Principi di Economia I

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1 Principi di Economia I 11. Teoria dei giochi e oligopolio Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Corso di laurea in Sociologia Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale Università degli Studi di Milano-Bicocca A.A Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, [email protected] Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 1/52

2 Layout Teoria dei giochi 1 Teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem 2 3 Modello di Cournot Modello di Bertrand 4 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 2/52

3 Cos è la teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Teoria dei giochi Branca dell economia che studia le scelte di soggetti razionali in contesti strategici Soggetto razionale è un agente in grado di: valutare le conseguenze di ogni propria azione; esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze; selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita. Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di un azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali. Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al 1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 3/52

4 Definizione di gioco Teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Per caratterizzare un gioco necessario definire gli elementi del gioco: giocatori (players); strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore; guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione possibile di strategie (strategy profile). In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito come: Γ = N,{S 1,S 2,...,S N },{u 1,u 2,...,u N } dove N = {1,2,...,N} è l insieme dei giocatori; S i (i N) è l insieme delle strategie del giocatore i; u i(.) (i N) è la payoff function del giocatore i, ovvero la funzione che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy profile) il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il guadagno del giocatore. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 4/52

5 Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Un classico esempio: il dilemma del prigioniero Due giocatori: N = {A,B}; Strategie: S A = S B = {D,C}; Funzioni dei payoff: u A (D,D) = 5, u A (D,C) = 0, u A (C,D) = 7, u A (C,C) = 1; u B (D,D) = 5, u B (D,C) = 7, u B (C,D) = 0, u B (C,C) = 1; A B D C D 5, 5 0, 7 C 7, 0 1, 1 Tabella: Matrice dei payoff Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 5/52

6 Funzione di risposta ottima Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Risposta ottima (best reply, o best response) di un giocatore: strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le strategie degli altri giocatori. Es.: la risposta ottima di A quando B non rispetta i patti (s B = D) è non rispettare i patti (s A = D); Di fatto, in questo caso D è strategia dominante: la risposta ottima del giocatore qualunque sia la strategia dell altro giocatore; Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i: funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori, associa la risposta ottima di i: b i (s i ) = argmax s i S i u i (s i,s i ) dove s i indica le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i; Es.: la funzione di risposta ottima di A è b A (C) = b A (D) = D. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 6/52

7 Equilibrio di Nash Teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) tale che la strategia di ogni giocatore è una risposta ottima alle strategie degli altri: s i b i (s i), i N Definizione equivalente: u i (s i,s i) u i (s i,s i), s i S i, i N John Forbes Nash Jr. (1928) In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha incentivo a deviare; Nel dilemma del prigioniero l unico equilibrio di Nash è s = (D,D). Nobel Memorial Prize in Economics 1994 Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R. Selten per l analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 7/52

8 Giochi in forma estesa Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agiscono simultaneamente; Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinato ordine temporale; La rappresentazione dei giochi dinamici in forma estesa (extensive form) utilizza una struttura ad albero: ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore; le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere; a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff. F F IN I A E A F A E OUT 0,3-2,-2-1,-2-2,-1 1,1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 8/52

9 Equilibri di Nash e minacce non credibili E Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di minacce non credibili (non credible threats). Esempio: un impresa (E) deve decidere se entrare (IN) o non entrare (OUT) in un mercato; l incumbent (I) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F) o non ingaggiarla (A); due equilibri di Nash: (OUT,F) e (IN,A); (OUT,F) contiene tuttavia una minaccia non credibile: una volta che E è entrato ad I non conviene guerreggiare. E I F A IN OUT I IN -1,-1 1,1 F A (0,2) OUT 0,2 0,2 (-1,-1) (1,1) Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 9/52

10 Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem In base al principio di razionalità sequenziale, la strategia di un giocatore dovrebbe specificare risposte ottime ad ogni nodo dell albero. Secondo la definizione di Selten, un equilibrio di Nash è perfetto nei sottogiochi (Subgame Perfect Nash equilibrium, SPNE) se le strategie di equilibrio costituiscono un equilibrio di Nash in ciascun sottogioco; Sottogioco (subgame): parte del gioco in forma estesa che inizia in un nodo (contenuto in un insieme di informazione di cui è l unico elemento) e contiene tutti i nodi che seguono. Reinhard Selten (1930) Nobel Memorial Prize in Economics 1994 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 10/52

11 Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi possibile usare l induzione a ritroso (backward induction): 1 vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi; 2 vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla base delle strategie individuate nel passaggio 1; 3 continua il processo fino a giungere al nodo iniziale. E F I IN A OUT 0,2-1,-1 1,1 Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 11/52

12 Giochi e supergiochi Teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Supergioco Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori. Supergiochi con dipendenza temporale Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in una fase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatori nelle fasi precedenti. Giochi ripetuti Supergiochi in cui il gioco costituente è lo stesso in ogni fase. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 12/52

13 Dilemma del prigioniero ripetuto Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemma del prigioniero come quello in tabella; Giocatori impazienti scontano i payoff futuri ad un tasso δ (0 < δ < 1); Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generati in ciascun gioco costituente: G i = u i (s 1,0,s 2,0 )+δu i (s 1,1,s 2,1 )+...+δ T u i (s 1,T,s 2,T ) T = δ t u i (s 1,t,s 2,t ) t=0 A D C D B C d,d w,l l,w c,c Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w) Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 13/52

14 Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa emergere possibili equilibri cooperativi (C, C) nel gioco costituente; Trigger strategy (strategia del grilletto) (Friedman, 1971): ogni giocatore i N S inizia giocando C; continua a giocare C fino a quando l altro gioca C; gioca D per sempre in caso contrario. La strategia del grilletto sostiene un equilibrio di Nash se, per ciascun giocatore, i guadagni della cooperazione ( t=0 δt c) sono maggiori di quelli della defezione e conseguente punizione da parte dell altro (w + t=1 δt d), cioè se: ( ) δ t c w + δ t d t=0 t=1 δ w c w d = c δd w 1 δ 1 δ 0 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 14/52

15 Folk theorem Teoria dei giochi Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempre profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente, subottimali; Folk theorem (Friedman, 1971) Sia s un equilibrio statico con payoff u. Per ogni vettore di payoff u tale che u i u i per tutti i giocatori i, esiste un δ < 1 tale che, per ogni δ > δ, c è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u. Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numero infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato da una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 15/52

16 Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi ripetuti e folk theorem Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della catena di vendita In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte, unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazione via backward induction): Nell ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare dall equilibrio cooperativo; Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche vantaggio a non deviare;... Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare... Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota come paradosso della catena di vendita (chain store paradox). Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 16/52

17 Teoria dei giochi I mercati oligopolistici sono mercati in cui opera un numero limitato di imprese che interagiscono tra loro in modo strategico; Diversamente da quanto avviene per la concorrenza perfetta e il monopolio, non esiste un unico modello di oligopolio; I modelli di oligopolio si differenziano per: modalità di interazione strategica tra le imprese: competizione sulle quantità vs. competizione sui prezzi; concorrenza simultanea vs. sequenziale. omogeneità/eterogeneità dei beni offerti; omogeneità/eterogeneità delle imprese presenti sul mercato. Il duopolio è un oligopolio con due sole imprese. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 17/52

18 Modello di Cournot Modello di Bertrand Modelli di oligopolio statico più noti: modello di Cournot: competizione sulle quantità (quantity competition); modello di Bertrand: competizione sui prezzi (price competition). Antoine Augustin Cournot ( ) Joseph Louis François Bertrand ( ) Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 18/52

19 Duopolio di Cournot Teoria dei giochi Modello di Cournot Modello di Bertrand Due imprese (i = {1,2}) competono per lo stesso mercato; Funzione di domanda inversa lineare: p(q) = a bq = a b(q 1 +q 2 ) con a e b parametri positivi. Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità da produrre (q i ) per massimizzare i profitti: ( ) π i (q i,q j ) = (p(q) c) q i = a b(q i +q j ) c Condizioni del primo ordine: π i (q i,q j ) q i = a c bq j 2bq i = 0 Funzione di risposta ottima (o di reazione) dell impresa i: qi = a c 2b q j 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 19/52 q i

20 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione algebrica Equilibrio di Nash: Quantità di equilibrio: Output totale: Prezzo di equilibrio: { q1 q2 = a c 2b q 2 2 = a c 2b q 1 2 q 1 = q 2 = a c 3b Q = q 1 +q 2 = 2(a c) 3b p = a bq = a b 2(a c) 3b > a c 2b = q m = a+2c 3 < a+c 2 = p m Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 20/52

21 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione grafica q 2 a c b Curva di reazione dell impresa 1 a c 2b E Curva di reazione dell impresa 2 a c 2b a c b q 1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 21/52

22 Modello di Cournot Modello di Bertrand Duopolio di Cournot con imprese eterogenee Due imprese (i = {1,2}) competono per lo stesso mercato; Funzione di domanda inversa lineare: p(q) = a bq = a b(q 1 +q 2 ) L impresa ha costi unitari costanti (c i ) e sceglie la quantità da produrre (q i ) per massimizzare i profitti: ) π i (q i,q j ) = (p(q) c i ) q i = (a b(q i +q j ) c i Condizioni del primo ordine: π i q i = a c i bq j 2bq i = 0 Funzione di reazione dell impresa i: q i q i = a c i 2b q j 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 22/52

23 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee: soluzione algebrica Equilibrio di Nash: Quantità di equilibrio: { q1 q2 = a c1 2b q 2 2 = a c2 2b q 1 2 Output totale: q 1 = a+c 2 2c 1 3b q 2 = a+c 1 2c 2 3b Q = q 1 +q 2 = 2a c 1 c 2 3b Prezzo di equilibrio: (1) p = a bq = a b 2a c 1 c 2 3b = a+c 1 +c 2 3 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 23/52

24 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee: soluzione grafica c 2 > c 1 q2 a c 1 b Curva di reazione dell impresa 1 a c 1 2b a c 2 2b E q 2 E Curva di reazione dell impresa 2 q 1 a c 1 2b a c 2 b a c 1 b q 1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 24/52

25 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Cournot con imprese eterogenee In equilibrio: le imprese con costi più bassi (l impresa 1 nel nostro esempio) hanno quote di mercato e profitti maggiori; l output non soltanto è troppo basso, ma è anche prodotto in modo inefficiente (in equilibrio l output dovrebbe essere distribuito in modo tale che i costi marginali in ciascuna impresa siano gli stessi). Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 25/52

26 alla Cournot Modello di Cournot Modello di Bertrand N imprese (i = {1,2,...,N}) competono per lo stesso mercato; Funzione di domanda inversa lineare: N p(q) = a bq = a b Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità da produrre (q i ) per massimizzare i profitti: ( ) N π i (q 1,q 2,...,q N ) = (p(q) c) q i = a b q i c i=1 q i i=1 Condizioni del primo ordine e funzione di risposta ottima: π i = a c b q j 2bq i = 0 q i j i qi = a c 2b 1 q j 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 26/52 j i q i

27 Equilibrio nell oligopolio alla Cournot Equilibrio di Nash: q 1 = a c 2b 1 2 j 1 Modello di Cournot Modello di Bertrand q j... q N = a c 2b 1 2 Data la simmetria delle imprese, in equilibrio si ha: q1 =... = q N q = a c 2b N 1 2 q = a c (N +1)b Output totale: N Q = qi = Nq = N a c N +1 b Prezzo di equilibrio: i=1 p = a bq = a b N a c N +1 b q j N q j = a N +1 + N N +1 c Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 27/52

28 Modello di Cournot Modello di Bertrand alla Cournot con imprese eterogenee N imprese (i = {1,2,...,N}) competono per lo stesso mercato; Funzione di domanda inversa lineare: p(q) = a bq = a b L impresa i ha costi unitari costanti (c i ) e sceglie la quantità da produrre (q i ) per massimizzare i profitti: ( N π i (q 1,q 2,...,q N ) = (p(q) c i ) q i = a b q i c i )q i Condizioni del primo ordine: N i=1 q i i=1 π i = a b q j 2bq i c i = 0 q i j i Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 28/52

29 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nell oligopolio con imprese eterogenee Equilibrio di Nash: a b j i a b j q j 2bq i c i = 0 q j bq i c i = 0 a bq bq i c i = 0 p bq i c i = 0 Riarrangiando si ottiene: p c i p c i p p c i p = bq i = bq p q i Q = bq p s i Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 29/52

30 Modello di Cournot Modello di Bertrand Potere e quota di mercato nell oligopolio di Cournot con imprese eterogenee Funzione di domanda: p = a bq Q = a b 1 b p Elasticità con funzione di domanda lineare: ǫ = dq ( p dp Q = 1 ) p b Q = p bq Nell equilibrio oligopolistico con imprese eterogenee abbiamo: LI i = p c i p LI i = bq p s i = s i p = s i ǫ = s i ǫ bq Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 30/52

31 Modello di Cournot Modello di Bertrand Concentrazione e potere di mercato nell oligopolio di Cournot con imprese eterogenee Indice di Lerner dell industria: media ponderata, sulla base delle quote di mercato, degli indici di Lerner delle singole imprese LI = N si LI i = i=1 N i=1 s i p c i p N = p i=1 s i c i p dove c è il costo marginale medio (ponderato). Ricordando che LI i = si /ǫ si ha anche: LI = N si LI i = i=1 N i=1 s i s i ǫ = 1 ǫ N i=1 dove HHI è l indice di Herfindahl-Hirschman. p c p = HHI ǫ s 2 i = HHI ǫ = p c p Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 31/52

32 Modello di Cournot Modello di Bertrand Concentrazione e potere di mercato in oligopolio La generalizzazione del modello di Cournot: fornisce supporto teorico alla relazione tra: concentrazione di mercato (misurata dall indice di Herfindahl-Hirschman); aumento dei prezzi al di sopra del costo marginale medio (indice di Lerner dell industria) mostra come la relazione di proporzionalità inversa tra potere di mercato ed elasticità al prezzo vale anche in contesti più generali. p c p = HHI ǫ Evidenza empirica di correlazione positiva tra HHI e prezzo medio: Marion, Mueller, Cotterill, Geithmann e Schmelzer (1979): analisi dei mercati degli alimentari in 32 aree metropolitane degli Stati Uniti; Marvel (1989): analisi del mercato della benzina al dettaglio in 22 città statunitensi. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 32/52

33 Duopolio di Bertrand Teoria dei giochi Modello di Cournot Modello di Bertrand Due imprese (i = {1, 2}) competono nello stesso mercato; Ciascuna impresa i fissa il suo prezzo (p i ) e ha costi medi unitari costanti c; Funzione di domanda lineare: con A e B parametri positivi. Q = A B min(p 1,p 2 ) Payoff dell impresa i: 0 se p i > p j π i (p i,p j ) = (p i c) Q 2 = (p i c) A Bpi 2 se p i = p j (p i c)q = (p i c)(a Bp i ) se p i < p j Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 33/52

34 Equilibrio nel duopolio di Bertrand Modello di Cournot Modello di Bertrand Funzione di risposta ottima dell impresa i: pi = p m se p j > p m pi = p j ǫ se c < p j p m pi p j se c = p j pi > p j se c > p j dove p m = A+Bc 2B è il prezzo di monopolio. Unico equilibrio di Nash: p 1 = p 2 = c Quando le imprese competono sul prezzo e i beni sono perfettamente omogenei, l equilibrio nel duopolio coincide con quello di concorrenza perfetta. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 34/52

35 Modello di Cournot Modello di Bertrand Modello di Bertrand con beni differenziati Due imprese (i = {1, 2}) offrono un prodotto differenziato; Lo spazio di differenziazione dei prodotti è unidimensionale (normalizzato a 1) e le due imprese (1 e 2) sono poste agli estremi (rispettivamente, 0 e 1); I consumatori hanno preferenze tali che: i punti ideali nello spazio del prodotto sono distribuiti uniformemente; il valore attribuito al prodotto si riduce linearmente (al tasso t) all aumentare della distanza dal punto ideale; ciascuno dei consumatori attribuisce al suo prodotto ideale lo stesso prezzo di riserva (V). Ci sono N consumatori e ciascuno acquista al massimo un unità di uno dei due prodotti; Il consumatore localizzato in x: se p 2 +t(1 x) > p 1 +tx < V, acquista il bene 1; se p 1 +tx > p 2 +t(1 x) < V, acquista il bene 2; se p 1 +tx > V e p 2 +t(1 x) > V, non acquista niente. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 35/52

36 Modello di Cournot Modello di Bertrand Rappresentazione grafica delle quote di mercato e del consumatore marginale V V p 1 p 1 +tx p 2 +t(1 x) p 2 0 x m 1 Impresa 1 Impresa 2 p 1 +tx m = p 2 +t(1 x m ) Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 36/52

37 Funzioni di domanda e di profitto Modello di Cournot Modello di Bertrand Localizzazione del consumatore marginale: p 1 +tx m = p 2 +t(1 x m ) x m = p 2 p 1 +t 2t Funzioni di domanda: Funzioni di profitto: q 1 (p 1,p 2 ) = x m N = p 2 p 1 +t N 2t q 2 (p 1,p 2 ) = (1 x m )N = p 1 p 2 +t N 2t π 1 (p 1,p 2 ) = (p 1 c)q 1 = (p 1 c) p 2 p 1 +t N 2t π 2 (p 1,p 2 ) = (p 2 c)q 2 = (p 2 c) p 1 p 2 +t N 2t Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 37/52

38 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nel duopolio di Bertrand con beni differenziati Condizioni del primo ordine e funzioni di reazione: π 1 = c +p 2 2p 1 +t p 1 2t π 2 = c +p 1 2p 2 +t p 2 2t Equilibrio di Nash: { p 1 = c+t p 2 Prezzi e quantità di equilibrio: N = 0 p 1 = c +t 2 N = 0 p 2 = c +t p 2 = c+t p 1 p 1 = p 2 = c +t p p 1 q 1 = q 2 = N 2 π 1 = π 2 = tn 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 38/52

39 Modello di Cournot Modello di Bertrand Curve di reazione ed equilibrio di Nash nel duopolio di Bertrand con beni differenziati p 2 Curva di reazione dell impresa 1 p 2 E Curva di reazione dell impresa 2 c+t 2 c+t 2 p 1 p 1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 39/52

40 Modello di Cournot Modello di Bertrand Complementi strategici vs sostituti strategici Modello di Cournot: curve di risposta ottima inclinate negativamente; strategie come sostituti strategici (un aumento di q i genera come reazione una diminuzione di q j). Modello di Bertrand: curve di risposta ottima inclinate positivamente; strategie come complementi strategici (un aumento di p i genera come reazione un aumento di p j). q2 a c b p2 Curva di reazione dell impresa 1 Curva di reazione dell impresa 1 p 2 E Curva di reazione dell impresa 2 a c 2b E c+t 2 Curva di reazione dell impresa 2 a c 2b a c b (a) Modello di Cournot q1 c+t 2 p 1 (b) Modello di Bertrand p1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 40/52

41 Modello di Cournot Modello di Bertrand Sviluppando i contributi di Edgeworth (1897), Kreps & Scheinkman (1983) analizzano il caso della competizione dei prezzi con vincoli di capacità in un gioco a due stadi in cui, nel primo stadio, le imprese decidono quanto investire in capacità produttiva; Due imprese (i = {1,2}) in un gioco a due stadi: 1 Nel primo stadio, le imprese decidono simultaneamente gli investimenti in capacità produttiva (K i K = a/3b) a costi medi unitari costanti c; 2 Nel secondo stadio, potendo osservare gli investimenti di entrambe, le imprese scelgono il prezzo da praticare p i, fronteggiando una domanda lineare: Q = a b 1 b p stante il vincolo di capacità: q i K i. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 41/52

42 Modello di Cournot Modello di Bertrand Equilibrio nella competizione sui prezzi con vincoli di capacità produttiva É possibile mostrare che: l unico equilibrio di Nash nel secondo stadio è quello in cui, a capacità produttive date, entrambe le imprese fissano lo stesso prezzo, e questo prezzo è tale da esaurire la capacità produttiva di entrambe senza generare eccessi di domanda: p 1 = p 2 = b a(k 1 +K 2) Nel primo stadio le imprese, anticipando correttamente il secondo stadio, agiscono come nel duopolio di Cournot. L unico equilibrio di Nash nel primo stadio è: K 1 = K 2 = a c 3b Nel gioco a due stadi con concorrenza sul prezzo, ma investimenti costosi in capacità produttiva, l unico equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi torna ad essere quello del modello di Cournot. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 42/52

43 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Nei modelli di Cournot e Bertrand le imprese agiscono simultaneamente; Spesso le imprese concorrenti compiono le loro azioni in modo sequenziale; La concorrenza sequenziale dà luogo a giochi dinamici, rappresentabili in forma estesa, mediante cioè una rappresentazione ad albero; La nozione di equilibrio rilevante diventa quella di equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi (Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE). Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 43/52

44 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Caso analogo al duopolio di Cournot analizzato in precedenza: due imprese (i = {1,2}) competono nello stesso mercato; domanda lineare: p = a bq = a b(q 1 +q 2); ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità da produrre (q i) per massimizzare i profitti: π i = (p(q) c) q i;...eccetto che per il fatto che l impresa 1 (leader) muove prima dell impresa 2 (follower). Il gioco da statico diventa dinamico; La concorrenza diventa sequenziale. Heinrich Freiherr von Stackelberg ( ) Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 44/52

45 Equilibrio nel modello di Stackelberg Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Per l impresa 2, che conosce e non può modificare la quantità prodotta dall impresa 1, la funzione di reazione è uguale al duopolio di Cournot: q2(q 1 ) = a c 2b q 1 2 L impresa 1 invece muove per prima e può sfruttare l informazione sulla reazione dell impresa 2; Funzione di payoff dell impresa 1: π 1(q 1) = Condizione del primo ordine: ( a b ( q 1 +q ) ) 2(q 1) c dπ 1 = a c bq1 = 0 dq 1 2 q 1 = a c q 1 b 2 2 q2 1 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 45/52

46 Equilibrio nel modello di Stackelberg Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Quantità prodotte dalle imprese nell equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi: Impresa 1 (leader) q1 = a c 2b Impresa 2 (follower): Output totale: q 2 = q 2(q 1) = a c 2b q 1 2 = a c 2b 1 2 ( a c ) = a c 2b 4b Q = q1 +q 2 = a c 2b + a c 4b = 3(a c) 4b 1 q 1 2 q 2 π 1, π 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 46/52

47 Equilibrio nel modello di Stackelberg Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Quantità prodotta (e utili) di leader: maggiore rispetto a follower: qs1 = a c 2b duopolio di Cournot: q S1 = a c 2b > a c 4b > a c 3b = q S2 = q C1 Nota: anche gli utili sono maggiori (l aumento della quantità offerta più che compensa la diminuzione del prezzo). follower: minori rispetto al duopolio di Cournot q S2 = a c 4b < a c 3b = q C2 Output totale in Stackelberg maggiore che in Cournot: Q S = 3(a c) 4b > 2(a c) 3b = Q C Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 47/52

48 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Concorrenza sequenziale sui prezzi in caso di beni perfettamente omogenei Il passaggio dal gioco statico a quello dinamico non cambia l equilibrio nel caso del duopolio di Bertrand, laddove cioè: le imprese competono sul prezzo; il bene è perfettamente omogeneo. In caso di costi identici, ad esempio, l unico equilibrio di Nash (perfetto nei sottogiochi) è ancora quello in cui ciascuna impresa fissa un prezzo pari al costo marginale. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 48/52

49 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Concorrenza sequenziale sui prezzi in caso di beni differenziati Analogamente al duopolio di Bertrand con beni differenziati: Due imprese (i = {1, 2}) offrono un prodotto differenziato; Spazio di differenziazione dei prodotti unidimensionale (normalizzato a 1) con le due imprese poste agli estremi (0 e 1); Consumatori con preferenze tali che: (i) punti ideali nello spazio del prodotto distribuiti uniformemente; (ii) valore attribuito al prodotto si riduce linearmente (al tasso t) all aumentare della distanza dal punto ideale; (iii) ciascuno attribuisce al suo prodotto ideale lo stesso prezzo di riserva (V). N consumatori e ciascuno acquista al massimo un unità; Il consumatore localizzato in x: (i) se p 2 +t(1 x) > p 1 +tx < V, acquista il bene 1; (ii) se p 1 +tx > p 2 +t(1 x) < V, acquista il bene 2; (iii) se p 1 +tx > V e p 2 +t(1 x) > V, non acquista....eccetto che per il fatto che l impresa 1 (leader) muove prima dell impresa 2 (follower). Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 49/52

50 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni differenziati Per l impresa 2, che conosce e non può modificare il prezzo scelto dall impresa 1, la funzione di reazione è uguale al duopolio di Bertrand con beni differenziati: p 2(p 1 ) = c +t p 1 L impresa 1 invece muove per prima e può sfruttare l informazione sulla reazione dell impresa 2; Funzione di payoff dell impresa 1: π 1 = (p 1 c)q 1 = (p 1 c) p 2(p 1) p 1 +t N = N 2t 4t (p1 c)(c p1+3t) Condizione del primo ordine: dπ 1 = N (2c 2p1 +3t) = 0 dp 1 4t Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 50/52

51 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni differenziati Prezzi fissati dalle imprese nell equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi: Impresa 1 (leader): Impresa 2 (follower): p 2 = p 2(p 1) = c +t 2 Utili delle imprese in equilibrio: Impresa 1 (leader): p 1 = c t p 1 = c +t (c + 3 ) 2 2 t = c t π1 = (p1 c)q1 = (p1 c) p 2 p1 +t N = 18 2t 32 tn Impresa 2 (follower): π2 = (p2 c)q2 = (p2 c) p 1 p2 +t N = 25 2t 32 tn Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 51/52

52 Giochi dinamici e concorrenza sequenziale Modello di Stackelberg della concorrenza sequenziale sulla quantità Concorrenza sequenziale sui prezzi Equilibrio nella concorrenza sequenziale sui prezzi con beni differenziati Quote di mercato: Impresa 1 (leader): x m = p 2 p 1 +t 2t Impresa 2 (follower): = (c t) (c t)+t 2t = 3 8 (1 x m ) = = 5 8 L impresa 2 è avvantaggiata rispetto all impresa 1: si avvale di una più ampia quota di mercato e ottiene profitti maggiori. Entrambe ottengono utili maggiori rispetto al caso simmetrico. Giuseppe Vittucci Marzetti Principi di Economia I 52/52