Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica

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1 Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica soggetti decisionali autonomi con obiettivi (almeno parzialmente) contrapposti guadagno di ognuno dipende dalle scelte sue e degli altri Giocatori razionali obiettivi definiti capacita computazionali illimitate Elementi costitutivi (sono per ipotesi conoscenza comune) I giocatori CHI Si strategie COSA ui guadagni QUANTO struttura informativa regole QUANDO Esempi SCACCHI: I=2 Si=azioni in ciascuna possibile situazione ui {1, 0, -1} info: al momento della scelta ciascun giocatore conosce tutte le mosse passate; regola: mosse alternate POKER E un gioco con info incompleta Info e regole: all inizio c e una mossa del Caso ( Natura ) che distribuisce le carte: ognuno conosce le proprie ma non quelle dell avversario Gli albori Primi studi nell ambito della teoria dell ologopolio: Cournot (1838), Bertrand (1883), Edgeworth (1925) Von Neumann-Morgenstern (1944): la teoria dei giochi potrebbe essere usata sistematicamente per analizzare molte questioni i economiche e presentano una teoria generale. Nash (1950) definisce l equilibrio omonimo. Selten (1965) nei giochi dinamici. Definisce l equilibrio perfetto nei sottogiochi. Harsanyi ( ) considera giochi con informazione incompleta e definisce l equilbrio di Nash Bayesiano 1

2 Le applicazioni hanno interessato praticamente tutti i campi della disciplina economica (e non solo) la teoria dell oligopolio la microeconomia la macroeconomia in economia chiusa ed aperta la politica economica inclusi problemi di regolamentazione etc. Il dilemma del prigioniero Due prigionieri vengono interrogati separatamente dalla polizia perche' sospettati di aver commesso un reato. Poiche' mancano le prove per incriminarli, la polizia cerca di indurre almeno uno dei due a confessare in cambio di una riduzione di pena. Se uno solo confessa, egli sara' liberato immediatamente mentre il complice dovra' scontare una pesante condanna. Se entrambi confessano, la pena sara' ridotta. Se nessuno dei due confessa, in mancanza di prove, dovranno essere liberati alla scadenza dei termini di carcerazione preventiva. Il dilemma del prigioniero (in forma normale) R \ C Non Confessa Confessa Non Confessa Confessa Alcune definizioni strategia dominante: è la risposta ottima a qualunque scelta dell avversario. strategia dominata: in corrispondenza di ogni possibile scelta dell avversario, esiste sempre una strategia che fornisce un guadagno superiore NON VIENE MAI SCELTA Esito Pareto-efficiente: qualunque altro esito fornisce un guadagno inferiore per almeno un giocatore Nel dilemma del prigioniero, l'equilibrio del gioco e' (C,C) e non e' l'esito pareto-efficiente 2

3 Eliminazione iterata di strategie dominate R \ C L C R Non sempre l eliminazione iterata di strategie dominate fornisce una soluzione R \ C L C R T T M M B B L'equilibrio di Nash Coppia di strategie, una per ciascun giocatore, tale che ciascun giocatore sceglie la risposta ottimale alle strategie di equilibrio dell'altro altro. in equilibrio, nessun giocatore e' incentivato a cambiare strategia se l'altro gioca la strategia di equilibrio. L'equilibrio di Nash Nell esempio precedente (B, C) è un EN Procedimento La funzione di reazione di Riga è MR R (L)=T MR R (C)=B MR R (R)=M La funzione di reazione di Colonna è MR C (T)=R MR C (M)=L MR C (B)=C 3

4 L equilibrio di Nash Equilibri multipli R \ C L C R R \ C L R T T M B B La caccia al cervo Il gioco della caccia al cervo descrive una situazione in cui due cacciatori si accordano per cacciare un cervo. Se entrambi si impegnano nella caccia l'obiettivo viene raggiunto ed i cacciatori ricevono il guadagno massimo. Tuttavia, per riuscire nell'impresa, i cacciatori devono separarsi e percorrere vie diverse. Lungo il cammino ciascun cacciatore ha l'opportunita' ' di cacciare conigli anziche' il cervo ma cosi' facendo pregiudica la caccia al cervo. Inoltre, ciascuno preferisce cacciare conigli mentre l'altro prosegue nella caccia al cervo. Qualunque sia la sua scelta, ciascun cacciatore preferisce che l'altro si impegni nella caccia al cervo. La matrice dei guadagni e' la seguente (C indica la caccia al cervo e R la caccia ai conigli) La battaglia tra i sessi Il gioco della battaglia tra i sessi descrive una situazione in cui un uomo ed una donna devono decidere se andare al cinema (C) o ad un incontro sportivo (IS). La donna preferisce il primo e l'uomo il secondo ma entrambi preferiscono andare insieme piuttosto che da soli. 4

5 Sherlock Holmes e Moriarty Sharlock Holmes cerca di catturare Moriarty e sa che il suo avversario si recherà a Victoria Station o a Kings Cross. Entrambi devono decidere a quale stazione recarsi. Se si incontrano Holmes cattura Moriarty, in caso contrario Moriarty riesce a fuggire. Ricapitolando Gioco definizione ed elementi costitutivi Il dilemma del prigioniero Forma normale di un gioco Strategie dominanti Strategie dominate Esito pareto-efficiente Equilibrio di Nash 2. Giochi sequenziali Un esempio: la battaglia tra i sessi. IS 3 2 D IS C 1 1 U IS 0 0 C D C 2 3 L albero del gioco (i) il nodo iniziale; (ii) i nodi, ovvero i punti in cui il giocatore di turno deve scegliere tra le alternative che si dipartono da quel nodo; (iii) i rami, ovvero le alternative che si dipartono da un nodo; (iv) i nodi terminali; (v) il guadagno, per ciascun giocatore, in corrispondenza dei nodi terminali; (vi) la struttura informativa. 5

6 Un esempio: la deterrenza all entrata (Fig 4.6 p 78) E E NE I A 0 50 G Induzione all indietro La deterrenza all entrata La guerra di prezzo non è una strategia credibile Al fine di eliminare minacce/promesse non credibili procediamo a ritroso, partendo dall ultimo stadio L incumbent, deve scegliere tra Accomodare l entrata e fare la Guerra dei prezzi. Nel primo caso i suoi profitti sono pari a 20, nel secondo caso pari a -10. I sceglie A Anticipando la risposta di I la potenziale entrante sceglie E L equilibrio credibile è: [E; A/E] Induzione all indietro Il gioco del centipede L equilibrio perfetto nei sottogiochi Sottogioco di un gioco in forma estesa Nodo non terminale, unico nell insieme di informazione, e tutta la parte del gioco (albero) che segue quel nodo Un equilibrio di Nash è perfetto nei sottogiochi se definisce un equilibrio di Nash in ciascun sottogioco Nel gioco del centipede ci sono 10 sottogiochi 6

7 L equilibrio perfetto nei sottogiochi Un esempio 1 I II 2 2 A B A B La forma normale Le strategie di 1 I, II Le strategie di 2 AA, AB, BA, BB AB= se I allora A ; se II allora B La forma normale mostra che ci sono due equilibri di Nash I; BB II; BA Gli equilibri di Nash 1 \2 AA AB BA BB I Un impegno vincolante Può avere un rilevante valore strategico e rendere credibile una minaccia Nel gioco di deterrenza all entrata, la scelta di investire in capacità produttiva (primo periodo) influenza la scelta del prezzo (secondo periodo) II

8 Un impegno vincolante I investe in capacità produttiva, costosa, che viene utilizzata solo in caso di guerra di prezzo. Supponiamo il costo sia pari a 40. E E NE I 0 10 A G Giochi ripetuti In molte situazioni economiche (e sociali) l'interazione tra gli agenti non e' uniperiodale ma si ripete nel tempo. L'introduzione del tempo modifica gli incentivi dei giocatori e rende rilevanti fenomeni quali la reputazione, le ritorsioni e i ricatti. Giochi ripetuti Un gioco ripetuto ha ad ogni replica le stesse caratteristiche del gioco base Forma normale e scelte simultanee: G(Si,ui)i I Forma estesa e scelte sequenziali: albero del gioco Ad ogni stadio i giocatori ricordando le scelte fatte da tutti nel passato 1 Euro oggi è meglio di 1 Euro domani I guadagni sono dati dal flusso scontato dei guadagni ottenuti in ciascun gioco costituente. Il fattore di sconto: δ=1 (1+r) r è il tasso di preferenza intertemporale 8

9 Il dilemma del prigioniero ripetuto T finito procedendo a ritroso l equilibrio perfetto nei sottogiochi è (C, C, C) T infinito oltre al precedente esistono molti altri equilibri trigger strategy: nel primo stadio non confessare; nello stadio t non confessare se in tutti gli stadi precedenti l esito è stato (NC, NC) altrimenti confessa da quel momento in poi è un equilibrio per δ>1/2 Somma di una serie geometrica Se δ< δ + δ +... = 1 δ Il dilemma del prigioniero ripetuto Se l avversario non confessa Se non confessa il guadagno è δ + 2δ +... = 1 δ Se confessa il guadagno è 2 δ 3 + δ + δ +... = δ Conviene proseguire con la trigger strategy se 2 δ > δ 1 δ cioè δ > 1 2 Folk Theorem In un gioco ripetuto, se i giocatori sono sufficientemente pazienti, ogni strategia che garantisce ai giocatori un guadagno maggiore del livello di sicurezza può essere sostenuta come equilibrio se i giocatori adottano strategie punitive, cioè strategie che penalizzano i giocatori che deviano dalla strategia di comportamento di equilibrio 9

10 L orizzonte temporale T infinito può essere interpretato come T indefinito + probabilità che il gioco finisca nel periodo successivo 10