Algoritmi e Strutture Dati. Strutture dati speciali
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- Marianna Rizzi
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1 Algoritmi e Strutture Dati Strutture dati speciali Alberto Montresor Università di Trento 2019/08/12 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.
2 Sommario 1 Introduzione 2 Introduzione Vettore heap HeapSort Implementazione code 3 Insiemi disgiunti Introduzione Realizzazione basata su liste Realizzazione basata su alberi Euristiche
3 Introduzione Introduzione Strutture dati viste finora Sequenze, insiemi e dizionari Strutture speciali Se non tutte le operazioni sono necessarie, è possibile realizzare strutture dati più efficienti, specializzate per particolare compiti Le operazioni base (inserimento, cancellazione, lettura, etc.) possono non essere sufficienti: a volte servono operazioni speciali Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 1 / 63
4 Introduzione Esempi Insiemi disgiunti Interval/segment tree K-D tree Trie Fenvick Tree Merkle tree Secondo Wikipedia, 338 pagine nella categoria strutture dati... Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 2 / 63
5 Introduzione Definizione (Priority Queue) Una coda con priorità è una struttura dati astratta, simile ad una coda, in cui ogni elemento inserito possiede una sua "priorità" Min-priority queue: estrazione per valori crescenti di priorità Max-priority queue: estrazione per valori decrescenti di priorità Operazioni permesse Inserimento in coda Estrazione dell elemento con priorità di valore min/max Modifica priorità (decremento/incremento) di un elemento inserito Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 3 / 63
6 Introduzione Specifica MinPriorityQueue % Crea una coda con priorità, vuota MinPriorityQueue() % Restituisce true se la coda con priorità è vuota boolean isempty() % Restituisce l elemento minimo di una coda con priorità non vuota Item min() % Rimuove e restituisce il minimo da una coda con priorità non vuota Item deletemin() % Inserisce l elemento x con priorità p nella coda con priorità. Restituisce % un oggetto PriorityItem che identifica x all interno della coda PriorityItem insert(item x, int p) % Diminuisce la priorità dell oggetto identificato da y portandola a p decrease(priorityitem y, int p) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 4 / 63
7 u u Esempio di utilizzo Applicazioni u Simulatore event-driven Introduzione Esempio u Ad ogni di utilizzo: evento è associato Simulatore un event-driven timestamp di esecuzione u AdOgni ogni evento evento può è associato generare nuovi un timestamp eventi, con di timestamp esecuzione arbitrari u Ogni Una evento coda con può min-priorità generare nuovi può essere eventi, utilizzata con timestamp per eseguire arbitrari gli eventi in di timestamp Una coda con min-priorità può essere utilizzata per eseguire gli Esempi eventi di inorganizzazione ordine di timestamp p 3 ev p 7 ev p 5 ev evento p 3 p 4 p 5 p 6 p 8 p 7 ev ev ev ev ev ev Alberto Alberto Montresor Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 5 / 63
8 Introduzione Applicazioni nelle prossime lezioni Algoritmo di Dijkstra Codifica di Huffmann Algoritmo di Prim per gli alberi di copertura di peso minimo Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 6 / 63
9 Introduzione Implementazioni Metodo Lista/vettore Lista Vettore Albero non ordinato Ordinata Ordinato RB min() O(n) O(1) O(1) O(log n) deletemin() O(n) O(1) O(n) O(log n) insert() O(n) O(n) O(n) O(log n) decrease() O(n) O(n) O(log n) O(log n) Heap Una struttura dati speciale che associa i vantaggi di un albero (esecuzione in tempo O(log n)), e i vantaggi di un vettore (memorizzazione efficiente) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 7 / 63
10 Introduzione Heap Storia Struttura dati inventata da J. Williams nel 1964 Utilizzata per implementare un nuovo algoritmo di ordinamento: HeapSort Williams intuì subito che poteva essere usata per altri scopi Seguiamo l approccio storico nel presentare gli heap Prima HeapSort Poi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 8 / 63
11 Vettore heap Alberi binari Albero binario perfetto Tutte le foglie hanno la stessa profondità h Nodi interni hanno tutti grado 2 Dato il numero di nodi n, ha altezza h = log n Dato l altezza h, ha numeri di nodi n = 2 h+1 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 9 / 63
12 Vettore heap Alberi binari Albero binario completo Tutte le foglie hanno profondità h o h 1 Tutti i nodi a livello h sono accatastati a sinistra Tutti i nodi interni hanno grado 2, eccetto al più uno Dato il numero di nodi n, ha altezza h = log n Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 10 / 63
13 Vettore heap Alberi binari heap Proprietà heap Un albero max-heap (min-heap) è un albero binario completo tale che il valore memorizzato in ogni nodo è maggiore (minore) dei valori memorizzati nei suoi figli. Note 16 Le definizioni e gli algoritmi per alberi max-heap sono simmetrici rispetto agli algoritmi per alberi min-heap Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 11 / 63
14 Vettore heap Alberi binari heap Un albero heap non impone una relazione di ordinamento totale fra i figli di un nodo Un albero heap è un ordinamento parziale Riflessivo: Ogni nodo è di se stesso Antisimmetrico: se n m e m n, allora m = n Transitivo: se n m e m r, allora n r Ordinamenti parziali Nozione più debole di un ordinamento totale ma più semplice da costruire Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 12 / 63
15 Vettore heap Alberi binari heap A[1] Vettore heap Un albero heap può essere rappresentato tramite un vettore heap A[2] A[3] 10 Memorizzazione (A[1... n]) Radice root() = 1 Padre nodo i p(i) = i/2 Figlio sx nodo i l(i) = 2i Figlio dx nodo i r(i) = 2i + 1 A[4] A[8] A[9] A[5] 7 1 A[10] A[6] 9 A[7] 3 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] A[10] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 13 / 63
16 Vettore heap Alberi binari heap A[0] Vettore heap Un albero heap può essere rappresentato tramite un vettore heap A[1] A[2] 10 Memorizzazione (A[0... n 1]) Radice root() = 0 Padre nodo i p(i) = (i 1)/2 Figlio sx nodo i l(i) = 2i + 1 Figlio dx nodo i r(i) = 2i + 2 A[3] A[7] A[8] A[4] 7 1 A[9] A[5] 9 A[6] 3 A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 14 / 63
17 Vettore heap Alberi binari heap Proprietà max-heap su vettore A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Proprietà min-heap su vettore A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 15 / 63
18 HeapSort HeapSort Organizzazione heapsort() Ordina un max-heap "in-place", prima costruendo un max-heap nel vettore e poi spostando l elemento max in ultima posizione, ripristinando la proprietà max-heap heapbuild() Costruisce un max-heap a partire da un vettore non ordinato maxheaprestore() Ripristina la proprietà max-heap Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 16 / 63
19 HeapSort maxheaprestore() Input Un vettore A e un indice i, tale per cui gli alberi binari con radici l(i) e r(i) sono max-heap Osservazione E possibile che A[i] sia minore di A[l(i)] o A[r(i)] In altre parole, non è detto che il sottoalbero con radice i sia un max-heap Goal Modificare in-place il vettore A in modo tale che l albero binario con radice i sia un max-heap Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 17 / 63
20 HeapSort Esempio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 18 / 63
21 HeapSort Esempio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 18 / 63
22 HeapSort Esempio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 18 / 63
23 HeapSort Esempio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 18 / 63
24 HeapSort Ripristinare la proprietà max-heap maxheaprestore(item[ ] A, int i, int dim) int max = i if l(i) dim and A[l(i)] > A[max] then max = l(i) if r(i) dim and A[r(i)] > A[max] then max = r(i) if i max then A[i] A[max] maxheaprestore(a, max, dim) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 19 / 63
25 HeapSort Complessità computazionale Qual è la complessità computazionale di maxheaprestore()? Ad ogni chiamata, vengono eseguiti O(1) confronti Se il nodo i non è massimo, si richiama ricorsivamente maxheaprestore() su uno dei figli L esecuzione termina quando si raggiunge una foglia L altezza dell albero è pari a log n Complessità T (n) = O(log n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 20 / 63
26 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Teorema Al termine dell esecuzione, l albero radicato in A[i] rispetta la proprietà max-heap Caso base: altezza h = 0 Se h = 0, l albero è dato da un solo nodo che rispetta la proprietà heap Ipotesi induttiva L algoritmo funziona correttamente su tutti gli alberi di altezza minore di h Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 21 / 63
27 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 1 A[i] 16 A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)]: A[l(i)] A[r(i)] L albero radicato in A[i] rispetta la proprietà max-heap L algoritmo termina (CVD) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 22 / 63
28 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[l(i)] A[i] 8 7 A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
29 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[l(i)] A[i] 8 7 A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
30 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[l(i)] A[i] 14 A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
31 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[l(i)] A[i] 14 A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
32 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[l(i)] A[i] 14 A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
33 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[i] 8 A[0] A[l(i)] A[r(i)] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
34 HeapSort Dimostrazione correttezza (per induzione sull altezza) Induzione - Altezza h - Caso 2 A[l(i)] > A[i], A[l(i)] > A[r(i)]: Viene fatto uno scambio A[i] A[l(i)] Dopo lo scambio, A[i] A[l(i)], A[i] A[r(i)] Il sottoalbero A[r(i)] è inalterato e rispetta la proprietà heap Il sottoalbero A[l(i)] può aver perso la proprietà heap Si applica maxheaprestore() ricorsivamente su di A[l(i)], che ha altezza minore di h A[0] Passo induttivo - Caso 3 Simmetrico rispetto al Caso 2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 23 / 63
35 HeapSort heapbuild() Principio di funzionamento Sia A[1... n] un vettore da ordinare Tutti i nodi A[ n/ n] sono foglie dell albero e quindi heap contenenti un elemento La procedura heapbuild() attraversa i restanti nodi dell albero, a partire da n/2 fino ad 1 esegue maxheaprestore() su ognuno di essi heapbuild(item[ ] A, int n) for i = n/2 downto 1 do maxheaprestore(a, i, n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 24 / 63
36 HeapSort Esempio A[1] I nodi A[ n/ n] sono foglie dell albero e quindi heap di un elemento Per ogni posizione da n/2 fino ad 1, si esegue maxheaprestore() A[4] A[2] A[5] A[6] A[3] 28 A[7] A[8] A[9] A[10] A[11] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 25 / 63
37 HeapSort Esempio A[1] I nodi A[ n/ n] sono foglie dell albero e quindi heap di un elemento Per ogni posizione da n/2 fino ad 1, si esegue maxheaprestore() A[4] A[2] A[5] A[6] A[3] 28 A[7] A[8] A[9] A[10] A[11] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 25 / 63
38 HeapSort Correttezza Invariante di ciclo All inizio di ogni iterazione del ciclo for, i nodi [i + 1,..., n] sono radice di uno heap. Dimostrazione Inizializzazione All inizio, i = n/2. Supponiamo che n/2 + 1 non sia una foglia Quindi ha almeno il figlio sinistro: 2 n/2 + 2 Questo ha indice n + 1 oppure n + 2, assurdo perché n è la dimensione massima La dimostrazione vale per tutti gli indici successivi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 26 / 63
39 HeapSort Correttezza Invariante di ciclo All inizio di ogni iterazione del ciclo for, i nodi [i + 1,..., n] sono radice di uno heap. Dimostrazione Conservazione E possibile applicare maxheaprestore al nodo i, perché 2i < 2i + 1 n sono entrambi radici di heap Al termine dell iterazione, tutti i nodi [i... n] sono radici di heap Dimostrazione Conclusione Al termine, i = 0. Quindi il nodo 1 è radice di uno heap. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 27 / 63
40 HeapSort Complessità heapbuild(item[ ] A, int n) for i = n/2 downto 1 do maxheaprestore(a, i, n) Quant è la complessità di heapbuild()? Limite superiore: T (n) = O(n log n) Limite inferiore: T (n) = Ω(n log n)? Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 28 / 63
41 HeapSort Complessità Le operazioni maxheaprestore() vengono eseguite un numero decrescente di volte su heap di altezza crescente Altezza # Volte 0 n/2 1 n/4 2 n/8 h n/2 h+1 Formula: + h=1 hx h = T (n) x (1 x) 2, per x < 1 n h=1 h=1 n 2 h+1 h n ( ) 1 h+1 = n h 2 n ( ) 1 h = n/2 h 2 h=1 + ( ) 1 h n/2 h = n = O(n) 2 h=1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 29 / 63
42 HeapSort heapsort() Principio di funzionamento L elemento in prima posizione contiene il massimo Viene collocato in fondo heapsort(item[ ] A, int n) heapbuild(a, n) for i = n downto 2 do A[1] A[i] maxheaprestore(a, 1, i 1) L elemento in fondo viene spostato in testa Si chiama maxheaprestore() per ripristinare la situazione La dimensione dello heap viene progressivamente ridotta (indice i) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 30 / 63
43 HeapSort Esempio A[2] 34 A[1] 45 A[3] 28 heapsort(item[ ] A, int n) heapbuild(a, n) for i = n downto 2 do A[1] A[i] maxheaprestore(a, 1, i 1) A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] A[10] A[11] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] A[10] A[11] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 31 / 63
44 HeapSort Esempio A[1] 14 heapsort(item[ ] A, int n) heapbuild(a, n) for i = n downto 2 do A[1] A[i] maxheaprestore(a, 1, i 1) A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] A[10] A[11] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 31 / 63
45 HeapSort Complessità Complessità La chiamata heapbuild() costa Θ(n) La chiamata maxheaprestore() costa Θ(log i) in un heap con i elementi Viene eseguita con i che varia da 2 a n T (n) = n log i + Θ(n) = Θ(n log n) i=2 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 32 / 63
46 HeapSort Correttezza Invariante di ciclo Al passo i il sottovettore A[i n] è ordinato; A[1... i] A[i n] A[1] è la radice di un vettore heap di dimensione i. Dimostrazione Per esercizio Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 33 / 63
47 Implementazione code Implementazione code con priorità Quale versione Implementiamo una min-priority queue, in quanto negli esempi che vedremo in seguito daremo la precedenza a elementi con priorità minore Dettagli implementativi Vedremo come strutturare un vettore che memorizza coppie valore, priorità Vedremo come implementare minheaprestore() Vedremo come implementare i singoli metodi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 34 / 63
48 Implementazione code Memorizzazione PriorityItem int priority Item value int pos % Priorità % Elemento % Posizione nel vettore heap swap(priorityitem[ ] H, int i, int j) H[i] H[j] H[i].pos = i H[j].pos = j Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 35 / 63
49 Implementazione code Inizializzazione PriorityQueue int capacity int dim PriorityItem[ ] H % Numero massimo di elementi nella coda % Numero attuale di elementi nella coda % Vettore heap PriorityQueue PriorityQueue(int n) PriorityQueue t = new PriorityQueue t.capacity = n t.dim = 0 t.h = new PriorityItem[1... n] return t Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 36 / 63
50 Implementazione code Inserimento PriorityItem insert(item x, int p) precondition: dim < capacity dim = dim + 1 H[dim] = new PriorityItem() H[dim].value = x H[dim].priority = p H[dim].pos = dim int i = dim while i > 1 and H[i].priority < H[p(i)].priority do swap(h, i, p(i)) i = p(i) return H[i] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 37 / 63
51 Implementazione code minheaprestore() minheaprestore(priorityitem[ ] A, int i, int dim) int min = i if l(i) dim and A[l(i)].priority < A[min].priority then min = l(i) if r(i) dim and A[r(i)].priority < A[min].priority then min = r(i) if i min then swap(a, i, min) minheaprestore(a, min, dim) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 38 / 63
52 Implementazione code Cancellazione / lettura minimo Item deletemin() precondition: dim > 0 swap(h, 1, dim) dim = dim 1 minheaprestore(h, 1, dim) return H[dim + 1].value Item min() precondition: dim > 0 return H[1].value Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 39 / 63
53 Implementazione code Decremento priorità decrease(priorityitem x, int p) precondition: p < x.priority x.priority = p int i = x.pos while i > 1 and H[i].priority < H[p(i)].priority do swap(h, i, p(i)) i = p(i) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 40 / 63
54 Implementazione code Complessità Tutte le operazioni che modificano gli heap sistemano la proprietà heap lungo un cammino radice-foglia (deletemin()) oppure lungo un cammino nodo-radice (insert(), decrease()) Poichè l altezza è log n, il costo di tali operazioni è O(log n) Operazione Costo insert() O(log n) deletemin() O(log n) min() Θ(1) decrease() O(log n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 41 / 63
55 Insiemi disgiunti Introduzione Insiemi disgiunti Merge-Find Set Motivazioni In alcune applicazioni siamo interessati a gestire una collezione S = {S 1, S 2,..., S k } di insiemi dinamici disgiunti i, j : i j S i S j = k i=1 S i = S, dove n = S Esempio: componenti di un grafo Operazioni fondamentali Creare n insiemi disgiunti, ognuno composto da un unico elemento merge(): Unire più insiemi find(): Identificare l insieme a cui appartiene un elemento Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 42 / 63
56 Insiemi disgiunti Introduzione Insiemi disgiunti Rappresentante Ogni insieme è identificato da un rappresentante univoco Il rappresentante dell insieme S i è un qualunque membro di S i Operazioni di ricerca del rappresentante su uno stesso insieme devono restituire sempre lo stesso oggetto Solo in caso di unione con altro insieme il rappresentante può cambiare Memorizzazione Invece di memorizzare oggetti, utilizziamo gli interi 1... n e assumiamo che l associazione intero-oggetto sia memorizzata esternamente Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 43 / 63
57 Insiemi disgiunti Introduzione Specifica Mfset % Crea n componenti {1},..., {n} Mfset Mfset(int n) % Restituisce il rappresentante della componente contenente x int find(int x) % Unisce le componenti che contengono x e y merge(int x, int y) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 44 / 63
58 Insiemi disgiunti Introduzione Esempio mfset(6) merge(1,2) merge(3,4) , , , merge(5,6) 1 1, , ,6 6 merge(1,3) 1 1, 2 2, 3, ,6 6 merge(1,5) 1 2 1, 2, 3 3, 4, 45, Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 45 / 63
59 Insiemi disgiunti Introduzione Applicazione: Componenti connesse dinamiche Problema Trovare le componenti connesse di un grafo non orientato dinamico Algoritmo Si inizia con componenti connesse costituite da un unico vertice Per ogni (u, v) E, si esegue merge(u, v) Mfset cc(graph G) Mfset M = Mfset(G.n) foreach u G.V () do foreach v G.adj(u) do M.merge(u, v) return M Ogni insieme disgiunto rappresenta una componente connessa Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 46 / 63
60 Insiemi disgiunti Introduzione Applicazione: Componenti connesse dinamiche Complessità O(n) + m operazioni merge() Motivazione Questo algoritmo è interessante per la capacità di gestire grafi dinamici (in cui gli archi vengono aggiunti) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 47 / 63
61 Realizzazione basata su liste Insiemi disgiunti Realizzazione basata su liste Ogni insieme viene rappresentato con una lista concatenata Realizzazione basata su insiemi di liste Il primo oggetto di una lista è il rappresentante dell insieme Ogni insieme viene rappresentato da una lista concatenata Ogni elemento nella lista contiene: Il primo un oggetto di una lista è il rappresentante dell insieme Ogni un elemento puntatore nella all elemento lista contiene: successivo un oggetto un puntatore al d un puntatore all elemento successivo un puntatore al rappresentante head tail Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 48 / 63
62 Operazione find(x) Insiemi disgiunti Ogni elemento nella lista contiene: un oggetto Realizzazione basata su liste Si restituisce un puntatore il rappresentante all elemento di successivo x L operazione un puntatore find(x) al richiede d tempo O(1) head tail Alberto Montresor Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 49 / 63
63 Insiemi disgiunti Realizzazione basata su liste Operazione merge(x, y) Si "appende" la lista che contiene y alla lista che contiene x, modificando i puntatori ai rappresentanti nella lista "appesa" Costo nel caso pessimo per n operazioni: O(n 2 ) QuickFind: Esempio - merge(h, g) Costo ammortizzato: O(n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 50 / 63
64 Insiemi disgiunti Realizzazione basata su alberi Realizzazione basata su insieme di alberi (foresta) Ogni insieme viene rappresentato da un albero Ogni nodo dell albero contiene: un oggetto un puntatore al padre La radice è il rappresentante dell insieme 1 5 La radice ha un puntatore a se stessa Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 51 / 63
65 Insiemi disgiunti Realizzazione basata su alberi Operazione merge(x, y) Si aggancia l albero radicato in y ad x Modificando il puntatore al padre di y Costo: O(1) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 52 / 63
66 Insiemi disgiunti Realizzazione basata su alberi Operazione find(x) Risale la lista dei padri di x fino a trovare la radice e restituisce la radice come rappresentante 1 5 Costo: O(n) nel caso pessimo (perché?) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 53 / 63
67 Insiemi disgiunti Euristiche Tecniche euristiche Algoritmo euristico È un particolare tipo di algoritmo progettato per risolvere un problema più velocemente, qualora i metodi classici siano troppo lenti trovare una soluzione approssimata, qualora i metodi classici falliscano nel trovare una soluzione esatta Euristiche applicate agli insiemi disgiunti Euristica del peso (Liste) Euristica del rango (Alberi) Euristica della commpressione dei cammini (Alberi) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 54 / 63
68 Insiemi disgiunti Euristiche Liste: Euristica sul peso Strategia per diminuire il costo dell operazione merge() Memorizzare nelle liste l informazione sulla loro lunghezza Agganciare la lista più corta a quella più lunga La lunghezza della lista può essere mantenuta in tempo O(1) Complessità Tramite analisi ammortizzata, è possibile vedere che il costo di n 1 operazioni merge è O(n log n) Quindi il costo ammortizzato delle singole operazioni è O(log n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 55 / 63
69 Insiemi disgiunti Euristiche Alberi: Euristica sul rango Strategia per diminuire il costo dell operazione find() Ogni nodo mantiene informazioni sul proprio rango Il rango rank[x] di un nodo x è il numero di archi del cammino più lungo fra x e una foglia sua discendente Rango altezza del sottoalbero associato al nodo Obiettivo: mantenere bassa l altezza degli alberi Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 56 / 63
70 Insiemi disgiunti Euristiche Alberi: Euristica sul rango Alberi di rango uguale Si aggancia un albero alla radice dell altro (indifferente) L altezza cresce di 1 Alberi di rango diverso Si aggancia l albero con rango più basso all albero con rango più alto L altezza resta inalterata Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 57 / 63
71 Insiemi disgiunti Euristiche Complessità Teorema Un albero Mfset con radice r ottenuto tramite euristica sul rango ha almeno 2 rank[r] nodi. Dimostrazione (informale) Caso base: All inizio tutti gli alberi sono costituiti da un nodo singolo, con rank 0: quindi ogni albero ha almeno 2 0 = 1 nodi, corretto. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 58 / 63
72 Insiemi disgiunti Euristiche Complessità Teorema Un albero Mfset con radice r ottenuto tramite euristica sul rango ha almeno 2 rank[r] nodi. Dimostrazione (informale) Caso 1: Facendo merge di due alberi con radice x, y con rango rank[x] > rank[y], il rango finale è pari a rank[x], mentre il numero di nodi è sicuramente maggiore di 2 rank [x]. Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 58 / 63
73 Insiemi disgiunti Euristiche Complessità Teorema Un albero Mfset con radice r ottenuto tramite euristica sul rango ha almeno 2 rank[r] nodi. Dimostrazione (informale) Caso 2 :Facendo merge di due alberi con radice x, y con rango rank[x] = rank[y], il rango finale è pari a rank[x] + 1 e ha almeno 2 rank[x] + 2 rank[y] = 2 rank [x] + 2 rank[x] = 2 rank[x]+1 come volevasi dimostrare Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 58 / 63
74 Insiemi disgiunti Euristiche Complessità Corollario Un albero Mfset con radice r ed n nodi ha altezza inferiore a log n. Dimostrazione n 2 rank[r] rank[r] log n Complessità L operazione find(x) ha costo O(log n) Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 59 / 63
75 Insiemi disgiunti Euristiche Algoritmo Mfset int[ ] parent int[ ] rank Mfset Mfset(int n) Mfset t = new Mfset t.parent = int[1... n] t.rank = int[1... n] for i = 1 to n do t.parent[i] = i t.rank[i] = 0 return t merge(int x, int y) r x = find(x) r y = find(y) if r x r y then if rank[r x ] > rank[r y ] then parent[r y ] = r x else if rank[r y ] > rank[r x ] then parent[r x ] = r y else parent[r x ] = r y rank[r y ] = rank[r y ] + 1 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 60 / 63
76 Insiemi disgiunti Euristiche Alberi: Euristica di compressione dei cammini Operazione find(x) L albero viene "appiattito" in modo che ricerche successive di x siano svolte in O(1) int find(int x) if parent[x] x then parent[x] = find(parent[x]) return parent[x] Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 61 / 63
77 Insiemi disgiunti Euristiche Alberi: Euristica sul rango + compressione cammini Applicando entrambe le euristiche Il rango non è più l altezza del nodo, ma il limite superiore all altezza del nodo Non viene calcalato il rango corretto Troppo difficile mantenere le informazioni di rango corretto In ogni caso, non è necessario Complessità Costo ammortizzato di m operazioni merge-find in un insieme di n elementi è O(m α(n)) La funzione inversa di Ackermann α(n) crescente lentamente Esempi: per n , α(n) 5 Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 62 / 63
78 Insiemi disgiunti Euristiche Complessità Riassunto Algoritmo find() merge() Liste O(1) O(n) Alberi O(n) O(1) + Liste + Euristica sul peso O(1) O(log n) Alberi + Euristica sul rango O(log n) O(1) + Alberi + Euristica sul rango + Compressione cammini O(1) O(1) Complessità ammortizzata + Si considera solo l operazione di unione, non si considera l identificazione dei rappresentanti tramite find() Alberto Montresor (UniTN) ASD - Strutture speciali 2019/08/12 63 / 63
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