Esercizi di Teoria dei Giochi

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1 Esercizi di Teoria dei Giochi ultimo aggiornamento: 11 maggio Si consideri il gioco fra 2 giocatori rappresentato (con le notazioni standard) dalla seguente matrice: (3, 1) (5, 0) (1, 0) (2, 6) (4, 1) (3, 0) (a) Stabilire se il gioco è risolubile mediante eliminazione iterata di strategie fortemente dominate. (b) (domanda proposta) Determinare tutti gli equilibri di Nash in strategie pure. (a) Il gioco è risolubile mediante eliminazione iterata di strategie fortemente dominate. La soluzione è la coppia di strategie (4, 1). (b) L unico equilibrio di Nash in strategie pure è (4, 1). Per le definizioni di strategia fortemente dominata (definizione enunciata in aula), eliminazione iterata di strategie fortemente dominate (definizione enunciata in aula), strategia debolmente dominata (definizione proposta), si veda: [F. Patrone, Decisori razionali interagenti], pag Nota: in aula abbiamo parlato solo di eliminazione iterata di strategie fortemente dominate. Non abbiamo invece parlato di eliminazione iterata di strategie debolmente dominate. Chi fosse interessato ad approfondire l argomento e a scoprire cosa può accadere eliminando strategie dominate debolmente ma non fortemente, può provare a risolvere il seguente esercizio: [F. Patrone, Decisori razionali interagenti], Problema 28, pag htm 2. Si consideri il gioco ad n giocatori le cui regole sono le seguenti. Ogni giocatore deve scrivere su un foglio un numero intero, scelto a piacere, compreso fra 1 e 100. Quando tutti i giocatori hanno scritto il numero, un arbitro raccoglie i fogli distribuiti e calcola la media dei numeri che sono stati scritti. 1

2 2 Il vincitore è colui che ha scritto il numero che più si avvicina ai 2/3 della media. Nel caso in cui vi siano più vincitori a pari merito, la posta in palio viene divisa in parti uguali fra i vincitori. Rispondere alle seguenti domande. (a) Scrivere su un foglio un numero da 1 a 100 e svolgere il gioco insieme agli altri studenti presenti in aula. (b) Scrivere la game form del gioco. (c) Dire qual è la strategia ottimale da adottare. (d) Discutere l esito del gioco svolto in aula (domanda (a)) e confrontarlo con l esito teorico previsto nella domanda (c). (e) Scrivere la rappresentazione matriciale del gioco in forma strategica, nell ipotesi che i giocatori siano 2. (a) - (b) La game form del gioco è descritta nel paragrafo 1 di: decisori razionali interagenti/altro materiale/beauty contest game form gioco.pdf (c) Supponendo che siano verificate le ipotesi standard della teoria dei giochi non cooperativi, la strategia ottimale è quella di scrivere il numero 1. Oltre alla spiegazione che è stata data in aula, si osservi che ciò può essere dedotto anche mediante eliminazione iterata di strategie dominate, con un ragionamento di questo tipo: Il giocatore 1 ha a disposizione 100 differenti strategie (poiché può scrivere un numero a piacere compreso fra 1 e 100). Le strategie comprese fra 68 e 100 sono dominate dalla strategia 67. Infatti, sia v il numero ottenuto calcolando i 2/3 della media dei numeri scritti. Allora v sarà certamente compreso fra 1 e 66, 6. Pertanto le strategie comprese fra 68 e 100 sono certamente meno convenienti della strategia 67, a prescindere da ciò che scrivono gli altri giocatori. In altre parole le strategie comprese fra 68 e 100 possono essere eliminate, poiché non ha alcun senso, per il giocatore 1, adottare una di queste strategie: la sua scelta sarà certamente una strategia compresa fra 1 e 67. Lo stesso ragionamento si può applicare anche agli altri giocatori. Pertanto, per ognuno di essi, possono essere eliminate le strategie comprese fra 68 e 100, e sopravvivono solo le strategie comprese fra 1 e 67. A questo punto il giocatore 1, sapendo che tutti i giocatori adotteranno una strategia compresa fra 1 e 67, può dedurre che il numero v sarà compreso fra 1 e 44, 6. Pertanto, con un ragionamento analogo al precedente, può eliminare tutte le strategie maggiori di 45, in quanto dominate dalla strategia 45. Sopravvivono, quindi, le sole strategie comprese fra 1 e 45. Lo stesso ragionamento si può applicare anche agli altri giocatori. Pertanto, per ognuno di essi, possono essere eliminate le strategie maggiori di 45 e sopravvivono solo le strategie comprese fra 1 e 45.

3 3 Il ragionamento descritto può essere iterato e, dopo 11 iterazioni, si arriva alla conclusione che l unica strategia che sopravvive all eliminazione delle strategie dominate è, per ogni giocatore, la strategia 1. (d) L esito del gioco svolto in aula è ben lontano dall esito teorico previsto. Essenzialmente ciò dipende dal fatto che nel gioco reale non sono verificate le ipotesi della Teoria dei Giochi, in particolare la razionalità dei giocatori. Questo non significa, però, che chi ha adottato una strategia diversa da 1 non abbia giocato in modo razionale: potrebbe essere un giocatore razionale, ma non avere stima nella razionalità degli altri giocatori. In altre parole, un giocatore che abbia ben compreso il meccanismo del gioco dovrà anche domandarsi se gli altri giocatori lo abbiano a loro volta compreso: se ritiene che essi siano perfettamente razionali, nonché consapevoli ed informati della razionalità di tutti, adotterà la strategia 1; se ritiene che siano tutti completamente irrazionali, supporrà che i numeri si distribuiscano in modo casuale da 1 a 100, con un valore medio atteso di 50,5 in corrispondenza del quale la strategia ottimale è 34; in generale la strategia corretta da adottare sarà un numero compreso fra 1 e 34, tanto più basso quanto più si ha fiducia nella razionalità degli altri giocatori; in ogni caso non ha senso adottare strategie maggiori di 34. (e) La rappresentazione matriciale è: ( 1, 1 ) (1, 0) (1, 0) (1, 0)... (1, 0) (1, 0) (0, 1) ( 1, 1 ) (1, 0) (1, 0)... (1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) ( 1, 1 ) (1, 0)... (1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 1) ( 1, 1) 2 2 Il gioco proposto in questo esercizio è un classico della Teoria dei Giochi, che prende il nome di Beauty Contest. Si possono consultare: decisori razionali interagenti/altro materiale/beauty contest game form gioco.pdf beauty contest PoliMI 2 e Cesenatico 2006 PhD GE Alicante Telecom 2007 PD 2008.pdf 3. Siano n e p due numeri interi positivi, con p < n. Si consideri il gioco ad n giocatori le cui regole sono le seguenti. Su un tavolo ci sono n fiammiferi. Dopo aver stabilito a chi spetta la prima mossa, ogni giocatore, al proprio turno, deve togliere un numero (intero) di fiammiferi compreso tra 1 e p, a sua scelta. Perde chi costretto a togliere lultimo fiammifero.

4 4 (a) Siano n = 5 e p = 2. Rappresentare il gioco in una delle forme conosciute (game form, forma strategica, forma matriciale, forma estesa), motivando la scelta fatta. Successivamente dire se, avendo la possibilità di scegliere, conviene giocare per primi. (b) Siano n = 29 e p = 5. Dire se, avendo la possibilità di scegliere, conviene giocare per primi. (c) Stabilire, al variare di n e p, quali sono i casi in cui conviene giocare per primi. (a) Trattandosi di un gioco in cui si gioca alternativamente e poiché il numero di turni è contenuto, è preferibile la rappresentazione in forma estesa, mediante l albero di Kuhn. Vince chi fa la prima mossa (lo si può dedurre mediante induzione a ritroso). (b) Vince chi fa la prima mossa. (c) Vince chi fa la prima mossa se e solo se il resto della divisione fra n e p + 1 è 1. Una descrizione del gioco dei fiammiferi si trova su: [F. Patrone, Decisori razionali interagenti], pag Due versioni giocabili online del gioco si trovano su: fiammiferi/fiammife.htm fiammiferi/fiammife9.htm 4. Determinare la strategia ottimale nei seguenti giochi: (a) (b) (0, 0) (5, 5) (6, 6) (2, 2) (0, 0) (5, 5) (5, 5) (2, 2) 5. Si consideri il seguente gioco, da svolgere fra gli studenti presenti in aula. Scrivete su un foglio un numero intero non negativo, facendo attenzione che i vostri compagni non vedano il numero che scrivete. Se scrivete 0 significa che non volete partecipare al gioco. Se scrivete un numero intero positivo significa che intendete partecipare. In tal caso vince chi scrive il numero più alto. Il premio è un bonus, sul punteggio dell esame, pari al reciproco del numero vincente. In caso di parità i vincitori si divideranno il bonus in parti uguali. Dopo aver giocato, discutere l esito del gioco (in particolare, evidenziare quali delle ipotesi standard della Teoria dei Giochi sono verificate, quali potrebbero essere le funzioni di utilità dei vari giocatori, quali potrebbero essere le strategie ottimali, ecc.) È risultato vincitore lo studente BERTOLINO che, scrivendo il numero 100, ed essendo colui che ha scritto il numero più alto, ha guadagnato un bonus di 0.01 punti sul voto dell esame.

5 5 6. Discutere il seguente gioco: (6, 6) (2, 9) (9, 2) (0, 0) Questo gioco è stato proposto solo come controesempio ad alcune affermazioni fatte in aula relativamente agli equilibri correlati (nel gioco precedente era nata una discussione interessante al riguardo, poiché alcuni di voi si domandavano se potesse essere di qualche utilità l utilizzo di un mediatore ). 7. Due importatori A e B operano in regime di duopolio e importano lo stesso prodotto, da vendere nello stesso mercato. Essi devono decidere la quantità di prodotto da importare (e quindi da immettere sul mercato), in modo da massimizzare il proprio profitto. Siano x ed y le quantità importate da A e B, e sia q = x + y la quantità totale importata. Si supponga che, in virtù della legge della domanda e dell offerta, il prezzo unitario sia 50 q (in migliaia di Euro), per 0 q 50. Si trascuri il caso q > 50 (per tali valori il mercato diventa talmente saturo da rendere nullo il valore di mercato del prodotto). Si supponga che il costo per importare una unità del prodotto sia 2 (migliaia di Euro). (a) Si supponga che nel mercato non vi siano normative antitrust e che le due imprese decidano di stipulare un accordo per dividersi in parti uguali il mercato (rendendolo di fatto un regime di monopolio). Qual è la quantità che le due imprese devono importare per massimizzare il profitto? (b) Si supponga che nel mercato vi siano normative antitrust e che i due importatori siano in concorrenza (modello di duopolio di Cournot). Determinare la strategia ottimale che esse devono adottare per massimizzare il proprio profitto dimostrando, in particolare, che essa corrisponde all unico equilibrio di Nash del problema in oggetto. (c) Ritrovare il risultato precedente mediante eliminazione iterata di strategie fortemente dominate. (d) Si supponga, ora, che i due importatori operino in concorrenza, ma che debbano prendere la propria decisione in tempi differenti (modello di duopolio di Stackelberg). Entrambi sanno di operare in regime di duopolio, ma l importatore A deve decidere per primo quale quantità importare, mentre l importatore B può prendere la sua decisione solo dopo che A ha preso (e reso pubblica) la sua. Prima di effettuare calcoli cercare di intuire se queste regole favoriscono l importatore A (che ha il vantaggio di fare la prima mossa ) o l importatore B (che ha il vantaggio di prendere la propria decisione conoscendo già quella di A). Successivamente determinare le strategie ottimali dei due importatori. (e) Compilare una tabella di riepilogo in cui, per ognuna delle casistiche esaminate (monopolio, duopolio di Cournot, duopolio di Stackelberg), vengono indicate le quantità immesse sul mercato, il prezzo di vendita ed i profitti realizzati dagli importatori. Quale delle tre casistiche è la più conveniente e quale è la meno conveniente per il consumatore? Quale delle tre casistiche è la più conveniente e quale è la meno conveniente per l importatore A? Quale delle tre casistiche è la più conveniente e quale è la meno conveniente per l importatore B?

6 6 (f) (domanda proposta) Siano a e c due costanti reali, con a > c. Rispondere alle domande (a)-... -(e) nel caso generale: si supponga che il prezzo di vendita unitario sia a q, per 0 q a, e che il costo per importare una unità del prodotto sia c. (g) (domanda proposta; si tratta di una domanda indipendente dal problema esaminato nelle domande precedenti). Un associazione di consumatori presenta una denuncia, all Autorità Garante della Concorrenza e del Mercato, perché esiste un certo prodotto che viene venduto allo stesso prezzo da tutte le imprese che lo commercializzano. L associazione ritiene che le imprese non si stiano facendo una reale concorrenza e ritiene che il fatto che tutte vendano il prodotto allo stesso prezzo sia una dimostrazione inequivocabile del fatto che si sono accordate sottobanco in violazione delle normative antitrust. Se voi foste un giudice riterreste fondato il sospetto dell associazione e le motivazioni addotte? (a) x = y = 12 (b) x = y = 16 (c) x = y = 16 (d) x = 24, y = 12 (e) Nella seguente tabella sono indicati i dati richiesti: monopolio duopolio di Cournot duopolio di Stackelberg strategia di A strategia di B produzione totale prezzo profitto di A profitto di B Si noti che: Per il consumatore: la situazione più conveniente è il duopolio di Stackelberg la situazione meno conveniente è il monopolio Per l importatore A: la situazione più conveniente è, equivalentemente, il monopolio o il duopolio di Stackelberg la situazione meno conveniente è il duopolio di Cournot Per l importatore B: la situazione più conveniente è il monopolio la situazione meno conveniente è il duopolio di Stackelberg (f) La risoluzione completa dell esercizio, nel caso generico, si può trovare su: razionali interagenti/duopolio/duopolio.pdf

7 7 (g) Il fatto che un prodotto venga venduto allo stesso prezzo da tutte le imprese che lo commercializzano non è, di per sé, un indizio di accordo sottobanco : è normale che i venditori tendano ad allinearsi a quello che è il prezzo di mercato. Se si vuole dimostrare che si è in presenza di un accordo sottobanco bisogna dimostrare qualcosa di più, cioè che il prezzo è troppo alto. Ad esempio, se il prodotto incriminato fosse quello trattato nelle domande (a)-... -(e), si potrebbe dire che: se si riscontra sul mercato un prezzo di circa 18 Euro da parte di entrambi i venditori, non si può certo concludere che vi sia stato un accordo: si tratta del prezzo corretto previsto dal modello di Cournot se si riscontra sul mercato un prezzo di circa 26 Euro da parte di entrambi i venditori, ci sono buoni motivi per supporre che vi sia stato un accordo, visto che si tratta del prezzo previsto in regime di monopolio. La risoluzione completa dell esercizio, nel caso generico, si può trovare su: razionali interagenti/duopolio/duopolio.pdf 8. Si consideri il gioco a 2 giocatori le cui regole sono le seguenti. La prima mossa spetta al giocatore A. Egli può dire passo (in tal caso il gioco passerà a B, che dovrà fare la propria mossa), oppure chiudo (in tal caso il gioco si conclude immediatamente). Qualora il giocatore A abbia detto passo, toccherà al giocatore B fare la seconda mossa. B, a sua volta, può dire passo (in tal caso il gioco passerà nuovamente ad A, che dovrà fare la terza mossa), oppure chiudo (in tal caso il gioco si conclude immediatamente). Qualora il giocatore B abbia detto passo, toccherà al giocatore A fare la seconda mossa, ed il gioco prosegue in questo modo. Qualora si arrivi alla 199-esima mossa (cioè alla 100-esima mossa del giocatore A), il giocatore A è obbligato a dire chiudo. Le vincite dei giocatori dipendono dalla mossa in cui si conclude il gioco. Se il gioco si conclude alla n-esima mossa (n è un intero compreso fra 1 e 199), allora: se n è dispari (cioè se è il giocatore A a dire chiudo ), i giocatori vincono (n + 1)/2 Euro ciascuno; se n è pari (cioè se è il giocatore B a dire chiudo ), il giocatore A vince (n 2)/2 Euro ed il giocatore B vince (n + 4)/2 Euro. Disegnare l albero di Kuhn del gioco e risolverlo, mediante induzione a ritroso. La soluzione del gioco che si trova mediante induzione a ritroso è (1, 1) (il giocatore A dice chiudo alla prima mossa). Questo gioco prende il nome di centipede. Una discussione più approfondita del gioco (ed in particolare del fatto che la soluzione che si trova mediante induzione a ritroso è, evidentemente, poco soddisfacente per entrambi i giocatori) si può trovare su:

8 8 razionali interagenti/forma estesa/spe e perfetti.pdf [F. Patrone, Decisori razionali interagenti], Problema 22, pag htm 9. Consideriamo il seguente gioco fra due giocatori. Si tratta di una versione stilizzata e semplificata di una mano di Poker, che si svolge con le seguenti regole. Per prima cosa i due giocatori A e B mettono nel piatto 20 Euro ciascuno. Successivamente il giocatore A estrae una carta da un mazzo standard di 52 carte e la guarda, senza mostrarla a B. La carta è vincente se è di cuori ed è perdente se è di quadri, fiori o picche. Il giocatore A può decidere di: mostrare subito la carta al giocatore B (in tal caso il gioco si conclude subito e il contenuto del piatto è vinto da A se la carta è di cuori, ed è vinto da B se la carta non è di cuori); effettuare un rilancio, mettendo nel piatto altri 40 Euro. Qualora il giocatore A abbia rilanciato, il giocatore B può decidere di: accettare il rilancio, mettendo anch egli 40 Euro nel piatto (in tal caso A dovrà mostrare la carta: il contenuto del piatto è vinto da A se la carta è di cuori, ed è vinto da B se la carta non è di cuori); abbandonare il gioco (in tal caso il giocatore A vince il contenuto del piatto a prescindere dalla carta estratta, che non viene mostrata a B). Rispondere alle seguenti domande. (a) Disegnare l albero di Kuhn del gioco. In particolare: individuare la radice, i nodi intermedi ed i nodi terminali (in corrispondenza dei nodi terminali indicare le utilità dei giocatori); dire quali sono gli insiemi di informazione ed i giocatori a cui corrispondono; dire se il gioco è ad informazione completa, ad informazione perfetta, a memoria perfetta; dire quali, fra i nodi intermedi, sono radici di sottogiochi. (b) Dire quante e quali sono le strategie comportamentali che possono adottare i due giocatori. (c) Scrivere la rappresentazione matriciale del gioco in forma strategica. (d) Eliminare eventuali strategie dominate (anche non fortemente). (e) Individuare la strategia ottimale del giocatore B. (f) Individuare la strategie ottimale del giocatore A. (g) Calcolare l esito atteso del gioco. (a) L albero è costituito da 11 nodi:

9 9 (b) (c) - 1 radice 4 nodi intermedi 6 nodi terminali Vi sono: 2 insiemi di informazione per il giocatore A (ognuno dei quali è costituito da un singolo nodo) 1 insieme di informazione per il giocatore B (costituito da 2 nodi) 1 insieme di informazione per la sorte (costituito dalla radice dell albero) Il gioco: è ad informazione completa non è ad informazione perfetta è a memoria perfetta Nessuno dei nodi intermedi è radice di un sottogioco. Il giocatore A può adottare 2 strategie comportamentali, descritte da una coppia (x, y) [0, 1] [0, 1], da interpretare nel seguente modo: se prendo una carta vincente, rilancio con probabilità 1 x, e se esce una carta perdente rilancio con probabilità y. Il giocatore B può adottare 1 strategie comportamentali, descritte da un numero z [0, 1], da interpretare nel seguente modo: se A rilancia, abbandono il gioco con probabilità z. (d) Vi sono due strategie dominate (ma non fortemente). Si tratta delle due strategie del giocatore A che prevedono di non rilanciare qualora sia stata estratta la carta vincente. Eliminare queste due strategie equivale ad assumere che A restringa la propria scelta alle strategie comportamentali con x = 0. (e) Supponendo che A adotti la strategia comportamentale (0, y), la miglior risposta che può dare B è: la strategia z = 0 se y < 1 6 la strategia z = 1 se y > 1 6 qualunque strategia z [0, 1] se y = 1 6 (f) La miglior strategia che può adottare A è (0, 1 6 ). (g) L sito previsto del gioco è che: A adotti la strategia ottimale (0, 1 6 ) B risponda con la miglior risposta possibile (che, in questo caso, corrisponde a qualunque z [0, 1]) l utilità attesa per A è una perdita di 5 Euro l utilità attesa per B è un guadagno di 5 Euro Pertanto l unico dei due giocatori che può influenzare l esito del gioco con la propria scelta è A: se egli fa la sua scelta ottimale, la strategia adottata da B non influenza le utilità attese dei due giocatori. Un osservazione finale: è evidente che, se ha la possibilità di scegliere, A non giocherà mai ad un gioco di questo tipo: qualunque scelta egli faccia non riuscirà mai ad ottenere un utilità attesa positiva.

10 10 Per le definizioni formali sui giochi in forma estesa si può consultare: estesa/def formale forma estesa.pdf Una descrizione di un gioco simile a quello proposto si trova su: semplificato bluff.pdf Una pagina web in cui è possibile giocare una simulazione di un gioco simile a quello proposto è: semplificato bluff.htm 10. Si consideri il gioco del guidatore ubriaco (detto anche gioco di Isbell). Per il testo si veda a pagina 11 di estesa/def formale forma estesa.pdf (a) Disegnare l albero di Kuhn del gioco. Dire se il gioco è a memoria perfetta. (b) (Domanda proposta, non svolta in aula). Determinare la strategia ottimale. (a) Il gioco non è a memoria perfetta. (b) La strategia ottimale è: ad ogni bivio svoltare con probabilità 1/2. Abbiamo introdotto questo gioco, in aula, per mostrare un esempio di gioco non a memoria perfetta. Per maggiori dettagli sul gioco e sulla strategia ottimale da adottare si può consultare: [F. Patrone, Decisori razionali interagenti], pag estesa/def formale forma estesa.pdf