Ancora esempi. Problema: Somma di una sequenza di numeri. Indicando con a i il generico elemento da sommare, la formula generale è S a 1

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1 Gli algoritmi Analisi e programmazione Gli algoritmi Proprietà ed esempi Costanti e variabili, assegnazione, istruzioni, proposizioni e predicati Vettori e matrici I diagrammi a blocchi Analisi strutturata Gli algoritmi iterativi La pseudocodifica Gli algoritmi ricorsivi 1

2 Ancora esempi Problema: Somma di una sequenza di numeri Indicando con a i il generico elemento da sommare, la formula generale è S a 1 a 2 a n La variabile n conta quante volte si ripete l iterazione: n viene decrementata di 1 ad ogni iterazione ed il ciclo termina quando n vale 0 La variabile A è usata per l input degli a i, S per le somme parziali e totale 2

3 Costruiamo il primo algoritmo Supportati da questo bagaglio di strumenti e di suggerimenti possiamo cimentarci nella costruzione del nostro primo algoritmo Per fare questo ci atteniamo alla sequenza di fasi che emergono dall algoritmo Applichiamo questo procedimento risolutivo al problema del calcolo della media di una lista di numeri

4 Prepariamo tutti i materiali del problema: dati in input Anzitutto ci occorre la lista dei numeri ES: Abbiamo la lista cartacea allegata, sotto la forma di una tabella Di questa tabella l analisi testuale del testo del problema ci dice che ci occorre solo la colonna dei voti La colonna dei voti sono i dati noti, ossia l input all algoritmo nome studente classe materia data voto Bianchi IIIAL Italiano 17/09/08 6 Rossi IIIAL Matematica 17/09/08 5 Tizio IIIAL Storia 17/09/08 7 Bianchi IIIAL Inglese 18/09/08 6 Caio IIIAL Storia 18/09/08 5 Sempronio IIIAL Sc. Informatiche 22/09/08 7 Rossi IIIAL Sc. Informatiche 22/09/08 8 Bianchi IIIAL Sc. Elettriche 22/09/08 4 Tizio IIIAL Inglese 25/09/08 6 Mario IIIAL Matematica 25/09/08 6 Bianchi IIIAL Sc. Informatiche 25/09/08 7 Sempronio IIIAL Italiano 25/09/08 5 Qui IIIAL Storia 01/10/08 6 Rossi IIIAL Sc. Elettriche 01/10/08 5 Quo IIIAL Italiano 02/10/08 6 Tizio IIIAL Sc. Meccaniche 02/10/08 5 Quo IIIAL Sc. Informatiche 02/10/08 7 Qua IIIAL Sc. Meccaniche 02/10/08 9 Rossi IIIAL Matematica 02/10/08 3 Bianchi IIIAL Sc. Meccaniche 02/10/08 5 Mario IIIAL Sc. Elettriche 03/10/08 5 Qua IIIAL Inglese 03/10/08 6 Qui IIIAL Storia 03/10/08 6 Sempronio IIIAL Sc. Elettriche 03/10/08 6 Mario IIIAL Italiano 03/10/08 7 Bianchi IIIAL Sc. Informatiche 03/10/08 6 Tizio IIIAL Matematica 06/10/08 5 Rossi IIIAL Inglese 06/10/08 2 Sempronio IIIAL Sc. Elettriche 06/10/08 9

5 Analisi testuale: dati di output In questo esempio, essendo il testo del problema molto breve e semplice, è facile ricavare quali sono i dati incogniti, ossia in output, cioè Il voto medio della classe Problema data una lista cartacea di numeri interi positivi che possono rappresentare diversi dati, ad esempio supponiamo che siano i voti di tutti gli studenti di una classe determinare il voto medio della classe.

6 Intervistare gli esperti Fare una media di numeri è il lavoro da eseguire Intervistiamo un esperto del dominio del problema, un matematico statistico (!!!) Egli ci dice che l operazione della media è: media 1 N i 1 Quindi dobbiamo fare due operazioni La somma di tutti i voti da 1 a al numero complessivo dei voti N Dividere questa somma per il numero complessivo dei voti N N voto i

7 Le operazioni In questo caso, determinata la soluzione del problema con una formula matematica, ne consegue che le operazioni da eseguire sono due operazioni aritmetiche: Somma Divisione Gli operandi (i dati) della somma sono i singoli valori dei voti Gli operandi (i dati) della divisione sono la somma totale dei voti e il numero complessivo dei voti

8 La fasi dell algoritmo somma Possiamo individuare due fasi di lavoro: Sommatoria di tutti i voti Calcolo della media matematica della sommatoria La prima fase è un attività ripetitiva Qui si può vedere quale è il ragionamento intuitivo mentale Nel caso in cui noi facciamo a memoria questo calcolo esplicitando la nostra attività: Dedichiamo una cella (variabile) della nostra memoria Sommiamo il primo numero a questa zona di memoria Continuiamo a sommare i numeri successivi alla medesima cella di memoria finchè tutti i numeri sono terminati Contiamo quanti sono i numeri sommati Alla fine dividiamo la somma complessiva per il numero complessivo dei numeri

9 Revisione delle operazioni 1. Somma dei voti 2. Conteggio del numero dei voti 3. Divisione della somma per il conteggio del numero dei voti Le prime due operazioni sono ripetitive ed avvengono nella prima fase dell algoritmo La terzo operazione è un unica istruzione che viene eseguita in una seconda fase del lavoro,al termina della prima fase

10 Stesura dell algoritmo Si legge un voto alla volta Si incrementa una sommatoria parziale Si incrementa il contatore dei numeri Si ripete questo blocco di istruzioni finchè ci sono numeri nella lista cartacea Quando i numeri sono terminati la sommatoria parziale è la sommatoria S di tutti i voti della lista Il contatore è la somma N del numero di tutti i voti Si divide la sommatoria totale per il numero totale dei voti N e si ottiene media=s/n il risultato desiderato, ossia la media dei voti

11 Soluzione alternativa? Avremmo anche potuto caricare tutti i voti della lista ciascuno in una sua area di memoria Quindi avremmo potuto fare un unica istruzione di somma sommando contemporaneamente tutti i numeri Contare il totale dei numeri della lista cartacea Ed infine calcolare la media dei voti come prima Tuttavia questa seconda soluzione non comporta l utilizzo della iterazione e ci piace di meno perché l operazione di somma cambia al variare del numero dei voti da sommare Invece il sistema iterativo non muta con il numero dei voti da sommare ed è quindi preferibile al precedente metodo

12 Quale è la soluzione di algoritmo preferibile? Quando per fare un algoritmo ho diverse possibilità Occorre scegliere quelle che non devo cambiare al mutare dei dati, quali il numero dei dati o il valore di questi dati Le soluzioni che utilizzano blocchi di istruzioni ripetitivi con l ausilio di costrutti tecnici quali l iterazione sono particolarmente «simpatici» perché resistono alle modifiche indotte dal mutato ambiente nozionistico

13 Per concretizzare l algoritmo è utile un disegno (il flowchart) L inizio e la fine dell algoritmo lo rappresentiamo con una forma geometrica ovale Un operazione di input e di output con un parallelogrammo Un operazione interna con un rettangolo Una domanda con un rombo Il collegamento tra queste forme geometriche tramite frecce orientate che rappresentano il verso della sequenza delle istruzioni Inizio/fine Input/out put calcolo domanda

14 Le variabili del nostro algoritmo Leggiamo dalla lista cartacea un numero alla volta Occorre una cella di memoria per memorizzare il numero letto, chiamiamola numero Occorre una cella di memoria per memorizzare la sommatoria parziale, chiamiamola somma Occorre una cella per calcolare il numero dei voti, chiamiamola contavoti Occorre una cella di memoria per calcolare la media dei voti, chiamiamola media Occorre individuare un costrutto di iterazione

15 Il flowchart della media dei voti MediaVoti Leggo voto somma = somma + voto contavoti=contavoti+1 si altri voti? media=somma/conta Voti NB Parte difficile! Come si specifica?! scrivi media fine

16 Scrittura dell algoritmo in pseudoitaliano MediaVoti ripeti finchè ci sono voti nella lista leggi voto aggiungi voto a somma Incrementa di uno contavoti dividi somma per contavoti ed assegna il risultato a media scrivi media fine

17 La pseudocodifica 1 La pseudocodifica è un linguaggio per la descrizione di algoritmi secondo le regole della programmazione strutturata La descrizione di un algoritmo in pseudocodifica si compone di due parti... la dichiarazione delle variabili usate nell algoritmo la descrizione delle azioni dell algoritmo 17

18 La pseudocodifica 2 Tipo delle variabili Il tipo di una variabile indica l insieme dei valori che possono essere assegnati a quella variabile Su costanti e variabili di un tipo è possibile effettuare le operazioni che sono proprie di quel tipo e tutte le operazioni di confronto Sono permessi i seguenti 4 tipi: integer, real, boolean, string q 18

19 La pseudocodifica 3 integer: sono le variabili cui possono essere assegnati numeri interi; le costanti di tipo integer sono numeri interi, ad es. 1, 3, 150 real: sono le variabili cui possono essere assegnati numeri razionali; le costanti real possono essere rappresentate in notazione decimale, con un. che separa la parte intera dalla parte decimale (ad es., 5.17, , 123., 0.005) o in notazione scientifica (23.476E 3=23476, E 3= ) boolean: sono le variabili cui possono essere assegnati i valori logici; le costanti logiche sono true e false string q: sono le variabili cui possono essere assegnate parole (o stringhe) costituite da q caratteri; le costanti string q sono costituite da parole di q caratteri racchiusi tra apici (che non fanno parte della costante); ad es., FABIO è una costante string 5, + è una costante string 1 e 124 string 3 19

20 La pseudocodifica 4 Dichiarazione delle variabili La dichiarazione delle variabili nella pseudocodifica è un elenco, preceduto dalla parola var, delle variabili sulle quali l algoritmo opera Le variabili sono suddivise per tipo: quelle dello stesso tipo sono separate l una dall altra da una, ; l elenco delle variabili dello stesso tipo è seguito dai : e dall indicazione del tipo; gli elenchi di variabili di tipo diverso sono separati dal ;, l ultimo elenco è seguito da un. Esempio: var i, j, a(20): integer; p, q: real; nome: string 20; sw: boolean. 20

21 La pseudocodifica 5 Descrizione delle azioni Gli schemi di flusso fondamentali sono descritti utilizzando convenzioni linguistiche: ad ogni schema strutturato corrisponde una convenzione linguistica La descrizione di un algoritmo deve soddisfare le seguenti regole: a) La prima azione dell algoritmo è preceduta dalla parola begin; b) L ultima azione dell algoritmo è seguita dalla parola end; c) L azione di lettura è rappresentata dalla parola read; d) L azione di scrittura è rappresentata dalla parola write; e) Lo schema di sequenza di n flussi S 1, S 2,, S n è rappresentato come S 1 ; S 2 ; S n ; 21

22 La pseudocodifica 6 f) Gli schemi di selezione sono rappresentati come: S, S f, S v sono schemi di flusso strutturati g) Gli schemi di iterazione sono rappresentati come: 22

23 La pseudocodifica 7 Esistono convezioni linguistiche alternative in relazione a particolari schemi di flusso Esempio: Ciclo enumerativo Se il valore di incremento è 1, la parte step incremento della frase for...endfor può essere omessa 23

24 La pseudocodifica 8 Esempio: Algoritmo per il calcolo del vettore somma di due vettori di numeri razionali var a(100), b(100), c(100): real; i, n: integer. begin read n; for i from 1 to n do read a(i), b(i); c(i) a(i) b(i); write c(i) endfor end 24

25 La pseudocodifica 9 Esempio: Algoritmo per il calcolo del massimo elemento di un vettore di numeri razionali var max, v(100): real; i, n: integer. begin read n; for i from 1 to n do read v(i) endfor max v(1); for i from 2 to n do if max < v(i) then max v(i) endif endfor write max end 25

26 La pseudocodifica 10 Esempio: Algoritmo per il calcolo delle radici di equazioni di 2 o grado var x1, x2, a, b, c, delta: real. begin read a, b, c; delta b 2 4ac; if delta 0 then write non esistono radici reali else if delta 0 then x1 b/2a; x2 x1 else x1 ( b delta)/2a; endif end x2 ( b delta)/2a endif write x1, x2 26

27 Ancora esempi Esempio: Algoritmo per il calcolo della somma di una sequenza di numeri var a, s: real; n: integer. begin read n; s 0; repeat read a; s s a; n n 1 until n 0 endrepeat write s end 27

28 Ancora esempi Esempio: Ordinamento crescente per scambio Si suppone che (la dimensione e) gli elementi del vettore siano già stati letti e memorizzati var a, v(100): real; i, j, n: integer. begin i 1; repeat j i 1; repeat if v(j) v(i) then a v(i); v(i) v(j); v(j) a endif j j 1 until j n endrepeat i i 1 until i n endrepeat end 28

29 Un esempio comparativo Letti due interi n e k, entrambi maggiori di zero, stampare i primi n multipli di k var i, n, k, p: integer. begin read n; read k; for i from 1 to n do p k i ; write p endfor end i 1; while i n p k i ; write p; i i 1; endwhile #include <stdio.h> main() { int i,n,k,p; } scanf( %d,&n); scanf( %d,&k); for(i 1;i< n;i ) { p k i; printf( %d,p); } exit(0); Linguaggio C 29

30 Considerazioni finali 1 Attenzione alla scelta di un buon algoritmo Due algoritmi si dicono equivalenti quando: hanno lo stesso dominio di ingresso hanno lo stesso dominio di uscita in corrispondenza degli stessi valori nel dominio di ingresso producono gli stessi valori nel dominio di uscita Due algoritmi equivalenti forniscono lo stesso risultato, ma possono avere diversa efficienza e possono essere profondamente diversi 30

31 Considerazioni finali 2 Un esempio di due algoritmi equivalenti, ma con diversa efficienza, per la moltiplicazione fra interi è 31

32 Considerazioni finali 3 Esistono problemi che non possono essere risolti tramite un calcolatore elettronico perché la soluzione del problema non esiste la soluzione del problema richiederebbe un tempo di calcolo eccessivo (anche infinito) la natura del problema è percettiva e/o la soluzione del problema è soggettiva 32

33 Considerazioni finali 4 Un esempio di problema indecidibile, tale cioè che non esista alcun algoritmo capace di risolverlo, è il problema decisionale della terminazione : Dato un algoritmo B ed i suoi dati D, stabilire se la computazione B(D) termina In questo caso, infatti, non esiste un algoritmo A, che accettata una qualsiasi coppia B, D come dato in ingresso, stabilisca sempre in tempo finito se B(D) termina o meno Nota: A non può semplicemente consistere nel comandare l esecuzione B(D) e controllarne il comportamento, poiché, se tale esecuzione non terminasse, A non risponderebbe in tempo finito 33

34 Considerazioni finali 5 Un esempio di problema la cui soluzione richiederebbe un tempo infinito consiste nello stabilire se, data una funzione intera f, f(x) è costante per ogni valore di x Infine, un esempio di problema la cui soluzione è soggettiva è rappresentato dalla scelta, dato un insieme di immagini di paesaggi, del paesaggio più rilassante 34

35 Esercizi Formalizzare l algoritmo, attraverso diagramma a blocchi o pseudocodifica, per risolvere i problemi: Siano dati in input due vettori di interi, a e b, di dimensione n (in input). Si calcoli la somma incrociata degli elementi a(1)+b(n), a(2)+b(n 1), etc., la si memorizzi nel vettore c, e lo si stampi. Siano dati in input un vettore v 1 di interi (di dimensione n, in input) ed un intero k. Si determini l elemento di v 1 più prossimo a k, e lo si stampi assieme all indice corrispondente. Dato l insieme dei risultati d esame (nell intervallo da 0 a 100) di n studenti, contare il numero di studenti che hanno superato la prova, sapendo che l esame si intende superato con un voto maggiore o uguale a