ECONOMIA DEI SISTEMI INDUSTRIALI

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1 ECONOMIA DEI SISTEMI INDUSTRIALI Ing. Marco Greco 0776/ IV LEZIONE 04/0/202

2 Dilemma del prigioniero a due stadi Es L 2 R 2 L, 5, 0 R 0, 5 4, 4 Nel secondo stadio l unico eq. di Nash (a 3* (a, a 2 ), a 4* (a, a 2 )) è (L, L 2 ) Es. 3. al primo stadio, conoscendo il secondo 2 L 2 R 2 L 2, 2 6, R, 6 5, 5 2

3 Proposizione Dato un gioco costituente G si indichi con G(T) il gioco ripetuto un numero finito di volte in cui G è giocato T volte. I payoff di G(T) sono dati semplicemente dalla somma dei payoff ottenuti nei T giochi costituenti Se il gioco costituente ha un unico eq. di Nash, allora, per ogni T finito, il gioco ripetuto G(T) ha un unico esito perfetto nei sottogiochi: l equilibrio di Nash di G è giocato in ogni stadio 3

4 Esempio 4. - Giochi ripetuti 2 ripetizioni del seguente gioco Es L C R T 5, 5 3, 6 0, 0 M 6, 3 4, 4 0, 0 B 0, 0 0, 0, 4

5 Esempio 4. - Giochi ripetuti Eq. Nash in strategie pure: (M,C) e (B,R) D altronde (T, L) sarebbe migliore rispetto a (M, C) (M, C) per 2 iterazioni è un possibile equilibrio in gioco ripetuto G sceglie M indipendentemente da G2 G2 sceglie C indipendentemente da G Un altro possibile equilibrio differente da quello statico G sceglie T nel periodo Se G2 sceglie L in p, G sceglie M in p 2 Altrimenti G sceglie B in p 2 G2 sceglie L nel periodo Se G sceglie T in p, G sceglie C in p 2 Altrimenti G2 sceglie R in p 2 Es L C R T 5, 5 3, 6 0, 0 M 6, 3 4, 4 0, 0 B 0, 0 0, 0, 5

6 Esempio 4. - Giochi ripetuti Nel periodo 2, nessun giocatore può trarre beneficio da una deviazione unilaterale, indipendentemente dalla scelta nel periodo Nel periodo è più complicato: Se G scegliesse T, conseguirebbe un P =5 nel primo periodo e P =4 nel secondo, ipotizzando che G2 segua la sua strategia P =5+4=9 Se G scegliesse M, conseguirebbe un P =6 nel primo periodo e P = nel secondo, ipotizzando che G2 segua la sua strategia P =6+=7 Poiché 9 > 7, e poiché otterremmo un analogo risultato analizzando G2 Le strategie costituiscono un eq. Nash periodo, conoscendo il 2 2 L C R T 9, 9 4, 7, M 7, 4 5, 5, B,, 2, 2 6

7 Esempio 4. Giochi ripetuti L equilibrio (B, R) nella tabella nella slide precedente corrisponde all esito perfetto nei sottogiochi (B, R) (B, R) del gioco ripetuto L equilibrio (M, C) nella tabella nella slide precedente corrisponde all esito perfetto nei sottogiochi (M, C) (M, C) del gioco ripetuto L equilibrio (T, L) nella tabella nella slide precedente corrisponde all esito perfetto nei sottogiochi (T, L) (B, R) del gioco ripetuto si riesce raggiungere la cooperazione 7

8 Proposizione 2 Se G = A,, A n ; u,, u n è un gioco statico con informazione completa e molteplici equilibri di Nash, allora possono esistere esiti perfetti nei sottogiochi del gioco ripetuto G(T) in cui, per ogni t<t, l esito dello stadio t non è un equilibrio di Nash di G 8

9 Esempio 4. - Giochi ripetuti Eq. Nash in strategie pure: (M,C) e (B,R) D altronde (T, L) sarebbe migliore rispetto a (M, C) (M, C) per 2 iterazioni è un possibile equilibrio in gioco ripetuto G sceglie M indipendentemente da G2 G2 sceglie C indipendentemente da G Un altro possibile equilibrio differente da quello statico G sceglie T nel periodo Se G2 sceglie L in p, G sceglie M in p 2 Altrimenti G sceglie B in p 2 G2 sceglie L nel periodo Se G sceglie T in p, G sceglie C in p 2 Altrimenti G2 sceglie R in p 2 Es L C R T 5, 5 3, 6 0, 0 M 6, 3 4, 4 0, 0 B 0, 0 0, 0, 9

10 Esempio 4. - Giochi ripetuti Nel periodo 2, nessun giocatore può trarre beneficio da una deviazione unilaterale, indipendentemente dalla scelta nel periodo Nel periodo è più complicato: Se G scegliesse T, conseguirebbe un P =5 nel primo periodo e P =4 nel secondo, ipotizzando che G2 segua la sua strategia P =5+4=9 Se G scegliesse M, conseguirebbe un P =6 nel primo periodo e P = nel secondo, ipotizzando che G2 segua la sua strategia P =6+=7 Poiché 9 > 7, e poiché otterremmo un analogo risultato analizzando G2 Le strategie costituiscono un eq. Nash periodo, conoscendo il 2 2 L C R T 9, 9 4, 7, M 7, 4 5, 5, B,, 2, 2 0

11 Esempio 4. Giochi ripetuti La «tentazione di rinegoziare»: Passato lo step, i giocatori potrebbero considerare irrazionale punire l avversario, preferendo una giocata nella direzione dell equilibrio di Nash dominante Se così fosse, si avrebbe: Es. 4. senza punizione 2 L C R T 9, 9 7,0 4, 4 M 0, 7 8, 8 4, 4 B 4, 4 4, 4 5, 5

12 Esempio 4.2: La «Rinegoziazione» (R,R 2 ) pareto domina (L,L 2 ), ma (R,R 2 ), (P, P 2 ) e (Q, Q 2 ) sono sulla frontiera paretiana Esempio 4. 2 L 2 M 2 R 2 P 2 Q 2 L, 5, 0 0, 0 0, 0 0, 0 M 0, 5 4, 4 0, 0 0, 0 0, 0 R 0, 0 0, 0 3, 3 0, 0 0, 0 P 0, 0 0, 0 0, 0 4, 0.5 0, 0 Q 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0.5, 4 2

13 Esempio 4.2: La «Rinegoziazione» Nel secondo stadio i giocatori anticipano che gli esiti saranno: (R,R2) se nel primo (M, M2) (P, P2) se nel primo (M, v) con v qualsiasi diverso da M2 (Q, Q2) se nel primo (x, M2) con x qualsiasi diverso da M (R, R2) se nel primo (v, x) con v e x qualsiasi diversi da M e M2 Esempio 4., step conoscendo step 2 2 L 2 M 2 R 2 P 2 Q 2 L 4, 4 5.5, 4 3, 3 3, 3 3, 3 M 4, 5.5 7, 7 4, 0.5 4, 0.5 4, 0.5 R 3, 3 0.5, 4 6, 6 3, 3 3, 3 P 3, 3 0.5, 4 3, 3 7, 3.5 3, 3 Q 3, 3 0.5, 4 3, 3 3, 3 3.5, 7 3

14 Giochi ripetuti infinitamente Anche se il gioco costituente ha un unico equilibrio di Nash, vi possono essere esiti perfetti nei sottogiochi del gioco ripetuto infinitamente, caratterizzati dal fatto che in nessuno stadio del gioco l esito è l equilibrio di Nash di G 4

15 Esempio 4.3: dilemma del prigioniero ripetuto infinitamente Ricevere 4 in ogni periodo è meglio che ricevere, ma la somma è in entrambi i casi non posso ridurre il problema ad una somma dei payoff Es L 2 R 2 L, 5, 0 R 0, 5 4, 4 Dato il fattore di sconto δ = /(+r) il valore attuale della successione infinita di payoff π, π 2, π 3, è: π + δπ 2 + δ 2 π 3 + = δ t π t t= 5

16 Esempio 4.3: dilemma del prigioniero ripetuto infinitamente Possiamo reinterpretare il gioco ripetuto infinitamente come un gioco ripetuto che termina dopo un numero casuale di ripetizioni, ove p è la probabilità che esso finisca immediatamente, e -p la probabilità che duri almeno un altro turno Il payoff nel prossimo stadio vale quindi δ = p (+r) Es. 3. π p (+r), pongo 2 L 2 R 2 L, 5, 0 R 0, 5 4, 4 6

17 Esempio 4.3: dilemma del prigioniero ripetuto infinitamente Strategia: inizio cooperando e continuo se entrambi i giocatori hanno cooperato nello stadio precedente Ovvero: Gioco R i nel primo stadio Se l esito in t- è stato (R, R2) allora gioca R i, altrimenti gioca L i «Trigger strategy» Es L 2 R 2 L, 5, 0 R 0, 5 4, 4 7

18 Esempio 4.3: dilemma del prigioniero ripetuto infinitamente Dimostro che per δ prossimo a adottare la trigger strategy da parte di entrambi i giocatori è un equilibrio di Nash i giocherà L i per sempre se un qualsiasi esito è diverso da (R, R 2 ) La risposta ottima di j è effettivamente di giocare L j se un qualsiasi esito è diverso da (R, R 2 ) Se tutti gli altri stadi sono stati (R, R 2 ) la risposta ottima di j può essere determinata come segue: Giocando L j j ottiene 5, il ché darà il via alla reazione di i; quindi in ogni stadio futuro si avrà un payoff pari ad. Complessivamente egli quindi avrà V = 5 + δ + δ 2 + = 5 + δ δ In alternativa egli otterrà 4, e in ogni step successivo si riproporrà la stessa scelta. Consideriamo V il valore attuale della successione infinita di payoff che riceve il giocatore j operando tale scelta in modo ottimale. Se giocare R j è una scelta ottima, allora si avrà V = 4 + δv, poiché giocare R j conduce allo stesso tipo di scelta nello stadio successivo V = 4 δ 8

19 Esempio 4.3: dilemma del prigioniero ripetuto infinitamente Giocare R j è una scelta ottima se 4 δ 5 + δ δ Cioè se δ 4 di Nash la trigger strategy è un equilibrio 9

20 Business game Iscrivetevi individualmente sulla piattaforma Inserite il codice di abilitazione: UniCassino202 Create le squadre (entro il 5 ottobre, ore 23.59) a decisione 5 ottobre, ore a decisione 22 ottobre, ore a decisione 25 ottobre, ore a decisione 5 novembre ore a decisione novembre ore