Algebra Problemi di ammissione

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1 Algebra Problemi di ammissione 1. Per ogni intero positivo n, poniamo f(n) = n + max { m N : 2 2m n2 n}. Determinare l immagine della funzione f. 2. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a + b + c 1 a + 1 b + 1 c. Dimostrare che a b + b c + c a 1 ab + 1 bc + 1 ca. 3. Sia n > 3 un numero intero. Determinare la più grando costante a n e la più piccola costante b n tali che n x i a n b n, x i 1 + x i + x i+1 i=1 per ogni n-upla di numeri reali positivi (x 1,..., x n ). Si intende che nella sommatoria gli indici sono pensati modulo n. Winter Camp Pisa 2010 Pag. 1 di 11

2 Algebra Sessioni dello stage 4. Siano m ed n due numeri interi, con n > m 0. Siano I e J due insiemi di indici, con I = J = n e I J = m. Per ogni k I J sia u k un vettore dello spazio. Supponiamo che u i = u j = 1. i I j I Dimostrare che k I J u k 2 2 m + n. 5. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che Dimostrare che Dimostrare che a2 + b 2 a + b + ab + bc + ca abc. b2 + c 2 b + c + c2 + a 2 c + a ( ) 2 a + b + b + c + c + a. a 2 + b 2 + c 2 3 (a 3 b + b 3 c + c 3 a) per ogni terna (a, b, c) di numeri reali positivi. 7. Determinare tutte le funzioni f : (0, + ) (0, + ) tali che f(x + y z) + f(2 xz) + f(2 yz) = f(x + y + z) per ogni terna (x, y, z) di numeri reali positivi tali che x + y > z. 8. Sia n un intero positivo, e sia (ε 1,..., ε n 1 ) {0, 1} n 1. Definiamo per ricorrenza i numeri a 0,..., a n e b 0,..., b n ponendo a 0 = b 0 = 1, a 1 = b 1 = 7, e successivamente, per ogni i = 1,..., n 1, a i+1 = b i+1 = { 2ai 1 + 3a i se ε i = 0, 3a i 1 + a i se ε i = 1, { 2bi 1 + 3b i se ε n i = 0, 3b i 1 + b i se ε n i = 1. Dimostrare che a n = b n. Winter Camp Pisa 2010 Pag. 2 di 11

3 Combinatoria Problemi di ammissione 1. Alberto e Barbara hanno inventato il seguente gioco. All inizio ci sono 2009 pile di monete, che indichiamo con P 1,..., P Ad ogni mossa ogni giocatore sceglie una pila P i non vuota e sposta un certo numero di monete a sua scelta (almeno una, al massimo tutte) da P i a P i 1. Se la pila prescelta è la P 1, allora le monete scelte vengono eliminate dal gioco. Alberto è il primo a giocare, poi i giocatori muovono a turno. Chi non ha più mosse valide perde. All inizio la pila P i contiene i monete per ogni i = 1,..., 2008, mentre la pila 2009 contiene k monete. Determinare per quali valori di k Alberto ha una strategia vincente. 2. Sulla lavagna è stato scritto un numero reale r. Ad ogni passaggio è possibile scegliere un numero x tra quelli scritti, cancellarlo, e sostituirlo con due numeri a e b tali che 2x 2 = ab. Partendo dal numero r scritto all inizio, ed operando k 2 1 volte nel modo indicato, si termina con k 2 numeri scritti, non necessariamente tutti distinti. Dimostrare che almeno uno di tali numeri è minore od uguale di kr. 3. Gli elementi di una matrice n m sono numeri interi. Una operazione consiste nell aggiungere un intero a propria scelta a tutti gli elementi di una stessa riga o di una stessa colonna. Si sa che per infiniti interi k è possibile, facendo un numero finito di operazioni a partire dalla configurazione iniziale, ottenere una matrice i cui elementi sono tutti multipli di k. Dimostrare che, con un numero finito di operazioni, è possibile ottenere anche la matrice nulla (quella con tutti gli elementi uguali a zero). Winter Camp Pisa 2010 Pag. 3 di 11

4 Combinatoria Sessioni dello stage 4. Sia n un intero positivo, e sia N = n Una scacchiera N N è suddivisa in N 2 quadratini. Ogni quadratino è colorato scegliendo tra N colori, e facendo in modo che ognuno degli N colori sia utilizzato N volte. Dimostrare che esiste sicuramente una riga od una colonna in cui compaiono almeno n + 1 colori. 5. Su un tavolo sono allineate 2009 pedine, ciascuna delle quali ha un lato bianco ed un lato nero. Inizialmente tutte le pedine mostrano il lato bianco, tranne una. Successivamente, ad ogni mossa è possibile scegliere una qualunque pedina nera, e ribaltare le sue due vicine (se la pedina scelta si trova agli estremi della fila, una sola pedina sarà ribaltata). (a) Determinare per quali posizioni iniziali della pedina nera è possibile giungere, mediante un opportuna successione di mosse, alla configurazione in cui tutte le pedine mostrano il lato nero. (b) Trattare lo stesso problema nel caso di una fila contenente 2010 pedine. 6. Sia dato un grafo con 2009 vertici. Determinare quali delle seguenti ipotesi implicano l esistenza di un percorso chiuso che tocca una ed una sola volta tutti i vertici (circuito hamiltiniano). (a) Ogni vertice è collegato con almeno 1004 altri vertici. (b) Ogni vertice è collegato con almeno 1005 altri vertici. (c) Ogni vertice è collegato con esattamente 1004 altri vertici. Winter Camp Pisa 2010 Pag. 4 di 11

5 Geometria Problemi di ammissione 1. Sia ABCD un quadrilatero convesso, e siano P e Q due punti interni ad esso. Supponiamo che i quadrilateri ADQP e BCQP siano ciclici. Supponiamo inoltre che esista un punto E appartenente al segmento P Q tale che P BE = QCE, P AE = QDE. (a) Sia F l ulteriore intersezione tra la retta BC e la circonferenza circoscritta al triangolo ECQ. Dimostrare che la retta EF è parallela a BP. (b) Dimostrare che il quadrilatero ABCD è ciclico. 2. Sia ABCD un trapezio con lati paralleli AB e CD. Sia E un punto sul prolungamento del segmento BC dalla parte di C, e sia F un punto sul segmento AD tali che EAD = F BC. La retta EF incontra la retta CD in I e incontra la retta AB in J. Sia K il punto medio di EF, che supponiamo non appartenere alla retta CD. Dimostrare che il quadrilatero ABIK è ciclico se e solo se il quadrilatero CDJK è ciclico. 3. Due circonferenze Γ 1 e Γ 2 si intersecano in due punti distinti A e B, e sono tangenti internamente ad una terza circonferenza Γ nei punti D ed E, rispettivamente. Sia C uno dei punti di intersezione tra la retta AB e Γ. La circonferenza Γ 1 incontra nuovamente la retta DC in F e la retta DE in H. La circonferenza Γ 2 incontra nuovamente la retta EC in G e la retta ED in I. Dimostrare che il quadrilatero F GHI è ciclico. Winter Camp Pisa 2010 Pag. 5 di 11

6 Geometria Sessioni dello stage 4. (a) Sia Γ una circonferenza, AB una sua corda. Siano Γ 1 e Γ 2 che si intersecano in M e N e tangenti internamente a Γ e ad AB. Provare che MN passa per il punto medio dell arco AB nel semipiano che non contiene M e N. (b) Siano ora Γ 1 e Γ 2 circonferenze che non si intersecano e tangenti internamente a Γ. Le loro tangenti interne comuni intersecano Γ in 4 punti. Siano B e C due di questi punti che giacciono dalla stessa parte rispetto alla congiungente dei centri di Γ 1 e Γ 2. Dimostrare che BC é parallelo a una tangente esterna comune dei cerchi Γ 1 e Γ Sia ABCD un quadrilatero convesso e sia P un punto sul segmento AB. Sia ω la circonferenza inscritta in CP D e supponiamo che questa sia tangente alle circonferenze inscritte in AP D e BP C nei punti K ed L. Siano E l intersezione di AC e BD, F l intersezione di AK e BL, I il centro di ω. Mostrare che I, E, F sono allineati. 6. Nel triangolo ABC, siano M a, M b, M c i punti medi dei lati; la circonferenza ω inscritta in ABC tange i lati nei punti A, B, C. Sia r 1 la retta simmetrica di BC rispetto ad AI e sia r 2 la perpendicolare da A a IM a ; chiamiamo X a l intersezione di r 1 e r 2 e definiamo analogamente X b e X c. Dimostrare che X a, X b, X c sono allineati su una retta tangente a ω. 7. Sia Γ una circonferenza che interseca i lati di ABC in A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2. Sia A 3 l intersezione delle tangenti a Γ per A 1 e A 2 e siano definiti similmente B 3 e C 3. Dimostrare che AA 3, BB 3, CC 3 concorrono. 8. Sia P un punto interno al triangolo ABC tale che le intersezioni AP BC = A BP AC = B CP AB = C siano le proiezioni di un punto Q sui lati. Siano A 1, A 2 le intersezioni di B C con la circonferenza circoscritta ad ABC e similmente definiamo B 1, B 2, C 1, C 2. Allora il centro radicale delle circonferenze per A, A 1, A 2, per B, B 1, B 2 e per C, C 1, C 2 sta sul segmento OP, dove P il coniugato isogonale di P. 9. Sia ABC un triangolo, con baricentro G, circocentro O, punto di Lemoine K. (a) Dimostrare che le riflessioni della retta di Eulero rispetto ai lati concorrono in un punto E. (b) Dimostrare che G ed E sono inversi rispetto alla circonferenza di diametro OK (circonferenza di Brocard). Winter Camp Pisa 2010 Pag. 6 di 11

7 Teoria dei Numeri Problemi di ammissione 1. Trovare tutte le soluzioni intere positive dell equazione dove φ indica la funzione di Eulero. n = φ(n) + 402, 2. Siano a ed n due numeri interi maggiori di 1 e tali che n divide (a 1) k per un qualche k 2. Dimostrare che n divide a n 1 + a n a Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a 1 = 1 e a 2k = a k + 1, a 2k+1 = 1 a 2k k 1. (a) Determinare se ci sono numeri che compaiono più volte nella successione. (b) Determinare l immagine della successione. Winter Camp Pisa 2010 Pag. 7 di 11

8 Teoria dei Numeri Sessioni dello stage 4. Sia n un intero positivo, e siano x 1,..., x n dei numeri interi. Dimostrare che è un intero. 5. Sia p un numero primo, e siano A(p) = 2p 1 1 p 1 i<j n x j x i j i, B(p) = 11p 1 1 p, C(p) = 7p 1 1. p (a) Determinare tutti i primi p per cui A(p) è un quadrato perfetto. (b) Determinare tutti i primi p per cui B(p) è un quadrato perfetto. (c) Determinare tutti i primi p per cui C(p) è un quadrato perfetto. 6. Determinare tutte le coppie (a, b) di numeri interi tali che a 3 + 2a + 1 = 2 b. 7. (a) Sia p un numero primo, e siano a 1, a 2,..., a p numeri interi (non necessariamente distinti). Dimostrare che esiste un sottoinsieme I {1,..., p} non vuoto tale che è multiplo di p. i I (b) Sia p un numero primo, sia k 1 un intero, e siano a 1, a 2,..., a k(p 1)+1 dei vettori di Z k p (non necessariamente distinti). Dimostrare che esiste un sottoinsieme I {1,..., k(p 1) + 1} non vuoto tale che è il vettore nullo. i I a i a i Winter Camp Pisa 2010 Pag. 8 di 11