno e il numero stesso. Possiamo adesso dare una fondamentale definizione: Definizione di numero primo. soltanto 1 e se stesso. Un numero maggiore di 1 si dice primo se ha come divisori Si osservi che il numero uno ha come divisore soltanto uno, e quindi avrebbe diritto ad essere considerato un numero primo. Per convenienza è stato scelto di escluderlo dai numeri primi, inserendo nella definizione che il numero deve essere maggiore di uno. Scopriamo i primi numeri primi: Divisori di 2: 1; 2 quindi 2 è un numero primo Divisori di 3: 1; 3 quindi 3 è un numero primo Divisori di 4: 1; 2; 4 quindi 4 non è un numero primo perché fra i divisori c è anche 2 che non è né 1 né il numero stesso Divisori di 5: 1; 5 quindi 5 è un numero primo

24 Alessandro Bocconi 23 Divisori di 6: 1; 2; 3; 6 quindi 6 non è un numero primo perché fra i divisori ci sono anche 2 e 3 che non sono né 1 né il numero stesso I primi numeri primi (che conviene imparare a memoria) sono: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; Due caratteristiche dei numeri primi: 1. I numeri primi sono infiniti. 2. I numeri primi diventano sempre più rari al crescere dei numeri stessi (si osservi ad esempio che nei primi 10 numeri naturali ci sono ben 4 numeri primi, mentre fra 110 e 120 ce n è soltanto uno). Significato di scomposizione in fattori primi: Scomporre un numero in fattori primi vuol dire scriverlo come un prodotto di fattori che sono numeri primi, o potenze di numeri primi, e tale scomposizione è unica. Chiariamo quanto detto con un esempio: il numero 18 può essere scomposto come 18 = Il fatto che tale scomposizione è unica significa che il numero 18 non può essere scomposto in fattori primi diversi da quelli trovati. Come si scompone un numero in fattori primi. Si traccia una linea verticale e in alto a sinistra della linea scriviamo il numero da scomporre. Accanto a tale numero, dalla parte destra della linea, cerchiamo un numero primo che sia divisore del numero da scomporre. Conviene partire dal primo numero primo, cioè 2. Se il numero da scomporre è divisibile per 2, scriviamo 2, e sotto il numero da scomporre scriviamo il quoziente fra il numero da scomporre e 2. Se non è divisibile per 2, proviamo con 3 e così via finché non troviamo un numero primo divisore del numero da scomporre. Si ripete quindi il procedimento considerando questa volta il quoziente appena trovato, e cercando un numero primo che gli sia divisore; in questa ricerca si parte dall ultimo numero primo utilizzato nella precedente divisione. Il procedimento termina quando il quoziente è 1. La scomposizione del numero è data dal prodotto di tutti i fattori primi a destra della linea. Chiariamo con alcuni esempi. Scomporre il numero 18: è divisibile per 2 che è il primo dei numeri primi. Scriviamo quindi 2 nella colonna a destra accanto a 18; e sotto 18 il numero 9 che è il risultato della divisione 18: Si considera adesso il numero 9. 9 non è divisibile per 2, si prova quindi col numero primo successivo cioè 3; 9 è divisibile per 3, e si scrive 3 nella colonna a destra accanto al 9, e sotto 9 il numero 3 che è il risultato della divisione 9:3.

25 Alessandro Bocconi Il numero 3 è divisibile per 3. Quindi scriviamo 3 nella colonna a destra, accanto al numero 3, e sotto il 3 il numero 1 che è il risultato della divisione 3: quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina. Nella colonna a destra compare il 2 una volta e il 3 due volte. La scomposizione risulta essere quindi 18 = Scomporre il numero 175: non è divisibile né per 2 né per 3. È divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, accanto a 175. Sotto 175 scriviamo 35 che è il risultato della divisione 175: è ancora divisibile per 5; scriviamo quindi 5 nella colonna a destra, accanto a 35. Sotto 35 scriviamo 7 che è il risultato della divisione 35: non è divisibile per 5, ma per 7 che è il numero primo successivo; scriviamo quindi 7 nella colonna a destra, accanto a 7. Sotto 7 scriviamo 1 che è il risultato della divisione 7: quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina. Nella colonna a destra compare il 5 due volte e il 7 una volta. La scomposizione risulta essere quindi 175 = Scomporre il numero 176: 176

26 Alessandro Bocconi è divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 176. Sotto 176 scriviamo 88 che è il risultato della divisione 176: è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 88. Sotto 88 scriviamo 44 che è il risultato della divisione 88: è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 44. Sotto 44 scriviamo 22 che è il risultato della divisione 44: è ancora divisibile per 2 ; scriviamo quindi 2 nella colonna a destra, accanto a 22. Sotto 22 scriviamo 11 che è il risultato della divisione 22: non è divisibile né per 2 né per 3 né per 5 né per 7; è divisibile per 11. Scriviamo quindi 11 nella colonna a destra, accanto a 11. Sotto 11 scriviamo 1 che è il risultato della divisione 11: Quando nella colonna a sinistra compare 1 il procedimento termina. Nella colonna a destra compare il 2 quattro volte e 11 una volta. La scomposizione risulta essere quindi 176 = Scomporre il numero 13: 13 è un numero primo quindi è già scomposto

27 Alessandro Bocconi 26 Osservazione. Nella colonna a destra devono comparire soltanto numeri primi Criteri di divisibilità. Come abbiamo visto, può essere molto utile sapere se un numero è divisibile o meno per un altro. Scopo di questo paragrafo è quello di fornire dei criteri per stabilire se un numero è divisibile per qualche numero primo. Innanzitutto effettuiamo alcune precisazioni: se consideriamo il numero 735, 735 è appunto il numero, mentre 7, 3 e 5 sono le cifre che compongono il numero. Per convenzione il numero, come le parole, si legge da sinistra a destra, quindi, in questo caso, 7 è la prima cifra, 3 è la seconda e 5 è la terza e ultima (allo stesso modo nella parola cane, c è la prima lettera, a la seconda e così via). Quando si dice di sommare le cifre di un numero fino a ottenere un numero di una sola cifra si intende il seguente procedimento: prendiamo sempre ad esempio il numero 735: sommare le sue cifre vuol dire ottenere: = ha due cifre quindi ripetiamo il procedimento: = 6. 6 ha una sola cifra e quindi ci fermiamo. Fatte queste precisazione introduciamo i seguenti criteri di divisibilità: Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è 0 o 2 o 4 o 6 o è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è non è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 9 (e quindi non è né 0, né 2, né 4, né 6, né 8). Definizione di numero pari e di numero dispari. Un numero si dice pari se è divisibile per 2. Si dice dispari se non è pari. Un numero è divisibile per 3 se sommando le cifre del numero fino a ottenere un numero di una sola cifra, tale numero è 3 o 6 o è divisibile per 3 perché se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una sola cifra otteniamo: = 18; = 9; 791 non è divisibile per 3 perché se sommiamo le sue cifre fino ad ottenere un numero di una sola cifra otteniamo: = 17; = 8. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o è divisibile per 5 perché la sua ultima cifra è 5.

28 Alessandro Bocconi non è divisibile per 5 perché la sua ultima cifra è 9 (e quindi non è né 0, né 5). Prima del successivo criterio di divisibilità chiariamo che una cifra all interno di un numero è di posto dispari se è la prima o la terza o la quinta o la settima (e così via) cifra del numero. Si dice che è di posto pari se è la seconda, o la quarta, o la sesta (e così via) cifra del numero. Per verificare se un numero è divisibile per 11 si procede nel seguente modo: si sommano fra loro le cifre di posto pari, e fra loro le cifre di posto dispari. Si calcola la differenza fra la somma maggiore e quella minore. Se tale differenza è un numero con più di una cifra si ripete il procedimento. Al termine se la differenza è 0, il numero è divisibile per è divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: = 25; sommando le cifre di posto pari otteniamo: 2+1 = 3. Si effettua la differenza fra la somma maggiore (25) e quella minore (3) e otteniamo: 25 3 = ha due cifre e si ripete il procedimento: abbiamo una sola cifra di posto dispari che è 2 (e quindi la somma delle cifre di posto dispari è ovviamente 2) e abbiamo una sola cifra di posto pari che è 2 (e quindi la somma delle cifre di posto pari è ovviamente 2). Calcoliamo la differenza 2 2 che è 0 e quindi il numero iniziale è divisibile per non è divisibile per 11: infatti sommando le cifre di posto dispari otteniamo: = 12; sommando le cifre di posto pari otteniamo: = 15. Si effettua la differenza fra la somma maggiore (15) e quella minore (12) e otteniamo: = 3. Il numero quindi non è divisibile per 11, perché la differenza non è Il Massimo comun Divisore e il minimo comune multiplo. Supponiamo di dover risolvere il seguente problema: abbiamo 36 cioccolatini al latte e 60 cioccolatini fondente. Con questi cioccolatini vogliamo riempire dei sacchetti con queste condizioni: 1. I sacchetti devono contenere cioccolatini di un solo tipo (o fondente o al latte) 2. Tutti i sacchetti contengono lo stesso numero di cioccolatini 3. Non deve avanzare nessun cioccolatino 4. Vogliamo mettere più cioccolatini possibile in ciascun sacchetto La domanda è: quanti cioccolatini dobbiamo mettere in ciascun sacchetto? Ovviamente il numero che cerchiamo dovrá essere un divisore sia dei cioccolatini al latte (quindi di 36) sia di quelli fondente (quindi di 60), perché se così non fosse non potremmo mettere lo stesso numero di cioccolatini in ciascun sacchetto senza farne avanzare nessuno. In pratica il numero che cerchiamo deve essere un divisore comune a entrambi i numeri. Abbiamo quindi ristretto il campo. Proviamo allora a elencare tutti i divisori di 36 e di 60: Divisori di 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; Divisori di 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30, 60;

29 Alessandro Bocconi 28 Per soddisfare anche la quarta richiesta dobbiamo individuare il divisore comune più grande (perché in ciascun sacchetto vogliamo mettere il maggior numero di cioccolatini) che in questo caso è 12. Il problema è quindi risolto mettendo in ciascun sacchetto 12 cioccolatini. Possiamo ora dare la seguente definizione: Definizione di Massimo Comun Divisore MCD. Il massimo comun divisore fra due o più numeri è il più grande fra i divisori comuni a tali numeri. Il problema precedente è quindi risolto determinando il MCD fra 36 e 60. Il problema è che non è molto agevole trovare tutti i divisori di un numero, confrontarli e poi individuare quello più grande. Molto più efficace è il seguente: Metodo per la determinazione del Massimo Comun Divisore. Per determinare il MCD fra due o più numeri, si scompongono tali numeri in fattori primi. Il MCD si ottiene dal prodotto dei fattori primi comuni a tutte le scomposizioni, presi con l esponente minore. Osservazione importante. Dal momento che tutti i numeri sono divisibili per 1, e quindi hanno 1 come divisore, il massimo comun divisore esiste sempre (al minimo è 1). È quindi sbagliato dire che non esiste il massimo comun divisore fra due o più numeri.. Determinare il MCD fra 36 e 60 (si indica con MCD(36;60). La scomposizione di 36 (effettuata col metodo descritto nel precedente paragrafo) è: 36 = , mentre quella di 60: 60 = Seguendo il metodo indicato si prendono i fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni (e quindi 2 e 3, visto che 5 è presente solo nella seconda scomposizione), con l esponente minore: il 2 è alla seconda in entrambe le scomposizioni, mentre il 3 è alla seconda nella prima scomposizione e alla prima nella seconda scomposizione. Dovendo prendere l esponente minore prendiamo 3 1 cioé 3. Quindi MCD(36; 60) = = 12. Determinare MCD(1200; 1760). Scomponendo in fattori primi otteniamo: 1200 = ; 1760 = quindi MCD(1200; 1760) = = 80 Determinare MCD(50;63). Scomponendo in fattori primi otteniamo: 50 = ; 63 = Non c è nessun fattore comune nelle scomposizioni e quindi MCD(50; 63) = 1. Determinare MCD(36; 54; 40). Scomponendo in fattori primi otteniamo: 36 = ; 54 = ; 40 = 2 3 5; quindi MCD(36; 54; 40) = 2