UNIVERSITA BOCCONI CENTRO PRISTEM - CAMPIONATI INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI

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1 UNIVERSITA BOCCONI CENTRO PRISTEM - CAMPIONATI INTERNAZIONALI DI GIOCHI MATEMATICI I "Campionati internazionali di Giochi matematici" sono gare aperte a tutti gli studenti, dal primo al quinto anno, suddivisi in categorie. Per affrontarle non è necessaria la conoscenza di nessuna formula e nessun teorema particolarmente impegnativo. Occorre invece una voglia matta di giocare, un pizzico di fantasia e quell'intuizione che fa capire che un problema apparentemente molto complicato è, in realtà, più semplice di quello che si possa prevedere. Il seguente Link è molto interessante da esaminare. Esso contiene tutte le prove delle passate edizioni ( con le relative soluzioni), consultabili per prepararsi adeguatamente alla competizione. MATEMATICA SENZA FRONTIERE La competizione, rivolta alle classi terze, ha come obiettivo quello di incentivare uno scambio di conoscenze sui programmi e sulla didattica tra l Italia e altri Paesi, di implementare ed arricchire la conoscenza delle lingue straniere con l esercizio matematico, di stimolare la partecipazione di tutti gli alunni e, al tempo stesso, di valorizzare le capacità del singolo, abituando gli alunni a lavorare proficuamente in gruppo. Di seguito si trovano le prove di accoglienza e di competizione della passata edizione (a.s ) PDF accoglienza + PDF competizione. Le soluzioni, unite a tutte le prove degli scorsi anni, (partendo dal 1990) si possono trovare su GRAN PREMIO DELLA MATEMATICA APPLICATA La competizione, rivolta alle classi quarte e quinte, consiste in una serie di "quesiti matematici", problemi e domande graduati nella loro difficoltà. E una simpatica occasione per far riconoscere il "fascino" e l'importanza della matematica nella vita quotidiana. Il seguente link contiene tutti i testi delle passate edizioni

2 Accoglienza Usare un solo foglio risposta per ogni esercizio per il quale deve essere riportata una sola soluzione, pena l'annullamento. Sono richieste spiegazioni o giustificazioni per gli esercizi 1, 2, 4, 5, 12 e 13 Saranno esaminate tutte le risposte, anche se parziali. Si terrà conto dell accuratezza della soluzione. L esercizio 1 richiede soluzione in lingua, pena l annullamento. Esercizio 1 (7 punti) Giro del cane La soluzione deve essere redatta con un minimo di 30 parole in una delle lingue proposte. Mein Hund und ich starten gemeinsam in gleicher Richtung zu einer Tour um den See. Wir nehmen den gleichen Weg, jeder mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Aber mein Hund läuft schneller als ich und überholt mich einmal bevor wir wieder gleichzeitig an unserem Ausgangspunkt ankommen. Wenn nun mein Hund mit der gleichen Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzter Richtung den See umrundet hätte, wie viele Male hätte er dann meinen Weg gekreuzt? Begründet eure Antwort. ***** My dog and I set out together to go round the lake. We left at the same time from the same starting point, we both took the same path in the same direction and we travelled at a constant speed. But my dog goes much faster than I do and he passed me once before we arrived back at the same time at the starting point. What if my dog had gone round the lake at the same speed but in the other direction, how many times would he have passed me? Explain your answer. ***** Mi perro y yo salimos juntos y en el mismo sentido para dar la vuelta al lago. Tomamos el mismo camino, cada uno a una velocidad constante. Pero mi perro va bastante más rápido que yo y me adelanta una vez antes de que lleguemos los dos, en el mismo instante, a nuestro punto de partida. Y si mi perro hubiese dado vueltas alrededor del lago a la misma velocidad, pero en sentido contrario, cuántas veces me cruzaría con él? Explícalo. ***** Mon chien et moi partons ensemble pour faire le tour du lac dans le même sens. Nous empruntons le même chemin, chacun à une vitesse constante. Mais mon chien va bien plus vite que moi et il me dépasse une fois avant que nous n arrivions au même instant à notre point de départ. Et si mon chien avait tourné autour du lac à la même vitesse, mais dans l autre sens, combien de fois m aurait-il croisé? Expliquer. Matematica Senza Frontiere Accoglienza

3 Esercizio 2 (5 punti) Regolamento di conti Quattro amici Luisa, Milena, Giulio e Claudio rientrano in auto dalle vacanze e fanno i conti delle spese comuni: Luisa ha pagato la benzina: 96 Milena ha pagato l autostrada: 42 Giulio ha pagato le merende per tutti: 18 Claudio ha prestato 15 a Giulio che ha comprato un regalino per la mamma. I quattro amici desiderano suddividere equamente le spese con il minor numero di transazioni. Spiegate come devono procedere. Esercizio 3 ( 7 punti) L A, B, C delle trecce Cinzia e Piero hanno a disposizione un dispositivo che permette di realizzare tutti i tipi di trecce a tre fili. Le trecce si ottengono con una sequenza di operazioni scelte fra le quattro operazioni ( A B C D ) rappresentate a fianco. Hanno osservato che C neutralizza A dato che la sequenza AC dà tre fili liberi che tirati risultano paralleli. Scrivete tutte le coppie di operazioni che si neutralizzano. Piero ha digitato a caso sulla tastiera DDACBAAACDDCABABD. Indicate una sequenza di cinque operazioni che, digitate dopo questa, sono sufficienti per disfare la treccia di Cinzia. Esercizio 4 ( 5 punti) Conti in continuazione Michele e Maria contano nello stesso tempo e alla stessa velocità. Maria inizia dal 2012 riducendo di 5 in 5: 2012, 2007, 2002, 1997 Michele inizia dal 1024 aumentando di 3 in 3: 1024, 1027, 1030, 1033 Quali sono i numeri più vicini che pronunciano contemporaneamente? Spiegate il vostro ragionamento. Matematica Senza Frontiere Accoglienza

4 Esercizio 5 (7 punti) Dopo la pioggia Cornelia ha costruito una piccola vasca con i gradini. Il fondo è un quadrato di lato 50 cm. Ognuno dei tre gradini ha un altezza di 10 cm e una larghezza di 20 cm. Cornelia installa la vasca nel suo giardino in modo che il fondo sia perfettamente orizzontale. Subito infuria un temporale e inizia una pioggia torrenziale. Dopo la pioggia torna il bel tempo e Cornelia constata che il livello dell acqua rimasta nella vasca arriva al secondo gradino. Qual è, in litri, il volume d acqua caduta per m 2 durante l uragano? Giustificate la risposta. Esercizio 6 (5 punti) Quadrati OK La figura a lato è un rettangolo costituito da 13 quadrati. Le lunghezze dei lati dei quadrati sono, in millimetri, numeri interi tutti differenti. Ognuno dei numeri scritti rappresenta la lunghezza del lato del quadrato in cui si trova. Determinate la lunghezza dei lati degli altri quadrati. Riproducete la figura rispettando le misure determinate e scrivete in ogni quadrato la lunghezza del lato. Esercizio 7 ( 7 punti) False immagini Disegnate un triangolo equilatero ABC inscritto in un cerchio C di raggio di 8 cm. Sia P un punto su un lato del triangolo. La perpendicolare al lato BC passante per P taglia il cerchio C in E e in F. Si indicano con M il punto medio di EP e con N il punto medio di FP. Tracciate punto per punto le curve descritte dai punti M e N quando P percorre i tre lati del triangolo ABC. Matematica Senza Frontiere Accoglienza

5 Esercizio 8 ( 5 punti) Sei soldini Sei monete identiche sono disposte a forma di triangolo su un tavolo come in figura. Bernardo ha individuato una successione di 5 mosse per disporle a forma di esagono. Una mossa consiste nel far scivolare una moneta, senza muovere le altre, per portarla a contatto con altre due. Susanna ha individuato una soluzione con solo 4 mosse. Disegnate le 5 posizioni successive di una soluzione in 4 mosse come quella di Susanna o, almeno, le 6 posizioni successive di una soluzione in 5 mosse come quella di Bernardo. Esercizio 9 ( 7 punti) Tu puoi o tu non puoi Si hanno a disposizione 21 fiammiferi della stessa lunghezza. Se ne dispongono alcuni uno dopo l altro lungo un segmento e poi si.aggiungono i rimanenti per formare un triangolo. Quanti triangoli diversi si possono costruire utilizzando per ognuno i 21 fiammiferi? Riportate sul foglio risposta tutte le soluzioni possibili. Esercizio 10 ( 10 punti) Cristallografia I cristalli di quarzo spesso hanno la forma di prismi a base esagonale. Quello rappresentato qui sotto ha una base a forma d esagono di lato 2 cm. Nella parte superiore il prisma è tagliato con un piano obliquo inclinato di 45 rispetto al piano di base. Vista da destra Disegnate rispettando le misure indicate lo sviluppo della superficie laterale di questo prisma e le sue due facce esagonali. Vista in prospettiva Vista dal basso Matematica Senza Frontiere Accoglienza

6 Speciale terze Esercizio 11 ( 5 punti) Libertà condizionata Un carcerato chiede la grazia. La sua guardia gli dà una speranza di libertà: gli porta due urne, 12 biglie bianche e 12 nere. Il prigioniero le deve distribuire nelle due urne. La guardia sceglierà una urna a caso e in questa una biglia a caso. Se la biglia scelta sarà bianca, il prigioniero sarà liberato. Per avere la maggiore possibilità d essere liberato, il prigioniero come deve distribuire le biglie nelle urne? Calcolate la probabilità relativa alla distribuzione proposta. Esercizio 12 ( 7 punti) Salita Luca è in attesa dell amica Giulia sulla banchina della metropolitana e osserva le persone che salgono la scala verso l uscita: si domanda quante possibilità ci sono di salire la scala sia nel caso di fare i gradini a due a due sia nel caso di uno alla volta. Luca riflette: «Per una scala di due o tre gradini la risposta è veloce, ma per una scala di 4 gradini? Bene per il primo passo ho due possibilità e poi mi rimangono due o tre gradini» «Stai sognando, Luca?» dice Giulia arrivando. «Sveglia, siamo in ritardo!» Quanti modi ci sono di salire una scala di 13 gradini? Riportate il vostro ragionamento. Esercizio 13 ( 10 punti) Telescopico Nicole è previdente: ha sempre con sé nel marsupio un bicchiere pieghevole nel caso le servisse. Questo bicchiere è formato di una base e di cinque pezzi conici che si possono ripiegare uno dentro l altro (figura 2) o estendere per riempirlo (figura 1). Lo schema sottostante rappresenta il bicchiere ripiegato.. Figura 1 Figura 2 Ogni elemento ha l altezza di 20 mm. I diametri delle basi dell elemento più piccolo misurano rispettivamente 30 e 38 mm. Il raggio delle basi di ogni elemento aumenta di 4mm dall elemento precedente al successivo. Gli spessori delle pareti sono tutti uguali. Qual è l altezza interna del bicchiere aperto? Spiegate. Si vuole calcolare il volume di liquido contenibile nel bicchiere. Individuate un metodo per calcolarlo, riportatelo sul foglio risposta unitamente al risultato. Per facilitarvi, si ricorda la formula relativa al Volume di un tronco di cono di raggi r e R e altezza h h V r² rr R² 3 Matematica Senza Frontiere Accoglienza

7 Competizione 14 Marzo 2013 Usare un solo foglio risposta per ogni esercizio per il quale deve essere riportata una sola soluzione, pena l'annullamento. Sono richieste spiegazioni o giustificazioni per gli esercizi: 1, 5, 6, 7, 9, 11, 13 Saranno esaminate tutte le risposte, anche se parziali. Si terrà conto dell accuratezza della soluzione. Esercizio 1 (7 punti) Chi vede chi? Soluzione da redigere in francese o in inglese o in tedesco o in spagnolo con un minimo di 30 parole. Trois clowns, Anatole, Michel et Thomas, ont déposé trois chapeaux rouges et deux chapeaux verts dans leur loge. Avant d entrer en scène, ils doivent récupérer chacun un chapeau. Les clowns ne trouvent pas l interrupteur et la loge est plongée dans le noir. Chacun prend un chapeau au hasard et le pose sur sa tête. Ils sortent de la loge et entrent en scène. On demande à chaque clown s il est capable de deviner la couleur de son chapeau. Anatole regarde les deux autres et dit «Non». Puis Michel regarde les deux autres et dit «Non». Enfin Thomas, qui est aveugle, répond «Oui». Expliquer comment ce clown aveugle a pu déterminer la couleur de son chapeau. Three clowns, Anatole, Michel and Thomas, keep three red hats and two green hats in their dressing-room. Before going on stage they each need to put on a hat. The clowns cannot find the light switch and the dressingroom is in darkness. Each clown picks a hat at random and puts it on his head. They leave the dressing-room and go on stage. Each clown is asked if he can work out the colour of his hat. Anatole looks at the two others and says No. Then Michel looks at the two others and says No. Finally Thomas, who is actually blind, replies Yes. Explain how this blind clown was able to work out the colour of his hat. Drei Clowns, Anatole, Michel und Thomas, haben drei rote Hüte und zwei grüne Hüte in ihrer Garderobe. Vor ihrem Auftritt muss jeder der drei Clowns einen Hut holen. Die Clowns finden den Lichtschalter nicht und in der Garderobe ist es dunkel. Jeder nimmt zufällig einen Hut und setzt ihn auf. Sie gehen aus der Garderobe hinaus und treten auf. Jeder Clown wird gefragt, ob er in der Lage ist, die Farbe seines Hutes zu erraten. Anatole schaut die beiden anderen an und sagt: Nein. Dann schaut Michel die beiden anderen an und sagt: Nein. Zuletzt antwortet Thomas, der blind ist: Ja. Erklärt, wie der blinde Clown die Farbe seines Hutes bestimmen konnte. Tres payasos, Anatole, Michel y Thomas, han dejado tres sombreros rojos y dos sombreros verdes en el camerino. Antes de salir a escena, tienen que coger un sombrero cada uno. Los payasos no encuentran el interruptor y el camerino está a oscuras. Cada uno coge un sombrero al azar y se lo pone en la cabeza. Salen del camerino y entran en escena. Preguntamos a cada payaso si es capaz de adivinar el color de su sombrero. Anatole mira los otros dos y dice No. Luego Michel mira los otros dos y dice No. Por fin Thomas, que es ciego, dice Si. Explica cómo el payaso ciego ha podido adivinar el color de su sombrero. Matematica Senza Frontiere Competizione

8 Esercizio 2 (5 punti) Matemagia Questa tabella è magica! Scegliete tre numeri in questa tabella in modo tale che due numeri non appartengano né alla stessa riga né alla stessa colonna. Sommate questi tre numeri. Ripetete con altri numeri della tabella rispettando le consegne. Perché diciamo che questa tabella è magica? Createne un altra, sempre magica, in cui la somma dei tre numeri sia 40. I numeri di questa nuova tabella devono essere tutti diversi tra loro. Esercizio 3 (7 punti) Per non restare a secco!! Ogni volta che faccio il pieno riempio completamente il serbatoio e azzero il contachilometri. Il volume del serbatoio è rappresentato, sul cruscotto, da sei rettangoli. Ogni rettangolo rappresenta, quindi, un sesto del serbatoio. Ogni volta che si consuma un sesto del serbatoio un rettangolo da nero diventa bianco. Nel momento in cui cinque rettangoli sono bianchi si attiva una spia sonora e l ultimo rettangolo lampeggia. Da questo momento si viaggia in riserva R. Dopo l ultimo pieno l auto ha percorso 252,6 Km e restano neri quattro rettangoli. Calcolate la distanza minima e la distanza massima che posso sperare di percorrere ancora, nelle stesse condizioni di guida, prima di essere in riserva. Esercizio 4 (5 punti) Triangoli al quadrato Costruite un quadrato a partire da sei triangoli rettangoli come i seguenti: 2 triangoli rettangoli i cui cateti misurano rispettivamente 1 cm e 2 cm 3 triangoli rettangoli i cui cateti misurano rispettivamente 2 cm e 4 cm 1 triangolo rettangolo i cui cateti misurano 3 cm e 4 cm. Esercizio 5 (7 punti) Spartizione fraterna Giacomo vuole dividere il suo campo a forma di quadrilatero in due campi equivalenti da lasciare in eredità ai suoi figli Piero e Paolo. Piero gli dice : C è un modo semplice per farlo: è sufficiente scegliere un punto P particolare su una diagonale e unirlo con gli estremi dell altra diagonale. Paolo aggiunge: Certo, ma a partire da questa posizione di P si possono trovare altre infinite posizioni accettabili. Disegnato un quadrilatero che schematizzi il campo di Giacomo, precisate la posizione del punto P corrispondente alla soluzione di Piero e giustificate l uguaglianza delle aree delle partizioni così ottenute. Disegnate l insieme delle soluzioni pensate da Paolo e motivate la risposta. Esercizio 6 (5 punti) Ritorno agli inizi Alessandro, Claudio e Samuele giocano. Alla fine di ogni mano chi perde dà una parte dei suoi gettoni agli altri due giocatori in modo che questi raddoppino ciascuno il numero dei loro gettoni. Alla fine della quinta giocata Alessandro possiede 10 gettoni, Claudio ne ha 9 e Samuele solamente 8. Individuate il numero di gettoni che ogni giocatore aveva prima di cominciare a giocare. Motivate la risposta. Matematica Senza Frontiere Competizione

9 Esercizio 7 (7 punti) Schiena contro schiena Sono un numero intero strettamente maggiore di 2. In ogni coppia di condizioni che mi riguardano ce n è una vera e una falsa. 1a- sono un numero di due cifre 1b- sono pari 2a- sono il quadrato di un numero intero 2b- sono un numero di tre cifre 3a- sono un numero la cui scrittura contiene un 7 3b- sono un numero primo 4a- sono un numero prodotto di due numeri dispari consecutivi 4b- sono uguale ad un intero al quadrato più uno 5a- sono un numero divisibile per 11 5b- sono uguale ad un intero al cubo più uno Chi sono? Motivate la risposta. Esercizio 8 (5 punti) Al biliardo Il biliardo americano è un gioco che presenta 15 palle numerate da 1 a 15 e una palla bianca. La partita finisce quando sul tavolo rimane solamente la palla bianca. Alla fine della loro partita Bonnie e Clyde contano i rispettivi punti. Tutte le palle sono state vinte da uno o dall altro dei giocatori. Bonnie raggiunge il doppio dei punti di Clyde benché abbia vinto meno palle. Indicate le suddivisioni possibili dei punti ottenuti da Bonnie. Esercizio 9 (7 punti) La diga di Malò Liliana che arriva dalla spiaggia vuole salire sulla diga di Malò-les-Bains. Questa diga misura 5 m di altezza. Il cammino più breve, distanza dalla spiaggia alla cima della diga, è il più ripido e misura 10 m. L inclinazione di questo percorso è di 5 su 10 cioè del 50%. Affaticata, Liliana decide di salire in linea retta ma discostandosi di 45 rispetto al percorso più breve. Riportate sul foglio risposta la rappresentazione geometrica della situazione con l indicazione della procedura di calcolo necessaria per l individuazione dell inclinazione, in percentuale, del nuovo percorso. Di quale angolo Liliana avrebbe dovuto deviare perché l inclinazione fosse del 25%? Motivate la risposta. Esercizio 10 (10 punti) Senza colore Un grande cubo è composto da un assemblaggio di piccoli cubi di 1 cm 3. Un certo numero di facce del cubo grande sono completamente colorate e 48 piccoli cubi di questo assemblaggio non hanno alcuna faccia dipinta. Individuate tutti i grandi cubi possibili: per ognuno riportate sul foglio risposta sia lo sviluppo sia il modello segnalando, in modo inequivocabile, le facce colorate. Matematica Senza Frontiere Competizione

10 Speciale terze Esercizio 11 (5 punti) Assemblea generale di MsF Durante l Assemblea Generale di Matematica Senza Frontiere i partecipanti si ritrovano intorno ad una grande tavola rotonda. Questo gruppo è costituito da uomini e donne: 7 donne hanno una donna alla loro destra 12 donne hanno un uomo alla loro destra 3 uomini su quattro hanno una donna alla loro destra. Fra le persone presenti se ne sceglie una a caso per redigere il verbale. Qual è la probabilità che sia scelta una donna? Riportate sul foglio risposta il procedimento di calcolo. Esercizio 12 (7 punti) Scende o sale? La figura qui a fianco rappresenta due ruote collegate da un asse. Esse si muovono senza scivolare su due binari paralleli inclinati. Sull asse è arrotolato un filo al cui capo è sospeso un peso. Quando le ruote scendono, il filo si arrotola sull asse e il peso, pertanto, si sposta orizzontalmente. Il diametro delle due ruote è di 10 cm e quello dell asse è di 1 cm. Calcolate l angolo, approssimato al grado, formato dal piano inclinato con quello orizzontale e riportate il procedimento sul foglio risposta. Esercizio 13 (10 punti) E inscritto Anna cerca tutti i triangoli rettangoli che verificano le due condizioni seguenti: le misure dei lati sono, in cm, dei numeri interi il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo misura 4 cm. Per giungere a ciò Anna ha individuato sulla figura dei segmenti uguali. Individuate tutti i triangoli rettangoli che verificano queste due condizioni. Motivate la risposta. Matematica Senza Frontiere Competizione