MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI. Anna TORRE

Transcript

1 MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI Anna TORRE Dipartimento di Matematica, Università di Pavia, Via Ferrata 1, 27100, Pavia, Italy.

2 Una importante classificazione che occorre fare nel contesto dei giochi discende dalla risposta alla seguente domanda: Vi è oppure no per i giocatori la possibilità di sottoscrivere accordi vincolanti? In presenza di questa possibilità si parla di giochi cooperativi, in caso contrario si parla di giochi non cooperativi. 1

3 CI OCCUPIAMO ORA DI GIOCHI NON COOPERATIVI Una prima distinzione all interno dei giochi non cooperativi è quella tra: giochi a informazione completa giochi a informazione incompleta 2

4 Per operare una descrizione formale dei giochi non cooperativi a informazione completa si è soliti ricorrere a due modalità rappresentative: la forma estesa e la forma strategica. 3

5 Si dice che un gioco è in forma estesa quando la descrizione è fatta con un albero : si tratta di costruire un grafo che, partendo dalla radice, descriva il gioco mossa per mossa, fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali, ciascuna esito univoco di una data serie di mosse. La forma normale (o strategica) invece precisa il numero dei giocatori e lo spazio delle loro strategie. Si noti che le strategie in questa descrizione sono un dato del problema, mentre nella forma estesa abbiamo una serie di mosse, ed un compito delicato di chi analizza il gioco è proprio quello di dedurre da queste le strategie di ogni giocatore. 4

6 La forma estesa consiste in una descrizione dettagliata di tutte le possibili partite. È stata introdotta da von Neumann e Morgenstern (1944) e formalizzata da Kuhn (1953) 5

7 FIAMMIFERI Ci sono due mucchietti di due fiammiferi ciascuno. Due giocatori a turno levano un certo numero (strettamente positivo) di fiammiferi tutti dallo stesso mucchio. Chi toglie l ultimo fiammifero perde. Come formalizzare? L idea è semplice. Basta costruire un albero. Cominciamo con il descrivere tutte le possibili mosse del primo giocatore all inizio della partita. Cosa può fare il primo gicatore? Può togliere dal primo mucchietto uno o due fiammiferi oppure fare la stessa cosa dal secondo mucchietto. Naturalmente c è simmetria tra le operazioni che si possono fare sul primo e sul secondo mucchietto e quindi possiamo pensare che possa solo togliere dal primo. Indichiamo con: 6

8 a toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto b toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto A questo punto cosa può fare il secondo giocatore? Se il primo giocatore ha scelto a può scegliere le mosse: A toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto B toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto C toglie 2 fiammiferi dal secondo mucchietto

9 Se il primo giocatore ha scelto b può scegliere le mosse: D toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto E toglie 2 fiammiferi dal secondo mucchietto A questo punto se sono state scelte b ed E il gioco è finito e ha vinto I. Altrimenti gioca I. È chiaro capire cosa può fare I e poi II (cfr. Fig. 1): Sono state indicate con: 7

10 c toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto d toglie 2 fiammiferi dal primo mucchietto e toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto f toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto g toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto

11 F toglie 1 fiammifero dal primo mucchietto G toglie 1 fiammifero dal secondo mucchietto

12 gioca II gioca II gioca I gioca I gioca I gioca I g c d e f gioca II F vince II a vince II gioca I gioca II A B C D E G b vince I vince II vince I vince I Avevamo detto che l idea è semplice, ma metterla in pratica ha richiesto un po di fatica. 8

13 per il momento non abbiamo ancora un gioco: abbiamo una game form : per avere un gioco dobbiamo conoscere le funzioni di utilità dei due giocatori. A questo punto entrano le funzioni di utilità dei due giocatori, perché ora alla fine del gioco abbiamo degli esiti che non son quantificati. Come viene interpretato vince I dai due giocatori? Potremmo dire 1 per il primo giocatore e -1 per il secondo se supponiamo che i giocatori vogliano vincere. ma siamo sicuri che l utilità della vittoria per il primo giocatore sia uguale all utilità della vittoria per il secondo? Se ci fosse un premio di 1000 euro e il giocatore I fosse uno studente mentre il giocatore II un imprenditore affermato? 9

14 gioca II gioca 1 gioca I gioca I gioca I g c d e f -1 gioca II F -1 a -1 gioca 1 gioca -1 gioca -1 A B C D E G b Avevamo detto che l idea è semplice, ma metterla in pratica ha richiesto un po di fatica. 10

15 Abbiamo descritto l albero di un gioco finito a informazione perfetta. Un gioco descritto tramite una successione finita di mosse (finito) si dice a informazione perfetta se lo stato del gioco è noto (pubblico) ai due giocatori dopo ogni mossa. 11

16 Per prima cosa, anche se è un po noioso, cerchiamo di scrivere la forma strategica del gioco dei fiammiferi. Le strategie del primo giocatore sono: s 1 =a,c s 2 =a,d s 3 =b,c s 4 =b,d Le strategie del secondo sono: t 1 =A,D t 2 =A,E t 3 =B,D t 4 =B,E t 5 =C,D t 6 =C,E e il gioco in forma strategica 12

17 I/II t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 s s s s

18 Per descrivere i giochi in forma estesa ci restano ancora due problemi: Come descrivere il caso di mosse contemporanee? Come descrivere la situazione in cui ci sono mosse del caso? 14

19 Vediamo un gioco a informazione imperfetta (mosse contemporanee): C F S gioca 2 gioca 2 gioca 2 C F S C FS C FS gioca Qui ho scritto il gioco con i valori di utilità convenzionali per i due giocatori: 1 per la vittoria, 0 per il pareggio e -1 per la sconfitta. 15

20 Morra cinese La forma strategica è: C F S C F S

21 POKER SEMPLIFICATO C è un mazzo con sole due carte: A e K. A è la carta alta (cioè quella che vince) e K è la carta bassa. Il mazzo viene accuratamente mescolato Il gioco inizia con I che estrae una carta dal mazzo coperto e la guarda. Può fare due cose: passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II rilanciare Se I ha passato, il gioco è finito. Se ha rilanciato, tocca a II, il quale può: 17

22 passare, nel qual caso lui deve dare 1 euro a II rilanciare e vedere, nel qual caso il giocatore I deve mostrare la sua carta. se I ha la carta alta, cioè A, II deve dare 2 euro a I se I ha la carta bassa, cioè K, I deve dare 2 euro a II Il gioco può essere rappresentato dal seguente albero:

23 I P A R A S P ( 1, 1) 0 A 1/2 1/2 K II I R K S P P K (2, 2) (1, 1) ( 2, 2) (1, 1) ( 1, 1) 18

24 I \ \II P S P A P K ( 1, 1) ( 1, 1) P A R K (0, 0) ( 3/2, 3/2) R A P K (0, 0) (1/2, 1/2) R A R K (1, 1) (0, 0) I payoff sono diventati semplicemente i valori attesi dei payoff con la distribuzione di probabilità assegnata. NB: la strategia R A R K prevede (per via di R K ) che il giocatore I bluffi. 19

25 Finora siamo partiti dalla forma estesa per descriverne poi la forma strategica, ma è possibile anche dare un gioco direttamente in forma strategica. 20

26 Dilemma del prigioniero NC C NC 5,5 0,6 C 6,0 1,1 dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo le colonne. 21

27 Battaglia dei sessi T S T 2,1 0,0 S 0,0 1,2 dove il primo giocatore sceglie le righe della matrice e il secondo le colonne. 22

28 Il passaggio dalla forma estesa a quella strategica sul piano concettuale (non su quello pratico) è semplice. Lo è altrettanto il passaggio inverso? In altre parole, dato un gioco in forma strategica è possibile sempre descriverlo in forma estesa? La risposta è: sì in maniera banale se accettiamo che l informazione non sia perfetta. Se invece la domanda è: Dato un gioco in forma strategica è possibile darne una versione in forma estesa come gioco a informazione perfetta? La risposta a questa domanda in generale è: no, e anche quando è possibile non è unica la forma estesa che dà la forma strategica fissata. 23

29 Gioco in forma strategica con due giocatori: Tentativo di soluzione : massimo ombra. (X, Y, f, g) f( x, ȳ) f(x, y), g( x, ȳ) g(x, y) per ogni x X, y Y 24

30 L R T 5,5 0,0 B 0,0 5,5 Nemmeno l esistenza del massimo ombra assicura che esiste una soluzione: gioco di coordinamento. A volte non c è divegenza di interessi ma solo difficoltà di coordinamento. Se i due tizi hanno la possibilità di comunicare prima di entrare nella stanza e schiacciare il bottone, qui sarà facile avere un esito soddisfacente, altrimenti no. 25

31 Strategia dominante (X, Y, f, g) f( x, y) f(x, y) per ogni x X x x, y Y Se il giocatore I ha una strategia dominante, I giocherà x 26

32 DILEMMA DEL PRIGIONIERO I/II L R T 5,5 0,6 B 6,0 1,1 Osserviamo il gioco dal punto di vista di ciascun giocatore: I/II L R T 5, 0 B 6 1 I/II L R T 5 6 B 0 1 La soluzione è: i giocatori giocano il primo B e il secondo R e prendono 1 ciascuno, ma il risultato è inefficiente. 27