Elementi di Economia I

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1 Elementi di Economia I 10. Teoria dei giochi e oligopolio Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Corso di laurea in Sociologia Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Università degli Studi di Milano-Bicocca A.A Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, [email protected] Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 1/23

2 Layout Teoria dei giochi 1 Teoria dei giochi 2 3 Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 2/23

3 Cos è la teoria dei giochi Teoria dei giochi Branca dell economia che studia le scelte di soggetti razionali in contesti strategici Soggetto razionale è un agente in grado di: valutare le conseguenze di ogni propria azione; esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze; selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita. Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di un azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali. Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al 1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 3/23

4 Definizione di gioco Teoria dei giochi Per caratterizzare un gioco necessario definire gli elementi del gioco: giocatori (players); strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore; guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione possibile di strategie (strategy profile). In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito come: Γ = N,{S 1,S 2,...,S N },{u 1,u 2,...,u N } dove N = {1,2,...,N} è l insieme dei giocatori; S i (i N) è l insieme delle strategie del giocatore i; u i(.) (i N) è la payoff function del giocatore i, ovvero la funzione che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy profile) il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il guadagno del giocatore. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 4/23

5 Un classico esempio: il dilemma del prigioniero Due giocatori: N = {A,B}; Strategie: S A = S B = {D,C}; Funzioni dei payoff: u A (D,D) = 5, u A (D,C) = 0, u A (C,D) = 7, u A (C,C) = 1; u B (D,D) = 5, u B (D,C) = 7, u B (C,D) = 0, u B (C,C) = 1; A B D C D 5, 5 0, 7 C 7, 0 1, 1 Tabella: Matrice dei payoff Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 5/23

6 Funzione di risposta ottima Risposta ottima (best reply, o best response) di un giocatore: strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le strategie degli altri giocatori. Es.: la risposta ottima di A quando B non rispetta i patti (s B = D) è non rispettare i patti (s A = D); Di fatto, in questo caso D è strategia dominante: la risposta ottima del giocatore qualunque sia la strategia dell altro giocatore; Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i: funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori, associa la risposta ottima di i: b i (s i ) = argmax s i S i u i (s i,s i ) dove s i indica le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i; Es.: la funzione di risposta ottima di A è b A (C) = b A (D) = D. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 6/23

7 Equilibrio di Nash Teoria dei giochi Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) tale che la strategia di ogni giocatore è una risposta ottima alle strategie degli altri: s i b i (s i), i N Definizione equivalente: u i (s i,s i) u i (s i,s i), s i S i, i N John Forbes Nash Jr. ( ) In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha incentivo a deviare; Nel dilemma del prigioniero l unico equilibrio di Nash è s = (D,D). Nobel Memorial Prize in Economics 1994 Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R. Selten per l analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 7/23

8 Giochi in forma estesa Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agiscono simultaneamente; Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinato ordine temporale; La rappresentazione dei giochi dinamici in forma estesa (extensive form) utilizza una struttura ad albero: ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore; le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere; a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff. P 1 a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 P 2 1 a2 2 a 2 P 2 3 a4 2 P 1 a4 1 a5 1 6 P 1 a 1 (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) (.,.) Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 8/23 (.,.)

9 Equilibri di Nash e minacce non credibili E La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di minacce non credibili (non credible threats). Esempio: un impresa (E) deve decidere se entrare (IN) o non entrare (OUT) in un mercato; l incumbent (I) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F) o non ingaggiarla (A); due equilibri di Nash: (OUT,F) e (IN,A); (OUT,F) contiene tuttavia una minaccia non credibile: una volta che E è entrato ad I non conviene guerreggiare. E I F A IN OUT I IN -1,-1 1,1 F A (0,2) OUT 0,2 0,2 (-1,-1) (1,1) Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 9/23

10 Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi In base al principio di razionalità sequenziale, la strategia di un giocatore dovrebbe specificare risposte ottime ad ogni nodo dell albero. Secondo la definizione di Selten, un equilibrio di Nash è perfetto nei sottogiochi (Subgame Perfect Nash equilibrium, SPNE) se le strategie di equilibrio costituiscono un equilibrio di Nash in ciascun sottogioco; Sottogioco (subgame): parte del gioco in forma estesa che inizia in un nodo (contenuto in un insieme di informazione di cui è l unico elemento) e contiene tutti i nodi che seguono. Reinhard Selten (1930) Nobel Memorial Prize in Economics 1994 Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 10/23

11 Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi possibile usare l induzione a ritroso (backward induction): 1 vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi; 2 vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla base delle strategie individuate nel passaggio 1; 3 continua il processo fino a giungere al nodo iniziale. F I IN A E OUT (0,2) (-1,-1) (1,1) Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 11/23

12 Giochi e supergiochi Teoria dei giochi Supergioco Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori. Supergiochi con dipendenza temporale Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in una fase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatori nelle fasi precedenti. Giochi ripetuti Supergiochi in cui il gioco costituente è lo stesso in ogni fase. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 12/23

13 Dilemma del prigioniero ripetuto In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemma del prigioniero come quello in tabella; Giocatori impazienti scontano i payoff futuri ad un tasso δ (0 < δ < 1); Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generati in ciascun gioco costituente: G i = u i (s 1,0,s 2,0 )+δu i (s 1,1,s 2,1 )+...+δ T u i (s 1,T,s 2,T ) T = δ t u i (s 1,t,s 2,t ) t=0 A D C D B C d,d w,l l,w c,c Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w) Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 13/23

14 Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa emergere possibili equilibri cooperativi (C, C) nel gioco costituente; Trigger strategy (strategia del grilletto) (Friedman, 1971): ogni giocatore i N S inizia giocando C; continua a giocare C fino a quando l altro gioca C; gioca D per sempre in caso contrario. La strategia del grilletto sostiene un equilibrio di Nash se, per ciascun giocatore, i guadagni della cooperazione ( t=0 δt c) sono maggiori di quelli della defezione e conseguente punizione da parte dell altro (w + t=1 δt d), cioè se: ( ) δ t c w + δ t d t=0 t=1 δ w c w d = c δd w 1 δ 1 δ 0 Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 14/23

15 Folk theorem Teoria dei giochi In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempre profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente, subottimali; Folk theorem (Friedman, 1971) Sia s un equilibrio statico con payoff u. Per ogni vettore di payoff u tale che u i u i per tutti i giocatori i, esiste un δ < 1 tale che, per ogni δ > δ, c è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u. Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numero infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato da una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 15/23

16 Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della catena di vendita In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte, unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazione via backward induction): Nell ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare dall equilibrio cooperativo; Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche vantaggio a non deviare;... Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare... Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota come paradosso della catena di vendita (chain store paradox). Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 16/23

17 I mercati oligopolistici sono mercati in cui opera un numero limitato di imprese che interagiscono tra loro in modo strategico; Diversamente da quanto avviene per la concorrenza perfetta e il monopolio, non esiste un unico modello di oligopolio; I modelli di oligopolio si differenziano per: modalità di interazione strategica tra le imprese: competizione sulle quantità vs. competizione sui prezzi; concorrenza simultanea vs. sequenziale. omogeneità/eterogeneità dei beni offerti; omogeneità/eterogeneità delle imprese presenti sul mercato. Il duopolio è un oligopolio con due sole imprese. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 17/23

18 Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Modelli di oligopolio statico più noti: modello di Cournot: competizione sulle quantità (quantity competition); modello di Bertrand: competizione sui prezzi (price competition). Antoine Augustin Cournot ( ) Joseph Louis François Bertrand ( ) Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 18/23

19 Duopolio di Cournot Teoria dei giochi Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Due imprese (i = {1,2}) competono per lo stesso mercato; Funzione di domanda inversa lineare: p(q) = a bq = a b(q 1 +q 2 ) con a e b parametri positivi. Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità da produrre (q i ) per massimizzare i profitti: ( ) π i (q i,q j ) = (p(q) c) q i = a b(q i +q j ) c Condizioni del primo ordine: π i (q i,q j ) q i = a c bq j 2bq i = 0 Funzione di risposta ottima (o di reazione) dell impresa i: qi = a c 2b q j 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 19/23 q i

20 Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione algebrica Equilibrio di Nash: Quantità di equilibrio: Output totale: Prezzo di equilibrio: { q1 q2 = a c 2b q 2 2 = a c 2b q 1 2 q 1 = q 2 = a c 3b Q = q 1 +q 2 = 2(a c) 3b p = a bq = a b 2(a c) 3b > a c 2b = q m = a+2c 3 < a+c 2 = p m Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 20/23

21 Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione grafica q 2 a c b Curva di reazione dell impresa 1 a c 2b E Curva di reazione dell impresa 2 a c 2b a c b q 1 Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 21/23

22 Duopolio di Bertrand Teoria dei giochi Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Due imprese (i = {1, 2}) competono nello stesso mercato; Ciascuna impresa i fissa il suo prezzo (p i ) e ha costi medi unitari costanti c; Funzione di domanda lineare: con A e B parametri positivi. Q = A B min(p 1,p 2 ) Payoff dell impresa i: 0 se p i > p j π i (p i,p j ) = (p i c) Q 2 = (p i c) A Bpi 2 se p i = p j (p i c)q = (p i c)(a Bp i ) se p i < p j Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 22/23

23 Duopolio di Cournot Duopolio di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Bertrand Funzione di risposta ottima dell impresa i: pi = p m se p j > p m pi = p j ǫ se c < p j p m pi p j se c = p j pi > p j se c > p j dove p m = A+Bc 2B è il prezzo di monopolio. Unico equilibrio di Nash: p 1 = p 2 = c Quando le imprese competono sul prezzo e i beni sono perfettamente omogenei, l equilibrio nel duopolio coincide con quello di concorrenza perfetta. Giuseppe Vittucci Marzetti Elementi di Economia I 23/23