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1 ,QWURGX]LRQHDOODFRPSXWDELOLWj Stefano Mizzaro Dipartimento di matematica e informatica Università di Udine mizzaro@dimi.uniud.it 26 maggio 2003 Stefano Mizzaro - Computabilità 2/30 Scaletta z Problemi, domande, risposte z Algoritmi, programmi, linguaggi di programmazione z Algoritmi che calcolano funzioni z computabili e non Cosa fa un programma? z Fornisce ULVSRVWH a GRPDQGH Qual è la radice quadrata di 234? Qual è il massimo comun divisore di 234 e 36? z Fornisce risposte a una FODVVHGLGRPDQGH Programma per calcolare la radice quadrata di un numero z Risolve SUREOHPL Stefano Mizzaro - Computabilità 3/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 4/30 Definizioni (1/2) Problemi e domande z 3UREOHPD = insieme di domande omogenee Esempi: z P1 = Calcolare VTUWQ z P2 = Calcolare PFG[\ z 'RPDQGD ( istanza di un problema ) Esempi: z 1 = Quanto vale VTUW? z 2 = Quanto vale PFG? mcd(13,207) P3() Stefano Mizzaro - Computabilità /30 Stefano Mizzaro - Computabilità 6/30 Stefano Mizzaro 1

2 Definizioni (2/2) z LVSRVWD (a una domanda) = soluzione di un istanza z 6ROX]LRQHGLXQSUREOHPD = metodo generale che permette di fornire in modo uniforme la risposta a tutte le istanze di un problema. $OJRULWPRULVROYHQWH Stefano Mizzaro - Computabilità 7/30 z Algoritmo Algoritmi e programmi Metodo, procedimento, sequenza di passi Astratto Non si può toccare/vedere z Programma Rappresentazione precisa di un algoritmo in un certo OLQJXDJJLRGLSURJUDPPD]LRQH Per eseguire/comunicare un algoritmo bisogna rappresentarlo!! Stefano Mizzaro - Computabilità 8/30 Problemi e mcd(13,207) P3() Algoritmi e programmi Tutti gli a11 Tutti gli a11 Stefano Mizzaro - Computabilità 9/30 l algoritmo Stefano Mizzaro - Computabilità 10/30 Problemi, e programmi l calcolatore mcd(13,207) P3() Tutti gli a11 l algoritmo z È un: Esecutore di rappresentati da programmi mediante un linguaggio di programmazione z Esecutore XQLYHUVDOH di z Un algoritmo va eseguito su dati Es.: calcola VTUW Stefano Mizzaro - Computabilità 11/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 12/30 Stefano Mizzaro 2

3 Calcolatore, programma e dati Problema Algoritmo stanza Programma Finitezza, univocità, effettività z Un programma/algoritmo deve essere: Finito (# finito di istruzioni) Univoco, non ambiguo ([ [³XQSR ) Effettivo: deve esistere un calcolatore in grado di eseguire le istruzioni Dati Risultati Calcolatore Stefano Mizzaro - Computabilità 13/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 14/30 Curiosità legittime z Ma con gli si può fare tutto? z E se no, che cos è che si può fare? z E quello che si può fare dipende dal linguaggio di programmazione scelto? z A queste domande risponde la WHRULDGHOOD FRPSXWDELOLWjFDOFRODELOLWj z Approccio formale, matematico, preciso z Funzione = legge che associa a un elemento di un insieme (dominio) un elemento di un insieme (codominio) b a dominio c d codominio e Stefano Mizzaro - Computabilità 1/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 16/ Domini e codomini Algoritmi calcolano funzioni z Algoritmo per calcolare la radice quadrata calcola la funzione che associa a un numero la sua radice quadrata z Algoritmo di calcola la funzione che dati 2 numeri restituisce il loro MCD z 1 codominio dominio Stefano Mizzaro - Computabilità 17/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 18/30 Stefano Mizzaro 3

4 Quali funzioni? z : analisi matematica z La teoria della computabilità si occupa delle funzioni 1 1 z Parziali Ad esempio programma con un ciclo infinito che non dà nessun output Funzione non definita Le funzioni Stefano Mizzaro - Computabilità 19/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 20/30 Curiosità legittime No! e non z Def.: )XQ]LRQHFDOFRODELOHFRPSXWDELOH = funzione per cui esiste un algoritmo che la calcola z Ora, finalmente, possiamo porci una domanda precisa: /HXQ]LRQL1o 1VRQRWXWWHFDOFRODELOL" z Data una qualsiasi funzione, esiste sempre un algoritmo che la calcola? non 1 1 Stefano Mizzaro - Computabilità 21/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 22/30 No? Voglio un esempio l problema della terminazione z l problema della terminazione (+DOWLQJ SUREOHP) Trovare un algoritmo $ in grado di dirci se un qualsiasi algoritmo $ L su dati ' termina. z (un algoritmo potrebbe non terminare perché entra in un ciclo infinito) Descrizione di un algoritmo $ L Dati di ingresso ' Algoritmo $? Calcolatore Termina / Non termina Stefano Mizzaro - Computabilità 23/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 24/30 Stefano Mizzaro 4

5 ] Una soluzione? z Beh, potrei far eseguire $ L sui dati e attendere z Se termina so che termina z Se dopo 2 ore non ha terminato so che non ha terminato in due ore ma quanto devo aspettare?! z Non va! z Teorema: $ non esiste Stefano Mizzaro - Computabilità 2/30 P1 Problemi non Problemi P2 Problemi non e problemi non P3 P4 1 1 Stefano Mizzaro - Computabilità non 26/30 Problemi, e programmi 1 mcd(13,207) P3() Tutti gli l algoritmo Stefano Mizzaro - Computabilità /30 a11 mcd(13,207) P3() f: N N f 2 [mcd(x,y)] f 1 [ N f 2 (21,63) f2 (13,207) () f 1 () f 1 () f 3 [] f 1 Tutti gli Problemi, e programmi 2 Stefano Mizzaro - Computabilità 28/30 a11 l algoritmo Riferimenti z algoritmo.pdf z Capp. 3 e 4 z Sostituite: Ufficio mpiegato Diagramma di flusso Riassunto z Problemi, domande, risposte z Algoritmi, programmi, linguaggi di programmazione z Algoritmi che calcolano funzioni z computabili e non Stefano Mizzaro - Computabilità 29/30 Stefano Mizzaro - Computabilità 30/30 Stefano Mizzaro