Astronomia Lezione 2/12/2011

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1 Astronomia Lezione 2/12/2011 Docente: Alessandro Melchiorri Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/ Libri di testo: - An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books - Elementi di Astronomia, P. Giannone.

2 L interno delle Stelle

3 Equilibrio Idrostatico Considerando: Abbiamo: Che dividendo per A fornisce: Otteniamo infine l equazione per l equilibrio idrostatico: Deve esistere un gradiente di pressione per controbilanciare la forza di gravita Prima equazione fondamentale della struttura stellare..

4 Conservazione della Massa Per una stella a simmetria sferica, consideriamo un guscio di spessore dr a distanza r dal centro. Se dr << r allora il volume del guscio sara dato da: La massa nel guscio sara : Dove la densita e la densita a distanza r dal centro. Riarrangiando si ottiene: Che stabilisce come la massa vari allontandosi dal centro. Questa e la seconda equazione fondamentale della struttura stellare.

5 Peso Molecolare Medio La massa media delle particelle di un gas non e facile da calcolare perche tiene conto Anche degli elettroni ed e quindi necessario sapere quali sono gli atomi ionizzati o meno Il calcolo si semplifica quando tutti gli atomi sono neutri o tutti ionizzati. Quando sono neutri possiamo scrivere: Dividendo per la massa dell atomo di idrogeno e definendo Si ha: Mentre se gli atomi sono tutti ionizzati: Dove zj tiene conto degli elettroni tutti strappati ad ogni atomo (si assumono con massa nulla al numeratore).

6 Quindi nel caso neutro abbiamo: Ricordando che A e la massa della particella diviso la massa dell idrogeno: Per il Sole:

7 Nel caso completamente ionizzato abbiamo invece: Che possiamo scrivere come: Ora dato che per elementi pesanti z>>1 e che gli atomi hanno lo stesso numero di neutroni e protoni (ed elettroni strappati) si ha: Nel caso di stelle con abbondanze Si ha

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9 Sorgenti di Energia per le Stelle Cosa fornisce alle Stelle l energia necessaria per mantenere l equilibrio? Proviamo prima con solo l energia potenziale gravitazionale: Se prendiamo un guscio di massa dm distante r dal centro si ha: E quindi l energia potenziale e data da: Assumendo una densita costante si ha Da cui (ricordarsi che per il teorema del viriale l energia totale e meta di quella potenziale)

10 Equazione di stato L equazione di stato trovata e valida per i gas ideali. Se pero andiamo in limite relativistico (m<<t) allora non e piu chiaramente valida. In quel caso la distribuzione segue o una statistica di Bose-Einstein (per i cosidetti Bosoni quali i fotoni) o una statistica di Fermi-Dirac (per i fermioni quali elettroni, protoni, neutroni, etc). Per i fermioni vale il principio di esclusione di Pauli, per i bosoni no. Nel caso in cui si considerino fotoni abbiamo che l integrale di pressione si puo scrivere come: Considerando che l impulso di un fotone e dato da come velocita delle particelle nell integrale. Si ha quindi: e avendo preso c e utilizzando la distribuzione di corpo nero: Quello che si ha normalmente e quindi la somma di due componenti:

11 Scala di Kelvin-Helmholtz Consideriamo ad esempio il Sole e supponiamo che questo sia nato da una nube molto Piu grande con l energia rilasciata e dell ordine di: Supponendo che avvenga con luminosita costantte, tutto questo deve essere avvenuto In un tempo: Detto scala temporale di Kelvin-Helmholtz. Questo fissa un limite superiore all eta del Sole che e ovviamente sbagliato dato che, ad esempio, la luna sarebbe 100 volte piu vecchia. Quindi non e solo l energia gravitazionale quella responsabile.

12 Energia Nucleare Chiaramente la forma di energia che sostiene le stelle e di tipo nucleare. Le energie in gioco nella fusione dei nuclei sono dell ordine del MeV, quindi Molto maggiori rispetto a quelle delle orbite degli elettroni (ev). Per i nuclei Z indica il numero di protoni, N il numero di neutroni (isotopi) e A il numero di nucleoni A=Z+N. Per l idrogeno N=1, il deuterio N=2, il trizio N=3. Z=1. Le masse delle particelle sono: Dove In un processo di fusione, quattro nuclei di idrogeno posso produrre un nucleo di Elio. La massa del nucleo di Elio e minore della somma delle masse dei nuclei di Idrogeno per il 0.7%. Una energia di circa MeV detta energia di legame del nucleo di Elio. Questa e l energia che serve alla struttura della stella.

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14 Che temperatura e necessaria per avere la fusione? Caso classico: Caso Quantistico: Troppo alta OK!!!

15 Picco di Gamow Ci dice a quale energia si ha la massima probabilita di una fusione. E la moltiplicazione Tra la distribuzione di Maxwell (in energia) e l energia necessaria a superare la barriera coulombiana dei nuclei.

16 George Gamow ( ) Nato in Ucraina, naturalizzato americano. Uno dei piu grandi fisici del 20simo secolo. Guardate il libretto di Mr. Tompkins sulla relativita ristretta.

17 Gradiente di Luminosita Lr e la luminosita interna. L equazione connette la densita di energia emessa per unita di tempo con la distanza dal centro.

18 Quali sono i processi nucleari? Nucleosintesi: processo di formazione dei nuclei piu pesanti dell idrogeno. Nucleosintesi primordiale: e un processo in funzione nei primi tre minuti di vita del nostro universo dopo il Big Bang. Porta essenzialmente alla formazione di Elio. (75% Idrogeno, 25% Elio). Vi sono anche tracce di Deuterio ed altri elementi Leggeri (Litio). La studierete il prossimo anno. Nucleosintesi stellare: porta alla formazione di tutti gli elementi piu pesanti.

19 Leggi di Conservazione Nei processi che andremo a studiare si devono conservare: La carica totale Il numero di leptoni (leptoni: elettroni e neutrini) contando come positiva la materia e negativa l antimateria. (elettroni, neutrini materia; positroni e antineutrini sono antimateria) I nuclei andremo a scriverli come: A numero di massa (protoni e neutroni), Z numero di protoni, X specie chimica.

20 Catena Protone-Protone Quattro nuclei di Idrogeno vanno a formare un nucleo di Elio, due positroni, due neutrini elettronici e due fotoni: Come ci si arriva? Catena protone-protone. (PPI) Lo step piu lento nella catena e il primo perche coinvolge il decadimento di un protone:

21 Catena Protone-Protone Questa pero e solo una via per produrre l Elio. Una volta che abbiamo l Elio3 dal secondo passo della catena precedentte si puo formare Elio anche seguendo: detta catena PPII. Vi e anche la possibilita seguente una volta formatosi il berillio: Detta catena PPIII.

22 Catena Protone-Protone Essenzialmente i processi sono PPI (69%) e PPII (31%) e 0.3% PPIII

23 Energia nucleare emessa da catena PP e temperatura La formula per l energia emessa dalla catena PP e di questa forma: Dove Fattore di screening: Fattore che tiene Conto dei vari rami: Correzioni varie: Esprimendo il tutto a legge di potenza intorno ad una temperatura di (temperatura alla quale si ha il picco di Gamow) si ha: con Quindi una dipendenza dalla temperatura alla quarta potenza (vedremo che non e molto).

24 Catena CNO Scoperto da Hans Bethe ( ) nel 1938, produce Elio a partire dal carbonio. Anche qui abbiamo due rami, il primo e : Mentre il secondo ramo (che parte dal secondo processo della catena) accade solo lo 0.04% Delle volte ed e :

25 Andamento dalla Temperatura Dipende molto di piu dalla temperatura. Bassa temperatura: domina il PP. Alta temperatura: domina il CNO. Mano a mano che l idrogeno viene convertito, aumenta il peso molecolare medio, diminuisce la pressione, la stella collassa, la temperatura incrementa e la stella «brucia» l elemento sempre di piu.

26 Ciclo tre-alfa Produciamo Carbonio a partire da Elio: Dipendenza enorme dalla temperatura!!

27 Combustione Carbonio e Ossigeno:

28 Energia di Legame per Nucleone