Premessa Ä ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒÓ Ô Ð ØÖ Ù Ù ¹ Ð Ô Ö ÒØ Ó ÑÓ ÖÒÓº ÁÒÓÐØÖ ÐÓ ØÙ Ó ÕÙ Ø Ö ÓÑ ÒØ ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÙØ Ð Ô Ö Ú ÐÙÔÔ Ö Ð Ô Ø Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ó Ð³ ÒØ

Transcript

1 Premessa Ä ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒÓ Ô Ð ØÖ Ù Ù ¹ Ð Ô Ö ÒØ Ó ÑÓ ÖÒÓº ÁÒÓÐØÖ ÐÓ ØÙ Ó ÕÙ Ø Ö ÓÑ ÒØ ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÙØ Ð Ô Ö Ú ÐÙÔÔ Ö Ð Ô Ø Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ó Ð³ ÒØÙ Þ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø º ÈÙÖØÖÓÔÔÓ Ô Ö Ð³ ÑÔÓÖØ ÒÞ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò Ö ÐÑ ÒØ ÔÓÓ Ö ÓÒÓ ÙØ Ò Ô ÖÓÖ ØÙ Ó ÔÖÓÔÓ¹ Ø Ò ÐÐ ÙÓÐ ÙÔ Ö ÓÖ º ÉÙ ØÓ Ð ºÔ ÒÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ ØØ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ðг Ö ÓÑ ÒØÓ Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÔÖ Ø ÑÓÐ Ö ÒØ Ö ÙÖ Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ö Ó Ð ÓÑ ØÖ ÙÐ ÓÔÖ ØØÙØØÓ Ö Ù Ö Ó Ø Ô Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ö º Æ ÐÐ ÓÒ Ô ÖØ ÕÙ ØÓ Ð ÚÓÖÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÙÒ Ö Ú ÒØÖÓ ÙÞ ÓÒ ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ö ÑÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ð ÑÓ ÖÒÓ ÐÙÐÙ Ð Ù Ö ÔÖÓÔÖ Ó Ðг ÒØ ÖÒÓ ÐÐ ÓÑ ¹ ØÖ ÙÐ Ð º ÉÙ ØÓ Ð ÚÓÖÓ ØÖ ØØÓ ÓÒØ ÒÙØ Ð Ð ÖÓ Å Ì Å ÌÁ 2 3 ÈÁÌÇÄÁ È Ê ÌÍÌÌÁ ËØ ÒÓ ÅÓÒØ Ð Ó Ò Ö Ê ØØÓ Ä ÙÓÖ ØÓÖ ¾¼½½µ ÔÔº ½¹¾ ¾º ÁË Æ ¹ ¹¾¼ ¹ ½½¹ Ð Ö ¾ ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼½ Ò Ö Ê ØØÓ

2 Indice ÈÖ Ñ ½ ÓÑ ØÖ ÙÐ ½ ½º¼ ËÓÔ Ð Ô ØÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ º º º º º º º ½º¾ ÁÐ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò º º º º º º º º ¾ ½º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö Þ ÔÖÓÔÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÓÑÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¾º¼ ËÓÔ Ð Ô ØÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð º º º º º º º º º º ¼ ¾º¾ ÍÐØ Ö ÓÖ ÑÔ ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º ¾º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Þ ÔÖÓÔÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÓÑÑ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ö Þ ÔÖÓÔÓ Ø ÁÒ Ò Ð Ø Ó

3 1 Geometria euclidea ½º¼ ËÓÔ Ð Ô ØÓÐÓ Ë ÓÒ Ó Ð Ð Ó Ð Ð Ð³ÙÒ Ú Ö Ó ÙÒ Ð ÖÓ Ö ØØÓ Ò Ð Ò Ù Ñ Ø Ñ Ø Ö ØØ Ö ÓÒÓ ØÖ Ò ÓÐ Ö ÐØÖ ÙÖ ÓÑ ØÖ º ÄÓ ØÙ Ó Ô Ò Ø Ò ØÖÓÒÓÑ ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ ÓÖÑ ÓÑ ØÖ Ö ÓÒ¹ Ù Ð Ö Ö ÐÐ º Ä ÐÐ Ð ÐÚ Ö ÒÒÓ Ø Ô Ñ ÒØ Ö ØØ Ö ÓÒ Ð Ó ÖÓÒÓ ÙÒ ÑÔ Ó ÑÑ ØÖ Ò Ò ØÙÖ ÒÓÒ ÑÓ ÓÖ Ò Ø Ð Øº ij ÑÔÓÖØ ÒÞ Ð Ð Ò Ù Ó ÓÑ ØÖ Ó Ô Ö Ô Ö Ð ÑÓÒ Ó Ö Ð Ö ÒÓØ Ò Ðг ÒØ Ó ØØÓ ÔÓ Ò Ö ÓÚ ÒØÓÖÒÓ Ð ¼¼ º º ÙÐ Ò ÙÓ Ð ÖÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÒ¹ Ð Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÐÓÖ Ø ÒØ Ð ÓÖ ÙÒ ÔÖ Ñ ØÖ ØØ Þ ÓÒ Ø Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ ÙÖ ÓÑ ØÖ º Ð Ð Ñ ÒØ ÙÐ ÓÒÓ Ó Ø ØÙ Ø ØÖ Ð Ö ÔÖ Ñ Ö Ù Ö¹ ÒÓ Ð ÓÑ ØÖ Ô Ò Ð ØØ ÑÓ Ð ÒÓÒÓ Ú Ò ÓÒÓ Ù ÐÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ØÑ Ø Ð ÑÓ ÖÓÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ Ð Ø ÒÙÑ Ö ÖÖ Þ ÓÒ Ð Ò Ð ÙÐØ Ñ ØÖ Ú Ò ØÖ ØØ Ø Ð ÓÑ ØÖ ÓÐ º ÁÒ ÕÙ ØÓ ÔÖ ÑÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒ Ö Ø Ð ÒÓØ ÚÓÐ ÓÑÔÐ Ø Ú Ø Ø Ðг Ö ÓÑ ÒØÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÓ Ð ÚÓÖ Ö ÒÞ ÐÑ ÒØ Ò Ð ÓÒØ ØÓ Ð¹ Ð ÓÑ ØÖ Ô Ò Ô Ö ÓÑÔÐ Ø ÞÞ Ò Ð ï½º Ö Ñ Ö ÑÓ Ô Ö ÐÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖÑÙÐ ÓÑ ØÖ ÓÐ º

4 ¾ ÓÑ ØÖ ÙРij ÑÔÓ Ø Þ ÓÒ ÙÐ Ò Ù ØÓ Ö ÔÖ ÓÖÑ Ð ÞÞ Ø Ò Ò Ó ÑÓ¹ ÖÒÓ ÑÓÐØ ÐÐÙ ØÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ÑÔ Ó º À Ð ÖØ ÒØÓÖÒÓ Ð ½ ¼¼ Ø ÙÐ Ó ØØÓ Ñ ØÓ Ó ÓÑ Ø Ó¹ ÙØØ ÚÓ Ù ÔÙÒ¹ Ø Ö ØØ Ö ÞÞ ÒØ ÔÓ ÓÒÓ ÐÑ ÒÓ ÕÙ ØÓ Ð Ú ÐÐÓ ØÖ ØØ Þ ÓÒ Ö ÒØ Ø ÞÞ Ø ÓÑ Ù ½º Ë ÙÑÓÒÓ ÐÙÒ Ó ØØ ÓÒ ØØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ó Ô Ö ÕÙ Ð ÒÓÒ ÓÖÒ Ò ÙÒ ÔÐ Ø Ò Þ ÓÒ ÑÔ Ó ÔÙÒØÓ Ö ØØ Ô ÒÓµº ¾º Ë ÙÑÓÒÓ ÐÙÒ ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ ØØ ÓÑ Ó ÔÓ ØÙÐ Ø ½ ØØ Ö ÓÑ Ú Ö ÒÞ ÙÐØ Ö ÓÖ Ù Ø Þ ÓÒ º º Ë Ò Ó Ò ÒÙÓÚÓ Ó ØØÓ ÐÐ Ø ÓÖ Ñ ÒØ ÔÖ Ò Þ ÓÒ ÑÔ Ó ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ÕÙ Ò Ó ØÙØØ Ð Ø Ð Ò ÓÐ ÓÒ ÖÙ ÒØ µº Ë ÒÓØ Ô Ö ÔÓØ Ö Ö ÕÙ Ø Ò Þ ÓÒ Ó Ò ÔÖ Ñ Ú Ö ØØÓ Ð ÒÓÒ ÑÑ ØÓ µ Ð ÚÓÖÓ Ò Ö ÓÒ ØØ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò ÓÐÓ Ð ØÓ ÓÒ ÖÙ ÒÞ º º Å ÒØ ÙÒ Ò Ñ Ö ÓÒ Ñ ÒØ ÐÓ Ó¹ ÙØØ Ú Ñ Ø ¹ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÙÓÒÓ Ù Ò Ó ÓÑ ÓÒ ØØ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒØÙ Ð Ò Þ ÓÒ µ ÐØÖ ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ ØØ Ø ÓÖ Ñ ÑÔ Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ µº ØØÓ ÕÙ ØÓ Ò ÓØØÓÐ Ò Ö Ù ØÓ Ô Ò ØÙÖ Ð ÑÔÓÖØ Ò¹ Ø Ú ÐÙÔÔ Ó Ò Ø ÓÖ ÙØØ Ú ÓÒÓ Ò ÐÐ ÔÖ Ø Ö Ð Ø ÑÓÐ Ø Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ø ÔÓ Ò ÙØØ ÚÓ Ó Ñ Ö Ø Ú Ò Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ø¹ Ø Ö Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ð³Ó ÖÚ Þ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÒØ Ø Ñ ÒØ ÑÓ Ð Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ò Ö Ð µº ÁÒ ÕÙ ØÓ ÓÖ Ò Ó ÖÚ Ò Ó Ð ÙÖ ½º½ ÔÓ ÑÓ ÒÞ³ ÐØÖÓ ÓÒ ØØÙÖ Ö Ø Ù Ð Ø a b г Ò ÓÐÓ α Ö ÙÐØ Ò Ú Ù ØÓ Ò ÑÓ Ó ÙÒ ÚÓÓ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓº Ù ØÓ ½ Á ÒÕÙ ÔÓ ØÙÐ Ø ÙÐ Á ÌÖ Ù ÔÙÒØ ÕÙ Ð ÔÓ Ð ØÖ Ö ÙÒ ÙÒ ÓÐ Ö ØØ º ÁÁ Ë ÔÙ ÔÖÓÐÙÒ Ö ÙÒ Ñ ÒØÓ ÓÐØÖ Ù ØÖ Ñ Ò Ò Ø Ñ ÒØ º ÁÁÁ ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ ÐÙÒ ÞÞ ÔÓ Ð Ö Ú Ö ÙÒ Ö Óº ÁÎ ÌÙØØ Ð Ò ÓÐ Ö ØØ ÓÒÓ Ù Ù Ð º Î Ë ÙÒ Ö ØØ Ø Ð ÐØÖ Ù Ö ØØ Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÐÐÓ Ø Ó Ð ØÓ Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ Ð Ù ÓÑÑ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ÐÐ Ù Ò ÓÐ Ö ØØ ÔÖÓÐÙÒ Ò Ó Ð Ù Ö ØØ ÒÓÒØÖ Ö ÒÒÓ ÐÐ Ô ÖØ ÓÚ Ð ÓÑÑ Ù Ò ÓÐ Ñ ÒÓÖ Ù Ö ØØ º

5 ½º¼ ËÓÔ Ð Ô ØÓÐÓ b α a ÙÖ ½º½ Ù Ð Ø Ð³ Ò ÓÐÓ ØÖ ÓÑÔÖ Ó Ò Ú Ù ÒÓ ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ Ò ÓÐÓº ÕÙ Ø ÒØÙ Þ ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ñ ØÓ Ó ÐÓ Ó¹ ÙØØ ÚÓ Ô ÖÚ Ò Ø Ð Ö Ð Ù ÒØ Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÈÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÙ ÒÞ Ô Ö ØÖ Ò ÓÐ µº ¾ Ù ØÖ Ò¹ ÓÐ ÒÒÓ ÓÖ Ò Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ù Ð Ø Ð³ Ò ÓÐÓ ØÖ Óѹ ÔÖ Ó ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÓÒ ÕÙ Ø ÔÖ Ñ ÔÓ ÑÓ ÓÖ Ô Ö ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Þ ÓÒ ÑÓØ Ú Þ ÓÒ ÓÒØ ÒÙØ ÕÙ ØÓ ÔÖ ÑÓ Ô ØÓÐÓº ÁÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ö Ø Ò ¹ ÑÓ ÑÔÓÖØ ÒÞ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð ØØÓ Ó Ò ØÙ ÒØ ÙÒ ÓÐØ ÒØ Ò Ö Ó ÖÓÒØ Ö Ò ÑÓ Ó ÙØÓÒÓÑÓ Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ñ ÒØ ÓÖÖ ØØÓ Ò ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ú ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ØÖ ÙÐ ¹ Ð º ÉÙ Ø Ô Ø ÓÖÑ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ØØÖ Ú Ö Ó Ð ØÙ ØØÙ Ø Ò ÐÐ ÙÓÐ ÙÔ Ö ÓÖ Ñ Ò ÕÙ Ø ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ Ú ÐÙÔÔ ÖÐ ÙÐØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ñ ÒØ Ð³ Ñ Ö Ø Ó ØØ Ð ØÓ ÐÙÒ Ô Ø ÒÞ ÕÙ Ð ÑÔ Ó Ð³ Ò Ð Ð Ð Ñ ØÖ Ò ÓÐ Ð Ò¹ ØÖÓ Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÔÔÙÖ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ð ÔÔÐ Þ ÓÒ ÐÙÒ Ø ÓÖ Ñ Ú ÑÔ Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ó ÕÙ ÐÐÓ Ì ¹ Ð Ø µº ÁÒ ØØ ÙÒ ØÖ ØØ Ñ ÒØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÓÖÓ Ó ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð Ö ÓÚÚ Ñ ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ ØÓ Ö Ô ØØÓ Ð ÓÔ ÙÒ³ÓÔ Ö ÕÙ ØÓ Ø ÔÓ Ð Ð ØØÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÔÔÖÓ ÓÒ Ñ ÒØ ÔÓØÖ ÓÒ ÙÐØ ¹ Ö Ð Ö Ö ÒÞ Ò Ø Ò Ð ï½º µ ÒÚ ÑÓ ÓÒÚ ÒØ Ö Ð Ö Ð ÚÓÖ Ö Ù ÐÙÒ ÑÔ ÙÖ Ñ ÒØ ÒÓØ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓ ¾ Ð ÐØÖ Ù Ö Ø Ö ÓÒ ÖÙ ÒÞ Ô Ö ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ 2 Ù ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÒ Ð ØÓ Ù Ò ÓÐ Ó ÒØ 3 Ù ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒÒÓ ØÙØØ Ð Ø ÓÖ Ò Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ º

6 ÓÑ ØÖ ÙÐ Ö ÖÓ Ó ÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÒØÖ ÔÖ Ò Ö Ò Ð ÑÓ Ó Ñ Ð ÓÖ ÕÙ ØÓ Ô ÖÓÖ Ó ÚÚ Ñ ÒØÓ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒ Ú Ö Ø Ö º Ê ÑÓ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÑÙÒÕÙ Ö ØØÓ Ô Ö ÙÒ Ð ØØÓÖ ØÙ¹ ØÓ Ò ÔÖ ÒÞ Ð Ö ÓÑ ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ ÕÙ Ò ÐгÓÓÖÖ ÒÞ Ò Ö Ó ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÒÓ ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ ÓÒ ÙÐØ Ò Ó ÐØÖ Ø Ø Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ô Ö Ö ÓÒ Ô Þ Ó Ñ Ò Ô Ö ÒÓÒ ÔÔ ÒØ Ö ØÖÓÔÔÓ Ð ÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÑÓ Ó ÒÓÒ ÓÖÒ Ö ÙÒ Ò Þ ÓÒ Ö ÓÖÓ ØÙØØ ÓÒ ØØ Ù Ö ÑÓº ÑÔ Ó Ö ¹ ÑÓ Ô Ö ÓÒØ ØÓ Ð Ð ØØÓÖ ÔÔ Ó ³ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ñ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÒ ØØ ÓÑ Ð ÓÒ ÖÙ ÒÞ Ñ ÒØ Ò ÓÐ Ó ÙÖ ÓÑ ØÖ º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø ÒØÖÓ ÙÞ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÓÑÑ ÒØÓ Ö ØØ Ö Ô ¹ Ò Ö Ð º ÌÖ Þ ÓÒ ÐÑ ÒØ Ð ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð ÓÒ Ö Ø Ò Ñ Ðг Ö ØÑ Ø Ð Ñ ÒØ Ö Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÒÞ ØÙØØÓ Ð Ô Ö Ñ Ø Ñ Ø Óº ÁÒÓÐØÖ Ó ÒÙÒÓ ÒÓ ÒØÖ Ò ÓÒØ ØØÓ ÓÒ Ò ÐÐ ÙÓÐ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ÕÙ ØÓ ÓÒØÖ Ù ØÓ ÓÒ Ö ÙÒ ØØ ¹ Ñ ÒØÓ ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÙÔ Ö Ð ÔÓÖØ ÓÒ Ö Ö ÕÙ ØÓ Ö ÑÓ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ð º Ê Ø Ò ÑÓ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ñ ØØ Ö Ò Ù Ö Ð Ð ØØÓÖ ÔÖ Ò Ó ØÖ ØØ ÒÚ Ø Ñ ÑÓÐØÓ ÔÖÓ ÓÒ ÓÑÔÐ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò Ò ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÖÒ Ö ÑÓ ÓÐÓ ÙÒ Ù ÒØÖÓ ÙØØ Ú ÑÔÐ Ø Ðг Ö ÓÑ ÒØÓ ÒÓÒ Ú Ö ÑÓØ ÚÓ ÓÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ð ØØÓÖ ÓÒ Ø Ø Ö ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÐØ ÓÑÔÖ Ò Ö ÖØ Ô Ó ÓÒ ØØ º ÌÙØØÓ Ò ØØ ÒÓÖÑ Ð Ò Ó Ò Ó ÒÓÒ ÔÖ Ù Ð ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ô ØÓÐ Ù Ú º ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ¹ Ö ØØ È Ö ÔÓØ Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ ÒØ ØÖ ØØ Ö Ð³ Ö ÓÑ ÒØÓ Ð Ø ØÓÐÓ ÕÙ Ø Þ ÓÒ Ò Ô Ò Ð Ö Ñ Ö ÔÔÖ Ñ ÐÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Ð Ò ÓÐ Ò ØÖ Ò ÓÐ º ÁÒ Þ ÑÓ Ö Ú Ò Ó Ð³ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Þ ÓÒ ³ ØÖ ÙÒ Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ Ð Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ ÒÓÒ ÒØ Ú Ò Ð ÙÖ ½º¾µº

7 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ α β C D ÙÖ ½º¾ ÂCD ÙÒ Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Cº Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Ì ÓÖ Ñ Ðг Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓµº ÙÒ Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐ ÓÑÑ Ð Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ Ó ÒÓÒ ÒØ º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º¾ Ó ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÂCD = α+β, ½º½º½µ ÓÚ ÕÙ Ò Ù ØÓ Ð Ñ ÓÐÓ = ÔÖ Ñ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒÞ º ÌÖ ÑÓ C Ð Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ð ØÓ Ò Ò Ó ÓÒ α β Ð Ò ÓÐ Ò Ù ÂCD Ö Ø Ú Ó Ø Ð Ö ØØ Ú Ð ÙÖ ½º µº α E α β β C D ÙÖ ½º CE Ô Ö ÐÐ ÐÓ º ÑÓ Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÂCD = α +β. ½º½º¾µ

8 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÈÓ α = α, ½º½º µ Ò ÕÙ ÒØÓ Ò ÓÐ ÐØ ÖÒ ÒØ ÖÒ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ú Ù Ø CE Ø Ð Ø ÐÐ ØÖ Ú Ö Ð Cº ÁÒ Ò β = β, ½º½º µ Ò ÕÙ ÒØÓ Ò ÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ú Ù Ø CE Ø Ð Ø ÐÐ ØÖ Ú Ö Ð Dº ÇÖ Ð Ø ½º½º½µ ÙÒ ÓÒ Ù ÒÞ ÑÑ Ø ½º½º¾µ ½º½º µº Ð ÔÖ ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ù ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ù ÒÞ Ö Ð Ø Ú ÐÐ ÓÑÑ Ð Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓº ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º½º Ä ÓÑÑ ÐÐ ÑÔ ÞÞ Ð Ò ÓÐ ÒØ ÖÒ ÙÒ ØÖ Ò¹ ÓÐÓ Ô Ö Ðг ÑÔ ÞÞ ÙÒ Ò ÓÐÓ Ô ØØÓº ÁÒØÖÓ Ù ÑÓ ÓÖ Ð ÓÒ ØØÓ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Ò Þ ÓÒ ½º½º Ë ÒÓ Ø R > 0 ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ð Ô ÒÓº Ë Ñ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÒØÖÓ O Ö Ó R Ð ÐÙÓ Ó ÔÙÒØ Ð Ô ÒÓ Ú ÒØ Ø ÒÞ Ð ÔÙÒØÓ O Ô Ö Rº Ò Þ ÓÒ ½º¾º Ë Ñ ÓÖ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ γ Ó Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö ØÖ Ñ Ù ÕÙ Ð ÔÙÒØ γº ÒØÖÓ ØØ Ñ ØÖÓº ÍÒ ÓÖ Ô ÒØ Ô Ö Ð ÍÒ ÔÖ Ñ ÓÑ Ò Ò ØÙÖ Ð ÔÓÖ Ð Ù ÒØ Ò Ú Ù ÒÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÕÙ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ½º º Ë ÒÓ C ØÖ ÔÙÒØ ÒÓÒ ÐÐ Ò Ø º ÙÒ³ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ γ Ð ÓÒØ Ò º ÐÐÓÖ Ø ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º ØÖ ÑÓ Ð ¹ Ñ ÒØ C Ö ÓÖ ÑÓ Ô Ö Ò Þ ÓÒ Ð³ ÙÒ Ñ ÒØÓ Ð ÐÙÓ Ó ÔÙÒØ Ð Ô ÒÓ ÕÙ Ø ÒØ Ó Ó Ò ÓÒ Ð Ö ØØ Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö Ð Ñ ÒØÓ Ô ÒØ Ô Ö Ð ÙÓ ÔÙÒØÓ Ñ Óµº ØÓ ØÖ ÔÙÒØ C ÒÓÒ ÓÒÓ ÐÐ Ò Ø Ð Ù Ñ ÒØ Ë ÒÓØ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ò ÓÐ ÐØ ÖÒ ÒØ ÖÒ Ù Ó Ò ÑÓ Ó ÔÐ ØÓ Ð Î ÔÓ ØÙÐ ØÓ ÙÐ º

9 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ÒÓÒ ÓÒÓ Ô Ö ÐÐ Ð ÕÙ Ò ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ñ ÑÓ Oº Ç ÖÚ ÑÓ O = O Ò ÕÙ ÒØÓ O ÔÔ ÖØ Ò Ðг Ð Ñ ÒØÓ º Ò ÐÓ Ñ ÒØ O = OC. ÐÐ ØÖ Ò Ø Ú Ø ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒÞ Ù O = O = OC. ÙÒÕÙ O ÕÙ Ø ÒØ C Ô Ö Ù Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÒØÖÓ O Ö Ó Ô Ö ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ Ð Ñ ÒØÓ O ÓÒØ Ò ØÖ ÔÙÒØ Ø ÓÑ Ö ØÓº ijÙÒ Ø ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÒ ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð ØØÓ O гÙÒ Ó ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø ÒØ Cº C O C ÙÖ ½º Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ô ÒØ Ô Ö ØÖ ÔÙÒØ ÒÓÒ ÐÐ Ò Ø º Ò Þ ÓÒ ½º º Ë Ñ Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ Ó Ò Ò ÓÐÓ Ð Ú ÖØ Ó Ò ÒØ ÓÐ ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Ä Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒÞ ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ó Ó Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø a = a Ö Ú a = b ÐÐÓÖ b = a ÑÑ ØÖ a = b b = c ÐÐÓÖ a = c ØÖ Ò Ø Ú º

10 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º г Ò ÓÐÓ ÂO Ò Ø ÙÐг ÖÓ ÔÖ ÑÓ Ð ÒÓ ØÖ ÒÓØ Þ ÓÒ Ö Ö Ø ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ô Ö¹ ÓÖ Ò Ò Ó ÒØ ÓÖ Ö Óµº Ë Ò Ð³ Ò ÓÐÓ ÂO Ð ÓÖ Ð³ ÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ ÓÚÚ ÖÓ ÓÒÓ Ð Ñ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º O ÂO ÙÖ ½º ij Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ ÂO Ò Ø ÙÐг ÖÓ º Î Ð Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ ÒØÙ Ø Ú Ñ ÒØ Ú ÒØ Ù ÓÑ ØØ ÑÓ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ½º º ÁÒ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò ÓÐ Ð ÒØÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ ÓÒÓ ÓÖ Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ º Î Ú Ö ÓÖ Ó Ö ÓÒ¹ ÖÙ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ Ò ÓÐ Ð ÒØÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ò Þ ÓÒ ½º º Ë Ñ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ó Ò Ò ÓÐÓ ÓÒÚ ¹ Ó Ð Ú ÖØ ÙÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ù Ð Ø ÒØ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ø ÓÔÔÙÖ ÙÒ Ð ØÓ ÒØ Ð³ ÐØÖÓ Ø Ò ÒØ Ú Ð ÙÖ ½º µº ij ÒØ Ö Þ ÓÒ ØÖ ÙÒ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÙÒ ÖÓº Ë Ð³ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ø Ù Ø Ð ÖÓ Ó Ø Ð Ò ÓÐÓ ÓØØ Ó Ðг ÖÓº ÑÔ Ó Ð³ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÂV Ò ÐÐ ÙÖ ½º Ò Ø ÙÐг ÖÓ º ÁÒÚ Ð³ Ò ÓÐÓ ÂV Ò ÐÐ ÙÖ ½º Ò Ø ÙÐг ÖÓ V º ÍÒ Ò ÓÐÓ ÓÒÚ Ó ÕÙ Ò Ó ÐØ Ù ÔÙÒØ ÕÙ ÐÙÒÕÙ ÒØ ÖÒ Ðг Ò ÓÐÓ Ò Ð Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ ÒØ ÖÒÓ Ò ÔÖ Ø Ð Ò ÓÐ ÓÒÚ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ Ò Ö ÓÖ Ó Ù Ù Ð 180 µº

11 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ V V ÙÖ ½º Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ù Ð Ø ÒØ ÙÒ Ð ØÓ ÒØ Ð³ ÐØÖÓ Ø Ò ÒØ º Ò Þ ÓÒ ½º º ÍÒ Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ò Ó Ò ØÓÒÓ ÙÐÐÓ Ø Ó ÖÓº Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½º½º È Ö Ó Ò Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ³ ÙÒ ÙÒ Ó Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º µ È Ö Ó Ò Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ Ú ÓÒÓ Ò Ò Ø Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÉÙ Ø Ó ÖÚ Þ ÓÒ ÓÒÓ Ú Ù Ð ÞÞ Ð Ò ÐÐ ÙÖ ½º г Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓ ÂO ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÂV ÂV ÂV غ V V V O ÙÖ ½º Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÐÓ Ø Ó Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓº

12 ½¼ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ì ÓÖ Ñ ½º º Ç Ò Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ð Ñ Ø Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ó ÑÓ Ú Ö Ö ÂV = 1 2ÂO ½º½º µ V O ÙÖ ½º ÍÒ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò ÓÐÓ Ð ÒØÖÓº Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ØØÙ Ø Ò Ù Ò Ó ØÖ º Ó ½ O ÔÔ ÖØ Ò ÙÒÓ Ù Ð Ø Ðг Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÂVº ÓÒ Ð Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÒØ ÓÔÔÙÖ ÙÒÓ ÒØ ÙÒÓ Ø Ò ÒØ ÔÓ ÓÒÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð Ù ØÙ Þ ÓÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÐÐ ÙÖ ½º º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖ ÑÓ Ó Ù Ð Ø ÒØ µº ÁÒ ÑÓ ÓÒαг ÑÔ ÞÞ Ð Ò ÓÐ ÂV VO ÓÒÓ Ù Ù Ð Ô Ö VO ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ó Ð ÙÐÐ V º Ë β г ÑÔ ÞÞ Ðг Ò ÓÐÓÂOº È Ö Ð Ì ÓÖ Ñ Ðг Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ Ì ÓÖ Ñ ½º¾µ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÓÚÚ ÖÓ ½º½º µº β = α+α = 2α, È Ö Ú Ö Ö Ò ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ó Ð C Ð Ò ÓÐ ÐÐ ÓÒÓ Ù Ù Ð ØÖ Ð ØØÖ ÂC Ð ÕÙ Ð ÒÓÒØÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Hº Ó ÔÔÐ Ò Ó Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÙ ÒÞ ØÖ Ò ÓÐ ÂHC HC ÓÒÐÙ ĈH = ĈHº

13 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ½½ V α β α O O V ÙÖ ½º Ó ½ Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º Æ Ð ÓÒ Ó Ó ÙÒ Ð ØÓ ÒØ ÙÒÓ Ø Ò ÒØ µ Ð Ø ÑÑ Ø Ò ÕÙ ÒØÓ Ð³ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ö ØØÓ ÕÙ ÐÐÓ Ð ÒØÖÓ Ô ØØÓº Ó ¾ O ÒØ ÖÒÓ Ðг Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÂVº ÓÒ Ð Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÒØ ÓÔÔÙÖ ÙÒÓ ÒØ ÙÒÓ Ø Ò¹ ÒØ ÔÓ ÓÒÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð Ù ØÙ Þ ÓÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÐÐ ÙÖ ½º½¼º Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÔÙ Ö ØØÙ Ø Ö ÓÒ Ù Ò Ó Ð Ó ½ ÓÔÖ º È ÔÖ Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º½¼ Ò ÕÙ ÒØÓ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò Ð Ó ½ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Å ÐÐÓÖ ÂOC = 2α e OC = 2β. ÂV = α+β e ÂO = 2α+2β = 2(α+β), Ù ½º½º µ Ù º Æ Ð Ó Ò Ù ÙÒ Ð ØÓ ÒØ ÙÒÓ Ø Ò ÒØ Ð ½º½º µ Ú Ò Ñ¹ Ñ Ø Ñ ÒØ Ó ÖÚ Ò Ó Ð ÙÖ ½º½¼ ÒÓØ Ô Ö Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð Ø ÂV = 1 2 OV µº

14 ½¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ V V α β O 2α 2β C 2α α O C ÙÖ ½º½¼ Ó ¾ Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º Ó O Ø ÖÒÓ Ðг Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÂVº ÓÒ Ð Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÒØ ÓÔÔÙÖ ÙÒÓ ÒØ ÙÒÓ Ø Ò¹ ÒØ ÔÓ ÓÒÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð Ù ØÙ Þ ÓÒ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÐÐ ÙÖ ½º½½º V 2α 2β C α α β O O V 2α C ÙÖ ½º½½ Ó Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º

15 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ½ Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ñ Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ó ¾ ÓÒ Ð Ù ÒØ Ú Ö Þ ÓÒ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º½½ ÑÓ ÂV = α β e ÂO = 2α 2β = 2(α β), Ù Ð ½º½º µ ÒÓÖ Ù º ÁÐ Ó Ò ÐÓ Ó Ð Ó ¾º Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ò ÓÒÓ ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ù ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ¹ Ù ÒÞ ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º¾º ÌÙØØ Ð Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò ØÓÒÓ ÙÐÐÓ Ø ¹ Ó ÖÓ Ó Ù Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ µ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÖ ÐÓÖÓ Ö Ú ÒÓÖ Ð ÙÖ ½º µº ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º º Ç Ò Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ø Ù ÙÒ Ñ ¹ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ö ØØÓ Ú Ð ÙÖ ½º½¾µº V O ÙÖ ½º½¾ Ò ÓÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ø Ù ÙÒ Ñ ¹ ÖÓÒ Ö ÒÞ º ÓÑ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º ÔÓ ÑÓ Ó ØÖÙ Ö ÓÒ Ö Óѹ Ô Ó Ð Ù Ö ØØ Ø Ò ÒØ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓ P ØÓº È Ö ÔÖ Ñ Ó Ó ØÖÙ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó M ÓÑ Ò ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ ½º½ º ÈÓ ØÖ ÑÓ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÒ ÒØÖÓ M Ô ÒØ Ô Ö O P ¹ Ñ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö Þ ÓÒ ÓÒ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÖ Ò Ö ÓÑ Ò ÙÖ ½º½ º ÁÒ Ò ØÖ ÑÓ Ð Ö ØØ Ò Ú Ù Ø P P ÓÑ Ò ÙÖ ½º½ º ÉÙ Ø Ù Ö ØØ ÓÒÓ Ø Ò ÒØ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ô ÖØ Ò¹ Þ Ò ÕÙ ÒØÓ Ð Ò ÓÐ ÔP ÔP ÓÒÓ Ö ØØ Ö Þ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º º

16 ½ ÓÑ ØÖ ÙÐ O M P O M P O M P µ ÙÖ ½º½ Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÐÐ Ù Ø Ò ÒØ Ô ÒØ Ô Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓº ÁÒ Ð³ Ð Ñ ÒØÓ OP Ô Ô Ö ÔÙÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ù ÖÓÒ Ö ÒÞ Ú ÒØ ÐÓ Ø Ó Ö Ó ÒØÖ Ø Ò O P Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ º ÓÔÓ ÕÙ ØÓ Ð ÚÓÖÓ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö Ù ØÖ Ò ÓÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓ ÑÓ Ò¹ ØÖÓ ÙÖÖ Ð ÓÒ ØØÓ ÔÓÐ ÓÒÓ ÖÓ Ö ØØÓ Ó Ò Ö ØØÓ Ö Ô ØØÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Ò Þ ÓÒ ½º º ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ö ØØÓ Ò ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ØÙØØ ÙÓ Ú ÖØ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ º ÁÒ Ø Ð Ó Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ Ð ÔÓÐ ÓÒÓº Ò Þ ÓÒ ½º º ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÖÓ Ö ØØÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ØÙØØ ÙÓ Ð Ø ÓÒÓ Ø Ò ÒØ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ º ÁÒ Ø Ð Ó Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ò Ð ÔÓÐ ÓÒÓº Æ ÐÐ ÙÖ ½º½ Ú ÑÓ ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ Ò Ö ØØÓ Ò ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Æ ÐÐ ÙÖ ½º½ ÑÓ ÒÚ ÙÒ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÖÓ Ö ØØÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ º ÍÒ ÔÖ Ñ ÓÑ Ò Ú Ò ÔÓÒØ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ù ÒØ ØÓ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÓØØÓ ÕÙ Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÔÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ä ÙÖ ½º½ ½º½ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ð Ö ÔÓ Ø Ð ÕÙ ØÓ ÔÖ ÒØ ÒÓÒ ÑÔÖ ÖÑ Ø Ú º ÈÓ ÑÓ Ô Ö Ö ÓÒ Ö Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ö ØØÓ Ò ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÙÓ Ð Ø ÓÒÓ ÓÖ ÕÙ Ø ÖÓÒ Ö ÒÞ Ô Ö Ù Ð Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ Ð Ø Ô ÒÓ ØÙØØ Ô Ö ÙÒ ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ó Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Î Ú Ö Ð

17 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ½ C D D C E ÙÖ ½º½ È ÒØ ÓÒÓ Ò Ö ØØÓº ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÖÓ Ö ØØÓº D D C C ÙÖ ½º½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓÒ Ò Ö Ú Ð º ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓÒ ÖÓ Ö Ú Ð º Ð Ø ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÒÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑÙÒ Ó Ö ÙÐØ ÕÙ Ø ÒØ Ú ÖØ Ð ÔÓÐ ÓÒÓº ÉÙ Ò Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ ÒØÖÓ Ò ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ô Ô Ö ÙÒÓ Ú ÖØ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ò ØÙØØ Ð ÐØÖ Ú ÖØ Ö ÙÐØ Ò Ó Ó ÖÓ Ö ØØ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ú Ð ÙÖ ½º½ µº Ê ÙÑ Ò Ó ÔÓ ÑÓ ÒÙÒ Ö Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÒ Þ ÓÒ Ò Ö Ú Ð Øµº ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ò Ö Ú Ð Ò ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÐÓ Ð ÙÓ Ð Ø ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ

18 ½ ÓÑ ØÖ ÙÐ C O D E ÙÖ ½º½ È ÒØ ÓÒÓ ÒÓÒ Ö ÓÐ Ö µ Ò Ö Ú Ð º Ø Ó ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ µº Ë ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÖÓ Ö ØØÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ó Ò ÓÔÔ Ð Ø ÓÒ ÙØ Ú Ó Ø ØÙ Ð ÓÔÔ Ñ ÒØ Ø Ò ÒØ ÓÒ ÓØØ ÐÐ Ö¹ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÐÓÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ØØÖ Ð Ò ÓÐ Ô ÒÓ ØÙØØ Ò ÐÐÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ º Î Ú Ö Ð ØØÖ Ð Ò ÓÐ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÒÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑÙÒ Ó Ö ÙÐØ ÕÙ Ø ÒØ Ð Ø Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ô Ö Ù Ð ÖÓÒ ¹ Ö ÒÞ ÒØÖÓ Ò ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ó Ô Ö Ø Ð Ø ÒÞ Ò Ö ØØ Ò Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ú Ð ÙÖ ½º½ µº D O C ÙÖ ½º½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÖÓ Ö Ú Ð º

19 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ½ ÌÙØØÓ ÔÙ Ö Ö ÙÒØÓ Ò Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÒ Þ ÓÒ ÖÓ Ö Ú Ð Øµº ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ ÖÓ Ö Ú ¹ Ð ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÐÓ Ð ØØÖ ÙÓ Ò ÓÐ ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ µº ÓÑ ÒÒ ØÓ Ò Ðг ÒØÖÓ ÙÞ ÓÒ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ò Þ ÓÒ º Ò Þ ÓÒ ½º º ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ÕÙ Ò Ó ØÙØØ Ð Ø ØÙØØ Ð Ò ÓÐ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ò ÓÐÓº Æ ÐÐ ÙÖ ½º½ ÓÒÓ ÐÐÙ ØÖ Ø ÐÙÒ ÔÖ Ñ ÑÔ ÔÓÐ ÓÒ Ö ÓÐ Ö Ð Ð ØØÓÖ ÔÙ ÓÒ Ø Ø Ö Ò Ó ÒÙÒÓ ÕÙ ØØÖÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ØØ Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ø Ð ØØÖ Ð Ò ÓÐ ÒÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑÙÒ º ÁÒ ØØ Ô Ö ÔÓÐ ÓÒ Ö ÓÐ Ö Ú Ð Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ ÒÙÒ ÑÓ ÒÞ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º µ ÙÖ ½º½ ÑÔ ÔÓÐ ÓÒ Ö ÓÐ Ö ØÖ Ò ÓÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ö ØÓ µ Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½º º ÍÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö Ò Ö Ú Ð ÖÓ Ö Ú Ð ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ó Ò ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ º ÁÐ ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ Ó ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ µ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ØØÓ ÒØÖÓ Ð ÔÓÐ ÓÒÓº ÁÐ Ö Ó ÐÐ ÖÓÒ¹ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ Ö Ó Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ð Ö Ó ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ñ ÒÚ ÔÓØ Ñ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ú Ð ÙÖ ½º½ µº ÍÒ³ ÐØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÔÓÐ ÓÒ Ô Ö ÕÙ Ð ØÓÒÓ ÑÔÖ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ ÕÙ ÐÐ ÖÓ Ö ØØ Ó Ø ØÙ Ø ØÖ Ò ÓÐ º Ë ÔÙ ÖÑ Ö Ò Ð Ù ÒØ Ð Ó Ø ÓÖ Ñ Ð Ñ Ø ÑÓ ÒÙÒ Ö º

20 ½ ÓÑ ØÖ ÙÐ O r a ÙÖ ½º½ ÔÓØ Ñ ÒØÖÓ Ö Ó ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö º Ì ÓÖ Ñ ½º ÈÙÒØ ÒÓØ ÚÓÐ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓµº ÁÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ð Ð Ø ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ ØØÓ ÖÓ ÒØÖÓ ÙÖ ½º¾¼ µ µ Ð ØØÖ Ð Ò ÓÐ ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ ØØÓ Ò ÒØÖÓ ÙÖ ½º¾¼ µ µ Ð Ñ Ò ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ ØØÓ Ö ÒØÖÓ ¹ ÙÖ ½º¾½ µ Úµ Ð Ö ØØ ÓÒØ Ò ÓÒÓ Ð ÐØ ÞÞ Ð Ø ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒÓ Ø Ó ÔÙÒØÓ ØØÓ ÓÖØÓ ÒØÖÓ ÙÖ ½º¾½ µº ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐÙÒ ÓÑÑ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ º ½º ij Ø ÒÞ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ Ô Ö Ó Ò ØÖ Ò ÓÐÓ Ù Ð ÔÙÒØÓ Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º ÁÐ ÔÙÒØÓ ÒÒÓ Ò ÓÑÙÒ Ð Ð Ø ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ñ ÖÓ ÒØÖÓ ÔÖÓÔÖ Ó Ô Ö Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓº ¾º ij Ø ÒÞ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ô Ö Ó Ò ØÖ Ò ÓÐÓ Ù Ð ÔÙÒØÓ µ Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º ÁÐ ÔÙÒØÓ ÒÒÓ Ò ÓÑÙÒ Ð ØØÖ Ð Ò ÓÐ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ñ Ò ÒØÖÓ ÔÖÓÔÖ Ó Ô Ö Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓº º ÁÒ Ò Ö Ð ÖÓ ÒØÖÓ Ò ÒØÖÓ ÓÖØÓ ÒØÖÓ Ö ÒØÖÓ ÒÓÒ Ó Ò ¹ ÓÒÓ ØÖ ÐÓÖÓº ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð ÒØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ ÒÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ó Ò ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ º º ij Ò ÒØÖÓ Ð Ö ÒØÖÓ ÓÒÓ ÑÔÖ ÒØ ÖÒ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ô Ö Ø Ð ÓÒÓ ØØÖ Ñ Ò º ÁÒÚ Ð ÖÓ ÒØÖÓ Ð³ÓÖØÓ ÒØÖÓ ÔÓ ÓÒÓ

21 ½º½ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ö ØØ Ó ÖÓ Ö ØØ ½ C C ÙÖ ½º¾¼ ÖÓ ÒØÖÓº ÁÒ ÒØÖÓº C C ÙÖ ½º¾½ Ö ÒØÖÓº ÇÖØÓ ÒØÖÓº Ö ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ø ÖÒ Ñ ÒØ Ù Ð Ø Ø Ð ØÖ Ò ÓÐÓº ÑÔ Ó Ò ÐÐ ÙÖ ½º¾¾ Ú ÑÓ Ð ÖÓ ÒØÖÓ Ç ØÖÓÚ ÙÐ Ð ØÓ Ò Ö Ñ ÒØ O Ö ÙÐØ Ö Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ø Ð Ð ØÓ ÙÒ Ñ ØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÖÓ Ö ØØ ÒÓÐØÖ Ð³ ÐØ ÞÞ Ö Ô ØØÓ Ð Ð ØÓ Ú Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐ Ñ Ø Ø Óº Æ ÐÐ ÙÖ ½º¾¾ гÓÖØÓ ÒØÖÓ O Ø ÖÒÓ Ð ØÖ Ò ÓÐÓº º ÁÐ Ö ÒØÖÓ Ó Ò ÐÐ Ù ÒØ ÓÖÔÖ Ò ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø ÒÙÒ ÑÓ ÒÞ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ò Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º½¼º ÁÐ Ö ÒØÖÓ Ú ÙÒ Ñ Ò Ò Ù Ô ÖØ Ù ÕÙ ÐÐ ÓÒØ Ò Ð Ú ÖØ ÓÔÔ Ðг ÐØÖ º

22 ¾¼ ÓÑ ØÖ ÙÐ C C O O ÙÖ ½º¾¾ ÇÖØÓ ÒØÖÓ Ø ÖÒÓº ÖÓ ÒØÖÓ Ù ÙÒ Ð ØÓº ½º¾ ÁÐ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ÁÐ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ÑÓÐØ ÓÒ Ö ØÓ ÓÑ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ò Ø Ó¹ Ö Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ù ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÓÚÙØ ÔÔÙÒØÓ È Ø ÓÖ Ó ÕÙ Ð ÐÐ ÚÓ ÐÐ Ù ÙÓÐ Ö Ð Ð ÎÁ ÓÐÓ º º Ñ Ô Ö Ð³ ÒÙÒ ØÓ Ð Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÓØÓ ÐÓÒ ÒØÓÖÒÓ Ð ½ ¼¼ º º È Ö ÒÕÙ Ö Ö ÕÙ ØÓ Ø ÓÖ Ñ Ò ÙÒ ÓÒØ ØÓ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ÔÖ Ñ ØØ ÑÓ ÐÙÒ ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÙÐ ÓÒ ØØÓ Ö º ij Ö ÙÒ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÒÓØÓÖ Ñ ÒØ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ = base altezza, ÙÐÐ ÕÙ Ð Ú Ð Ð Ô Ò Ö ØØ Ö ÙÒ ØØ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ Ù¹ Ö ½º¾ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÔÔÓÒ Ò Ó Ð³ÙÒ Ø Ñ ÙÖ ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ ÑÔ Ó Ð ÒØ Ñ ØÖÓ Ú ÒØ Ú ÒØ Ð Ò ØÓ ÔÖ Ñ Ö Ò ÒØ Ñ ØÖ Ð ÕÙ Ö ØÓº ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø ÓÔ Ö Ø ÚÓ Ú ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÓÒ Ö ÙÐ ÓÒ Ø¹ ØÓ ÙÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÚ Ô Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒØ Ò ÑÓ Ú ÒØ Ð Ø Ö º ÍÒ ÔÖ ÑÓ Ö ÙÐØ ØÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒÞ ØÖ ÙÒ ÕÙ ÐÙÒÕÙ ØÖ Ò ÓÐÓ ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ô ÔÖ Ñ ÒØ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º

23 ½º¾ ÁÐ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ¾½ ÙÖ ½º¾ Ê ØØ Ò ÓÐÓ ÓÒ ÐØ ÞÞ Ñ ÙÖ Ø Ò ÒØ Ñ ØÖ º Ì ÓÖ Ñ ½º½½º Ç Ò ØÖ Ò ÓÐÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ú ÒØ Ô Ö ÙÒ Ð ØÓ ÕÙ ÐÙÒÕÙ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ô Ö ÐØ ÞÞ Ð Ñ Ø Ðг ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú ÕÙ Ð Ð ØÓº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ØÓ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ C ÓÑ Ò ÙÖ ½º¾ ØÖ ÑÓ Ð³ ÐØ ÞÞ CH Ö Ð Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ M Ð ÙÓ ÔÙÒØÓ Ñ Óº ÈÓ Ó ØÖÙ ÑÓ Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ ÙÐÐ Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ô ¹ ÒØ Ô Ö Mº Ó ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ð ØÖ Ò ÓÐÓ C ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ö ØØ Ò ÓÐÓ º Ë ÑÔÖ Ö Ö Ò Ó ÐÐ ÙÖ ½º¾ Ò Ð ÞÞ ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ D DMC ÑÓ = CM, Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ø Ù Ñ ÒØ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐ Ñ Ø CHº ÁÒÓÐØÖ Ò ÕÙ ÒØÓ ÓÔÔÓ Ø Ð Ú ÖØ º  D = ĈDM, ÉÙ Ò ÔÔÐ Ò Ó Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º½ ÓÒ¹ ÐÙ ÑÓ Ò Â D DCM ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ê ÙÑ Ò Ó Ù ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ D DMC ÒÒÓ Ù Ù Ð Ð Ò ÓÐ ÙÒ Ð ¹ ØÓ Ô ÖØ ÒØÓ Ô Ö Ð ÓÒ Ó Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÙ ÒÞ Ô Ö ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó Ú Ö Ò ¾ ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò¹ ÓÐ CME E ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐ ÕÙ Ð Ó Ð Ø Ò ÐÑ ÒØ º ÇÖ ÔÓ ÑÓ ÒÞ³ ÐØÖÓ Ô Ö Ðг ÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ º Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ µº ij Ö Ð ÕÙ Ö ØÓ Ó ØÖÙ ØÓ Ùй г ÔÓØ ÒÙ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ó Ò ÓÒ Ð ÓÑÑ ÐÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ó ØÖÙ Ø Ù Ø Ø º

24 ¾¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ C D M E H ÙÖ ½º¾ ÕÙ Ú Ð ÒÞ ØÖ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º Ê ÔÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ì ÓÖ Ñ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ½º¾ Ò Ù C ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Q a Q b ÓÒÓ ÕÙ Ö Ø Ó ØÖÙ Ø Ù Ø Ø Ñ ÒØÖ Q Ð ÕÙ Ö ØÓ Ó ØÖÙ ØÓ ÙÐг ÔÓØ ÒÙ º C Q Q b b a Q a ÙÖ ½º¾ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ rea(q) = rea(q a )+rea(q b )º È Ö ÑÓ ØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ó ØÖÙ ÑÓ Ð ÕÙ Ö ØÓ Ð ØÓ a+b ÐÓ Óѹ ÔÓÒ ÑÓ Ò Ù ÑÓ Ú Ö Ó ÓÑ Ò ØÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÙÖ ½º¾ ½º¾ º Ð ÓØØÓ ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ ½ Ò ÐÐ ÙÖ ½º¾ ½º¾ ÓÒÓ ØÙØØ ÕÙ ¹ Ú Ð ÒØ Ô Ö Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÒÒÓ ¾ Ð Ø a b г Ò ÓÐÓ Ö ØØÓµ ØÖ ÓÑÔÖ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÕÙ Ò ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ô Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½º½º ÁÒÓй ØÖ Ð ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Q ØØ Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÕÙ Ö ØÓ Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÓ ÕÙ ØØÖÓ Ò ÓÐ Ö ÙÐØ ÒÓ Ö ØØ Ô Ö Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º½º ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ð Ð ØØÓÖ ÓÚÖ Ö ÓÒÓ Ö Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ÐÐ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÑÑ Ø º

25 ¼ Ñ ØÖ ¼ Ñ ØÖ ½º¾ ÁÐ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ¾ b a a b a 1 2 b b 5 Q b b 6 Q b 4 3 a a Q a 7 8 a a b a b ÙÖ ½º¾ ½ ÓÒÓ ØÙØØ ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ ÕÙ Ú Ð ÒØ º Î ÑÓ Ó ÐÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ º Ö Þ Ó ½º½º Ù ØÓÖÖ ÐØ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ¼ ¼ Ñ ØÖ Ø ÒÓ Ö ÐÓÖÓ ¼ Ñ ØÖ º ÌÖ Ð Ù ØÓÖÖ ØÖÓÚ ÙÒ ÓÒØ Ò Ú Ö Ó Ð ÕÙ Ð Ò ÓÒÓ ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò Ñ ÒØ Ù Ù ÐÐ ÙÒÓ Ó Ò ØÓÖÖ ÐÐ Ø Ú ÐÓ Øº Ë Ô Ò Ó Ù Ù ÐÐ Ö ÙÒ ÓÒÓ Ð ÓÒØ Ò Ò ÐÐÓ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø ÒÞ ÐÐ ÓÒØ Ò ÐÐ Ù ØÓÖÖ º Q P F x ¼ Ñ ØÖ ÙÖ ½º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ÐÐ ÓÒØ Ò ÐÐ ØÓÖÖ º

26 ¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ Ö Ñ Ø ÞÞ ØÓ ÓÑ Ò ÐÐ ÙÖ ½º¾ Ò Ù P Q Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ð Ù ØÓÖÖ Ñ ÒØÖ F Ò Ð ÔÓ Þ ÓÒ ÒÓÒ ÒÓØ µ ÐÐ ÓÒØ Ò º ÁÒÓÐØÖ Ò ÑÓ ÓÒ x Ð Ø ÒÞ F ÐÐ ØÓÖÖ P Ô Ö Ù Ð Ø ÒÞ F ÐÐ ØÓÖÖ Q Ö ÙÐØ Ö Ô Ö (50 x)º Î ØÓ Ù Ù ÐÐ ÑÙÓÚÓÒÓ ÐÐ Ø Ú ÐÓ Ø Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÑÔÓÖÖ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÓ Þ ÓÒ F PF = QF. ½º¾º½µ ÇÖ ÔÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ PF QF Ù ÑÓ Ð ½º¾º½µ ÕÙ Ú Ð Ð Ú Ò Ó Ð ÕÙ Ö ØÓ ØÖÓÚ x = (50 x) x = x 2 100x+40 2, ½º¾º¾µ Ù x = = = = 32. ÁÐ ÒØÖÓ ÐÐ ÓÒØ Ò Ø ¾ Ñ ØÖ ÐÐ ØÓÖÖ P ½ Ñ ØÖ Ðг ÐØÖ º Ö Þ Ó ½º¾º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÖ ½º¾ º ÙÑ Ò Ó Ð ÐÙÒ¹ ÞÞ O Ô Ö r ÔÖ Ñ Ö Ð ÐÙÒ ÞÞ Ð Ö Ó ÐÐ ÖÓÒ¹ Ö ÒÞ ÓÒ ÒØÖÓ Ò O 3 Ò ÙÒÞ ÓÒ rº O 3 r/2 x O 1 r O O 2 ÙÖ ½º¾ ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ðг Ö Þ Ó ½º¾º ËÓÐÙÞ ÓÒ º È Ö ÔÖ Ñ Ó ÑÔÓ Ø ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ò ÙÖ ½º¾ ÓÚ x Ð Ö Ó ÒÓ Ò ØÓ Ó ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö º ÇÖ ÔÓ ÑÓ ÔÔÐ Ö Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ O 1 OO 3 ÓØØ Ò Ò Ó ( r ) 2 ( r ) 2 +(r x) 2 = 2 2 +x. ½º¾º µ

27 ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ¾ ËÚ ÐÙÔÔ Ò Ó ÐÓÐ Ò ½º¾º µ ØÖÓÚ r 2 3xr = r(r 3x) = 0 Ð Ù ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ x = r 3, ØØ Ð Ò ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔÖ ØÖ 0 r/2º ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ¹ Ò ÁÒ Ö Ò Ö Ó Ö ÑÔ ÓÐ Ö Ó ØØ Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ò ÐØ Ö Ø Ð ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ ÐÐ ÑÓÐØ ØØ Ú Ø Ú Ö Ñ Ö ÐÓÖÓº Ð Ö Ø ØØ ÖÚÓÒÓ Ô Ó ÙÒ ÔÐ Ø Ó Ô Ö Ö ÔÖÓ ÙÖÖ ÙÒ ÑÓ ÐÐÓ Ò Ð ÙÒ ÔÖÓ ØØÓº Á ÓÐÓ ÙØ Ð ÞÞ ÒÓ Ò Ö Ò Ñ ÒØ Ô Ö ÔÐÓÖ Ö Ð ÐÐÙÐ Ó Ô Ö ØÙ Ö Ð Ò ØØ º ÁÒ ÕÙ Ø Þ ÓÒ Ú Ö ÑÓ ÓÑ ÓÖÑ Ð ÞÞ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÑ ØÖ Ó ÕÙ Ø Ù ÑÓ ØÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Þ ÓÒ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ÖÖ Ú Ö ÑÓ Ð ÓÒ ØØÓ ÙÖ Ñ Ð Ó Ô ÖÓÐ ÙÖ Ú ÒØ Ð Ø ÓÖÑ Ò ÒÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÁÐ ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÒÞ Ð Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÙÖ Ñ ÒØ ÙÒÓ Ô ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ô Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø µº ØÓ ÙÒ Ó Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ð Ø Ù ØÖ Ú Ö Ð Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ØÖ Ð Ñ ÙÖ Ù Ñ ÒØ CD Ò Ú Ù Ø Ð Ó Ù ÙÒ ØÖ Ú Ö Ð Ù Ù Ð Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ØÖ Ð Ñ ÙÖ ÐÓÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ C D ÙÐг ÐØÖ ØÖ Ú Ö Ð º ÇÑ ØØ ÑÓ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÕÙ ØÓ Ø ÓÖ Ñ Ñ Ö Ø Ò ÑÓ ÑÓй ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ö Ð Ð ØØÓÖ Ô ÖÒ Ô Ò Ñ ÒØ Ð Ò ØÓ Ó ÖÚ Ò Ó Ð ÙÖ ½º¾ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÒØ Ò Ó Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÐÓÖÓ Ñ Ù¹ Ö ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ð Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÔÙ Ö ÔÖ Ñ ÒØ Ð³Ù Ù Ð ÒÞ Ù Ù ÒØ Ö ÔÔÓÖØ CD = C D. ½º º½µ

28 ¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ a D C b C D c d r r ÙÖ ½º¾ Ó Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ð Ø Ù ØÖ Ú Ö Ð º È Ö Ù Ó ÙØÙÖÓ Ò ÙØ Ð ÒÓØ Ö Ð ÔÖ ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ ÕÙ Ú ¹ Ð ÒØ ÐÐ Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ : CD = : C D. ½º º¾µ ÇÖ ÔÓ ÑÓ ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ØÖ ØÖ Ò ÓÐ º Ò Þ ÓÒ ½º º Ö ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ Ñ Ð ÒÒÓ Ð Ò ÓÐ ÓÖ Ò Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ØÖ Ð Ñ ÙÖ Ð Ø ÓÔÔÓ Ø Ò ÓÐ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó Ø ÒØ º C C ÙÖ ½º ¼ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ñ Ð º

29 ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ¾ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º ¼ Ð Ò Þ ÓÒ Ñ Ð ØÙ Ò Ö ØÖ Ò ÓÐ ÕÙ Ú Ð ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Â = Â, ˆ = ˆ, Ĉ = Ĉ e = C C = C C. ½º º µ ÁÐ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð k = ½º º µ Ò ½º º µ Ú Ò Ñ ØÓ Ö ÔÔÓÖØÓ Ñ Ð ØÙ Ò Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö k = 1 Ù ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ k < 1 Ð ØÖ Ò ÓÐÓ C Ö ÙÐØ Ô Ô ÓÐÓ Ö Ô ØØÓ C Ò Ò k > 1 Ð ØÖ Ò ÓÐÓ C ÐÐÓÖ Ô Ö Ò Ö Ô ØØÓ Cº È Ö Ò Ö Ù ØÖ Ò ÓÐ ÓÒÓ Ñ Ð Ù Ö ÑÓ Ð Ö ØØÙÖ Ù ÒØ C C. Æ ÐÐ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ö ÙÐØ ÒÓ ÑÓÐØÓ ÙØ Ð Ù ÒØ Ó ØØ Ö Ø Ö ¹ Ñ Ð ØÙ Ò Ô Ö Ð Ù ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÐÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ì Ó¹ Ö Ñ Ì Ð Ø º È Ö ÐÐÙ ØÖ Ö Ñ Ð Ó ÕÙ Ø ÖÑ Þ ÓÒ ÓÖÒ Ö ÑÓ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Óº Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÈÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò µº Ë Ù ØÖ Ò ÓÐ ÒÒÓ Ù Ò ÓÐ ÓÖ Ò Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐÓÖ ÓÒÓ Ñ Ð º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º ½ г ÔÓØ Â =  e ˆ = ˆ, Ñ ÒØÖ Ð Ø C C º Ç ÖÚ ÑÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÑ ÒØ ÐÐ ÔÓØ Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ½º½ Ö Ú ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ĉ = Ĉ. ËÓÚÖ ÔÔÓÒ ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ò ÑÓ Ó ÒÓ ÙÒ Ú ÖØ Ò ÓÑÙÒ ÑÓ = Ð Ø ÓÔÔ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑ ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ñ ÒØ Ð ÙÖ ½º ¾ Ö Þ Ð Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø Ù ÑÓ : C = : C.

30 ¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ C C ÙÖ ½º ½ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ñ Ð º ÁÒ ÑÓ Ó Ñ Ð Ð Ð ØØÓÖ Ú Ö ÓÑ Ö Þ Ó ÕÙ Ø ÖÑ Þ ÓÒ µ Ð ÔÖ ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ ÔÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÖÖ Ú Ò Ó : C = : C = C : C. ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ ÑÓ Ó ÓØØ ÒÙØÓ ØÙØØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ø ÐÐ Ò Þ ÓÒ ½º Ô Ö Ù Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø º C C = ÙÖ ½º ¾ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ë ÓÒ Ó Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò µº Ë Ù ØÖ Ò ÓÐ ÒÒÓ Ù Ð Ø ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ð³ Ò ÓÐÓ ÓÑÔÖ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÐÐÓÖ ÓÒÓ Ñ Ð º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ì ÖÞÓ Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò µº Ë Ù ØÖ Ò ÓÐ ÒÒÓ Ð Ø ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð ÐÐÓÖ ÓÒÓ Ñ Ð º ÓÑ ÔÖ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ Ù ÒÞ ÔÖ ÒØ Ö Ø Ö ÔÓ ÑÓ ÐÐÙ¹ ØÖ Ö Ù Ö ÙÐØ Ø ÑÓÐØÓ ÙØ Ð ÒÓØ ÓÐ ÒÓÑ Ì ÓÖ Ñ ÙÐ º

31 ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ¾ Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÈÖ ÑÓ Ì ÓÖ Ñ ÙÐ µº ÁÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÙÒ Ø ØÓ Ñ Ó ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð ØÖ Ð³ ÔÓØ ÒÙ Ð Ù ÔÖÓ Þ ÓÒ ÙÐг ÔÓØ ÒÙ º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ó ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ C : = : H C : C = C : HC. ½º º µ ½º º µ Ø Ð Ò ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÓÑ ÓÒ Ù ÒÞ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º½ µ Ù ØÖ Ò ÓÐ C H ÓÒÓ ¹ Ñ Ð Ù Ð ½º º µ Ù ÑÑ Ø Ñ ÒØ º ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÐÐ Ñ Ð ØÙ Ò C HC Ö Ú Ð ½º º µº H C ÙÖ ½º H г ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú Ðг ÔÓØ ÒÙ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓº Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ë ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÐ µº ÁÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ð³ ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú Ðг ÔÓØ ÒÙ Ñ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð ØÖ Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ Ø Ø ÙÐг ÔÓØ ÒÙ º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º Ë ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ó ÑÓ ÔÖÓ¹ Ú Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ HC : H = H : H. Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ Ñ Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ô Ö Ù ØØ Ð Ú Ò ÓÒÓ Ð Ø Ð Ð ØØÓÖ ÓÑ Ö Þ Óº

32 ¼ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò Ó Ð Ð ØØÓÖ Ö ÙÑ ÑÓ ØØÖ Ú Ö Ó Ð ÙÖ ½º Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ (i) a 2 +b 2 = c 2 (Teorema di Pitagora); (ii) a 2 = p 1 c e b 2 = p 2 c (Primo Teorema di Euclide); (iii) h 2 = p 1 p 2 (Secondo Teorema di Euclide). a h b H p 1 p 2 c C ÙÖ ½º Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓº È ÑÓ ÓÖ ÐÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØØ º Ö Þ Ó ½º Ì ÓÖ Ñ ÐÐ ÒØ µº ÑÓ ØÖ Ö Ð Ù ÒØ Ö¹ Ñ Þ ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÒ ÙÓÒÓ Ù Ñ Ö ØØ ÒØ ÓÒ Ö ÒÓ ÕÙ ØØÖÓ Ñ ÒØ ÒÒÓ ÙÒ ØÖ ÑÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓ Ð³ ÐØÖÓ Ò ÔÙÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÐÐ ÒØ ÓÒ Ð Ö¹ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ñ ÙÖ Ù Ñ ÒØ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÙÒ ÒØ Ù Ù Ð Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ñ ÙÖ Ù Ñ ÒØ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ðг ÐØÖ ÒØ º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÓÑ ÔÖ ÑÓ Ô Ó Ð Ð ØØÓÖ ÒÚ Ø ØÓ Ó ØÖÙ Ö ÙÒ Ö ÔÔÖ ¹ ÒØ Þ ÓÒ Ö Ð ÓÒØ ÒÙØÓ ÕÙ ØÓ Ö Þ Ó Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÓØØ Ò Ö ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ ½º ØØÖ Ú Ö Ó Ð ÕÙ Ð Ó Ò Ö ÓÒÓ Ö Ð Ø Ú Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ P P = PC PD. ÇÖ Ú Ö ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ PD PC ÓÒÓ Ñ Ð Ò ØØ ÂC ÂDC ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò ÕÙ ÒØÓ Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò ØÓÒÓ

33 ½º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð Ø ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ½ ÙÐÐÓ Ø Ó ÖÓ ÔÓ Ð³ Ò ÓÐÓ ÂPC ÓÑÙÒ ÕÙ Ò Ð ÒÓ ØÖ ÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ³ ÑÑ Ø ÓÒ Ù ÒÞ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ñ Ð ØÙ Ò º Æ Ù ÑÓ PD : P = P : PC, Ù Ð Ø ÑÑ Ø º D C P ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º º Ö Þ Ó ½º Ì ÓÖ Ñ ÐÐ ÒØ ÐÐ Ø Ò ÒØ µº ÑÓ ØÖ Ö Ð Ù ÒØ ÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓ ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ØÖ ÒÓ ÙÒ Ñ Ö ØØ Ø Ò ÒØ ÙÒ ÒØ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ñ ÙÖ Ù Ñ ÒØ ÒÒÓ ÙÒ ØÖ ÑÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ø ÖÒÓ Ð³ ÐØÖÓ Ò ÔÙÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÐÐ ÒØ ÓÒ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ù Ù Ð Ð ÕÙ Ö ØÓ ÐÐ Ñ ÙÖ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒÞ º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÓÑ Ô Ö Ð³ Ö Þ Ó ÔÖ ÒØ Ô Ö ÔÖ Ñ Ó Ó ØÖÙ ÑÓ ÙÒ³ Ô¹ ÔÖÓÔÖ Ø Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ö Ú Ð ÙÖ ½º µº ÇÖ Ð Ø Ú Ö Ö PT 2 = P P. ØÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒÓ Ò ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ðг Ö Þ Ó ÔÖ ÒØ Ð Ð ØØÓÖ ÒÚ Ø ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ö ÙØÓÒÓÑ Ñ ÒØ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ú Ö Ò Ó Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ñ Ð ØÙ Ò ØÖ Ù ØÖ Ò ÓÐ PT TPº ËÙ Ö Ñ Ò¹ ØÓ Ó ÖÚ Ö ÂTP T ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò ÕÙ ÒØÓ ÒØÖ Ñ ÓÒÓ Ò ÓÐ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò ØÓÒÓ ÙÐг ÖÓ T µº Ë ÓÒ Ó Ö ÓÓÒØ ÈÐÙØ ÖÓ Ì Ð Ø ÐÓÖ Ô ÒØ Ö ÓØ Þ Ò Ô Ö Ð ÑÓ Ó Ò Ù Ö Ù Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ ÐØ ÞÞ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÔ

34 ¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ T P ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º º Ñ ÒØ Ð³Ù Ó ÙÒ ÑÔÐ ØÓÒ Ð Ú ÐÙØ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÑ Ö Ø Ð Ñ ÙÖ Þ ÓÒ µ ÕÙ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò ÓÒØ ÒÙØ Ò Ðг Ö Þ Ó Ù ÒØ º Ö Þ Ó ½º º Ë Ó ÖÚ Ð ÙÖ ½º ÙÖÖ Ð³ ÐØ ÞÞ ÐÐ Ô Ö ¹ Ñ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ù Ó ÓÔÔÓÖØÙÒÓ Ð ÓÒ ØØÓ Ñ Ð ØÙ Ò º ¾ ¼ Ñ º¾ Ñ ½¼ Ñ ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º Ð Ô Ö Ñ ÓÔ Ð ØÓÒ Ì Ð Ø º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÙ Ö Ñ Ø ÞÞ ØÓ ØØÖ Ú Ö Ó Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÙÒ Þ ÓÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÑ Ò ÙÖ ½º º ÁÒ ÕÙ Ø ÙÖ Ð Ö ØØ ÓÒØ Ò ÒØ CF EG Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÓÐ Ñ ÒØÖ EF Ö ÔÔÖ ÒØ Ð ØÓÒ º Ø Ð ÐÓÒØ Ò ÒÞ Ð ÓÐ ÔÙ ÙÔÔÓÖÖ Ö ÒÓ Ô Ö ÐÐ Ð ÕÙ Ò CF Ô Ö ÐÐ ÐÓ EGº Ë ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ ÒÞ Ú ÒØ ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ù ÒØ ÒÓØ Ð Ñ ÙÖ HF EF FG Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÐÙÒ ÞÞ CHº Ç ÖÚ ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ CHF EFG ÓÒÓ Ñ Ð Ö Þ Ð ÔÖ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ò ÕÙ ÒØÓ ĈFH = ÊGF

35 ½º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó Ô Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ö Ô ØØÓ Ù Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ð Ø ÐÐ ØÖ Ú Ö Ð Gº Æ Ù Ð Ú Ð Ø ÐÐ Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ù Ù Ò Ó Ø CH : EF = HF : FG, HF = 240m. EF = 6,2m. FG = 10m., Ð Ö Ú Ö Ð³ ÐØ ÞÞ CH Ñ ÙÖ Ö ½ Ѻ C E H F G ÙÖ ½º Ë Þ ÓÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÔ º ½º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó Ö Þ Ó ½º º ÁÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ C ÓÒ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ D Ù C Ø Ð = Dº ÅÓ ØÖ Ö 2ĈD = ÂC ÂCº ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ê Ö Ò Ó ÐÐ ÙÖ ½º ĈD = = D Ù ÂD = ÂDº ÉÙ Ò ÂC ÂDº Ò Ó ĈD = ÂC ÂD. ½º º½µ ÁÒÓÐØÖ ÂD ÙÒ Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ CD Ù Ù Ô Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½º¾ ÂD = ĈD+ÂC. ½º º¾µ ËÓ Ø ØÙ Ò Ó ½º º¾µ Ò ½º º½µ ØÖÓÚ ĈD = Ø º ÂC ĈD ÂC, Ù Ð

36 ÓÑ ØÖ ÙÐ D D L M C C ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º º Þ Ó ½º º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö ¹ Ö Þ Ó ½º º Ë C ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ ÓÒ > Cº Ä ØØÖ Ðг Ò ÓÐÓÂC Ð ØØÖ Ðг Ò ÓÐÓ Ø ÖÒÓ ÒC ÒÓÒØÖ ÒÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Dº Ë ÒÓ L M ÔÙÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ Ô Ö D Ô Ö ÐÐ Ð C ÓÒ C Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ º ÅÓ ØÖ Ö LM = M LCº ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ä Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÙÖ ½º º È Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÂD = DCº ÁÒÓÐØÖ DC = DM Ò Ó Ò ÓÐ ÐØ ÖÒ ÒØ ÖÒ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ú Ù Ø C DM Ø Ð Ø ÐÐ ØÖ Ú Ö Ð Dº È Ö Ð ØÖ Ò Ø Ú Ø ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒÞ ÂD = DM Ù DM ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ó Ð º Ë Ù DM = M. ½º º µ ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÑÓ ØÖ DL = LC. ½º º µ ËÓ Ø ØÙ Ò Ó ½º º µ ½º º µ Ò DM = DL+LM Ô ÖÚ Ò Ð Ö ÙÐØ ØÓº Ö Þ Ó ½º º Ë C ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÒÓ D E F Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð Ô Ðг ÐØ ÞÞ Ö Ô ØØÓ Ðг ÔÓØ Ò٠г ÒØ Ö ¹ Þ ÓÒ Ðг ÔÓØ ÒÙ ÓÒ Ð ØØÖ Ðг Ò ÓÐÓ Ö ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ðг ÔÓØ ÒÙ º ÅÓ ØÖ Ö DCE = ÊCF º ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ë ÓÒ Ö Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ C Ò Ö ØØÓ Ò ÙÒ Ñ ¹ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÑ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ÙÖ ½º ¼º Ø Ò ÑÓ CE ÒÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Gº Ò Ó Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÂCG = CG Ù ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò ÓÐ Ð ÒØÖÓ ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÚÚ ÖÓ ÂFG = FG.

37 ½º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó C D E F G ÙÖ ½º ¼ ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º º ÉÙ Ò FG Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ ÐÓ CDº Á Ù Ò ÓÐ DCE FGE ÓÒÓ ÕÙ Ò ÓÒ ÖÙ ÒØ Ò Ó Ò ÓÐ ÐØ ÖÒ ÒØ ÖÒ Ö Ô ØØÓ Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð µº Ç ÖÚ Ò Ó Ò Ò CF = FG Ð ØÖ Ò ÓÐÓ CFG Ó Ð Ù ÊCF = FGE = DCE. Ö Þ Ó ½º º ÁÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ C Ø Ò Ð³ ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú C ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ G Ø Ð EG = CF ÓÚ E F Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ô ÐÐ ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú C Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ º Ë H г ÒØ Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ Ô Ö G Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö G ÓÒ Ð ÔÖÓÐÙÒ Ñ ÒØÓ º ÅÓ ØÖ Ö H = Cº G C E H F ÙÖ ½º ½ ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º º ËÓÐÙÞ ÓÒ º È Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ½º ½µ Ð Ð ØØÓÖ ÓÚÖ ÙÖÖ ĜH = Cº Ó GH = ÂFC Ò ÕÙ ÒØÓ ÒØÖ Ñ Ò ÓÐ Ö ØØ Ô Ö Ù Ù Ð Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ù ØÖ Ò ÓÐ FC HG ÓÒÓ Ñ Ð º ÈÓ ÑÓ ÕÙ Ò Ö Ú Ö C CF = H G. ½º º µ

38 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÁÒ HG E Ô Ö ÐÐ ÐÓ HG Ù Ô Ö Ð Ì ÓÖ Ñ ½º½ H EG = H G. ÐÐ ½º º µ ½º º µ Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ EG = CF ÓÒÐÙ º ½º º µ Ö Þ Ó ½º½¼º Ë C ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ ÕÙ ÐÙÒÕÙ E ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÐг ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú Cº ÅÓ ØÖ Ö C 2 CE 2 = 2 E 2 º C D E D E C G P ÙÖ ½º ¾ ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º½¼º Þ Ó ½º½½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö ¹ ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ë D Ð Ô Ðг ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú Ú Ð ÙÖ ½º ¾ µº ÔÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ØÖ Ò ÓÐ DC EDC ØÖÓÚ CD 2 +D 2 =C 2, CD 2 +ED 2 =EC 2. ËÓØØÖ Ò Ó Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ù Ö Ð Þ ÓÒ ØÖÓÚ D 2 ED 2 = C 2 EC 2. ½º º µ ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÓÒ Ö Ò Ó ØÖ Ò ÓÐ D ED Ô ÖÚ Ò D 2 ED 2 = 2 E 2. ÁÒ Ò ÓÑ Ò Ò Ó ½º º µ ½º º µ Ð Ø º ½º º µ

39 ½º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó Ö Þ Ó ½º½½º Ù ÓÖ C D ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÓÒ ØÖ ÐÓÖÓ Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö ÒØ Ö ÒÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Gº Ë Ø Ò Ð³ ÐØ ÞÞ Ö Ð Ø Ú D Ð ØÖ Ò ÓÐÓ DG ÒÓ ÒÓÒØÖ Ö C Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P º ÅÓ ØÖ Ö P = CP º ËÓÐÙÞ ÓÒ º È Ö ÔÖ Ñ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ¹ ÙÖ ½º ¾ º Æ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ EG г Ò ÓÐÓ DG ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÂGE Ð ÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÊGDº Ë Ù DG = ÊGDº ÁÒÓÐØÖ Ó ÖÚ ÑÓ ÊGD = GP º Ð Ò ÓÐ DC DC ÓÒÓ Ò ÓÐ ÐÐ Ö¹ ÓÒ Ö ÒÞ Ò ØÓÒÓ ÙÐÐÓ Ø Ó ÖÓ ÕÙ Ò ÓÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ë Ù ĈG = GP Ù P = GP º ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÑÓ ØÖ CP = GP º Ö Þ Ó ½º½¾º Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ù Ó Ð ØÓ Ô Ö 3 cm. ÐÓÐ Ö Ð Ñ ÙÖ ÐÐ ÓÒ Ð ÓÚÚ ÖÓ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒ ÓÒÓ Ù Ú ÖØ ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÐÐ Ø µº ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÒ ÑÓ ÓÒ l Ð ÐÙÒ ÞÞ Ð Ð ØÓ Ð Ù Óº ÔÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ù ÑÓ Ð ÓÒ Ð D faccia ÙÒ Ð Ù Ó Ñ ÙÖ D faccia = l 2 +l 2 = 2 l. Ó ÔÓ ÑÓ ÐÓÐ Ö Ð Ñ ÙÖ ÐÐ ÓÒ Ð Ð Ù Ó D cubo ÔÔÐ Ò Ó ÒÓÖ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ D cubo = Dfaccia 2 +l2 = 2l 2 + l 2 = 3l. Æ ÐÐ ÒÓ ØÖ ØÙ Þ ÓÒ ÑÓ l = 3 cm Ô Ö Ù D cubo = 3 3cm = 3cm. Ö Þ Ó ½º½ º ÐÓÐ Ö Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ØÖ Ð ÓÒ Ð ÙÒ ÕÙ Ö ØÓ Ð ÐÙÒ ÞÞ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ó Ò Ö ØØ º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÒ ÑÓ ÓÒ l Ð ÐÙÒ ÞÞ Ð Ð ØÓ Ð ÕÙ Ö ØÓº ÐÐÓÖ Ð ÓÒ Ð Ð ÕÙ Ö ØÓ ÓÑ ÓÒ Ù ÒÞ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ñ ÙÖ D quadrato = 2l.

40 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÈÓ l Ò Ð Ñ ØÖÓ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ Ö ØÓ Ú Ð 2l 2 πl = π. ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ðг Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÐÙÒ ÓÐ ÒÓØ ÚÓÐ º ÈÖ Ñ Ö ÕÙ ØÓ Ö ÓÖ ÑÓ Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ðг Ö ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö Ð Ö Óº ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ö Ú ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð³ Ö ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ÓÒ n Ð Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓµ Ô Ö n ÚÓÐØ Ò Ð Ó Ð Ô ÒØ ÓÒÓ 5 ÚÓÐØ µ г Ö Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ú ÒØ ÐÙÒ ÞÞ l ÐØ ÞÞ Ð³ ÔÓØ Ñ aº ÉÙ Ò ÒÓØ ØÓ ÓÒ P n ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö ÓÒ n Ð Ø Ð Ù Ö (P n ) = n l a 2 = p a 2 ÓÚ ÓÒ p = nl ÑÓ Ò ØÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÔÓÐ ÓÒÓº, ½º º½µ r a l ÙÖ ½º È ÒØ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö º Ë ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ð Ð ØØÓÖ ÒÓÒ ÓÚÖ Ú Ö ¹ ÓÐØ ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ Ò Ñ ÒÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ n Ð Ø ÙÑ ÒØ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö Ø Ò ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð Ö Ó ÖÓ Ö ØØÓº ÁÐ Ô Ö ¹ Ñ ØÖÓ Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ø Ò Ö ÕÙ Ò ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ó

41 ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ 2πr Ñ ÒØÖ Ð³ ÔÓØ Ñ ÚÚ Ò Ö Ð Ö Ó rº Í Ò Ó Ð ½º º½µ Ò¹ Ø٠г Ö ÙÒ Ö Ó Ö Ó r Ú Ð πr 2 º Ê ÓÖ ÑÓ Ó Ð Ò Þ ÓÒ ÐÙÒ ÓÐ ÒÓØ ÚÓÐ º ½º Ë Ñ ÔÖ Ñ ÙÒ ÔÓÐ ÖÓ Ú ÒØ ÓÑ Ù ÔÓÐ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓ Ø Ù Ô Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ º ÍÒ ÔÖ ¹ Ñ Ð Ô ÓÐ Ð Ø Ö Ð Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö ÐÐ Ö ØØÓº ÁÒ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ØØÓ Ö ÓÐ Ö ÕÙ Ò Ó Ð ÓÒÓ ÔÓÐ ÓÒ Ö ÓÐ Ö º ÍÒ ÔÖ Ñ ÓÒ Ö ØØ Ò ÓÐ Ö Ñ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô Óº ¾º Ë Ñ Ô Ö Ñ ÙÒ ÔÓÐ ÖÓ Ù Ú ÖØ ØÖ ÒÒ ÙÒÓ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ ÙÒÓ Ø Ó Ô ÒÓ Ñ ØÓ Ô ÒÓ ÐÐ º ÁÐ Ú ÖØ Ø ÖÒÓ ÐÐ ØØÓ Ú ÖØ ÐÐ Ô Ö Ñ º ÍÒ Ô Ö Ñ Ö ÓÐ Ö Ú ÖØ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÐÐ Ö ÚÓÒÓ ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÓÐ Ö Ð Ú ÖØ ÐÐ Ô ¹ Ö Ñ ØÖÓÚ ÙÐÐ Ö ØØ Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö ÐÐ Ô ÒØ Ô Ö Ð ÒØÖÓ Ð ÔÓÐ ÓÒÓº º Ë Ñ ÓÒÓ ÖÓÐ Ö Ö ØØÓ Ð ÓÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØÓ ØØÓÖÒÓ ÙÒ Ö ØØ Ô ÒØ Ô Ö ÙÒÓ ÙÒÓ ÓÐÓ ÙÓ ØÖ Ñ º º Ë Ñ Ð Ò ÖÓ ÖÓÐ Ö Ö ØØÓ Ð ÓÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØÓ ØØÓÖÒÓ ÙÒ Ö ØØ Ó Ô Ö ÐÐ Ð º Ë ÑÓ ÓÖ ÔÖÓÒØ Ô Ö Ö Ñ Ö Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ðг Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÓÐ ÔÔ Ò Ò Ø º ÈÖ Ñ Ö ÓÐ Ö ÓÒ ÙÒ n¹ ÓÒÓ Ö ¹ ÓÐ Ö Ö Ð Ø Ö Ð Ö ØÓØ Ð l = n(l h) l a h t = l +2 b = n(l h)+n(l a) = nl(h+a) ÎÓÐÙÑ V = b h = n l a h 2

42 ¼ ÓÑ ØÖ ÙÐ È Ö ÐÐ Ð Ô Ô Ó Ö Ð Ø Ö Ð l = 2(a h)+2(b h) = 2(a+b) h h a Ö ØÓØ Ð t = l +2 b = 2(a+b) h+2(a b) ÎÓÐÙÑ b V = b h = a b h È Ö Ñ Ö ÓÐ Ö ÓÒ ÙÒ n¹ ÓÒÓ Ö ¹ ÓÐ Ö Ö Ð Ø Ö Ð Ö ØÓØ Ð l = n l d 2 d h t = l + b = n l d 2 +n l a 2 = nl 2 (d+a) l a ÎÓÐÙÑ V = b h 3 = n l a h 6 ÌÖÓÒÓ Ô Ö Ñ Ö ÓÐ Ö ÓÒ ÙÒ n¹ ÓÒÓ Ö ¹ ÓÐ Ö a l Ö Ð Ø Ö Ð Ö ØÓØ Ð l = n (l+l ) d 2 d h t = l + b + b l a ÎÓÐÙÑ V = ( b + b + b b ) h 3

43 ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ ½ ÓÒÓ ÖÓÐ Ö Ö Ø¹ ØÓ Ö Ð Ø Ö Ð Ö ØÓØ Ð l = πr d d h t = l + b = πr d+πr 2 r ÎÓÐÙÑ V = b h 3 = πr2 h 3 Ð Ò ÖÓ Ö ØØÓ ÖÓÐ Ö Ö Ð Ø Ö Ð l = 2πr h Ö ØÓØ Ð h t = l +2 b = 2πr h+2πr 2 ÎÓÐÙÑ r V = b h = πr 2 h Ë Ö r Ö ÎÓÐÙÑ = 4πr 2 V = 4 3 πr3

44 ¾ ÓÑ ØÖ ÙÐ ÐÙÒ ÕÙ Ø ÓÖÑÙÐ ÒÒÓ ÙÒ Ô Þ ÓÒ Ô ÙØØÓ ØÓ ÑÔÐ Ò¹ ØÙ Ø Ú º È Ö ÑÔ Ó Ð ÓÒÚ Ò Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô ¹ Ó Ô Ö Ðг Ö ÐÐ ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö Ð³ ÐØ ÞÞ º ÓÒ ØØÙ ÐÑ ÒØ ÑÓÐØÓ Ô ÔÖÓ ÓÒ ÓÒÓ ÒÚ Ð ÓÖÑÙÐ Ò Ö ÐÓÐ Ö Ð ÚÓÐÙ¹ Ñ ÙÒ Ô Ö Ñ Ó ÙÒ Ö º Æ ÔÖÓ Ñ Ù Ö Þ Ö ÚÓÐØ ËØÙ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ñ Ò ÑÓ Ñ Ð Ö Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØØÓ Ð Ñ Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ò ÙÞ ÓÒ Ò Ö ÑÓ ÙÒ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÒØÙ Ø Ú Ó Ø ÒÞ ÐÑ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º Ö Þ Ó ½º½ º ÑÓ ØÖ Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ Ô Ö Ñ Ö ÓÐ Ö V = h 3, ÓÚ ÓÒ ÑÓ Ò ØÓ Ð³ Ö ÓÒ h г ÐØ ÞÞ º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÓÒ Ö ÑÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ó ÙÒ Ô Ö Ñ Ö ÓÐ Ö ÓÒ ÕÙ Ö Ø º ij ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð Ô Ö Ñ ÓÒ ÙÒ Ô Ð Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô ÓÑ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ ½º ÓÚ Ö ÔÓÖØ ÑÓ ÙÒ Þ ÓÒ Ô Ò ÐÐ Ù Ú ÓÒ º Ë n Ð ÒÙÑ ÖÓ Ô ÖØ Ò Ù ÑÓ Ù Ú Ó Ð Ô Ö Ñ ÒÓ (n 1) Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô Ó ØÖÙ Ø ÓÑ Ò ÙÖ ½º º Ë ÒÓØ Ð Ô ÖØ Ô ÐØ ÐÐ Ô Ö Ñ ÒÓÒ ÓÒØ Ò ÐÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô Óº Ä ÓÑÑ ÚÓÐÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô ÒÓÒ Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÐÐ Ô Ö Ñ Ñ Ñ Ò Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ n ÐÐ Ù Ú ÓÒ ÕÙ Ø Ø Ò Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÐÐ Ô Ö Ñ º Ä Ö 1,..., n 1 ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô P 1,...,P n 1 ÓÒÓ ÔÖÓÔÓÖ¹ Þ ÓÒ Ð Ðг Ö ÐÐ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÒ Ó Ð ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ù ÒØ Ó ÖÚ Ð ÙÖ ½º µ n 1 : ( ) h 2 1 : = : h 2 n ( ) 2h 2 2 : = : h 2 n º ( ) (n 1)h 2 = : h 2. n ÉÙ ØÓ Ö ÓÑ ÒØÓ ØØ Ñ ÒØ ÕÙ ÐÐÓ ÙØ Ð ÞÞ ØÓ Ù Ó Ó Ò Ó Ò Ð ÕÙ ÖØÓ ÓÐÓ º º

45 ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ P 1 h n 2h n P 2 º (n 1)h n h P n 2 P n 1 ÙÖ ½º ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô P 1,...,P n 1 º Ù k = k2 n 2, k = 1,2,...,n 1. ØØ V 1,...,V n 1 ÚÓÐÙÑ Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ô P 1,...,P n 1 ØÖÓÚ V 1 + +V n 1 = 1 h n + + n 1 h n = h n 3 ( (n 1) 2 ). Ó ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ò ÙÞ ÓÒ ÔÙ Ú Ö Ö (n 1) 2 = 2n3 3n 2 +n 6. Ë Ù V 1 + +V n 1 = h 2n3 3n 2 +n ( 6n 3 2n 3 = h 6n 3 n2 2n 3 + n ) 6n ( 3 1 = h 3 1 2n + 1 ) 6n 2.

46 ÓÑ ØÖ ÙÐ È Ö Ò Ö Ð Ð ØØÓÖ Ú ÓÒÚ Ò Ö ÔÖÓÚ Ò Ó Ú ÐÙØ Ö ÕÙ Ø ÔÖ ÓÒ ÒÙÑ Ö µ Ô Ö Ú ÐÓÖ n ÑÓÐØÓ Ö Ò ØÖÓÚ 1 2n 0, 1 6n 2 0. Å Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÔÓ ÓÒÓ Ö Ö Ö ÓÖÓ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØØÓ Ð Ñ Ø ÒÓÒ ØÖ ØØ Ö ÑÓ Ô Ö Ò ÕÙ ØÓ Ð ÖÓµº Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½º¾º ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓ Ó ÕÙ ÐÐÓ Ú ØÓ Ò Ðг Ö¹ Þ Ó ½º½ ÔÔÖÓ Ñ Ò Ó ÙÒ ÓÒÓ ÓÒ ÙÒ Ô Ð Ð Ò Ö Ô ÖÚ Ò ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ ÓÒÓº Ö Þ Ó ½º½ º ÑÓ ØÖ Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ ØÖÓÒÓ Ô Ö Ñ Ö ÓÐ Ö V = ( b + b + b b ) h, 3 ÓÚ ÓÒ b b ÑÓ Ò ØÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð³ Ö ÐÐ Ò Ö ÓÖ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÖÓÒÓ Ô Ö Ñ Ñ ÒØÖ ÓÒ h г ÐØ ÞÞ º ËÓÐÙÞ ÓÒ º ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ½º Ð ÚÓÐÙÑ Ð ØÖÓÒÓ Ô Ö Ñ ØÓ ÐÐ Ö ÒÞ ØÖ ÚÓÐÙÑ Ù Ô Ö Ñ º ÁÒ Ò Ó ÓÒ h+x г ÐØ ÞÞ ÐÐ Ô Ö Ñ ÓÑÔÐ Ø Ð ÚÓÐÙÑ Ð ØÖÓÒÓ Ô Ö Ñ V = b (x+h) 3 b x 3 = 1 3 [x( b b )+h b ]. ½º º¾µ x h ÙÖ ½º ÁÐ ÚÓÐÙÑ ÙÒ ØÖÓÒÓ Ô Ö Ñ Ð Ö ÒÞ ØÖ ÚÓÐÙÑ Ù Ô Ö Ñ º

47 ½º Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ó Ð Ö b b ÓÒÓ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð ÓÒ Ó Ð ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ b : (x+h) 2 = b : x 2. Ë Ù x ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ( b b )x 2 2h b x h 2 b = 0 ÑÑ ØØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÓ Ø Ú x = h b + b b b b. ËÓ Ø ØÙ Ò Ó Ò ÐÐ ½º º¾µ Ð Ú ÐÓÖ x ØÖÓÚ ØÓ ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ø º Ö Þ Ó ½º½ º ÑÓ ØÖ Ö Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ Ö Ö Ó r V = 4 3 πr3. ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ñ ¹ Ö S Ö Ó r Ð ÖÓ Ö Ú ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÖÓ ÓÒ ÐØ ÞÞ Ô Ö Ð Ö Ó ÐÐ Ö º Ë ÓÒ Ö ÔÓ ÙÒ ÓÒÓ ÖÓÐ Ö Ö ØØÓ ÓÒ Ð Ú ÖØ Ò Ð ÒØÖÓ ÐÐ Ö Ð Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ð Ò ÖÓº Æ ÐÐ ÙÖ ½º ÑÓ ØÖ ÑÓ ÙÒ Þ ÓÒ Ú ÖØ Ð ÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ö ØØ ÓÔÖ º ÙÖ ½º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ðг Ö Þ Ó ½º½ º Ó ÑÓ ØÖ ÑÓ Ð Ù ÒØ ÖÑ Þ ÓÒ ÁÒ Ó Ò Ô ÒÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð ÒØ Ö Ð ÓÒ ÙÖ Þ ÓÒ ØÖ ÓРг Ö ÐÐ Þ ÓÒ Ñ ¹ Ö Ô Ö Ðг Ö ÐÐ Þ ÓÒ Ð Ð Ò ÖÓ Ñ ÒÓ Ð³ Ö ÐÐ Þ ÓÒ Ð ÓÒÓº

48 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ð Ô ÒÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð ÙÒ ÖØ ÕÙÓØ hº ÁÐ Ö Ó ÐÐ Þ ÓÒ S h Ñ ¹ Ö Ö Ù Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ r Sh = r 2 h 2 º ÉÙ Ò Ð³ Ö S h Ú ÒØ (S h ) = π (r 2 h 2 )º ij Ö ÐÐ Þ ÓÒ Ð Ò ÖÓ ÒÓÒ Ô Ò h ÑÔÖ Ô Ö Ðг Ö ÐÐ Ó π r 2 º ÁÐ Ô ÒÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð ÒØ Ö Ð ÓÒÓ Ò ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ö Ó h Ó ØÖÙ ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ØÖ Ò ÓÐÓ Ó Ð Ô Ö Ú Ö Ö ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Øµº Ë Ù Ð³ Ö ÐÐ Þ ÓÒ ÓÒÓ π h 2 º ÐÓÐ Ò Ó ÓÖ Ð³ Ö ÐÐ Þ ÓÒ Ð Ò ÖÓ Ñ ÒÓ Ð³ Ö ÐÐ Þ ÓÒ ÓÒÓ ÓØØ Ò π r 2 π h 2 = π (r 2 h 2 ) = (S h ). È Ö ÓÒÐÙ Ö ÙØ Ð ÞÞ ÑÓ Ð Ù ÒØ ÔÖ Ò Ô Ó Ð ÚÓÐÙÑ Ë Ù ÓÐ ÒÒÓ ØÙØØ Ð Þ ÓÒ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð Ô Ö Ö ÐÐÓÖ ÓÐ ÒÒÓ ÐÓ Ø Ó ÚÓÐÙÑ º Í Ò Ó ÕÙ ØÓ Ö Ø Ö Ó Ù ÑÓ Ð ÚÓÐÙÑ ÐÐ Ñ ¹ Ö Ð Ö ÒÞ Ð ÚÓÐÙÑ Ð Ð Ò ÖÓ Ñ ÒÓ Ð ÚÓÐÙÑ Ð ÓÒÓ V(S) = π r 2 r π r2 r 3 = 2 3 π r3. ÁÐ ÚÓÐÙÑ ÐÐ Ö Ò Ó Ù ÚÓÐØ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÔÖÓÔÖ Ó ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ö Ø º ½º Ö Þ ÔÖÓÔÓ Ø Ö Þ Ó ½º½ º ÁÒ ÙÒ ÕÙ Ö ØÓ CD M Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó º ÍÒ Ö ØØ Ô Ö M Ô ÖÔ Ò ÓÐ Ö MC ÒÓÒØÖ D Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Kº ÅÓ ØÖ Ö CM = KCMº Ö Þ Ó ½º½ º ØÓ ÙÒ ÕÙ Ö ØÓ CD E ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØ ÖÒÓ Ø Ð ÊDC = ÊCD = 15 ÑÓ ØÖ Ö E ÕÙ Ð Ø ÖÓº Ö Þ Ó ½º½ º Ë C ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ö ØØÓ Ò Cº Ë ÒÓ D E Ù ÔÙÒØ Ù Ø Ð D = C E = Cº ÁÒ Ø ÓÒ G Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð D Ù C ÓÒ F Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð E Ù C ÑÓ ØÖ Ö DE = EF +DGº Ö Þ Ó ½º¾¼º Ä Ñ ÙÖ ÐÐ Ñ ÓÖ DC ÙÒ ØÖ Ô Þ Ó,,C,D º Ä Ñ ÙÖ Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ ÔÙÒØ Ñ E F ÐÐ ÓÒ Ð Ñ ÙÖ º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ÙÖ ÐÐ Ñ ÒÓÖ º

49 ½º ÓÑÑ ÒØ Ö Þ Ó ½º¾½º Ù Ô Ð ÙÒ Ð Ò Ð ØØÖ ÓÒÓ ÐØ ¼ ¼ Ñ ¹ ØÖ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ º Ú ÙÔÔÓÖØÓ ÓÒÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ó Ò Ô ÐÓ ÐÐ Ðг ÐØÖÓº ÐØ ÞÞ h Ð ÙÓÐÓ ØÖÓÚ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ù Ú Ö Þ Ó ½º¾¾º ÍÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ó Ð ½¾ ÐØ ÞÞ º ÍÒ ÓÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò Ö ØØ Ò ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ö Ø Ò ÒØ ÐÐ ÔÖ Ñ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ð Ø Ù Ù Ð Ð ØÖ Ò ÓÐÓº Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ó r ÐÐ ÓÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ º Ö Þ Ó ½º¾ º ÍÒ Ô Ö Ñ Ö ØØ ÕÙ Ö Ø Ð³ Ö ÐÐ ÙÔ Ö ØÓØ Ð ¼¼ Ñ 2 º Ë Ô Ò Ó Ð³ Ö ÐÐ ÙÔ Ö 8/17 Ðг Ö ÐÐ ÙÔ Ö Ð Ø Ö Ð ÐÓÐ Ö Ð ÚÓÐÙÑ Ð ÓÐ Óº Ö Þ Ó ½º¾ º Ä Ñ ÙÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ ØÖ Ô Þ Ó Ö ØØ Ò ÓÐÓ ¾ Ñ Ð Ð ØÓ Ó Ð ÕÙÓ ½¼ Ñ Ð Ö ÒÞ ÐРѺ ÐÓÐ Ö Ð³ Ö ØÓØ Ð Ð ÚÓÐÙÑ Ð ÓÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð ØÖ Ô Þ Ó ØØÓÖÒÓ ÐÐ Ñ ÓÖ º ½º ÓÑÑ ÒØ ÁÐ ÒÓØ ÑÓ Î ÔÓ ØÙÐ ØÓ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð Ò ÐÐ Ù ÓÖ¹ ÑÙÐ Þ ÓÒ Ô ÑÓ ÖÒ Ö ÙÐØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÐ Ù ÒØ ÖÞ ÓÒ È Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ô ÙÒ ÙÒ ÓÐ Ô Ö ÐÐ Ð ÙÒ Ö ØØ Ø º Æ Ð ÓÖ Ó ÓÐ ÒÙÑ ÖÓ Ñ Ø Ñ Ø Ø ÒØ ÖÓÒÓ ÑÓ ØÖ Ö Ð Î ÔÓ ØÙÐ ØÓ Ö ÓÒ Ù ÒÞ ÔÖ Ñ ÕÙ ØØÖÓ ÈÖÓÐÓ ÈÓ ÓÒ Ó ÌÓÐÓÑ Ó ÒÓÐØÖ ÐÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö µº Æ Ð ½ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÚ ÒÒ ¹ ÖÓÐ ÑÓ Ë Ö Ö ØØ Ú Ö ÑÓ ØÖ ØÓ Ð Î ÔÓ ØÙÐ ØÓ Ö ÓÒ Ò Ó Ò Ð Ù ÒØ ÓÖ Ò ÙÑÓÒÓ ÓÐÓ ÔÖ Ñ ÕÙ ØØÖÓ ÔÓ ØÙÐ Ø Ð ÓÑ ØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ÐÐ ÙÐ µ Ò Ö Ú ÓÒØÖ ØØÓÖ º ÁÒ Ö ÐØ Ò Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ë Ö ÒÓÒ Ö ÔÖ ÒØ ÐÙÒ ÓÒØÖ ¹ Þ ÓÒ Ð ÙÓ Ð ÚÓÖÓ ÐØÖÓ ÒÓÒ Ô Ò Ö Ð ØÖ ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ ÐÐ Ó ØØ ÓÑ ØÖ ÒÓÒ ÙÐ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò ÓÑ ØÖ Ô Ö ÓÐ Ð Ô Ö ÐÐ Ð ÓÒÓ Ò Ò Ø ÑÓ ÐÐÓ Ð Ó ÈÓ Ò Ö µ Ñ ÒØÖ Ò ÐÐ Ó¹ Ñ ØÖ ÐÐ ØØ ÑÓ ÐÐÓ ÐÐ Ö Ê Ñ ÒÒµ Ù Ö ØØ Ø ÒØ ÒÒÓ

50 ÓÑ ØÖ ÙÐ ÑÔÖ Ù ÔÙÒØ Ò ÓÑÙÒ º Ä ÓÑ ØÖ ÒÓÒ ÙÐ ÒÒÓ ÑÔÓÖØ Ò¹ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ Ò Ú Ö ÑÔ ÓÑ ÑÔ Ó Ð³ Ö Ø ØØÙÖ ÓÑ ØÖ ÔÖÓ ØØ Ú Ö ØØ Ú µº ÓÖ ÒÓÒ ÓÖÔÖ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ Ô ¹ Ö Ñ Ó ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓÒ Ó ÒÓØ Ð ÒØ Þ º È Ö Ñ Ö Ú Ð Ò Ð ÑÓ Ó Ô Ô ÖÓ Ê Ò Ò ÒÓØÓ ÓÑ Ô Ô ÖÓ ¹ Ñ Ð ÒÓÑ ÐÐÓ Ö ÐÓ ØÖ Ö Ú Ö Ó Ð ½ ¼ º µ Ò Ø ÙÒ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ö ÓÖÓ ÕÙ Ø ÓÖÑÙÐ º ÆÓÒ ÑÓÐØÓ ÒÓØÓ Ò Ô Ó ÒØ Ð Ò Ð ÓÐÓ ÁÁÁ Ð Ö Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ó Ò Ä Ù ÀÙ ÖÖ Ú ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ó ØÖÙØØ ÚÓ Ð ÓÖ ØÑ Óµ ÑÓÐØ Ö ÙÐØ Ø ÐÐ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ò ÕÙ Ð Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ó Ð ÐÓÐÓ Ð ÚÓÐÙÑ ÙÒ Ô Ö Ñ º

51 2 Elementi di trigonometria ¾º¼ ËÓÔ Ð Ô ØÓÐÓ Ä ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒÓ Ð ØÖÙÑ ÒØ Ô ÙØ Ð Ðг ÒØ ÖÒÓ Ð Ó ØØÓ ÐÙÐÙ Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ò Ð Ø Ò ÑÔ ØÓ Ò ÐÐ Ð Ò Ù Ò¹ Ð Ô Ö Ò Ö Ð³ Ò Ñ ÐÐ Ö ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÒØÓÖÒÓ ÐÐ ÕÙ Ð Ú ÐÙÔÔ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÖÒ Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Ð Ö Ð Ò Ö º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ Ú ÖÖ ÒÒÓ ÔÓ Ø ÓÒ ØØ ÒØÖÓ Ùع Ø Ú Ö Ð Ø Ú ÐÐ ÔÖ Ò Ô Ð ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ sinx cosx tanxº Î Ö ÑÓ ÔÓ ÐÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØØ ÐÐÓ ØÙ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÙÖ ÓÑ ØÖ º ÁÒ ÙÒ ÓÒØ ØÓ Ú ÒÞ ØÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ñ ØÙ¹ Ö Ø ÒØ Ö Ð ÓÒ Ô ÚÓÐ ÞÞ ÐÐ Ó Ø ÒÞ Ð ÙÒ Ø Ú Ö Ö Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ò Ö ÐÑ ÒØ ÐÐ ÒÞ Ñ Ø Ñ Ø Ðг Ö Ñ Ó¹ ÓÐÓ º ÁÒ ÕÙ ØÓ ÓÖ Ò ØØÖ Ú Ö Ó ÐÓ ØÙ Ó ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ Ð Ð ØØÓÖ Ò Þ Ö Ô Ö Ô Ö Ö ØØ Ñ ÒØ Ð ÓÐÐ Ñ ÒØÓ Ö ØØÓ ØÖ ÓÒ ØØ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð Ô ØÓÐÓ ½µ Ð ÒÓÞ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ðг Ò Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø º

52 ¼ ¾º½ Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð y Q γ P O sinα α cosα H tanα x ÙÖ ¾º½ Ä ÖÓÒ Ö ÒÞ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ó ÙÒ Ø Ö Óµº ÑÓ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ¾º½ Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò Ø [1,0]º ÙÒÕÙ Ð ÖÓÒ Ö ÒÞ Ò ÙÖ ¾º½ Ñ ÑÓ γ ÒØÖÓ O Ö Ó 1º ÌÙØØ Ð Ò ÓÐ Ö ÒÒÓ Ñ ÙÖ Ø Ò Ö ÒØ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ö ÓÖ ÑÓ Ð Ñ ÙÖ Ò Ö ÒØ Ðг Ò ÓÐÓ α Ø ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÖÓ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ó P Ú Ô Ö Ð ÐÙÒ ÞÞ Ð Ö Ó Oº Ë ÒØ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ö α = P O. ÕÙ Ø Ö ØØÙÖ Ù ÑÓ Ð Ñ ÙÖ Ò Ö ÒØ α Ò Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ØÖ Ù ÐÙÒ ÞÞ Ñ Ò ÓÒ Ð Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ ÓÖ Ö Ú Ö Ö Ð ÔÙÒØÓ P Ù γ Ô ÖÓÖÖ Ò ÓÐ Ô ÖØ Ö Ò Ò Ó ÒØ ÓÖ Ö Óº ÉÙ Ò Ó P ÚÖ Ô ÖÓÖ Ó ÙÒ ÒØ ÖÓ ÖÓ Ð ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ ÒØ Ò ÓÐÓ α Ö Ö ÙØÓ 0 2π ÓÒ Ù Ò Ö Ð ÔÖ Ñ Ù ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ð ÒÓ Ð Ó ÒÓ α ÒÓØ Ö ÑÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ sinα cosαº

53 ¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ½ Ò Þ ÓÒ ¾º½º ØÓ ÙÒ Ò ÓÐÓ α [0,2π] Ò ÑÓ sinα = ÓÖ Ò Ø P, α [0,2π] ¾º½º½µ cosα = P, α [0,2π]. ¾º½º¾µ Ê ÓÒ ÑÓ ÙÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ù Ö Ò Ó Ð ÙÖ ¾º½º ÈÓ ÑÓ Ó Ö¹ Ú Ö ÕÙ Ò Ó α Ö 0 π/2 sinα Ö Ð Ú ÐÓÖ 0 Ð Ú ÐÓÖ 1º Ë ÔÓ α Ô π/2 π sinα Ö 1 0º ÁÒ ÑÓ Ó Ñ Ð ÕÙ Ò Ó α Ö π 3π/2 sinα Ö 0 1 Ô Ö ÔÓ Ö Ö 1 0 ÕÙ Ò Ó α Ô 3π/2 2πº ÍÒ ÚÓÐØ Ô ØÓ ÒÓÒ ÓÚÖ ÓÖÔÖ Ò Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ ÙÐг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [0,2π] г Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ¾º¾º y 1 3π 2 π π 2 0 π 2 π 3π 2 2π x 1 ÙÖ ¾º¾ ÁÐ Ö Ó sinxº Ë ÒÓØ Ô Ö ÙÒ ÓÖÑ Ø ØÖ ØØ Þ ÓÒ Ò ÕÙ Ø ÙÖ ÑÓ ¹ Ñ ØÓ x г Ö ÓÑ ÒØÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ó ÑÓ Ö ØØÓ sinx ÒÚ sinαµº ÁÒÓÐØÖ Ô Ò Ò Ó P ÓÑÔ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò ØÓ Ö ÐÙÒ Ó γ ÑÓ Ø Ó Ð Ò Þ ÓÒ sinx Ó Ò x Rº Ä ÙÒÞ ÓÒ Ö ÙÐØ ÕÙ Ò Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö Ó Ù R Ô Ö Ó Ó T = 2π Ó Ò ÓÖÑÙÐ sin(x) = sin(x+t), x R. ¾º½º µ ËÓØØÓÐ Ò ÑÓ ÑÓÐØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ú Ö Ô ØÓ Ò Ð Ð Ñ ØÖ Ð ÙÖ ¾º½ Ð Ò Þ ÓÒ ¾º½º½µ Ð Ö Ó sinx ÐÐ ÙÖ ¾º¾º Ë ÓÚÖ ÖÓ ÔÓ Ö ÓÒÓ Ö Ö ÓÒ Ò Ó ÙÐÐ ÙÖ ¾º Ð ÙÐØ Ö ÓÖ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø Ú Ð x R

54 ¾ Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ y π 2 +α π 2 α π α α O x π+α α ÙÖ ¾º Ò ÓÐ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö º µ sin( x) = sinx sin(x+π) = sinx ¾º½º µ µ sin(π x) = sinx. Ä Ú ÒÞ sinx ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö º Ö Þ Ó ¾º½º Î Ö Ö sin 2 x+cos 2 x = 1 µ sin( π 4 ) = 2 2 ¾º½º µ µ sin( π 6 ) = 1 2. ÆÓØ sin 2 x Ò (sinx) 2 ÒÓÒ sin(x 2 )º ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ä Ù Ðг ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ OHP Ò ÙÖ ¾º½º È Ö Ú Ö Ö Ð µ ÔÙ Ó ÖÚ Ö sin(π/4) = cos(π/4)º ËÓ Ø ØÙ Ò Ó ÕÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ Ò ÐÐ ÓØØ Ò 2sin 2 (π/4) = 1 Ù Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ù Ð º

55 ¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð µ Ð Ð ØØÓÖ Ú Ö ÓÒÓ Ö OHP ÕÙ Ò Ó α = π/6 Ð Ñ Ø ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ØÖ Ò ÓÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÓÒ Ð ØÓ ÐÙÒ ÞÞ 1º Ê ÓÒ Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÕÙ ÒØÓ ØØÓ Ô Ösinx ÖÖ Ú ÐÐ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø cosx Ú Ð x R µ µ cosx = cos(x+2π) cosx = cos( x) cos(x+π) = cosx ¾º½º µ Úµ cos(π x) = cosx. Ä µ ÑÓ ØÖ cosx ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö º ÁÒÓÐØÖ ÑÔÖ Ö ÓÒ Ò¹ Ó ÙÐÐ ÙÖ ¾º ÙØ Ð Ö Ò Ö ÓÒØÓ Ú Ð ÓÒÓ Ò Ð Ù ÒØ Ö Ð Þ ÓÒ sin(x+ π 2 ) = cosx µ µ cos(x+ π 2 ) = sinx sin( π x) = cosx 2 ¾º½º µ Úµ cos( π 2 x) = sinx. ÁÐ Ö Ó cosx ÐÐÙ ØÖ ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ ¾º º ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ò ÑÓ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ÙÒ Ö Ñ ÒØÓ ÙÐ Ñ ØÓ Ó ØÙ Ó Ö ÓÒ Ö ÙÐÐ Ù¹ Ö ¾º½ ÑÔÐ Ò ÓÒ ÐгÓÓÖÖ ÒÞ ØØ Ð µ Ò Ö Ð Þ ÓÒ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ö ÒÓ ÙÖ ¾º ÙÒ Ö Þ Ó ÑÓÐØÓ ÓÖÑ Ø ÚÓ ÙØ Ð º Ð ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ø Ò ÑÓ ÔÓÓ ÔÖÓ ÙØØ ÚÓ Ñ ÑÓÖ ÞÞ Ö Ð Ú Ö ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ò Ô ÙØØÓ ØÓ ÓÒ ÙÐØ Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ó ÑÔ Ö Ö ÙØ Ð ÞÞ ÖÐÓº ÁÒ Ò Ö ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ØÖ Ò ÓÐ Ò Ð ÔÖÓ Ó ÓÒ Ù ÐÐ Ø ÖÑ Ò Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð Ú ÐÓÖ ØÖ Ò ÓÐ ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ ØÖ Ð Ø ÙÒ ØÓ ØÖ Ò ÓÐÓº ÁÐ ÔÖÓ ÑÓ Ö Þ Ó ÓÒ ÒØ

56 Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ y 1 3π 2 π π 2 0 π 2 π 3π 2 2π x 1 ÙÖ ¾º ÁÐ Ö Ó cosx º ÓÒÐÙ Ö Ð Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÔÓ Ð ÕÙ Ò Ó ÓÒÓ ÒÓ ÙÒ Ð ØÓ ÙÒ Ò ÓÐÓ α α π/2µº Ö Þ Ó ¾º¾º Ë ÓÒ Ö Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ò ÙÖ ¾º º Ä Ð ØØ Ö a b c Ò ÒÓ Ð ÐÙÒ ÞÞ Ð Ø Ñ ÒØÖ α β ÓÒÓ Ù Ò ÓÐ ÓÔÔÓ Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð Ø a bº ÑÓ ØÖ Ö Ú Ð ÓÒÓ Ð Ù ÒØ P y β P c a r=1 O α H x α O b H ÙÖ ¾º Ê Ð Þ ÓÒ Ö Ò ÓÐ Ð Ø Ò ÙÒ ØÖ Ò ÓÐÓ Ö ØØ Ò ÓÐÓº Ö Ð Þ ÓÒ b = ccosα µ a = csinα µ a b = sinα cosα. ¾º½º µ

57 ¾º½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ð ÓÒ ÖÓÒØÓ Ò ÙÖ ¾º Ù ÑÓ Ù ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ OHP O H P ÓÒÓ Ñ Ð º ÙÒÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ O H : OH = O P : OP, ÕÙ Ú Ð b : cosα = c : 1, Ù Ö Ú ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð ¾º½º µº Ä ¾º½º µ µ Ñ Ð Ñ ÒØÖ Ð ¾º½º µ µ Ö ØØ ÓÒ Ù ÒÞ ¾º½º µ µº ij Ö Þ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ö Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÙÒ³Ó ÖÚ Þ ÓÒ Ò ¹ Ö Ð Ð³ÓÖ Ò Ö ÐÐ Ô ÖÓÐ ØÖ ÓÒÓ¹Ñ ØÖ ØÖ Ò ÓÐÓ¹Ñ ÙÖ µ Ö ¹ Ñ Ò ÐÐÓ Ô Ö ØÓ Ú ÒÞ ØÓ Ò Ð ï¾º¼ Ð ØØÓ Ð³ ÒÞ ÕÙ Ø Ö Ò ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÓÖÒ Ö ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ Ñ ÙÖ Þ Ó¹ Ò ÐÓÐÓ Ò Ö ØØ Ñ ÒØ Ðг ÔÔÐ Þ ÓÒ ÓÒ ØØ ÕÙ Ð Ð Ñ Ð ØÙ Ò ØÖ ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÖ Ò ÓÐ Ò Ø Ò Ðг Ñ ØÓ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ù¹ Ð Ð ÓÔÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ð Ð ØØÓÖ Ö ÔÖÓÚ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ Ð Ú Ö ÐÐ ÓÖÑÙÐ ¾º½º µµº ÇÖ ÔÓ ÑÓ Ô Ö Ðг ÐØÖ ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ Ø Ò ÒØ α ÒÓØ Ø tanαº È ÔÖ Ñ ÒØ Ð ¾º½º µ µ Ù Ö Ò Ö tanα = sinα cosα, ¾º½º µ α R Ø Ð cosα 0 Ó α R, α π/2+kπ, k Zº ÐÐ Ñ Ð ØÙ Ò ØÖ Ò ÓÐ Ö ØØ Ò ÓÐ OHP OQ Ò ÙÖ ¾º½ Ù ÑÓ tanα Ó Ò ÓÒ Ð³ÓÖ Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ Q Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ÕÙ Ò Ó Ð³ Ò ÓÐÓ α Ú Ö π/2 π/2 Ð ÙÒÞ ÓÒ tanα Ö + º ÉÙ Ò Ø Ò Ò Ó ØÙØØ Ð x R, x π/2+kπ, k Z ÑÓ Ð Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ tanx Ö ÔÓÖØ ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ ¾º º Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¾º½º Ä Ø Ò ÒØ Ðг Ò ÓÐÓ θ ÓÑÔÖ Ó ØÖ ÙÒ Ö ØØ r г x Ô ÖØ ÔÓ Ø Ú µ Ó Ò ÓÒ Ð Ó ÒØ Ò ÓÐ Ö m ÐÐ Ö ØØ Ø º È Ö Ú Ö Ö ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ Ö Ð ÙÖ ¾º º ÔÔÐ Ò Ó ¾º½º µ µ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ OQP ØÖÓÚ tanθ = y x = m.

58 Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ y 3π 2 π π 2 0 π 2 π 3π 2 x ÙÖ ¾º ÁÐ Ö Ó tanx, x R, x π 2 +kπ º y r y P O θ Q=[x,0] x ÙÖ ¾º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ Ð Ó ÒØ Ò ÓÐ Ö ÙÒ Ö ØØ º Ò Ò ÕÙ ØÓ Ð ÖÓ ÒÓÒ Ò Ö ÑÓ Ù Ó Ò Ð ÑÓ Ô Ö ÓÑÔÐ Ø ÞÞ Ð Ò Þ ÓÒ ÐÐ Ù ÒØ ÙÒÞ ÓÒ Ñ Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÓØ Ò ÒØ

59 ¾º¾ ÍÐØ Ö ÓÖ ÑÔ ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ó ÒØ cotx = cosx, x R, x kπ, k Z sinx µ secx = 1 cosx, x R, x π 2 +kπ, k Z µ cscx = 1, x R, x kπ, k Z. sinx ¾º½º½¼µ ¾º¾ ÍÐØ Ö ÓÖ ÑÔ ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ Æ ÐÐ Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÔÖ Ó ÓÒ ÒÞ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÙÒ¹ Þ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ú Ö ØÓ ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ø ÒÓØ ÚÓÐ ÑÔÓÖØ ÒÞ ÕÙ Ð Ð ¾º½º µ ¾º½º µº ÓÖÒ Ö ÙÒ ÕÙ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ ØÙØØ Ð ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØÖÓÚ ÒÓ ÑÔ Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Ö ÓÑÔÖ Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ Ó ØØ ÚÓ Ò Ð Ð ÒÓ¹ ØÖ ÓÔ º ÁÒ ÕÙ Ø Ò ÐÐ Ù Ú Þ ÓÒ ÔÖÓÔÓÒ ÑÓ Ô ÙØØÓ ØÓ ÙØ Ö ÓÐÓ ÐÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØ Ø ÒØÖÓ Ù Ò Ó Ô Ö Ò ÕÙ Ö ÓÒ Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ø ÒÒÓ ÐÐ ÐÐ ÐÓÖÓ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÕÙ ØÓ ÓÚÖ ÓÒØÖ Ù Ö ÓÒ ÓÐ Ö Ò Ð Ð ØØÓÖ Ð Ô Ö Þ ÓÒ ÐÐÓ ØÖ ØØ ÑÓ Ð Ñ ØÖ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ð º ÁÒ Þ ÑÓ ÓÒ Ð Ó ØØ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓØØÖ Þ ÓÒ ÔÔ ¹ Ö ÒØ Ñ ÒØ Ñ Ö Ó ÖÓ ÒÓØ ÌÓÐÓÑ Ó Ò Ð ½ ¼ º º cos(α β) = cosα cosβ +sinα sinβ cos(α+β) = cosα cosβ sinα sinβ sin(α+β) = sinα cosβ +cosα sinβ sin(α β) = sinα cosβ cosα sinβ, ¾º¾º½µ ¾º¾º¾µ ¾º¾º µ ¾º¾º µ ÓÚ α β ÓÒÓ Ò ÓÐ ÕÙ Ð º ËÔ ÑÓ ÓÖ Ô Ö ÔÖ Ñ Ó ÕÙ Ð Ö ÓÑ ÒØ Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ö Ú Ð ¾º¾º½µ Ó ÖÚ ÑÓ Ð ÙÖ ¾º º ØÓ = [1,0] Ù Ö ØØ Ñ ÒØ ÐÐ Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø ÔÙÒØ P Q R ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ

60 Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ y R Q α β β P α =[1,0] x ÙÖ ¾º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÐÐ ¾º¾º½µº (i) P = [cosα,sinα] (ii) Q = [cos(α β),sin(α β)] (iii) R = [cosβ,sinβ]. ¾º¾º µ ÇÖ Ó ÖÚ ÑÓ Ñ ÒØ PR Q ÒÒÓ Ð Ø ÐÙÒ ÞÞ Ò ÕÙ ÒØÓ ØÖ ØØ Ù ÓÖ ÓØØ Ò ÓÐ Ù Ù Ð Ò ÕÙ ÒØÓ ÒØÖ Ñ ÑÔ ÞÞ Ô Ö (α β)º È ÖØ ÒØÓ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ÓÓÖ Ò Ø ¾º¾º µ Ú Ö ÔÙÒØ Ð Ú Ö Ö ÔÔÐ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ ÐÐ Ø ÒÞ ØÖ Ù ÔÙÒØ Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ù Ù Ð ÒÞ [ dist(p,r) ] 2 = [ dist(q,) ] 2 ÕÙ Ú Ð (cosα cosβ) 2 +(sinα sinβ) 2 = [cos(α β) 1] 2 +sin 2 (α β). ¾º¾º µ ËÚÓÐ Ò Ó ÐÓÐ Ò ¾º¾º µ Ø Ò Ò Ó ÓÒØÓ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ Ñ ÒØ ¹ Ð ¾º½º µ Ô ÖÚ Ò 2 2 cosα cosβ 2 sinα sinβ = 2 2 cos(α β) ØØÙ Ø Ð ÓÚÚ ÑÔÐ Þ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ó ¾º¾º½µº ¾º¾º µ

61 ¾º¾ ÍÐØ Ö ÓÖ ÑÔ ÒØ Ø ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Þ Ó ¾º º Í Ò Ó Ð ¾º¾º½µ Ú Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ¾º¾º¾µ ¾º¾º µ ¾º¾º µº ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ä ¾º¾º¾µ Ù ÐÐ ¾º¾º½µ Ó Ø ØÙ Ò Ó β ÓÒ β Ù Ò Ó Ð ÑÑ ØÖ Ù ÒØ cosβ = cos( β) ; sin( β) = sinβ. ÁÒ ÑÓ Ó Ñ Ð ÓØØ Ò Ð ¾º¾º µ ÐÐ ¾º¾º µº È Ö Ú Ö Ö Ð ¾º¾º µ Ó ÖÚ ÑÓ Ù Ò Ó ¾º½º µ µ ( sin(α+β) = cos (α+β)+ π ) ( = cos α+ ( β + π ) ). ¾º¾º µ 2 2 Í Ò Ó ÓÖ Ð ¾º¾º¾µ Ò ¾º¾º µ Ù ÑÓ [ sin(α+β) = cosα cos ( β + π ) ( π ) ] sinα sin β +. ¾º¾º µ 2 2 ÔÔÐ Ò Ó ÒÓÖ ¾º½º µ ÖÖ Ú ÑÓ ÕÙ Ú Ð ¾º¾º µº sin(α+β) = [cosα( sinβ) sinα cosβ], ¾º¾º½¼µ Ö Þ Ó ¾º ÓÖÑÙÐ ÙÔÐ Þ ÓÒ µº Î Ö Ö (i) cos2α = cos 2 α sin 2 α (ii) sin2α = 2sinα cosα. ¾º¾º½½µ ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ä Ù ÑÑ Ø Ñ ÒØ ¾º¾º¾µ ÓÒ α = β Ñ ÒØÖ µ Ò ¾º¾º µ ÑÔÖ ÓÒ α = βº Ö Þ Ó ¾º º Î Ö Ö (i) cos 2 α = 1 2 (1+cos2α) (ii) sin 2 α = 1 2 (1 cos2α). ¾º¾º½¾µ È Ö Ð Ù ÑÓ Ð ¾º¾º½½µº ÇØØ Ò ÑÓ 1 2 (1+cos2α) = 1 [ 2 1+cos 2 α sin 2 α ] = 1 [ 2 (1 sin 2 α)+cos 2 α ] ËÓÐÙÞ ÓÒ º = 1 2 [ 2 cos 2 α ] = cos 2 α. Ä Ú Ö ÐÐ µ Ò ÐÓ Ô ÖØ ÒØÓ Ð Ø Ð Ð ØØÓÖ º

62 ¼ Ð Ñ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¾º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó Ö Þ Ó ¾º º Î Ö Ö Ú ÐÓÖ ÐÐ Ù ÒØ Ø ÐÐ x cosx sinx π/6 3/2 1/2 π/4 2/2 2/2 π/3 1/2 3/2 π/2 0 1 ËÓÐÙÞ ÓÒ º Á Ú ÐÓÖ Ð ÒÓ ÓÒÓ Ø Ø ÐÓÐ Ø Ò Ðг Ö Þ Ó ¾º½ ØÖ ÒÒ sin(π/3)º Ë Ó ÖÚ Ò Ó sin(π/6) = 1/2 ÓØØ Ò ÐÐ ¾º½º µ cos(π/6) = 3/2º Õ٠سÙÐØ Ñ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ¾º½º µ µ ØÖÓÚ sin(π/3) = sin(π/2 π/6) = cos(π/6) = 3/2º Ó ÒÓº ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ØÖÓÚ ÒÓ Ö Ñ Ò ÒØ Ú ÐÓÖ Ð Ö Þ Ó ¾º º Î Ö Ö Ð Ú Ð Ø ÐÐ Ù ÒØ Ù Ù Ð ÒÞ ( sinα < α < tanα, α 0, π ) 2 ¾º º½µ ËÙ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ¾º Ö ÓÒ ÙÖÖ Ð ¾º º½µ ÐÐ Ù ÒØ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÚÚ Ù Ù Ð ÒÞ Ö ( ) rea( OP) < rea OP < rea( OQ), ¾º º¾µ ÓÚ OP ÒÓØ Ð ØØÓÖ ÖÓÐ Ö Ò Ú Ù ØÓ O P º ËÓÐÙÞ ÓÒ º Ë ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÖ ¾º P = [cosα,sinα] e Q = [1,tanα]. Ä ÐØ ÞÞ Ù ØÖ Ò ÓÐ OP OQ Ö Ð Ø Ú ÐÐ O Ú Ð ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ sinα tanα Ô Ö Ù rea( OP) = 1 2 O PH = sinα = 1 2 sinα ; ¾º º µ

63 ¾º Ö Þ Ö Ô ÐÓ Ó ½ y Q γ P α O H =[1,0] x ÙÖ ¾º ÁÐÐÙ ØÖ Þ ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ðг Ö Þ Ó ¾º º rea( OQ) = 1 2 O Q = tanα = 1 2 tanα. ¾º º µ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð³ Ö Ð ØØÓÖ ÖÓÐ Ö OP ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ð ¹ Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ò Ù Ù ÑÓ Ð ØØÓ Ð³ Ö Ð Ó Ð Ñ Ø ØÓ γ Ú Ð π Ñ ÒØÖ Ð ÐÙÒ ÞÞ ØÓØ Ð ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ γ Ñ ÙÖ 2π ( ) π : rea OP = 2π : α. ¾º º µ ÐÐ ¾º º µ Ö Ú ( ) rea OP = α 2. ¾º º µ ÇÖ Ó Ø ØÙ Ò Ó Ð ÔÖ ÓÒ ¾º º µ ¾º º µ ¾º º µ Ò ¾º º¾µ ÓØØ Ò Ñ¹ Ñ Ø Ñ ÒØ Ð ¾º º½µº Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¾º¾º Ä ØÖ ÙÒÞ ÓÒ Ó ÒÚÓÐØ Ò ¾º º½µ ÓÒÓ Ô Ö ÓÚÚ ÖÓ Ó ÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ f(α) = f( α) ÉÙ Ò ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö Ú Ð Ð Ù ÒØ Ò Ö Ð ÞÞ Þ ÓÒ ¾º º½µ sinα < α < tanα, α t.c. 0 < α < π 2. ¾º º µ