TEORIA DEI GIOCHI Marco Alderighi

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1 TEORIA DEI GIOCHI Marco Alderighi Esempio. La maggiore produttrice di autovetture italiane (Fiat) nel prendere le decisioni di quando introdurre un nuovo modello sul mercato, con quali accessori, con quali motorizzazioni, a quali prezzi e con quali campagne pubblicitarie tiene in conto sia fattori interni quali, lo stato di sviluppo del prodotto, le risorse finanziarie, l andamento delle vendite di altri modelli, sia fattori macroeconomici quali l andamento congiunturale, la fiducia dei consumatori nell economia, l età media dei modelli in possesso dai potenziali acquirenti, etc.. sia delle altre imprese produttrici di auto. In particolare la Fiat, volendo perseguire obbiettivi di profitto tiene conto sia delle possibili strategie a disposizione da parte dei propri concorrenti (cioè a che punto sono con lo sviluppo di nuovi modelli, la loro situazione finanziaria, etc..) sia delle aspettative che questi hanno riguardo le azioni che Fiat vorrà compiere. In particolare nel scegliere la propria strategia, Fiat deve mettersi nei panni degli altri produttori di auto e chiedersi cosa mi aspetto che l altro faccia e cosa mi aspetto che l altro si aspetti che io faccia, etc.. Un contesto così delineato è un contesto strategico, cioè un contesto dove le azioni e le aspettative di ciascun agente influiscono sulle azioni e sulle aspettative dell altro e in definitiva sui risultati che ciascun agente può ottenere. Definizione Noi forniremo due definizioni di teoria dei giochi. La prima (classica): La teoria dei giochi è uno strumento analitico per analizzare le interazioni strategiche degli agenti economici. La seconda (eterodossa): La teoria dei giochi è lo strumento per prendere decisioni in contesti strategici. La differenza tra il primo e il secondo concetto è che nel primo si assume che le regole del gioco siano date mentre nel secondo caso si assume che gli agenti siano in grado di plasmare a proprio favore il gioco per ottenere una situazione più favorevole. In questa nota noi studieremo come risolvere i giochi (ci riferiremo quindi al primo aspetto della teoria dei giochi) mentre vi rimando all articolo di Brandenburger e Nalebuff per vedere alcuni esempi di come è possibile modificare il contesto strategico. Resta inteso che saper risolvere i giochi (indicare come i giocatori giocheranno date le regole del gioco) risulta una condizione necessaria per trovare il risultato del gioco qualora si decidesse di modificarlo. Prima di proseguire bisogna dire che il primo modo di intendere la teoria dei giochi attiene maggiormente alle tecniche di risoluzione dei giochi mentre il secondo modo di intendere la teoria dei giochi è entro certi limiti un arte! Gioco (e regole del gioco) Un gioco è caratterizzato da regole. Queste possono essere riassunte dall acronimo PAPI. P=PLAYERS. I giocatori sono agenti economici. Questo significa che agiscono secondo razionalità. L ipotesi di razionalità implica due cose: ) che i giocatori agiscono seguendo un obiettivo, quale la massimizzazione del profitto, dell utilità, etc.., ) che i giocatori si comportano in modo strategico: nel prendere le decisioni, i giocatori si mettono nei panni

2 degli altri giocatori. I giocatori sono quindi dotati di aspettative ( cosa penso che gli altri pensino e cosa penso che gli altri pensino che io penso, etc.. ) A=AZIONI (o strategie). Le azioni sono tutte le possibili mosse che ciascun giocatore può compiere. Nei giochi simultanei non c è distinzione tra azione e strategie mentre nei giochi dinamici (o sequenziali) la distinzione diventa rilevante. P=PAYOFF. I payoff sono i pagamenti che un giocatore riceve, cioè i profitti o l utilità che un giocatore riceve dal fatto che si sono realizzate particolari mosse. In realtà si dovrebbe distinguere tra risultato del gioco (outcome) e payoff. Ad esempio, se due giocatori competono per ottenere una borsa contenente una somma di denaro, un possibile risultato del gioco è che uno dei due giocatori riesca ottenere fisicamente la borsa, il payoff corrispondente è l ammontare di denaro che il giocatore vince ricevendo la borsa o l utilità che un giocatore ha nello spendere il denaro contenuto nella borsa. Noi parleremo in generale di payoff senza considerare ulteriormente questa distinzione. Quindi il payoff è quanto un giocatore guadagna dal gioco. I=INFORMAZIONE. Noi distinguiamo i giochi in base alle informazioni possedute dai giocatori durante il gioco. Si parlerà di giochi simultanei (o statici) quando i giocatori scelgono contemporaneamente (o quando non hanno informazioni sulle scelte degli altri giocatori) mentre si parlerà di giochi dinamici (o sequenziali) quando i giocatori scelgono in momenti differenti (prima un giocatore, poi l altro). Nei giochi dinamici i giocatori acquisiscono informazioni man mano che il gioco procede in quanto osservano le mosse degli altri giocatori. E possibile riassumere le caratteristiche di un gioco simultaneo attraverso una semplice matrice. In questo caso si dice che il gioco è rappresentato in forma normale. La figura rappresenta il gioco di localizzazione. Ci sono due giocatori: Player e Player. Player ha a disposizione strategie (azioni): A=alto e B=basso e Player ha a disposizione 3 strategie S=sinistra C=centro e D=destra. Essendo rappresentato in forma normale, le scelte dei due giocatori avvengono in simultanea e quindi ciascun giocatore non ha informazioni sulle scelte dell altro. Infine i numeri all interno della matrice corrispondono ai payoff dei giocatori. Essendo i giochi rappresentazioni di interazioni strategiche si suppone che i payoff di ciascun giocatore possano dipendere dalle proprie scelte ma anche dalle scelte degli altri giocatori. Ad esempio, se il giocatore sceglie A e il giocatore sceglie S il giocatore riceve 4 e il giocatore riceve 3. Se il giocatore sceglie C e il giocatore lascia la sua scelta immutata (quindi continua a sceglie A) il payoff del giocatore sarà ora 7 e quello del giocatore sarà. Localizzazione S C D Player A 4,3 7,,6 B 3,4 8,0, Payoff di (Player, Player) Definiamo π ( s, s ) la funzione che descrive il payoff del giocatore quando sceglie s e l altro giocatore sceglie s. Allo stesso modo definiamo π ( s, s ) la funzione che descrive il payoff del giocatore quando sceglie s e l altro giocatore sceglie s. Ad esempio abbiamo che π ( A, D) = e π ( A, D) 6. = La classificazione dei giochi è molto più complessa di quanto esposto. Ci sono in particolare giochi dinamici dove i giocatori sono solo parzialmente informati sul comportamento degli altri giocatori. Noi non tratteremo questi tipi di giochi.

3 Obiettivo La teoria dei giochi si prefigge di indicare quali sono i possibili risultati di un gioco e quindi di trovare le soluzioni del gioco. In alcuni casi vi sembreranno intuitive (come in questo dove la soluzione è Player sceglie B e Player sceglie C), mentre in altri casi inizialmente vi sembreranno contro-intuitive (ad esempio nel dilemma del prigioniero ). In ogni caso il nostro obiettivo sarà quello di identificare quali sono le soluzioni di un gioco giocato da agenti razionali. E importante dire che le soluzioni di un gioco sono chiamati equilibri. E utile fin da ora sottolineare che ci sono diversi modo di risolvere un gioco (e questi differenti modi si basano su differenti ipotesi di razionalità dei giocatori). Un particolare modo di risolvere un gioco è detto concetto di equilibrio. Noi vedremo diversi concetti di equilibrio e in particolare: equilibrio in strategie dominanti equilibrio attraverso l eliminazione (iterata) delle strategie dominate equilibrio di Nash equilibrio perfetto (cioè l equilibrio di Nash ottenuto nei giochi dinamici dopo l eliminazione di strategie non credibili) Per identificare il risultato di un gioco noi ci concentreremo su due principali concetti di equilibrio. Il primo è l equilibrio di Nash che useremo per risolvere i giochi simultanei e il secondo è l equilibrio perfetto che si applica ai giochi dinamici. In particolare, nei giochi dinamici non saremo realmente interessati ad identificare l equilibrio perfetto (che implicherebbe identificare le strategie ottime di ciascun individuo) ma soltanto il risultato del gioco (cioè quali azioni sono scelte dai giocatori). Per fare questo sarà sufficiente utilizzare la tecnica dell induzione a ritroso (backward induction). In queste note introdurrò i vari tipi di equilibrio man mano che risulteranno necessari per risolvere il gioco. Partiremo da concetti di equilibrio più semplici e più robusti (che richiedono poca razionalità ai giocatori per arrivare a concetti più sofisticati di equilibrio che richiedono maggiore razionalità da parte dei giocatori). La funzione di risposta ottima Collegato al concetto di razionalità di un individuo esiste quello di funzione di risposta ottima. Si dice che una particolare strategia del giocatore è risposta ottima ad una particolare strategia del giocatore se scegliendo quella strategia il giocatore sta massimizzando il suo payoff. Chiameremo funzione di risposta ottima s i () del giocatore i, quella funzione che restituisce la scelta ottima per data scelta dell avversario. In formule, ŝ è risposta ottima a ~ s se e solo se s (si legge per tutti gli s e cioè per ogni π sˆ, ~ s π s, ~ s. possibile strategia a disposizione del giocatore ) vale ( ) ( ) Ad esempio nel gioco di localizzazione: s ( S) = A s ( C) = B, s ( A) = D e s ( B) = C. GIOCHI SIMULTANEI Equilibrio in strategie dominanti il dilemma del prigioniero D Definizione: la strategia s i è una strategia dominante per il giocatore i se per egli è risposta ottima D a tutte le possibili strategie dell avversario. Quindi per il giocatore i, s i, è il meglio che egli può fare indipendentemente da quello che fa il suo avversario. D In formule, s è strategia dominante per il giocatore se e solo se s D = s ( s ) s. In altro modo, D s è strategia dominante per il giocatore se e solo π ( s D, s ) π ( s, s ) s, s. 3

4 L equilibrio in strategie dominanti risponde ad un concetto minimale di razionalità. E l equilibrio che si ottiene quando ogni giocatore gioca la sua strategia dominante. Il dilemma del prigioniero. Due furfanti vengono arrestati e accusati di un grave crimine. Tuttavia le prove a loro carico permettono ai giudici di condannarli solo per una pena minore a meno che essi non confessino. I due prigionieri vengono rinchiusi in due celle separate e viene chiesto loro di confessare il crimine. Qualora i prigionieri confessino hanno diritto ad uno sconto sulla pena. Essendoci due possibili strategie per il prigioniero e cioè confesso (C) o non confesso (N) e lo stesso per il prigioniero e cioè C, N si hanno 4 possibili risultati che sono riassunti nella matrice dei payoff. Dilemma del Prigioniero C N Player C -5,-5 -,-0 N -0,- -,- La soluzione del dilemma del prigioniero può essere ottenuta come equilibrio in strategie dominanti. Infatti la strategia dominante del Prigioniero è C (confesso). Infatti scegliendo confesso ottiene -5 al posto di -0 nel caso in cui il Prigioniero scegliesse C mentre otterrebbe - al posto di - nel caso in cui il Prigioniero scegliesse N. In ogni caso per il Prigioniero scegliere C porta ad un payoff più alto che scegliendo la strategia N. Il medesimo ragionamento vale per il Prigioniero. L equilibrio in strategie dominanti è quindi (C,C). NB: Non è sempre detto che i giocatori abbiano strategie dominanti. In questo caso non è sempre possibile quindi trovare un equilibrio in strategie dominanti (ad esempio il Gioco di Localizzazione a pagina ). Equilibrio attraverso l eliminazione (iterata) delle strategie dominate Il gioco Riga Colonna. Una strategia è detta dominata se esiste un altra strategia che fornisce un payoff superiore per ogni possibile scelta dell altro giocatore. m In formule, s è strategia dominata per il giocatore se e solo se ~ s (si legge esiste almeno una strategia ~ s ) tale che π ( s m, s ) < π ( ~ s, s ). Riga - Colonna Player C C C3 R 4,3 5, 6, R, 3,4 3,6 R3 3,0 9,6,8 Sotto l ipotesi di razionalità dei giocatori sappiamo che un giocatore non giocherà mai una strategia dominata. L equilibrio ottenuto attraverso l eliminazione delle strategie dominate si basa sull ipotesi di razionalità e sul fatto che i giocatori si mettano nei panni dei propri avversari. Esporremo l equilibrio attraverso l eliminazione delle strategie dominate con il gioco Riga Colonna. Se C è una strategia dominata per il giocatore allora il giocatore non giocherà mai C. Quindi questa strategia può essere eliminata dal gioco. A questo punto il nuovo gioco ottenuto eliminando la strategia C, è il seguente. Per l eliminazione di questa strategia serve che il giocatore sia razionale e che il giocatore sappia/creda che il giocatore è razionale. 4

5 Riga Colonna (ridotto #) C Player C3 R 4,3 6, R, 3,6 R3 3,0,8 Ora il giocatore trovandosi di fronte al gioco ridotto # (in quanto attraverso il ragionamento ha eliminato il C dalle strategie del giocatore ) può eliminare le strategie R e R3 in quanto dominate da R (che è la strategia dominante nel gioco ridotto). A questo punto il nuovo gioco ottenuto eliminando R e R3 è il seguente. Riga Colonna (ridotto #) C Player C3 R 4,3 6, Ora il giocatore, trovandosi di fronte al gioco ridotto # (in quanto attraverso il ragionamento sa che il giocatore aveva eliminato la sua mossa C e trovandosi nel gioco ridotto # aveva scelto la sua strategia R) può eliminare la strategia C3 e quindi scegliere C. 3 Il gioco risultante descrive l equilibrio in strategie dominate. Il giocatore gioca R e il giocatore gioca C. Riga Colonna (ridotto #3) C Player R 4,3 Il gioco risultante descrive l equilibrio in strategie dominate. Il giocatore gioca R e il giocatore gioca C. Chiaramente per ottenere un equilibrio attraverso l eliminazione di strategie dominate si richiede maggiore razionalità ai giocatori rispetto al caso di risoluzione del gioco in strategie dominanti. Anche attraverso l eliminazione delle strategie dominate non è sempre possibile trovare una soluzione. Ad esempio il gioco di Localizzazione non ha equilibrio attraverso l eliminazione di strategie dominate. Equilibrio di Nash Il principale metodo di soluzione dei giochi simultanei avviene attraverso l Equilibrio di Nash. Una coppia strategie costituiscono un equilibrio di Nash quando ciascuna strategia è risposta ottima all altra strategia. Quindi ŝ, ŝ sono un equilibrio di Nash quando simultaneamente vale che s ˆ = s ( sˆ ) e s ˆ = s ( sˆ ). Detto in altro modo, una coppia di strategie, ŝ, ŝ, sono un equilibrio di Nash, quando ciascun giocatore non ha un interesse a deviare dalla strategia che sta giocando. In formule, si ha equilibrio di Nash quando: π ( sˆ, sˆ ) π ( s ˆ, s ) s e π ( sˆ, sˆ ) π ( sˆ, s ) s Troviamo ora l equilibrio di Nash nel gioco di localizzazione introdotto all inizio delle note. 3 Per l eliminazione di questa strategia serve che il giocatore sia razionale e che il giocatore sappia che il giocatore è razionale e che il giocatore sappia che il giocatore sappia che il giocatore è razionale. 5

6 Per identificare l equilibrio o gli equilibri di Nash basta procedere nel seguente modo. Supponete che Player scelga S allora per Player la risposta ottima è A. Sottolineate il payoff del Player in corrispondenza di S, A. Supponete che Player scelga C allora per Player la risposta ottima sarebbe B (sottolineate il payoff 8). Nel caso in cui Player scegliesse D per Player la risposta ottima sarebbe B (sottolineate ). Ripetendo la stessa procedura otterrete D risposta ottima del Player alla strategia A del Player (sottolineate il payoff del Player in corrispondenza delle strategie A e D e cioè il valore 6) e otterrete C come risposta ottima alla strategia B (sottolineate 0). L equilibrio (o gli equilibri) di Nash è quella combinazione di strategie identificate dalla cella dove entrambi i payoff sono sottolineati. Infatti queste strategie sono ognuna risposta ottima di quello dell avversario. E facile vedere che nell equilibrio (B,C) i giocatori non hanno incentivo individuale a deviare. Se il giocatore al posto di B scegliesse A passerebbe da un payoff di 8 ad uno di 7. Se il giocatore al posto di C scegliesse S passerebbe da 0 a 4 e se scegliesse D passerebbe da 0 a. Localizzazione (ripreso) S C D Player A 4,3 7,,6 B 3,4 8,0, Payoff di (Player, Player) Applicando il concetto di equilibrio di Nash ai giochi precedenti, si nota che si ottengono gli stessi risultati. Per il dilemma del prigioniero la soluzione è (C,C). Dilemma del prigioniero (ripreso) C N Player C -5,-5 -,-0 N -0,- -,- Per il gioco Riga Colonna la soluzione è (R,C). Riga Colonna (ripreso) C C C3 Player R 4,3 5, 6, R, 3,4 3,6 R3 3,0 9,6,8 Prima di concludere sull equilibrio di Nash è necessario fare alcune considerazioni. Primo, l equilibrio di Nash poggia su ipotesi raffinate di razionalità degli individui. Immaginando che l equilibrio sia unico, come abbiamo visto sin ora, per raggiungere l equilibrio si richiede che ciascun giocatore sia razionale e che sia in grado di risolvere il gioco, che ciascun giocatore creda che l altro giocatore sia razionale e che sia in grado di risolvere il gioco e che ciascun giocatore creda che ciascun giocatore creda che ciascun giocatore sia razionale e che sia in grado di risolvere il gioco, etc.. In questo caso, nessun giocatore avrà incentivo a deviare dalla soluzione prevista e quindi si raggiungerà l equilibrio di Nash. Secondo, anche se il concetto di razionalità necessario per raggiungere l equilibrio è molto forte, tuttavia l equilibrio di Nash può essere pensato come il risultato di un processo di apprendimento. Durante la fase di apprendimento i giocatori giocano strategie differenti. Quando tutti i giocatori 6

7 giocano la propria strategia di Nash non avranno più incentivi a deviare e quindi il processo di apprendimento termina. Terzo, l equilibrio di Nash è molto utilizzato in quanto è estremamente semplice da calcolare. Inoltre, nella versione estesa del concetto (cioè quando ai giocatori è permesso di giocare strategie miste, cioè assegnando una probabilità a ciascuna strategia pura) l equilibrio di Nash esiste praticamente sempre. Una strategia è pura quando il giocatore decide di giocare una mossa con certezza (quindi il giocatore giocherà una mossa con una probabilità del 00%). Una strategia è mista se il giocatore gioca un insieme di mosse attribuendo a ciascuna mossa una certa probabilità. Morra Cinese Player C S F3 C 0,0,- -, S -, 0,0,- F,- -, 0,0 Ad esempio nel gioco della Morra Cinese il giocatore potrebbe decidere di giocare sempre Sasso (questa è una strategia pura) oppure potrebbe decidere di giocare con una probabilità del 33,33% Sasso, Carta, Forbice (questa è una strategia mista). Chiaramente il gioco della Morra Cinese non ha equilibrio in strategia pura in quanto per ogni data configurazione ci sarà almeno un giocatore che ha un incentivo a deviare dalla precedente strategia. Se il giocatore gioca Sasso e il giocatore gioca Forbice allora il giocatore avrà un incentivo a deviare e giocare Carta. Ma se il giocatore giocasse Carta allora il giocatore vorrebbe giocare Forbice, e così via. Se entrambi i giocatori giocassero la strategia mista che assegna la probabilità di un terzo a ciascuna mossa allora non ci sarebbe incentivo a deviare. Quarto, l equilibrio di Nash potrebbe essere multiplo. Durante il corso vedremo che nei casi di interesse (oligopolio, etc..), l equilibrio di Nash è unico. Tuttavia vi sono importanti situazioni come nel caso di esternalità di rete, scelta di standard, etc.. dove l equilibrio è multiplo. Coordinamento Ordinato (Ranked) Grande Piccolo Player Grande, -,- Piccolo -,-, In alcuni casi come in quello della coordinamento ordinato 4, vi sono due equilibri di Nash, ma è possibile proporre degli affinamenti dell equilibrio. In particolare si può supporre che i giocatori utilizzino il concetto di Pareto dominanza 5 per orientarsi verso l equilibrio Grande-Grande piuttosto che verso l equilibrio Piccolo-Piccolo. Tuttavia il concetto di Pareto dominanza potrebbe non essere un buon affinamento del gioco quando un giocatore potrebbe andare incontro ad una situazione di pericolo scegliendo la situazione Pareto superiore come nel gioco di Coordinamento Pericoloso. 4 Nei giochi di coordinamento, le imprese si trovano di fronte alla scelta tra diversi standard. Chiaramente scegliendo il medesimo standard hanno dei vantaggi in quanto aumentano ad esempio il numero di fornitori e di conseguenza avrebbero a disposizione prodotti di maggior qualità ad un costo inferiore. 5 Il concetto di Pareto-dominanza è molto importante in economia. Un allocazione (in questo caso una soluzione del gioco) Pareto domina un altra allocazione quando la prima migliora il benessere di almeno un giocatore senza peggiorare quello di nessuno. Attenzione: il concetto di Pareto-dominanza, si applica per selezionare tra diversi equilibri di Nash ma non è sensato applicarlo ad esempio nel dilemma del prigioniero per spostarsi dall equilibrio (C,C) all equilibrio (N,N). In questo caso i giocatori hanno un incentivo a deviare da (N,N) a (C,C) e quindi nessuno vorrà giocare (N,N). Nel caso di scelta tra due equilibri, invece, una volta raggiunto un equilibrio non c è incentivo a deviare e quindi il coordinamento attraverso la Pareto-dominanza è possibile. 7

8 Coordinamento Pericoloso Grande Player Piccolo Grande, -000,- Piccolo -,-, In questo caso non è chiaro se il giocatore voglia effettivamente giocare la strategia Grande in quanto se ci fosse anche una piccola probabilità che i due giocatori non si coordino il giocatore subirebbe una perdita ingente Infine ci sono casi come nella Battaglia dei Sessi dove vi è più di un equilibrio. Ciascun giocatore (uomo o donna) trova piacere a trascorrere una serata assieme al compagno o alla compagna ma la donna preferisce andare a teatro a vedere un balletto mentre l uomo preferisce andare a vedere un incontro di box. Battaglia dei Sessi Balletto Uomo Donna Box Balletto, 0,0 Box 0,0, In questo caso i due equilibri sono entrambi possibili. Se i due giocatori non hanno giocato la battaglia dei sessi in precedenza è estremamente difficile prevedere quale sarà il risultato, perché non c è una via ovvia per i giocatori di coordinare le loro aspettative. Tuttavia nelle situazioni reali i giocatori possono essere in grado di coordinarsi su un equilibrio particolare. Provate voi a trovare la ragione per la quale la previsione (Balletto, Balletto) potrebbe essere l equilibrio... Quinto, vi sono alcune relazioni tra equilibrio in strategie dominanti, equilibrio in eliminazione delle strategie dominate e equilibrio di Nash: ogni equilibrio in strategie dominanti è anche un equilibrio in eliminazione delle strategie dominate ed è anche un equilibrio di Nash ma non vale sempre il contrario. ogni equilibrio in eliminazione delle strategie dominate è anche un equilibrio di Nash ma non vale sempre il contrario. GIOCHI DINAMICI La forma estesa I giochi dinamici o sequenziali si rappresentano in forma estesa e cioè attraverso un albero. In ciascun nodo dell albero vi è un giocatore che deve compiere una scelta. Nel gioco del Mercato del Cemento ci sono due imprese: l impresa che è già sul mercato del cemento (Incumbent) e l impresa che deve decidere se entrare nel mercato del cemento o in un altro mercato. Nei giochi dinamici è molto importante identificare l ordine con cui vengono prese le decisioni. In questo caso l Entrante è il primo a muovere e decide se entrare nel mercato del cemento o in un altro mercato. Successivamente l Incumbent, dopo aver visto la mossa dell entrante, decide se aumentare la propria capacità produttiva oppure mantenerla invariata. 8

9 Mercato del Cemento (forma estesa) Entrante altro mercato Incumbent Cemento Incumbent Payoffs: Entrante Incumbent 30 Mantenere Espandere Espandere Mantenere 5 0 Nei giochi dinamici è importante fare una distinzione tra mosse e strategie. In questo gioco l Incumbent ha mosse e cioè Espandere o Mantenere, ma ha 4 strategie! Una strategia è un contingent plan e cioè un libretto di istruzioni nel quale il giocatore deve indicare come si vuole comportare durante il gioco. In particolare, l Incumbent essendo secondo a muovere può condizionare (cioè far dipendere) la sua scelta in funzione di quanto ha fatto l Entrante. Quindi le strategie dell Incumbent sono: a) Strategia : Espandere in ogni caso: (x a, x c): cioè scelgo x dato che l entrante ha scelto a e scelgo x dato che l entrante ha scelto c. b) Strategia : Espandere quando l entrante va nell altro mercato ma Mantenere quando l entrante sceglie cemento: (x a, m c) c) Strategia 3: Mantenere quando l entrante sceglie l altro mercato ma Espandere quando l entrante sceglie cemento: (m a, x c) d) Strategia 4: Mantenere in ogni caso: m a, m c. Le strategie dell entrante sono semplicemente a e c. Un gioco dinamico può essere rappresentato in forma normale (cioè a matrice) utilizzando le singole strategie dei giocatori. Mercato del Cemento (forma normale) s= x a, x m s= x a, m c s3= m a, x c s4= m a, m c Incumbent Entrante Altro mkt,30,30,0,0 Cemento 5,5 5,0 5,5 5,0 Avendo ora un gioco in forma normale possiamo identificare gli equilibri di Nash. In particolare si osserva che vi sono 3 equilibri di Nash e cioè (a,s), (c,s) e (c,s3). Come si vede nei giochi dinamici l equilibrio di Nash è piuttosto povero in termini di previsioni (cioè sono troppo vaghe). Quindi si procede ad utilizzare un concetto di equilibrio più raffinato (quello che gli economisti chiamano equilibrio perfetto). L equilibrio perfetto è quell equilibrio di Nash che sopravvive una volta che si eliminano gli equilibri che contengono strategie non credibili. In particolare si osservi l equilibrio (a,s). La strategia s non è una strategia credibile. Infatti se la prima parte (x a) concorda con l ipotesi di razionalità dell Incumbent, la seconda parte (x m) no. Infatti, non è credibile che se l entrante sceglie cemento, l Incumbent voglia scegliere di Espandere ottenendo un payoff di 5 al posto di Mantenere da cui trarrebbe un payoff di 5. Quindi l equilibrio (a,s) è da scartare in quanto contiene strategie non credibili. 9

10 Allo stesso modo l equilibrio (c,s3) è da scartare, in quanto non è credibile che l Incumbent voglia Mantenere la produzione se l entrante sceglie Altro mercato. L equilibrio (c,s) sopravvive ed è l unico equilibrio perfetto. Infatti se l entrante sceglie altro l Incumbent correttamente sceglie di Espandere ma quando l entrante sceglie Cemento, l Incumbent sceglie Mantenere. Quindi diremo che la coppia di strategie (c, s) sono l equilibrio di questo gioco dinamico che portano al payoff (5,0). Diremo altresì che le mosse c e m costituiscono il percorso d equilibrio e cioè identificano i rami lungo cui si svolge il gioco. Backward induction E importante notare che non è necessario trasformare il gioco in forma normale per identificare il percorso di equilibrio ma questa operazione può essere fatta molto più semplicemente attraverso la backward induction e cioè l induzione a ritroso. La backward induction è la tecnica abitualmente usata per risolvere i giochi dinamici. Si parte dai nodi terminali e cioè quei nodi i cui rami terminano tutti con i payoff e si analizza quale scelta verrà compiuta dal giocatore qualora si trovasse nel nodo stesso. Nel nostro esempio i nodi terminali sono quelli dove deve scegliere l Incumbent. In ciascuno dei nodi terminali si identifica la scelta compiuta dal giocatore e si pone in evidenza il segmento scelto. Da quel momento i rami non selezionati sono da considerarsi inesistenti. Una volta individuati tutti i rami attivi ci si sposta ai nodi di livello superiore. In questo caso la scelta del giocatore dovrà tenere conto solo dei rami attivi. Anche in questo caso si pone in evidenza il segmento scelto e i rami non selezionati sono da considerarsi inesistenti. La procedura termina quando si individua a ritroso il percorso completo (percorso di equilibrio) che va dal nodo del primo giocatore fino ai payoff. Mercato del Cemento (forma estesa) Entrante Payoffs: Entrante Incumbent altro mercato Incumbent 30 B Mantenere 0 A Cemento Incumbent 5 5 C Espandere Espandere Mantenere 5 0 Applicando la backward induction al Mercato del Cemento. Consideriamo prima il nodo terminale B dove l Incumbent qualora si trovasse a quel punto del gioco sceglierebbe Mantenere. Evidenziamo quindi il ramo corrispondente alla mossa Mantenere. Consideriamo ora il nodo B e con il medesimo ragionamento evidenziamo il ramo Espandere. Al nodo A, l Entrante per scegliere tra cemento e altro mercato considera solo i rami attivi e quindi i corrispondenti payoff. Se sceglie Cemento sa di ottenere 5 mentre se sceglie Altro ottiene solo. Il percorso di equilibrio del gioco è quindi l entrante sceglie Cemento e l Incumbent sceglie Mantenere. Il Centipede è un gioco in cui in ciascun momento uno dei giocatori può decidere di terminare il gioco. Il gioco è stato costruito di modo che l ultimo nodo della sequenza in corrispondenza della scelta R dia un payoff maggiore per entrambi i giocatori rispetto alle scelte di terminare immediatamente il gioco. Tuttavia il gioco non raggiunge mai la fine in quanto in ogni istante i 0

11 giocatori hanno un incentivo a terminare il gioco immediatamente. Usando la backward induction si osserva che il gioco termina immediatamente in quanto il giocatore sceglie L. Il Centipede Giocatore L R Giocatore L R 0 3 L 4 Giocatore R 3 3 ESERCIZI Esercizio - Il gioco dei maiali rinchiusi Due maiali sono messi in una stanza dove da un lato vi è un pulsante e all altra estremità vi è un distributore di cibo. Quando un maiale schiaccia il pulsante a un costo di in termini di utilità, il distributore eroga cibo per un valore di 0 utilità. Uno dei due maiali (Big) la fa da padrone nel senso che qualora arrivasse per primo al cibo, lascerebbe solo le briciole per il secondo (cioè lascerebbe solo utilità di cibo). Se invece l altro maiale (Small) arriva per primo, consuma 4 unità. Se arrivassero nel medesimo tempo, il maiale Small consumerebbe solo 3 unità. Le strategie di ciascun maiale sono Schiacciare il pulsante o Aspettare. Naturalmente i maiali sono agenti razionali. Big Pulsante Big Small cibo Domande: a) Scrivete la matrice dei payoff b) Identificate, l equilibrio / gli equilibri di Nash

12 Esercizio Gioco Riga Colonna bis Considerate il seguente gioco Player C C C3 C4 R 0,7,5 7,0 6,6 R 5, 3,3 5,, R3 7,0,5 0,7 4,4 R4 6,6, 4,4 0,3 Domande: a) Identificate se esistono delle strategie dominanti b) Trovare l equilibrio / gli equilibri di Nash. Esercizio 3 Marco - Paolo Si consideri il seguente gioco, i cui payoff sono rappresentati in forma normale: Marco Paolo Ovest Centro Est Nord 4,9 0,6 0,4 Sud 6, 8,4 5, Payoff: Paolo, Marco. Domande 3a) Indicare se esistono strategie dominanti da parte dei due giocatori. 3b) Indicare qual è/ quali sono gli equilibri di Nash. 3c) Trasformate il precedente gioco in un gioco sequenziale (dinamico), immaginando che Marco possa scegliere prima di Paolo e Paolo scelga per secondo. Calcolate il nuovo percorso di equilibrio. Esercizio 4 Gioco del Cemento (rivisto) Domande 4a) Trasformate il gioco in un gioco simultaneo e calcolate l equilibrio di Nash 4b) Trasformate il gioco in un gioco dinamico dove l Incumbent fa la prima mosso e trovate il percorso di l equilibrio. 4c) Discutete il ruolo del vantaggio della prima mossa (first mover advantage). E meglio essere i primi a giocare o secondi, e perchè?