Introduzione a MatLab

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1 Introduzione a MatLab

2 Introduzione MATLAB è l acronimo di MATrix LABoratory E un ambiente per l analisi e la simulazione dei sistemi lineari e non lineari e per l analisi numerica Il sito ufficiale per informazioni utili su Matlab è:

3 L ambiente MATLAB L ambiente MATLAB si basa su un interprete di comandi; In MATLAB esiste un unico tipo di dato: la MATRICE L ambiente MATLAB possiede i toolbox

4 Help Ogni comando Matlab ha un help contenente una sintetica spiegazione del comando e la sua descrizione sintattica Esempio: >> help >> help topic Lista dei Toolbox Manuale di uso di un comando

5 Acquisizione e Manipolazione di Matrici

6 Rappresentazione dei Dati Uno scalare è una matrice 1 x 1 >> X = 3.14; >> size(x) ans = 1 1 visualizza le dimensioni della matrice Un vettore è una matrice 1 x n >> Y = [ ]; >> size(y) ans = 1 2

7 L Input dei Dati Una matrice può essere memorizzata in una variabile Matlab in diversi modi: enumerata da tastiera letta da file un esterno generata come risultato di una funzione Matlab generata da un M-file

8 Input da Tastiera (1/2) Esempio >> a = [ ]; >> a = [1,2,3,4]; >> b = [ ; ]; >> b = [ ] b = metodi equivalenti metodi equivalenti NOTA: un comando terminato col simbolo ; non produce output a video.

9 Input da Tastiera (2/2) Esempio >> c = [ ]; >> c = [ ] c = metodi equivalenti >> save var c; >> clear c; Salva la variabile c nel file var.mat in formato matlab Cancella la variabile c dalla memoria

10 Input da File Esterno Esempio (continua dall esempio precedente): >> load var >> c c = Carica in memoria tutte le variabili salvate nel file var.mat >> d = [1,2;4,5] d =

11 Output su File E possibile salvare su file le variabili definite durante la sessione di lavoro. Esempio salvare sul file var.txt le variabili c e d. >> d = [1,2;4,5]; >> save var.txt c d -ascii; Salva le variabili c e d nel file var.txt in formato ascii

12 Matrici come Risultato di una Funzione MatLab Una funzione Matlab può produrre come uscita una nuova matrice. Esempio >> a = [1,2;3,4]; >> b = [0,1;2,1]; >> C =a*b C = la matrice C è una nuova matrice generata dalla funzione di prodotto matriciale *

13 Estrazione di una Sottomatrice Data una matrice è semplice estrarne una sottomatrice. Ogni elemento è una sottomatrice di dimensione 1 x 1. Esempio >> Y = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Y = >> t = Y(2,3) t = 6 >> t = Y(1,2 : 3) t = 2 3

14 Operatore di Trasposizione Sia Y una matrice. La trasposta di Y è ancora una matrice, delle stesse dimensioni di Y, in cui l elemento di posto ( i, j ) ha valore Y( j, i ). Esempio >> Y = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Y = >> Y Y =

15 Operatore di Rotazione Sia Y una matrice. L operatore di rot90(y) effettua una rotazione degli elementi di 90 in senso antiorario. Esempio >> rot90(y) Y =

16 Operatori di Flip L operatore fliplr(x) inverte l ordine delle colonne di X. L operatore flipud(x) inverte l ordine delle righe di X. Esempio >> X = [1,2,3,4]; >> Y = X ; >> flipud(y) >> fliplr(x) ans = ans =

17 Le Matrici Speciali: Eye, Zeros, Ones, Diag Esempio >> eye(3) ans = >> zeros(2) ans = >> ones(2,3) ans = >> diag([ ]) ans =

18 Affiancamento di Matrici Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> B = [3 1; 3 7]; >> C = [A, zeros(2) ; zeros(2), B] ans =

19 Dimensionamento Automatico di una Matrice Le dimensioni delle matrici sono automaticamente determinate da Matlab. Se è necessario le dimensioni sono ricalcolate dinamicamente. Ai valori aggiunti viene assegnato zero come valore di default Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> A(3,3) = -1 >> A = zeri aggiunti automaticamente

20 Dimensioni di una Matrice Esempio >> A = [1 2; 4 5]; >> A(3,4) = -1; >> [m,n] = size(a) m = n = 3 4 >> length(a) ans = 4 numero di righe numero di colonne massima dimensione L operatore size(a) fornisce il numero di righe e di colonne di A. L operatore length(a) fornisce la massima dimensione della matrice.

21 Intervalli: Rappresentazione Lineare Esistono due diversi modi per generare intervalli con spaziatura lineare: scegliere il valore iniziale, il valore finale ed il passo. utilizzare la funzione linspace che ha come parametri di ingresso il valore iniziale e finale dell intervallo ed il numero di punti. Esempio 1 >> t = 0 : 2 : 10 ans = Esempio 2 >> t = linspace (0, 10, 6) ans =

22 Intervalli: Rappresentazione Logaritmica Per generare intervalli con spaziatura logaritmica (base 10), si utilizza la funzione logspace. Siano a = 10 x e b = 10 y gli estremi dell intervallo [ a, b ] = [ 10 x, 10 y ]. La funzione logspace ha come parametri di ingresso: x, y ed il numero di campioni presenti nell intervallo. Esempio Per rappresentare l intervallo di valori tra 1 e 10 (cioè 10 0 e 10 1 ) con 5 valori si scriverà: >> t = logspace (0, 1, 5) t =

23 Il Workspace Tutte le variabili definite durante la sessione di lavoro sono salvate in una zona di memoria chiamata Workspace. Le variabili presenti nel workspace si visualizzano con i comandi: who e whos; Altri comandi: - clear nomevar, cancella la variabile nomevar - save nomefile salva tutto la spazio di lavoro nel file nomefile - load nomefile carica in memoria le variabili definite nel file nomefile

24 Operazioni Scalari

25 Le Variabili Predefinite ans: risultato dell ultima operazione non memorizzata in una variabile eps: precisione della macchina pi: pi greco i, j: unità immaginarie inf, Inf: infinito Nan: Not a number clock: orologio di macchina cputime: tempo di CPU trascorso date: data flops: numero di operazioni in virgola mobile realmax: massimo numero in virgola mobile realmin: minimo numero in virgola mobile

26 Alcuni Operatori Aritmetici (1/2) In Matlab sono definiti gli operatori aritmetici sia per scalari che per matrici. La somma algebrica (+ o -), il prodotto ( * ), il quoziente ( / ), la potenza ( ^), la radice quadrata (sqrt) di due scalari sono definiti in accordo alle regole dell aritmetica. Esempi: >> 3 * ans = 22 >> sqrt (4 ^ 3) ans = 8

27 Alcuni Operatori Aritmetici (2/2) Il prodotto e la divisione di una matrice A per una costante c è ancora una matrice in cui l elemento di posto ( i, j ) vale rispettivamente c*a( i, j ) e A( i, j )/c. Esempi: >> A = [2 4; 6 8] A = >> 3*A /2 ans =

28 Altri Operatori round: arrotondamento all intero più vicino floor: arrotondamento per difetto all intero più vicino ceil: arrotondamento per eccesso all intero più vicino rem: resto modulo abs: valore assoluto o modulo Esempi >> rem ( 10, 3 ) ans = 1 >> floor ( 4.5 ) ans = 4

29 Operatori di Relazione e Logici Gli operatori relazionali e logici restituiscono 1 se la relazione risulta vera, 0 altrimenti. < <= > >= = = minore minore o uguale maggiore maggiore o uguale uguale & ~ xor and or not or esclusivo ~ = diverso

30 Funzioni Matematiche In Matlab sono definite molte funzioni matematiche, tra le altre: pow2 exp log log2 log10 Esponente in base 2 Esponente in base e log. Naturale log. in base 2 log. in base 10 sin cos tan asin acos atan seno coseno tangente arcoseno arcocoseno arcotangente sec secante csc cosecante cot cotangente

31 Operatori Matriciali

32 Trasposizione Nel caso in cui gli elementi della matrice siano numeri complessi, l operatore di trasposizione fornisce la coniugata trasposta. Esempio: >> Y = [1+i,2; -3*i, 1+i] Y = i i i >> Y ans = i i i

33 Sistemi Lineari (1/2) Consideriamo il seguente sistema di equazioni: E possibile rappresentare il sistema tramite l equazione matriciale: = + = = z 2x 4y 2 4x 6y 3z 5 4z 2y 3x = z y x variabili coefficienti termini noti A x b A x = b x = b

34 Sistemi Lineari (2/2) Se il sistema lineare è rappresentato nella forma A x = b, e il determinante della matrice A non è nullo, la soluzione del sistema è: x = A -1 b Esempio: >> A = [3,2,4;4,-6,-3;2,-4,2]; >> b = [5;2;7]; >> x = A \ b x = inversa della matrice A equivale a x = A -1 b grazie all operatore \

35 Funzioni Matriciali (1/3) In Matlab sono definite alcuni operatori su matrici, tra gli altri: det(a) : determinante trace(a) : calcolo della traccia della matrice rank(a) : rango della matrice expm(a) : e A logm(a) : log(a) sqrtm(a) : radice quadrata di A;

36 Funzioni Matriciali (1/3) Sia A una matrice. Ecco alcuni operatori matriciali: max(a) min(a) sort(a) restituisce due vettori. Il primo contiene i massimi di tutte le colonne, il secondo contiene le loro posizioni. restituisce due vettori. Il primo contiene i massimi di tutte le colonne, il secondo contiene le loro posizioni ordina tutti gli elementi della matrice, per colonne, e restituisce la matrice ordinata e le posizioni di provenienza dei suoi elementi.

37 L operatore max: un esempio calcolo del massimo di una matrice e della sua posizione. >> A = [3,2,4;5,-6,-3;2,-4,2]; >> [m1,h1] = max (A); >> [m,k] = max (m1); >> h = h1(k); max dei massimi di colonna e suo indice massimi di colonna e loro indici >> A A = >> [m,h,k] ans = 5 2 1

38 Funzioni Logiche su Matrici: find La funzione find effettua la ricerca su un predicato e restituisce gli indici degli elementi che soddisfano tale predicato. Esempio: Si vogliano trovare tutti gli elementi di una matrice il cui valore sia compreso tra 2 e 3. >> A = [3,2,4;5,-6,-3;2,-4,2] >> [h,k] A = ans = >> [h,k]=find(a>=2 & A<=3);

39 Operatori per Componenti (1/2) Il prodotto scalare tra due vettori x e y di lunghezza n è un numero p così definito: p n = i=1 x i y In Matlab: p = x * y. Con MatLab è possibile effettuare operazioni su matrici componente per componente. Dati due vettori, si vuol ottenere un terzo vettore in cui la componente di posto k è il prodotto delle componenti di posto k dei due vettori di partenza: z = [x 1 *y 1, x 2 *y 2,, x n-1 *y n-1, x n *y n ]. i

40 Operatori per Componenti (2/2) Dati i vettori x e y: x =[x 1, x 2,, x n ] y =[y 1, y 2,, y n ] L operazione z = [x 1 *y 1, x 2 *y 2,, x n-1 *y n-1, x n *y n ]. è definita in MatLab tramite l operatore.*, si avrà z = x.* y. Per la divisione invece si avrà z = x.\ y.

41 Grafici bidimensionali

42 Creazione di un Grafico (1/4) Una finestra grafica viene generata tramite il comando figure(n). Altri comandi: title( titolo ) Xlabel( xnane ) Ylabel( yname ) axis([xmin xmax ymin ymax]). Assegna il titolo alla figura Assegna il nome xname all asse delle x Assegna il nome yname all asse delle y Assegna i punti iniziali e finali agli assi x e y

43 Creazione di un Grafico (2/4) Il modo più immediato per tracciare un diagramma è il comando plot. Tale comando disegna un vettore di punti sul piano cartesiano. Esempio diagrammare la funzione sin(x) con x in [ -pi, pi ] usando 500 punti. >> figure(1); >> title( sen(x) ); >> xlabel( x ); >> ylabel( y ); >> x = linspace(-pi,pi,500); >> y = sin(x); >> plot(x,y); >> axis([-pi,pi,-1,1]); >> grid;

44 Creazione di un Grafico (3/4)

45 Creazione di un Grafico (4/4) Il comando plot ha un parametro opzionale con cui è possibile definire il tipo di linea, il tipo di punto ed il tipo di colore. Esempio plot( x, y, or ) disegna in rosso rappresentando ogni punto con un cerchietto. Linea continua - tratteggio -- Punto punto. più + asterisco * Colore giallo y rosso r nero k

46 Grafici Sovrapposti (1/4) Per inserire più grafici in una figura ci sono tre diversi metodi. Esempio disegnare la funzione cos(x), sullo stesso grafico della figura sin(x). Metodo 1) Si generano i punti dell asse x come vettore colonna: x = linspace(-pi,pi,500) ; Si costruisce quindi una matrice in cui ogni colonna è una funzione da diagrammare: Y = [sin(x),cos(x)]; Infine si usa il comando plot(x,y)

47 Grafici Sovrapposti (2/4) Metodo 2) Si generano i punti dell asse x: x1 = linspace(-pi,pi,500); Si utilizza il comando plot nella forma plot (x1, sin(x1), x1, cos(x1) );

48 Grafici Sovrapposti (3/4) Metodo 3) Si generano i punti dell asse x: x = linspace(-pi,pi,500) ; Si disegna la prima funzione: plot ( x, sin(x) ) Eventualmente si blocca la scalatura degli assi axis(-pi,pi,-1,1) Si consente la sovrapposizione di altri grafici su quello corrente hold on Si disegna la seconda funzione plot ( x, cos(x) )

49 Grafici Sovrapposti (4/4) >> figure(1); >> x = linspace(-pi,pi,500); >> y = sin(x); >> z = cos(x); >> plot(x,y); >> hold on; >> plot(x,z, r ); >> axis([-pi,pi,-1,1]); >> title( sen(x) ); >> xlabel( x ); >> ylabel( y ); >> grid;