TEORIA DEI GIOCHI. Progetto Lauree Scientifiche : Liceo Gabriele D Annunzio di Fidenza Università degli Studi di Parma

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1 Progetto Lauree Scientifiche : TEORIA DEI GIOCHI Liceo Gabriele D Annunzio di Fidenza Università degli Studi di Parma Docenti della scuola superiore: M. Armani, S. Di Maiolo Docenti dell università: M. Belloni, A. Saracco Studente del tirocinio: E. Pini

2 Per cominciare: strategie, payoff, matrice del gioco Nella prima e nella seconda lezione abbiamo giocato a Othello e a Marienbad (versione alternativa del più famoso Nim) utilizzando simulatori trovati in internet. Questo è stato il punto di partenza per parlare di strategie e, nello specifico, di strategie ottimali. Abbiamo appreso che la teoria dei giochi si fonda sull assunzione di razionalità, vale a dire sull assunzione che ciascun giocatore sappia che gli altri giocatori sono razionali e a loro volta consapevoli del fatto che lui è razionale. In particolare, in un gioco a due, entrambi i giocatori si aspettano che l altro scelga la sua strategia ottimale e, di conseguenza, baseranno su tale attesa la scelta della propria strategia ottimale. Siamo poi giunti a parlare delle diverse forme di rappresentazione di un gioco e tra queste la rappresentazione in forma normale che richiede di specificare - chi sono i giocatori, - quali sono le loro possibili strategie, - qual è la struttura dei payoff, vale a dire qual è il compenso (positivo, negativo o nullo) che ciascun giocatore riceve alla fine del gioco a seconda della strategia adottata dai vari giocatori. Abbiamo visto come tradurre queste informazioni nella matrice del gioco. Infine, abbiamo compreso la differenza tra giochi a somma costante (nei quali per ogni vincita di un giocatore vi è una corrispondente perdita per altri e di cui i giochi a somma zero costituiscono un importante sottocaso) e giochi a somma variabile. L equilibrio di Nash e il criterio maximin-minimax Nelle successive tre lezioni abbiamo proseguito nella classificazione dei giochi, andando ad esaminare giochi specifici. Abbiamo visto che un gioco si dice a informazione completa se tutti i giocatori conoscono i payoff degli avversari, e che un gioco può essere statico, quando i giocatori scelgono simultaneamente le loro mosse, o dinamico, quando le mosse sono sequenziali.

3 Ci siamo poi concentrati sull analisi di alcuni esempi classici di gioco a due, statico e ad informazione completa: la caccia al cervo, la corsa del coniglio, il dilemma del prigioniero, la battaglia dei sessi. Abbiamo scritto la matrice di ciascun gioco ed abbiamo ricercato strategie dominate e strategie dominanti. Una strategia ne domina un altra se, per qualunque mossa attuata dall avversario, non conduce in nessun caso a un risultato peggiore di quello che sarebbe prodotto da essa e che, in qualche caso, porta persino a risultati migliori. Se un giocatore dispone di una strategia dominante, cioè di una strategia che domina tutte le altre, tale strategia è la sua strategia ottimale. Poichè nella maggior parte dei casi, data una coppia di strategie, nessuna delle due domina l altra, abbiamo introdotto la nozione di equilibrio di Nash. Si tratta di una situazione del gioco in cui entrambi i giocatori non hanno recriminazioni da fare, nel senso che per nessun giocatore la situazione è migliorabile con un cambio di strategia individuale, anche se è migliorabile con cambiamenti di strategia collettivi. Abbiamo anche generalizzato tale nozione parlando di strategie miste (ottenute a partire dalle strategie di base, utilizzando ciascuna con una certa probabilità o per una certa porzione di tempo) e di equilibri misti. Abbiamo appreso che per qualunque gioco finito esiste almeno un equilibrio misto. Abbiamo quindi determinato di ognuno dei quattro giochi gli equilibri puri e misti. Ci siamo poi concentrati sui giochi a due e a somma zero ed abbiamo visto che l equilibrio di Nash acquista in questo caso un interessante interpretazione: dal momento che i payoff dei giocatori sono uguali e opposti, il primo giocatore accetta di massimizzare la vincita in funzione del secondo giocatore che minimizza la perdita. Il primo giocatore individua per ogni propria strategia i propri peggiori payoff e seleziona la strategia che assegna il più alto tra questi, stabilendo il massimo dei propri risultati minimi (maximin); il secondo giocatore individua i migliori payoff dell avversario per ogni propria strategia e seleziona la strategia che assegna il più basso tra questi, stabilendo il minimo dei risultati massimi

4 del primo giocatore (minimax). Abbiamo capito che si ha l equilibrio laddove per il primo giocatore la massima minor vincita coincide con la minima maggior vincita. Ultimi approfondimenti Nelle ultime lezioni sono state presentate alcune tematiche aperte ad un approfondimento maggiore (finali di scacchi, strategie vincenti per giochi come Othello e Hex,... ). Una proposta ha riguardato lo studio di possibili applicazioni della teoria dei giochi nella vita reale. In particolare, si è rivolta l attenzione ai conflitti internazionali tra stati dotati di armi atomiche e alle strategie della deterrenza. Abbiamo scoperto come sia possibile affiancare alle normali strategie di un gioco un certo numero di strategie dissuasive: effettuare una strategia dissuasiva significa assumere, prima ancora di cominciare il gioco, certi impegni circa le strategie di base che si attueranno nel corso del gioco. Abbiamo collocato in questo contesto avvertimenti, promesse e minacce, quindi abbiamo visto come espandere la matrice del gioco originario così da includere tra le mosse a disposizione dei giocatori anche tali strategie (ottenendo così un supergioco). Ci siamo infine suddivisi in piccoli gruppi ed abbiamo approfondito separatamente le tematiche preferite.

5 Link utili P. Odifreddi, Giochi pericolosi: R. Festa, Teoria dei giochi e strategie della deterrenza: