Teoria dei Giochi. Anna Torre

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1 Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 5 aprile anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2011.html

2 DILEMMA DEL PRIGIONIERO I II S T S (5, 5) (0, 6) T (6, 0) (1, 1) Punto di vista di I: Punto di vista di II: I II S T S ( 5) ( 0) T (6) ( 1) I II S T S ( 5) ( 6) T (0) ( 1) La soluzione è: i giocatori giocano entrambi T e prendono 1 ciascuno, ma il risultato è inefficiente.

3 EQUILIBRIO DI NASH Consideriamo il gioco: (X, Y, f, g : X Y R) dove X e Y sono gli spazi di strategie, e f, g sono le funzioni di utilità dei giocatori ( x, ȳ) X Y si dice equilibrio di Nash se 1. f( x, ȳ) f(x, ȳ) x X; 2. g( x, ȳ) g( x, y) y Y.

4 Equilibri di Nash Un massimo ombra è un equilibrio di Nash. Gli elementi ottenuti per eliminazione di strategie dominate sono equilibri di Nash. In un gioco in forma estesa a informazione perfetta gli equilibri ottenuti per induzione a ritroso sono equilibri di Nash del corrisponedente gioco in forma strategica. Ma un equilibrio di Nash può non essere ne un massimo ombra ne ottenuto per eliminazione di strategie dominate.

5 Equilibri di Nash Alla base della definizione di equilibrio di Nash vi sono alcuni presupposti: Immaginiamo che i due giocatori si mettano d accordo per giocare, l uno la strategia x e l altro la strategia ȳ. I due giocatori effettuano le loro scelte contemporaneamente ed indipendentemente. I giocatori non possono effettuare tra di loro degli accordi vincolanti. L accordo deve resistere a considerazioni del tipo seguente da parte per esempio del giocatore I: visto che se violo l accordo non mi succede nulla, vediamo se posso far di meglio anzichè giocare la x. Le possibilità sono due: o II non rispetta l accordo, e allora inutile tenerne conto, oppure lo rispetta. In questo secondo caso, vediamo se non c è un altra strategia x per cui f(x, ȳ) > f( x, ȳ)

6 Equilibri di Nash Affinché ( x, ȳ) sia ragionevole occorre che resista a tentazioni di questo tipo, cioè appunto f( x, ȳ) f(x, ȳ) x X. Analoghe considerazioni da parte del giocatore II portano alla condizione g( x, ȳ) g( x, y) y Y

7 Equilibri di Nash La definizione di equilibrio di Nash è strutturata proprio in modo da tenere conto di queste considerazioni: le condizioni dicono proprio che nessuno dei due giocatori ha convenienza a deviare dalla strategia che gli è prescritta dall equilibrio, a condizione che neppure l altro giocatore devii. Di solito, quando si parla di equilibri, si usa chiamarli equilibri di Nash o di Cournot-Nash. La ragione è la seguente: John F. Nash, ([1950]: Equilibrium Points in n-person Games, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36, 48-49) prova un importante teorema il quale garantisce l esistenza di un equilibrio per una classe molto ampia ed importante di giochi, estendendo al caso generale il risultato di von Neumann per i giochi a somma zero (cioè quelli per cui f(x, y)+g(x, y) = 0 per ogni (x, y) X Y). Cournot nel 1838 aveva anticipato la TdG adottando, come soluzione per un modello di oligopolio, proprio questa idea di

8 LA BATTAGLIA DEI SESSI I II S T S (2, 1) (0, 0) T (0, 0) (1, 2)

9 IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1) T (1, -1) (-1, 1) Questo gioco ha equilibri di Nash? Ha strategie dominate?

10 È RILEVANTE SCEGLIERE PER PRIMI? II I NP P NP (2, 2) (0, 3) P (3, 0) (1, 1) I II S T S (2, 1) (0, 0) T (0, 0) (1, 2) I II L R T (-1, 1) (1,-1) B (1,-1) (-1, 1)

11 AUMENTARE I PLAYOFF MIGLIORA LA SITUAZIONE? I II P D P (12, 12) (102,11) D (11,102) (101, 101) I II P D P (9, 9) (99, 10) D (10, 99) (100,100)

12 Strategie miste II I q 1 q p (-1, 1) (1, -1) 1 p (1, -1) (-1,1) Estensione mista del gioco, Le strategie sono le distribuzioni di probabilità sull insieme delle strategie (pure). Il giocatore I invece di fare una scelta per così dire secca, può scegliere di giocare la strategia T con probabilità p e la strategia B con probabilità 1 p. Analogamente il giocatore II.

13 Strategie miste Una distribuzione di probabilità nel caso di due strategie è la scelta di un numero nell intervallo [0, 1]. Abbiamo cambiato lo spazio delle strategie, facendolo diventare molto più grande. Una strategia per il primo giocatore è adesso rappresentata da un numero p compreso tra 0 e 1, mentre una strategia per il secondo da un numero q compreso tra 0 e 1. Il payoff dei giocatori in corrispondenza ai valori p e q delle strategie è l utilità attesa, supponendo che i due agiscano indipendentemente.

14 Strategie miste II I q 1 q p pq p(1-q) 1 p (1-p)q (1-p)(1-q) Utilità attesa del primo giocatore: f(p, q) = pq ( 1)+p(1 q) (+1)+q(1 p) (+1)+(1 p)(1 q) ( 1)= 4pq+2p+2q 1 = ( 4q+2)p+2q 1 L utilità ettesa del secondo è il suo opposto.

15 Strategie miste max f(p, q) si ha per p = 1 quando 4q+2 0, cioè q 1 2 max f(p, q) si ha per p = 0 quando 4q+2 0, cioè q 1 2 max f(p, q) si ha per ogni p quando 4q+2 = 0, cioè q = 1 2 g(p, q) = (4p 2)q 2p+1 max g(p, q) si ha per q = 1 quando 4p 2 0, cioè p 1 2 max g(p, q) si ha per q = 0 quando 4p 2 0, cioè p 1 2 max g(p, q) si ha per ogni q quando 4p 2 = 0, cioè p = 1 2 La linea rossa è la strategia di miglior risposta del primo giocatore. La linea verde è la strategia di miglior risposta del secondo giocatore.

16 1 1 2 In rosso è segnata la strategia di miglior risposta del primo giocatore e in blu quella del secondo. Nel punto di intersezione ( 1 2, 1 2 ), p è miglior risposta a q e viceversa.

17 EQUILIBRIO DI NASH!!!!!!! ( 1 2, 1 2 ) è un equilibrio di Nash del gioco del pari o dispari.

18 IL GIOCO DELLE DUE DITA I II P D P (-2, 2) (3, -3) D (3, -3) (-4,4)

19 Strategie miste II I q 1 q p pq p(1-q) 1 p (1-p)q (1-p)(1-q) che nel nostro caso per il primo giocatore è: f(p, q) = pq ( 2)+p(1 q) (+3)+q(1 p) (+3)+(1 p)(1 q) ( 4)= 12pq+ 7p+7q 4 = ( 12q+7)p+7q 4 Naturalmente il payoff atteso del secondo è il suo opposto.

20 Strategie miste max f(p, q) si ha per p = 1 quando 12q+7 0, cioè q 7 12 max f(p, q) si ha per p = 0 quando 12q+7 0, cioè q 7 12 max f(p, q) si ha per ogni p quando 12q+ 7 = 0, cioè q = 7 12 g(p, q) = (12p 7)q 7p+4 max g(p, q) si ha per q = 1 quando 12p 7 0, cioè p 7 12 max g(p, q) si ha per q = 0 quando 12p 7 0, cioè p 7 12 max f(p, q) si ha per ogni q quando 12p 7 = 0, cioè p = 7 12 La linea rossa è la strategia di miglior risposta del primo giocatore. La linea verde è la strategia di miglior risposta del secondo giocatore.

21 In rosso è segnata la strategia di miglior risposta del 7 primo giocatore 12 1 e in verde quella del secondo. Nel punto di intersezione ( 7 12, 7 12 ), p è miglior risposta a q e viceversa.

22 Calcoliamo il guadagno atteso del primo giocatore quando viene adottata la coppia di strategie di Nash: ( 2)+ 144 ( 4)+ 144 (3)+ 144 (3) = 144 = 1 12

23 È facile vedere se un gioco è pari? I II P D P (-2, 2) (3, -3) D (3, -3) (-4,4) I II A 2 B 2 C 2 A 1 (-1, 1) (1, -1) (-, 1) B 1 (1, -1) (-1,1) (1, -1) C 1 (-1, 1) (1,-1) (-1, 11)