UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria. Corso di ECONOMIA INDUSTRIALE. Introduzione. Definizione del gioco

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Guido Colonna
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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria Corso di ECONOMIA INDUSTRIALE Proff. Gianmaria Martini, Giuliano Masiero Lezione : Equilibrio di Nash in strategie miste Lu 8 Ott 004 Introduzione In alcuni casi non è possibile determinare un equilibrio di Nash in strategie pure. Ciò non significa che non esista nessun equilibrio. In questi casi un equilibrio di Nash è possibile sulla base di un comportamento stocastico. E necessario individuare la probabilità delle diverse situazioni strategiche utilizzando delle strategie miste. Formalmente una strategia mista corrisponde ad una distribuzione di probabilità sulle strategie pure a disposizione del giocatore. Si assuma che giocatore possa scegliere tra a e b, che rappresentano le sue strategie pure. Una strategia mista corrisponde ad una distribuzione di probabilità su a e b, ad esempio ¼ e ¾. Ciò significa che il giocatore sceglierà a con probabilità ¼ e b con probabilità ¾. Definizione del gioco Vediamo come determinare un equilibrio di Nash in strategie miste. Partiamo dalla forma normale di un tipico gioco: la battaglia dei sessi. Si tratta di un gioco di coordinamento. L'uomo (U) e la donna (D) devono scegliere dove incontrarsi la sera. Hanno due opzioni: il cinema (C) oppure lo stadio (S). I due individui non possono comunicare tra loro; non hanno quindi nessuna possibilità di pervenire ad un accordo su dove trascorrere la serata. Hanno però le seguenti preferenze: ) desiderano incontrarsi, ) l'uomo preferisce lo stadio e la donna il cinema.

2 La forma normale del gioco, che rispecchia tali preferenze è la seguente. Uomo Cinema Stadio Donna Cinema, 0,0 Stadio 0,0, Il gioco possiede due equilibri di Nash in strategie pure: (C,C) e (S,S). Scegliendo entrambi il cinema o lo stadio ottengono dei payoffs maggiori rispetto al caso in cui non riescono ad incontrarsi. Ma abbiamo assunto che i giocatori non possono comunicare. Se uno dei due giocatori decide per primo e l altro non ne conosce la scelta, non sarà possibile pervenire ad uno dei due equilibri di Nash in strategie pure. Non esiste una strategia dominante per il giocatore. I due giocatori potrebbero però determinare un equilibrio in strategie miste. Assumiamo quindi che α sia la probabilità che U giochi Cinema e β la probabilità che D scelga Cinema. Corrispondenza ottima di U Determiniamo le best replies dei due giocatori. La vincita attesa di U se sceglie Cinema è [ U(C) ] = β E ; se invece sceglie Stadio ottiene [ U(S) ] = - β E. Le due vincite sono uguali quando β assume il valore /. La seconda vincita è maggiore della seconda quando - <β</. Pertanto U ha la seguente corrispondenza di risposta ottima α = 0 α α = [ 0,] β < β = β >

3 Per β</ ad U converrebbe sempre giocare Stadio mentre per β>/ la scelta migliore sarebbe sempre quella di andare al Cinema. Solo per β=/ ad U converrebbe adottare una scelta mista andando sia al Cinema che allo stadio con una certa frequenza. Possiamo rappresentare graficamente la scelta di U Corrispondenza ottima di D La vincita attesa di D se sceglie Cinema è E [ D(C) ] = α se invece sceglie Stadio ottiene E [ D(S) ] = -α Le due vincite sono uguali se α=/. Mentre Cinema è meglio di Stadio se /<α<. Pertanto la corrispondenza di risposta ottima di D è la seguente: β = 0 β β = [ 0,] α < α = α >

4 La possiamo rappresentare graficamente: Equilibrio di Nash in strategie miste Ora possiamo determinare l'equilibrio in strategie miste. Graficamente procediamo invertendo una delle due funzioni: quella di U. Poiché rappresentiamo β sull asse delle ordinate abbiamo: Rappresentando contemporaneamente le due funzioni abbiamo il seguente grafico: Esistono quindi tre equilibri di Nash: due in strategie pure (quelli già individuati) ed uno in strategie miste. Quest ultimo equilibrio è caratterizzato da α=/ e β=/.

5 Predizioni dell'equilibrio di Nash L'uomo sceglie di andare allo stadio con maggiore probabilità rispetto al cinema; La donna sceglie di andare al cinema con maggiore frequenza rispetto allo stadio; La situazioni si verificano con le seguenti probabilità: p(c,c) = /, p(c,s) = /, p(s,c) = 4/, p(s,s) = /; L'esito più probabile è (S,C): ognuno va nel luogo che preferisce e i due individui non si incontrano; Il valore del gioco è dato da Eπ. Per U è pari a / e lo stesso vale per D: E = π U = U(C, C) = U(C, S). + 4 U(S, C) + U(S, S)

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