Introduzione alla teoria dell implementazione

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1 alla teoria dell implementazione Silvia Villa Dipartimento di Matematica Università di Genova Almo Collegio Borromeo Pavia, 16 Aprile 2008 S. Villa alla teoria dell implementazione

2 Outline S. Villa alla teoria dell implementazione

3 Bibliografia Quanto segue è basato su: F. Patrone, Implementazione con breve introduzione alle scelte sociali e con l esempio di Re Salomone, all indirizzo M. Osborne-A. Rubinstein, A course in game theory (cap.10). S. Villa alla teoria dell implementazione

4 Esempio Un pianificatore vuole assegnare un oggetto a uno tra due individui. Supponiamo che il pianificatore voglia dare l oggetto a colui che lo valuta di più, ma non conosca le valutazioni dei due individui. Il suo problema è inventare un meccanismo con la proprietà che, per ogni coppia di valutazioni possibili, assegni l oggetto all individuo che lo valuta di più. S. Villa alla teoria dell implementazione

5 Dati: un insieme di individui (giocatori) N = {1,..., n} un insieme di possibili alternative A le preferenze di ogni individuo sugli elementi di A S. Villa alla teoria dell implementazione

6 Social choice rule Mettendo assieme le preferenze di ciascun individuo i si costruisce un profilo di preferenze ( 1,..., n ). Chiamiamo P l insieme dei possibili profili. E data una ovvero social choice rule f : P A che ad ogni profilo di preferenze associa un sottoinsieme non vuoto di A. S. Villa alla teoria dell implementazione

7 Problema dell implementazione: Un pianificatore deve inventare un gioco, in una classe di giochi ammissibili G, che implementi la social choice rule, ovvero in modo che il risultato del gioco giocato dai giocatori con le loro preferenze sia l insieme di alternative previste dalla social choice rule. S. Villa alla teoria dell implementazione

8 Osservazioni il pianificatore conosce la social choice rule il pianificatore può scegliere il gioco da far giocare ai giocatori il pianificatore non conosce le preferenze dei giocatori S. Villa alla teoria dell implementazione

9 La classe di giochi G a disposizione del pianificatore è costituita da giochi in forma strategica ad informazione completa (ciascun giocatore conosce le preferenze di tutti i giocatori) Si deve specificare il concetto di soluzione adottato. S. Villa alla teoria dell implementazione

10 Precisazioni il pianificatore può scegliere soltanto la game form (il MECCANISMO) game form + preferenze dei giocatori= gioco S. Villa alla teoria dell implementazione

11 Game form in forma strategica a conseguenze in A E una terna G = (N, (X i ) i N, g) dove N è l insieme dei giocatori (gli individui di prima) X i è un insieme (le strategie a disposizione del giocatore i) g : X A è detta outcome function (X = i N X i) S. Villa alla teoria dell implementazione

12 Aggiungiamo le preferenze Aggiungendo le preferenze dei giocatori otteniamo il gioco in forma strategica (N, (X i ) i N, g, ( ) i N ) = (G, ) S. Villa alla teoria dell implementazione

13 Concetto di soluzione Il concetto di soluzione di cui ci occupiamo è quello di equilibrio di Nash (corrisponde ad un assunzione sulla razionalità strategica dei giocatori). Chiamiamo S la corrispondenza che ad ogni gioco associa i suoi equilibri di Nash. Un equilibrio di Nash del gioco (G, ) è un profilo di strategie (x 1,..., x n) tale che g(x 1,..., x i,..., x n) i g(x 1,..., x i,..., x n) per ogni i N e per ogni x i X i. S. Villa alla teoria dell implementazione

14 Definizione implementabilità Definizione Sia dato un environment E = (N, A, P, G) e sia f : P A una social choice rule.diciamo che G = (N, (X i ) i N, g) G implementa f in equilibrio di Nash se per ogni P, g(s(g, )) = f ( ). Diciamo che f è implementabile in equilibrio di Nash se esiste G che implementa f. S. Villa alla teoria dell implementazione

15 Rappresentazione grafica P f A S. Villa alla teoria dell implementazione

16 Rappresentazione grafica P f A G (G, ) = (N, X, g, ) S. Villa alla teoria dell implementazione

17 Rappresentazione grafica P f A G (G, ) = (N, X, g, ) S X S. Villa alla teoria dell implementazione

18 Rappresentazione grafica P G (G, ) = (N, X, g, ) f S A g X S. Villa alla teoria dell implementazione

19 Esempio Sia N = {1, 2, 3} un insieme di elettori; sia A = {a, b} l insieme di candidati; siano i N le preferenze (strette) degli elettori la social choice rule f : P A è quella di maggioranza S. Villa alla teoria dell implementazione

20 Esempio Sia N = {1, 2, 3} un insieme di elettori; sia A = {a, b} l insieme di candidati; siano i N le preferenze (strette) degli elettori la social choice rule f : P A è quella di maggioranza Sia G la game form in cui X i = {a, b} per ogni i {1, 2, 3} g(x 1, x 2, x 3 ) = a se ci sono almeno due a tra le strategie dei giocatori e b altrimenti. (G, ) implementa la social choice rule di maggioranza. S. Villa alla teoria dell implementazione

21 Esempio-Aste Supponiamo di voler vendere un oggetto e di voler usare il meccanismo dell asta (a busta chiusa). Ci sono solo due possibili acquirenti. l insieme degli esiti è A = {(t 1, t 2, i)}, dove i si aggiudica l oggetto, t 1, t 2 sono i pagamenti fatti dai giocatori; lo spazio delle strategie è X i = [0, + ); g(b 1, b 2 ) = (t 1, t 2, i), dove i è il giocatore che ha offerto di più e t i = b i, e t j = 0 se j i. S. Villa alla teoria dell implementazione

22 Truthful implementation Definizione O-R Sia E = (N, A, P, G) un environment in cui G è una classe di giochi per cui l insieme delle azioni dei giocatori X i = P. La forma strategica G truthfully S implementa la choice rule f : P A se per ogni profilo P si ha: x S(G, ), dove x i = i N; g(x ) f ( ) S. Villa alla teoria dell implementazione

23 Commenti sulla definizione perché abbiamo imposto X i = P? possono esserci soluzioni non truth telling, cioè non si richiede {x } = S(G, ); possono esserci profili di preferenze per cui non ogni esito secondo f è soluzione del gioco, cioè non si richiede g(s(g, )) = f ( ). S. Villa alla teoria dell implementazione

24 Revelation principle Lemma O-R Sia E = (N, A, P, G) un environment. Se la social choice rule f è Nash implementabile allora è truthfully Nash implementabile. S. Villa alla teoria dell implementazione

25 Revelation principle Se f è Nash-implementabile allora c è una game form in cui ogni giocatore deve annunciare un profilo di preferenze dire la verità è un equilibrio di Nash S. Villa alla teoria dell implementazione

26 Esempio O-R Un oggetto deve essere assegnato a un giocatore nell insieme N = {1,..., n}. Per tutti i possibili profili di preferenze solo un giocatore preferisce avere l oggetto anziché non averlo. Vogliamo implementare la funzione di scelta che assegna l oggetto a questo giocatore. Poniamo X i = {SI, NO} g(x 1,..., x n ) = assegna l oggetto al giocatore che corrisponde all indice minimo in cui si trova un SI e al giocatore n altrimenti. S. Villa alla teoria dell implementazione

27 Condizioni necessarie di Nash-implementabilità Definizione O-R Una social choice rule f : P A è monotona secondo Maskin se: c f ( ) c / f ( ) c è un giocatore i N ed un esito a A tale che c i a e a i c. S. Villa alla teoria dell implementazione

28 Condizioni necessarie di Nash-implementabilità Proposizione O-R Sia E = (N, A, P, G) un environment dove G è l insieme di tutti i giochi in forma strategica. Se una social choice rule è Nash-implementabile allora è monotona secondo Maskin. S. Villa alla teoria dell implementazione

29 La storia... Esempio O-R Ciascuna di due donne, 1 e 2, reclama un bimbo; ognuna di loro sa chi è la vera madre, ma nessuna delle due è in grado di provare di essere la vera madre. Salomone cerca di capire quale sia la verità minacciando di dividere il bambino in due, confidando sul fatto che la madre falsa preferisca questo esito a quello in cui la vera madre ottiene il bimbo, mentre la vera madre preferisca dar via il bimbo anziché vederlo tagliato in due. S. Villa alla teoria dell implementazione

30 dell esempio gli esiti possibili sono tre: il bambino viene dato alla donna 1 (a) il bambino viene dato alla donna 2 (b) il bambino viene tagliato in due (d) P = {p, p }: p : a 1 b 1 d; b 2 d 2 a p : a 1 d 1 b; b 2 a 2 d S. Villa alla teoria dell implementazione

31 La regola di scelta sociale f (p ) = {a}; f (p ) = {b} non è implementabile in equilibrio di Nash, poiché non è monotona. Infatti a f (p ) e a / f (p ), ma non si trova un altro esito y e un giocatore i tale che a i y e y i a. S. Villa alla teoria dell implementazione

32 Esempio di game form Strategie di 1: x 1 = MIO, x 2 = SUO, x 3 = MIO, MA SE L ALTRA LO CHIEDE DATELO A LEI le strategie di 2 sono y 1, y 2, y 3, uguali a quelle di 1. Game form: 1 2 y 1 y 2 y 3 x 1 d a a x 2 b d b x 3 b a d S. Villa alla teoria dell implementazione

33 Dalla game form al gioco: preferenze Per aggiungere le preferenze dei giocatori, usiamo le funzioni di utilità: 1 è la vera madre: u 1 (a) = 2, u 1 (b) = 1, u 1 (d) = 0 u 2 (a) = 0, u 2 (b) = 2, u 2 (d) = 1 2 è la vera madre: u 1 u 2 (a) = 2, u 1 (b) = 0, u 1 (d) = 1 (a) = 1, u 2 (b) = 2, u 2 (d) = 0 S. Villa alla teoria dell implementazione

34 Gioco di Re Salomone Se 1 è la vera madre, otteniamo il gioco di sinistra, se 2 è la vera madre quello di destra 1 2 y 1 y 2 y 3 x 1 (0,1) (2,0) (2,0) x 2 (1,2) (0,1) (2,1) x 3 (1,2) (2,0) (0,1) 1 2 y 1 y 2 y 3 x 1 (1,0) (2,1) (2,1) x 2 (0,2) (1,0) (0,2) x 3 (0,2) (2,1) (1,0) S. Villa alla teoria dell implementazione

35 Equilibri del gioco Gli equilibri di Nash sono in rosso 1 2 y 1 y 2 y 3 x 1 (0,1) (2,0) (2,0) x 2 (1,2) (0,1) (2,1) x 3 (1,2) (2,0) (0,1) 1 2 y 1 y 2 y 3 x 1 (1,0) (2,1) (2,1) x 2 (0,2) (1,0) (0,2) x 3 (0,2) (2,1) (1,0) Nel caso 1 sia la vera madre il bambino viene assegnato a 2, nel caso 2 sia la vera madre viene assegnato a 1. S. Villa alla teoria dell implementazione

36 Osservazioni il nome dato alle strategie è irrilevante abbiamo implementato la social choice rule che dà il bambino alla madre falsa (che è monotona nel senso di Maskin) non si può cambiare la game form dopo averla dichiarata (nel nostro modello) meccanismo stocastico? S. Villa alla teoria dell implementazione

37 Meccanismi diretti nel caso di Re Salomone Le strategie a disposizione di 1 e 2 sono X 1 = X 2 = {p, p }. La game form associata a un meccanismo diretto: Gli esiti a i {a, b, d}. 1 2 p p p a 1 a 2 p a 3 a 4 S. Villa alla teoria dell implementazione

38 Meccanismi diretti nel caso di Re Salomone Truthful implementation dire la verità è un equilibrio di Nash. Proviamo con: 1 2 p p p a d p d b Se le due donne fossero sincere, questo funzionerebbe. S. Villa alla teoria dell implementazione

39 Meccanismi diretti nel caso di Re Salomone Che giochi si ottengono? A sinistra 1 è la vera madre, a destra 2 è la vera madre. 1 2 p p p (2,0) (0,1) p (0,1) (1,2) 1 2 p p p (1,2) (1,0) p (1,0) (0,2) In rosso ci sono gli equilibri di Nash. S. Villa alla teoria dell implementazione

40 Informazione incompleta Ciascun giocatore NON conosce le preferenze degli altri giocatori Teoria dell implementazione in equilibrio di Nash bayesiano (cfr. asta) S. Villa alla teoria dell implementazione

41 Come nel caso a informazione completa abbiamo: un insieme di giocatori N; un insieme di possibili alternative A; Le preferenze dei giocatori NON sono conoscenza comune. Aggiungiamo quindi: T i l insieme dei tipi possibili per il giocatore i; p una distribuzione di probabilità su T = i T i; le preferenze di ogni tipo sull insieme A che rappresentiamo attraverso una funzione di utilità u i : A T i R S. Villa alla teoria dell implementazione

42 Un environment nel caso a informazione incompleta è una collezione: (N, A, T, p, (u i ) i N, G) dove G è una classe di giochi in forma strategica a informazione incompleta. S. Villa alla teoria dell implementazione

43 Definizione implementabilità Definizione Sia dato un environment E = (N, A, T, p, (u i ) i N, G) e sia f : T A una social choice function. Diciamo che G = (N, T, p, (X i ) i N, g) G implementa f in equilibrio di Nash bayesiano se g(s 1 (t 1),..., s n(t n )) = f (t 1,..., t n ) per ogni equilibrio di Nash bayesiano (s 1,..., s n) di (G, (u i ) i N ) e per ogni (t 1,..., t n ) T. In altri termini, se S è l insieme degli equilibri di Nash bayesiani di (G, (u i )): g(s(g, (u i ) i N )) = f S. Villa alla teoria dell implementazione

44 Meccanismi diretti e incentive compatibility Definizione Una social choice function è incentive compatible (o truthfully implementabile) se (s 1 (t 1),..., s n(t n )) = (t 1,..., t n ) è un equilibrio di Nash bayesiano del meccanismo diretto (G, (u i ) i N ) con outcome function f. S. Villa alla teoria dell implementazione

45 Commenti Si parla di meccanismi diretti quando la classe di giochi considerata è tale che l insieme delle azioni del giocatore i è T i. f è incentive compatible se ogni giocatore non ha interesse a mentire dichiarando un tipo diverso da quello che è in reltà, quando tutti gli altri giocatori riportano il loro vero tipo. S. Villa alla teoria dell implementazione

46 Revelation principle (Myerson) Teorema Se f è implementabile in equilibrio di Nash bayesiano allora soddisfa la proprietà di incentive compatibility, ovvero è truthfully implementabile. S. Villa alla teoria dell implementazione

47 Ulteriore bibliografia R. Serrano, The theory of implementation of social choice rules (per la parte ad informazione incompleta) M. Jackson, A crash course in implementation theory S. Villa alla teoria dell implementazione