ESERCITAZIONI ASTROFISICA STELLARE

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1 ESERCITAZIONI per ASTROFISICA STELLARE (AA ) (ultimo aggiornamento: 23/03/2012)

2 Esercizio 1: Una stella con gravita` superficiale pari a cm -2 e luminosita` pari a 562 L ha il massimo di emissione nella banda UV, ad una lunghezza d onda di 1450 Å. Determinare la densita` media della stella. ρ = 0.87 g cm -3 Esercizio 2: (i) Una stella di sequenza principale con massa pari a 7 M e raggio pari a R ha log(l/l ) = Determinare la lunghezza d onda alla quale ci si aspetta il massimo di intensita` ed indicare in quale regione dello spettro elettromagnetico si trova. (ii) Nell atmosfera di questa stella si osserva una riga di assorbimento del sodio a Å. Sapendo che la lunghezza d onda di laboratorio di questa riga e` Å, determinare se la stella si sta avvicinando o allontanando dall osservatore e con quale velocita`. (i) λ = 1160 Å => UV (ii) Si sta avvicinando con v = -253 km s -1 Esercizio 3: Sapendo che una stella ha gravita` superficiale pari a cm s -2 e che in assenza del sostegno dovuto alla pressione del gas collasserebbe su se` stessa in appena s, determinare (i) il raggio, la massa e la densita` della stella, (ii) di che tipo di stella si tratta, (iii) da quale tipo di pressione la stella e` mantenuta in equilibrio idrostatico. (i) R=13.1 km, M=1.5 M, ρ = g cm -3 (ii) stella di neutroni (iii) pressione del gas degenere relativistico Esercizio 4: Una stella ha un nucleo di raggio pari a 0.07 R e massa 2 M. Sapendo che la pressione al centro della stella vale 3 x10 20 dyne cm -2, calcolare il valore della pressione al bordo del nucleo. P = 7.8 x10 19 dyne cm -2 2

3 Esercizio 5: Calcolare la pressione nel punto medio del Sole (cioe` a R /2). Si adotti 1.4 g cm -3 come densita` media del Sole. P = dyne cm -2 Esercizio 6: Sapendo che il nucleo di una stella ha massa M N = 1.2 M e raggio R N =0.2 R, e sapendo che la differenza di pressione tra l centro e il bordo del nucleo e` pari a dyne cm -2, determinare se il nucleo e` in equilibrio, in espansione o in contrazione. Il nucleo e` in espansione Esercizio 7: Una stella di sequenza principale di 10 M ha una temperatura superficiale T sup = K e raggio R=10 R. Durante la sua evoluzione, T sup scende a 5000 K, mentre la luminosita` non cambia (la stella diventa cioe` una supergigante rossa). Si chiede di: a) calcolare in quali bande dello spettro elettromagnetico la stella emette nelle due fasi; b) calcolare il raggio della supergigante; c) calcolare e confrontare la gravita` superficiale della stella nelle due fasi evolutive; d) calcolare in quanto tempo collasserebbero le stelle se la pressione fosse nulla; Alla fine della sua evoluzione, la stella ha una gravita` superficiale 3x10 13 volte maggiore di quella che aveva durante la fase di supergigante e raggio pari a 10 km. e) quanta massa ha perso? f) che densita` ha? g) che tipo di stella e`? Soluzioni: a) λ 1 = 1000 Å => UV; λ 2 = 5800 Å => VIS; b) R 2 = 250 R c) g 1 = 2700 cm s -2 ; g 2 = 4.32 cm s -2 ; g 1 /g 2 = 625 d) t d,1 = 6.3 h; t d,2 = 32 giorni e) M 2 -M 3 = 9 M f) ρ = 5x10 14 g cm -3 g) stella neutroni 3

4 Esercizio 8: Dato un gas perfetto completamente ionizzato, di peso molecolare medio µ=0.7 e con abbondanza in massa dei metalli pari al 2%, (i) calcolare le abbondanze in massa di idrogeno ed elio. (ii) Un gas di soli elettroni potrebbe essere caratterizzato dallo stesso valore di µ? (i) X=0.55, Y=0.43 (ii) no, perche risulterebbe X=1.8 Esercizio 9: Calcolare il peso molecolare del materiale presente nel nucleo di una stella che ha gia` completamente esaurito il bruciamento dell idrogeno ed ha portato al 2.5% l abbondanza in massa degli elementi pesanti. Si effettui il calcolo nei casi (i) di gas perfetto completamente ionizzato e (ii) di gas degenere di soli elettroni. (i) µ=1.34 (ii) µ=2 Esercizio 10: Calcolare la percentuale di atomi di idrogeno ed elio caratteristica del gas primordiale. Ricordando che per il gas primordiale Y=0.24 e Z=0 (quindi X=0.76), si ottiene: 93% di atomi di H e 7% di atomi di He. Esercizio 11: Dato un nucleo stellare di densita` ρ = g cm -3 e temperatura T = K, costituito per il 70% da H e per il 29% da He, stimare i contributi all opacita` da parte dei vari processi studiati κ BF = 0.5 cm 2 g -1 κ FF = 0.05 cm 2 g -1 κ E = 0.34 cm 2 g -1 Esercizio 12: Si stimino i diversi contributi all opacita` del gas di un nucleo stellare in cui si e` completato il bruciamento dell H e sta per innescarsi quello dell He (quindi T=10 8 K). Si adottino gli stessi valori di densita` e abbondanza di metalli dell esercizio precedente. κ BF = cm 2 g -1 κ FF = cm 2 g -1 κ E = 0.2 cm 2 g -1 4

5 Esercizio 13: Stimare i diversi contributi all opacita` nel nucleo del Sole (i) quando ha cominciato il bruciamento dell H nel core (ρ=160 g cm -3 ; T=10 7 K; X=0.7, Y=0.28; Z=0.02) (ii) al tempo attuale (X=0.4, Y=0.58, Z=0.02) (iii) quando comincera` il bruciamento quiescente dell He nel core (ρ=10 4 g cm -3 ; T= K; X=0, Y=0.98; Z=0.02) e (iv) in un punto della sua atmosfera, in cui ρ=10-7 g cm -3 ; T=20000 K (i) κ BF = 17.2 cm 2 g -1, κ FF = 0.8 cm 2 g -1, κ E = 0.34 cm 2 g -1 ; (ii) κ BF = 14.2 cm 2 g -1, κ FF = 0.66 cm 2 g -1, κ E = 0.28 cm 2 g -1 ; (iii) κ BF = 0.05 cm 2 g -1, κ FF = cm 2 g -1, κ E = 0.2 cm 2 g -1 ; (iv) κ BF = 30 cm 2 g -1, κ FF = 1.5 cm 2 g -1, κ E = 0.24 cm 2 g -1 Esercizio 14: (i) Calcolare in numero di atomi di idrogeno ed elio contenuti in una stella di 3M e composizione chimica uguale a quella del Sole (X=0.7, Y=0.28; Z=0.02). Sapendo che il 30% della massa e` contenuto nel nucleo e che dopo 10 milioni di anni, meta` degli atomi di H nel nucleo si e` trasformata in atomi di elio, calcolare (ii) il nuovo numero di atomi di H ed He, (iii) la nuova composizione chimica (X, Y, Z) del nucleo e (iv) la variazione del suo peso molecolare medio. (i) N H,t0 = , N He,t0 = (ii) N H,t1 = , N He,t1 = (iii) X t1 =0.35, Y t1 =0.63, Z t1 =0.02 (iv) µ t0 = 0.6; µ t1 =0.84; µ t1 -µ t0 = 0.24 Esercizio 15: Una stella di ramo orizzontale (la fase di bruciamento di He nel core) ha una luminosita` pari a 50 L. Sapendo che questa fase evolutiva dura 10 8 anni e che ciascuna reazione 3α produce un energia pari a erg, calcolare: a) il rate (numero di reazioni al secondo) col quale stanno avvenendo le reazioni 3α; b) quanta massa di He sara` stata consumata alla fine di questa fase evolutiva Soluzioni: a) ν 3α = s -1 ; b) M He = 0.5 M Esercizio 16: Calcolare la percentuale di atomi di Li III nel 2 livello eccitato, (i) rispetto a quelli nel 1 livello eccitato e (ii) rispetto al numero totale di atomi di quella specie. Si consideri T= K. 5

6 Soluzioni: (i) N Li III,3 /N Li III,2 = ; (ii) N Li III,3 /N Li III = ; Esercizio 17: Calcolare il rapporto tra il numero di atomi nel 1 livello di eccitazione e quello di atomi nello stato fondamentale per una nube di carbonio idrogenoide ad una temperatura T= K. N C VI,2 /N C VI,1 = Esercizio 18: (i) Data una nube di berillio tre volte ionizzato, calcolare la temperatura alla quale il numero di atomi nello stato fondamentale e` 1000 volte piu` grande del numero di atomi nel 1 livello di eccitazione. (ii) Ripetere il calcolo per il carbonio idrogenoide. (i) T= K (ii) T= K Esercizio 19: (i) Determinare la frazione di atomi di elio ionizzati 2 volte, rispetto a quelli ionizzati una volta sola, in un gas di temperatura T=15000 K e di pressione elettronica P e = 100 dyne cm -2. (ii) Ripetere il calcolo per T=50000 K. Soluzioni: (i) N He III /N He II = ; (ii) N He III /N He II 6000 Esercizio 20: Data una nube di ossigeno alla temperatura T=10 6 K e con P e = 80 dyne cm -2, calcolare il rapporto tra il numero di atomi completamente ionizzati e quello di atomi idrogenoidi. N O IX /N O VIII = Esercizio 21: Calcolare la percentuale di atomi di idrogeno neutro che, alla temperatura superficiale del Sole, si trovano nel primo livello di eccitazione, rispetto al numero di quelli nel livello fondamentale. 6

7 per T=5770 K la percentuale e` % Esercizio 22: Ad una temperatura di 100,000 K, quanti atomi di berillio idrogenoide si trovano nel livello di eccitazione n=2, rispetto a quelli nello stato fondamentale? N Be IV,2 /N Be IV,1 = Esercizio 23: Calcolare (a) la funzione di partizione (troncata al 3 termine) per il BeIV ad una temperatura di 500,000 K e (b) la percentuale di atomi che si trovano nel primo livello di eccitazione, rispetto al numero totale di atomi. (a) U i (T) = (b) 7.6% Esercizio 24: Calcolare il rapporto tra il numero di atomi di silicio completamente ionizzati, e quello di atomi di silicio idrogenoidi, sapendo che T=10 6 K, P e = 100 dyne cm -2, U XV =1, U XIV =2. N Si XV /N Si XIV = Esercizio 25: Determinare il rapporto tra il numero di atomi di elio ionizzati due volte, rispetto a quello di atomi ionizzati una volta sola, per una temperatura di 10 5 K ed una pressione elettronica di 100 dyne cm -2 (si adotti U II =2). N He III /N He II =