Def. Error-Burst la più lunga sequenza di simboli di E che comincia e finisce con un simbolo diverso da 0.

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1 Burst-Error Correction Le parole di un codice RS(n,t), con n = 2 m 1, su GF(2 m ) possono essere viste come parole binarie di lunghezza mn Sia C una parola codice di RS(n,t). Supponiamo di inviare sul canale la versione binaria di C. Indichiamo con E il vettore degli errori e con R = C + E il vettore ricevuto. Def. Error-Burst la più lunga sequenza di simboli di E che comincia e finisce con un simbolo diverso da 0. p. 1/36

2 Burst-Error Correction Esempio Consideriamo la parola C = (α 3,α,α, 1, 0,α 3, 1) del codice RS(7, 2). La versione binaria di C è C = (011, 010, 010, 001, 000, 011, 001) Supp. che durante la trasmissione avvengano 4 errori: E = ( error burst { }} { ) e R = C + E = ( ) Il vettore E, considerato come vettore su GF(8), ha peso 2: E = (0, 0,α 3,α 6, 0, 0, 0) Quindi se convertiamo il vettore binario R in un vettore su GF(8), possiamo correggere i 2 errori. p. 2/36

3 Burst-Error Correction In generale, un codice RS(2 m 1,t) può essere visto come un codice su GF(2) di lunghezza m(2 m 1). Tale codice può correggere qualsiasi error-burst che non altera più di t simboli della parola codice originaria su GF(2 m ). p. 3/36

4 C (i) = (c (i) 0,c(i) 1,...,c(i) (n,k) Interleaved Codes n 1 disponiamo parole in matrice λ n ), i = 1,...,λ: parole di codice c (1) 0 c (1) 1... c (1) n 1 c (2) 0 c (2) 1... c (2) n c (λ) 0 c (λ) 1... c (λ) n 1 trasmettiamo parola ottenuta leggendo le colonne della matrice una dopo l altra: C = (c (1) 0,c(2) 0,...,c(λ) 0,c(1) 1,c(2) 1,...,c(λ) 1,...,c(1) n 1,c(2) n 1,...,c(λ) n 1 ) p. 4/36

5 Passiamo da codice (n,k) a codice (nλ,kλ) Questo nuovo codice viene detto interleaving di profondita λ del codice di partenza. Un error-burst di lunghezza λt, modifica al più t componenti di ciascuna delle λ parole originarie se il codice (n,k) di partenza corregge t errori allora il nuovo codice corregge λt errori p. 5/36

6 codice RS(n,t) su GF(2 m ) l interleaving di profondità λ del codice RS(n, t) consente di correggere λt errori. consideriamo versione binaria del codice RS(n, t) ciascun simbolo c i sequenza di m bit C = (c 0,...,c n 1 ) = (c 00,...,c 0(m 1),...,c (n 1)0,...,c (n 1)(m 1) ) un error-burst di lunghezza t in GF(2 m ) corrisponde ad un error-burst di lunghezza tm in GF(2). versione binaria di RS(n, t) corregge error-burst di lunghezza tm interleaving di profondità λ della versione binaria di un codice RS(n, t) consente di correggere λtm errori. p. 6/36

7 Codici Concatenati Vantaggi della concatenazione: costruire codici lunghi a partire da codici corti codifica/decodifica più semplice e di minore complessità rispetto a quella di codici "lunghi" equivalenti. Idea alla base della concatenazione: sistema codificatore-canale-decodificatore visto come un unico canale (outer-channel) p. 7/36

8 si usa un codice a correzione per combattere il rumore che agisce sull outer channel. p. 8/36

9 Esempio Inner code: Codice di Hamming con n 1 = 7 e k 1 = 4 Outer code: RS(15,2) (n 2 = 15 e k 2 = 11) otteniamo un codice binario (n,k) con k = 4 11 = 44 e n = 7 15 = 105. Inoltre d min d min (Hamming) d min (RS) = 3 5 = 15. p. 9/36

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11 Codici Concatenati codice concatenato corregge errori se nella decodifica ĉ 0,...,ĉ 14 prodotta dall inner coder, il numero di parole erroneamente decodificate è al più 2 (ciascuna parola corrisponde ad un simbolo ĉ i di F 2 4). p. 11/36

12 Quali codici sono più adatti ad essere usati come outer code? se ĉ i c i tra le sequenze binarie corrispondenti di solito non vi è alcuna somiglianza errori provocati dall outer channel tendono ad avvenire in burst di lunghezza k 1 RS adatti ad essere usati come outer code p. 12/36

13 Applicazione dei codici RS ai lettori CD I compact disc si comportano come canali burst-error La Sony e la Philips hanno adottato un potente schema per il controllo degli errori noto con il nome di Cross-Interleave Reed-Solomon Code (CIRC) CIRC usa tre livelli di interleaving e due codici RS(n,k) concatenati: i l inner code è un codice RS(32, 28); l outer code è un codice RS(28, 24) (entrambi i codici sono ottenuti da codici RS standard e hanno d min = 5) CIRC corregge burst di circa 4000 bit Prima dell avvento di CIRC anche un minuscolo granello di polvere evrebbe impedito la corretta riproduzione di un CD. CIRC permette di riprodurre anche CD graffiati o addirittura cosparsi di fori del diametro di 8 mm! p. 13/36

14 Decodifica in Presenza di Cancellazioni Un codice può correggere e errori ed f cancellazioni se d min 2e + f + 1 Se e = 0, ovvero vogliamo correggere solo cancellazioni, è sufficiente d min f + 1 d min f + 1 se cancelliamo entrate in f posizioni i 1,...,i f da tutte le parole del codice, otteniamo parole che differiscono in almeno una posizione. Se f > 0 ed e > 0, allora d min 2e + f + 1 d min f 2e + 1 se cancelliamo entrate in f posizioni i 1,...,i f da tutte le parole del codice, otteniamo parole che differiscono in almeno 2e + 1 posizioni. p. 14/36

15 Per i codici RS(n,t) si ha d min = 2t + 1 se vogliamo correggere e errori ed f cancellazioni basta scegliere un valore di t che soddisfa 2t 2e + f. p. 15/36

16 Secret Sharing p. 16/36

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18 Schemi di Secret Sharing a soglia Uno schema di Secret Sharing a Soglia (n,k) è un sistema per la condivisione di un segreto tra n partecipanti in modo tale che solo gruppi di almeno k partecipanti possano ricostruire il segreto p. 18/36

19 Sia il segreto da condividere un valore di un campo GF(r) Il noto schema di Shamir si basa sull interpolazione di un polinomio di grado k 1 su GF(r): a 0 + a 1 x a k 1 x k 1, dove a 0 è il segreto e a 1,...,a k 1 sono elementi random in GF(r). le share consistono di n punti di interpolazione se k partecipanti mettono insieme le proprie share riescono a interpolare il polinomio e a risalire al segreto se meno di k partecipanti mettono insieme le proprie share non riescono ad ottenere alcuna informazione sul segreto (qualsiasi punto di GF(r) ha la stessa probabilità di essere a 0 ) p. 19/36

20 Secret Sharing mediante codici RS Lo schema di Shamir può essere implementato usando il codice RS(n,t) su GF(r), con n = r 1 = 2 m 1 e r 1 k = 2t Codifichiamo vettore di informazione a = (a 0,a 1,...,a k 1 ), dove a 0 è il segreto e a 1,...,a k 1 sono scelti in modo casuale in GF(r) Le share sono le n entrate della codifica di a codifica sistematica non va bene: a 0 apparirebbe nella parola codice Codifica: D = (D 1,...,D r 1 ), dove D i = k 1 j=0 a jα j i 1 {α 0,...,α r 2 } sono gli elementi diversi da 0 del campo. p. 20/36

21 Proprietá. a 0 = r 1 i=0 D i Dim. r 1 i=1 D i = = r 1 i=1 k 1 j=1 k 1 j=0 r 1 a j k 1 a j α j i 1 = i=1 j=0 r 1 a j i=1 α j i 1 + (r 1)a 0 α j i 1 La tesi segue notando che (r 1)a 0 = ra 0 a 0 = 2 m a 0 a 0 = a 0 e r 1 i=1 α j i 1 = r 1 i=1 α (i 1)j = r 2 i=0 ( α j ) i = α (r 1)j 1 α j 1 = 1 1 α j 1 = 0 (1). p. 21/36

22 Proprietá. D = (D 1,...,D r 1 ) RS(n,t) Dim. HD T = α 0... α r α 2t 0... α 2t r 2 D 1... D r 1 = S 1... S 2t Per ogni l = 1,...,2t: S l = = r 1 i=1 k 1 j=0 D i α l i 1 = r 1 a j i=1 α j+l i 1 r 1 i=1 k 1 j=0 a j α j i 1 αl i 1 = 0 (per la (1)) p. 22/36

23 Se s partecipanti mettono insieme le proprie share recuperano s entrate di D. Possiamo pensare alle r 1 s entrate mancanti come a delle cancellazioni Se abbiamo s k share ci sono r 1 k cancellazioni r 1 k = r 1 (r 1 2t) = 2t < d min possiamo ricostruire Se abbiamo s < k share ci sono r k = 2t + 1 = d min cancellazioni non riusciamo a ricostruire D e ciascun elemento di GF(r) ha la stessa probabilità di essere il segreto a 0 p. 23/36

24 Secret Sharing con share errate Se tra le s share ci sono e share sbagliate r 1 s = f cancellazioni ed e errori s 2e k r 1 s + 2e r 1 k = 2t riusciamo a ricostruire D s 2e < k (r 1 s) + 2e > 2t non riusciamo a ricostruire D gli schemi di secret sharing basati sui codici RS permettono di gestire situazioni in cui alcuni dei partecipanti mentono circa il valore delle proprie share allo scopo di impedire la ricostruzione del segreto. Il numero dei partecipanti disonesti non deve superare (s k)/2. p. 24/36

25 Communication Complexity Alice ha una stringa x {0, 1} k e Bob ha una stringa y {0, 1} k. Alice e Bob vogliono trovare il valore di f(x,y) per una certa funzione booleana f : {0, 1} k {0, 1} k {0, 1} nota ad entrambi Per esempio se Alice e Bob vogliono determinare se le stringhe x and y sono uguali, allora f è la funzione EQ definita da EQ(x,y) = { 1, if x = y, 0, if x y. Alice e Bob vogliono anche minimizzare il numero di bit che devono scambiarsi per poter computare f(x, y) p. 25/36

26 Per il momento assumiamo che l interazione avvenga secondo un certo protocollo deterministico in cui i messaggi che Alice a Bob si scambiano dipendono esclusivamente da x e da y. p. 26/36

27 I protocolli deterministici Un protocollo deterministico funziona come segue: Alice computa a 1 A 1 (x) e lo spedisce a Bob; Bob computa b 1 B 1 (y,a 1 ) e lo spedisce ad Alice; Alice computa a 2 A 2 (x,a 1,b 1 ) e lo spedisce a Bob; Bob computa b 2 B 2 (y,a 1,b 1,a 2 ) e lo spedisce ad Alice; Ecc. A 1, A 2,..., e B 1, B 2,..., denotano sequenze di algoritmi deterministici che modellano il comportamento di Alice e Bob. p. 27/36

28 La prima delle due persone che determina il valore f(x, y) deve inviarlo all altra e il protocollo termina. per un k fissato, definiamo la communication complexity di una funzione booleana f come segue: C(f) = min strategiea B [ ] max (num. bit scambiati per det. f(x,y)) x,y {0,1} k p. 28/36

29 Un semplice protocollo funziona come segue: Alice spedisce l intera stringa x a Bob Bob computa f(x,y) Questo protocollo richiede lo scambio di k + 1 bit per cui per ogni funzione f. CC(f) k + 1 Esiste una funzione f per cui questo limite è tight, ovvero CC(f) = k + 1? A. Yao ha dimostrato che CC(EQ) = k + 1. p. 29/36

30 Probabilistic CC Modifichiamo il modello di comunicazione permettendo alle parti di adottare strategie probabilistiche Si utilizzano le seguenti assunzioni: Alice e Bob possono generare random bit per produrre i propri messaggi ma ciascuno di essi non può rivelare all altro i random bit che ha generato. Il l protocollo probabilistico determina f se e solo se per ogni x,y {0, 1} k, la probabilità che le parti computano f(x, y) correttamente è almeno 3/4. p. 30/36

31 La probabilistic communication complexity di una funzione booleana f è denotata con PCC(f) ed è definita analogamente alla CC(f) con l unica differenza che il minimo è calcolato su tutti i protocolli probabilistici. p. 31/36

32 L uso dei random bit serve a ridurre la communication complexity? Risposta: Sì. Esistono funzioni booleane per le quali l uso di strategie probabilistiche riduce sostanzialmente la communication complexity. Teorema PCC(EQ) = O(log k). p. 32/36

33 Dim. Consideriamo il codice RS(n,t) su GF(2 m ), con n = 4k e 2t = 3k NB: RS(n, t) può essere ottenuto accorciando il codice RS(2 m 1,t) dove m è il più piccolo intero t.c. 4k < 2 m 1 Sia C la funzione di codifica del codice RS(n,t). Consideriamo il seguente protocollo probabilistico: Alice sceglie un indice i {1, 2,...,n} a caso e invia (i,c(x) i ) a Bob, dove C(x) i denota l i-esima coordinata di C(x) ; Se C(x) i = C(y) i, allora Bob invia 1 ad Alice altrimenti invia 0. Se x = y allora Bob spedisce ad Alice il valore corretto di EQ(x,y). p. 33/36

34 Se x y, allora le codifiche C(x) e C(y) differiscono in almeno 2t + 1 coordinate e di conseguenza la probabilità che C(x) e C(y) differiscano nell i-esima coordinata è almeno (2t + 1)/n 3/4 Alice trasmette log n + m bit mentre Bob trasmette un unico bit. In totale il numero di bit trasmessi è O(log k) p. 34/36

35 Random bit condivisi Consideriamo lo scenario in cui Alice e Bob condividono i loro random bit. In questo caso il protocollo funziona nel seguente modo: Alice e Bob generano una stringa random s Successivamente Alice riceve x e Bob riceve y Alice e Bob usano un protocollo deterministico in cui possono usare la loro conoscenza di s. p. 35/36

36 In questo scenario Alice e Bob possono determinare EQ(x, y) usando un protocollo simile a quello descritto nella dimostrazione del teorema in cui però l indice i è generato da entrambi. Poichè in questo protocollo Alice non deve trasmettere l indice i allora il numero totale di bit trasmessi è m + 1 Se si sceglie un codice RS su un alfabeto di dimensione costante, allora si trasmettono un numero costante di bit. p. 36/36