Campi di Galois. Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2. Elementi: vettori binari di lunghezza m, F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2. . p.
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- Viviana Esposito
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1 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m,. p.1/39
2 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m, Addizione: vettoriale su F 2. p.1/39
3 Campi di Galois F 2 : elementi {0, 1}, somma modulo 2 Campo di Galois V m (F 2 ) = F 2 m Elementi: vettori binari di lunghezza m, Addizione: vettoriale su F 2 Moltiplicazione: Vediamo vettori come polinomi binari di grado m a coefficienti su F 2 (a m 1,..., a 0 ) a(x) = a m 1 x m a 1 x + a 0 Dati a, b V m (F 2 ) a b = c sse c(x) = a(x)b(x) mod p(x) dove p(x) = p m x m p 0 = polinomio primitivo. p.1/39
4 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2. p.2/39
5 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m p.2/39
6 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m Polinomio primitivo= polinomio irriducibile che divide x 2m 1 + 1, non x n + 1 per n < 2 m 1. p.2/39
7 Polinomi primitivi Polinomio irriducibile non divisibile per altro polinomio a coefficienti in F 2 Polinomio irriducibile divide x 2m Polinomio primitivo= polinomio irriducibile che divide x 2m 1 + 1, non x n + 1 per n < 2 m 1 Polinomi primitivi esistono e sono noti per ogni m m = 3 x 3 + x + 1 m = 4 x 4 + x + 1 m = 5 x 5 + x p.2/39
8 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo. p.3/39
9 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo α= radice di p(x) x 2m 1 +1 = q(x)p(x) α 2m 1 +1 = q(α)p(α) = 0 α 2m 1 = 1. p.3/39
10 Radice primitiva p(x) = p m x m p 1 x + p 0 = polinomio primitivo α= radice di p(x) x 2m 1 +1 = q(x)p(x) α 2m 1 +1 = q(α)p(α) = 0 α 2m 1 = 1 Possibile provare che α 0,..., α 2m 2 sono tutti elementi di V m (F 2 ) tranne 0. p.3/39
11 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1. p.4/39
12 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1 α i polinomio (grado 2) vettore (a 2, a 1, a 0 ) α 0 = 1 α α 1 α 010 α 2 α α 3 α α 4 α(α + 1) = α 2 + α 110 α 5 α(α 2 + α) = α 2 + α α 6 α(α 2 + α + 1) = α α 7 α(α 2 + 1) = 1. p.4/39
13 Esempio m = 3, polinomio primitivo=x 3 + x + 1 α= radice primitiva, α 3 + α + 1 = 0 α 3 = α + 1 α i polinomio (grado 2) vettore (a 2, a 1, a 0 ) α 0 = 1 α α 1 α 010 α 2 α α 3 α α 4 α(α + 1) = α 2 + α 110 α 5 α(α 2 + α) = α 2 + α α 6 α(α 2 + α + 1) = α α 7 α(α 2 + 1) = 1 INVERSO: α i = α n i, n = 2 m 1. p.4/39
14 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,..., α n 1 ]. p.5/39
15 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,..., α n 1 ] Codice Reed Solomon(n,t), n = 2 m 1 α 0... α n 1 α H = α 2 n 1... α0 2t... αn 1 2t con α i = α i, α = radice primitiva di V m (F 2 ). p.5/39
16 Codici Reed-Solomon Codici di Hamming: H = [α 0,..., α n 1 ] Codice Reed Solomon(n,t), n = 2 m 1 α 0... α n 1 α H = α 2 n 1... α0 2t... αn 1 2t con α i = α i, α = radice primitiva di V m (F 2 ) Parole codice: C = (c 0,..., c n 1 ), c i V m (F 2 ) t.c. HC T = 0 n 1 α ij c i = 0, j = 1,..., 2t i=0. p.5/39
17 Codici Reed-Solomon Codifica C = (c 0,..., c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0. p.6/39
18 Codici Reed-Solomon Codifica C = (c 0,..., c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,..., α 2t C RS(n, t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,..., 2t C(α j ) = 0 j = 1,..., 2t. p.6/39
19 Codici Reed-Solomon Codifica C = (c 0,..., c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,..., α 2t C RS(n, t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,..., 2t C(α j ) = 0 j = 1,..., 2t Parola codice sono i multipli di (x α)... (x α 2t ) C(x) = q(x)g(x) g(x) = (x α)... (x α 2t ) =polinomio generatore del codice. p.6/39
20 Codici Reed-Solomon Codifica C = (c 0,..., c n 1 ) C(x) = c n 1 x n c 1 x + c 0 Parole codice hanno radici α,..., α 2t C RS(n, t) HC T = 0 n 1 i=0 αij c i = 0, j = 1,..., 2t C(α j ) = 0 j = 1,..., 2t Parola codice sono i multipli di (x α)... (x α 2t ) C(x) = q(x)g(x) g(x) = (x α)... (x α 2t ) =polinomio generatore del codice RS(n,t): tutti polinomi su V m (F 2 ) multipli di g(x). p.6/39
21 Distanza Minima RS(n,t): 2t + 1 d 2t + 1 g(x) parola codice grado 2t, g = (g 0,..., g 2t, 0,..., 0) w min w(g) 2t + 1 Quindi d = w min 2t + 1. p.7/39
22 Distanza Minima RS(n,t): 2t + 1 d 2t + 1 Ogni r 2t colonne di H sono linearmente indipendenti: Consideriamo α i1 = γ 1,..., α ir = γ r e sottomatrice di H H = γ 1... γ r γ γ 2 r. γ1 r... γr r. p.8/39
23 Distanza Minima RS(n,t): 2t + 1 Risulta Det(H γ ) = (γ 1 γ r )Det 1... γ r... γ1 r 1... γr r 1 = γ 1 γ r (γ j γ i ) 0 i<j Quindi r 2t colonne di H sono linearmente indipendenti ogni parola ha peso 2t + 1 d = w min 2t + 1. p.9/39
24 Codifica Sistematica RS(n,t) Simboli di informazione (a 0,..., a k 1 ), a i F 2 m, k = n 2t CODIFICA C(x) = x 2t a(x) + b(x) b(x) = resto x 2t a(x) g(x), deg(b(x)) 2t 1 C = (c 0,..., c n 1 ) = (b 0,..., b 2t 1, a 0,..., a k 1 ) Nota Divisione polinomi VELOCE mediante circuiti. p.10/39
25 Codifica Sistematica RS(n,t) Proprietá C(x) multiplo di g(x) DIM. C(x) = x 2t a(x) + b(x), con b(x) = resto x 2t a(x) g(x) Divisione x 2t a(x) per g(x): quoziente q(x), resto b(x) C(x) = x 2t a(x) + b(x) = (q(x)g(x) + b(x)) + b(x) = q(x)g(x). p.11/39
26 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1. p.12/39
27 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1 Errore in posizione i sse r i c i Sia e i = r i c i Quindi R = C + E Vettore errore E E(x) = e e n 1 x n 1. p.12/39
28 Decodifica RS(n,t) Parola trasmessa C C(x) = c c n 1 x n 1 Sequenza ricevuta R R(x) = r r n 1 x n 1 Errore in posizione i sse r i c i Sia e i = r i c i Quindi R = C + E Vettore errore E E(x) = e e n 1 x n 1 VOGLIAMO DETERMINARE E(x). p.12/39
29 Decodifica RS(n,t) Assumiamo γ errori in posizioni j 1,..., j γ e j1,..., e jγ 0, altri e i = 0 E(x) = e j1 x j e jγ x j γ Definiamo β 1 = α j 1,..., β γ = α j γ e E 1 = e j 1,..., E γ = e j γ E(x) = E 1 x j E γ x j γ. p.13/39
30 Calcoliamo la sindrome S = (s 1,..., s 2t ) = HR T Risulta s i = (riga i ma di H)R = (α i,..., α ij,..., α i(n 1) )(r 0,..., r n 1 ) = r 0 + r 1 α i r j α ij r n 1 α i(n 1) = R(α i ). p.14/39
31 Sindrome S = (s 1,..., s 2t ) = HR T, s i = R(α i ), i = 1,... 2t Essendo S = HR T = H(C + E) T = HC T + HE T = HE T s i = E(α i ) = e 0 + e 1 α i e n 1 α i(n 1) = E 1 α ij E γ α ij γ γ = E 1 β1 i E γ β i = j=1 E j β i j. p.15/39
32 Calcolo della sindrome s i = resto R(x) x+α i, i = 1,... 2t DIM. Dividendo R(x) per x + α i : quoziente q i (x) e resto b i R(x) = q i (x)(x + α i ) + b i R(α i ) = b i s i = b i. p.16/39
33 Decodifica RS(n,t) Decodificare Trova posizioni degli errori (j 1,..., j γ ) Trova valore degli errori (E 1,..., E γ ). p.17/39
34 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,..., β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x. p.18/39
35 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,..., β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x Vogliamo determinare σ 1,..., σ γ. p.18/39
36 Polinomio locatore degli errori Polinomio locatore degli errori: σ(x) con radici β1 1,..., β 1 γ σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x Vogliamo determinare σ 1,..., σ γ Possiamo farlo a partire da s 1,..., s 2t. p.18/39
37 Poiché σ(βl 1 ) = 0, l = 1,..., γ. p.19/39
38 Poiché σ(βl 1 ) = 0, l = 1,..., γ per ogni j 2t abbiamo 0 = = = γ l=1 γ l=1 γ l=1 E l β j+γ l σ(β 1 l ) E l β j+γ l (1 + σ 1 βl 1 E l β j+γ l + σ 1 γ l= σ γ β γ l ) E l β j+γ 1 l = s j+γ + σ 1 s j+γ σ γ s j σ γ γ l=1 E l β j l. p.19/39
39 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j. p.20/39
40 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j s γ+1 = σ 1 s γ σ γ s 1 s γ+2 = σ 1 s γ σ γ s s 2γ = σ 1 s 2γ σ γ s γ. p.20/39
41 Cioé s γ+j = σ 1 s j+γ σ γ s j, per ogni j s γ+1 = σ 1 s γ σ γ s 1 s γ+2 = σ 1 s γ σ γ s s 2γ = σ 1 s 2γ σ γ s γ Vogliamo determinare σ 1,..., σ γ. p.20/39
42 In forma matriciale σ 1... σ γ σ 2... σ γ σ γ... σ 2γ 1 σ γ σ γ 1... σ 1 = σ γ+1 σ γ... σ 2γ. p.21/39
43 In forma matriciale σ 1... σ γ σ 2... σ γ σ γ... σ 2γ 1 σ γ σ γ 1... σ 1 = σ γ+1 σ γ... σ 2γ Teorema Se vi sono γ errori la matrice é invertibile; se vi sono < γ errori la matrice ha determinante nullo.. p.21/39
44 Metodo (Peterson-Gorenstein Ziegler) (1) Input: R(x) (2) Calcola s 1,..., s 2t (3) Poni γ = t σ 1... σ γ (4) WHILE Det = 0 poni γ = γ 1 σ γ... σ 2γ 1 (5) σ γ σ γ 1... σ 1 = σ 1... σ γ σ γ... σ 2γ 1 1 σ γ+1 σ γ... σ 2γ. p.22/39
45 Metodo (Peterson-Gorenstein Ziegler) (1) Input: R(x) (2) Calcola s 1,..., s 2t (3) Poni γ = t σ 1... σ γ (4) WHILE Det = 0 poni γ = γ 1 σ γ... σ 2γ 1 (5) σ γ σ γ 1... σ 1 = σ 1... σ γ σ γ... σ 2γ 1 1 σ γ+1 σ γ... σ 2γ NOTA: Esistono metodi successivi piú efficienti. p.22/39
46 Decodifica Calcola Sindrome relativa a R(x). p.23/39
47 Decodifica Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ. p.23/39
48 Decodifica Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ Determina le posizioni degli errori Valuta σ(x) in 1, α, α 2,... per trovare radici βi 1 = α j i errore in posizione β i = α n j i β 1 i. p.23/39
49 Decodifica Calcola Sindrome relativa a R(x) Calcola polinomio locatore errori σ(x) Esistono algoritmi efficienti per trovare polinomio (di grado minimo parola codice piú vicina ad R(x)) σ(x) = (1 + β 1 x)... (1 + β γ x) = 1 + σ 1 x σ γ x γ Determina le posizioni degli errori Valuta σ(x) in 1, α, α 2,... per trovare radici βi 1 = α j i errore in posizione β i = α n j i β 1 i Determina il valore degli errori. p.23/39
50 Polinomio valutatore degli errori Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t. p.24/39
51 Polinomio valutatore degli errori Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t Lemma Per ogni l = 1,..., γ E l = ω(βl 1 ) β l i l (1 + β iβl 1 ). p.24/39
52 Polinomio valutatore degli errori DIM. S(x) = = = 2t i=1 n 1 j=0 n 1 j=0 s i x i 1 = e j α j 2t i=1 2t i=1 n 1 x i 1 j=0 α (i 1)j x i 1 e j α j 1 (αj x) 2t 1 α j x e j α ij. p.25/39
53 Polinomio valutatore degli errori DIM. S(x) = = = 2t i=1 n 1 j=0 n 1 j=0 s i x i 1 = e j α j 2t i=1 2t i=1 n 1 x i 1 j=0 α (i 1)j x i 1 e j α j 1 (αj x) 2t 1 α j x e j α ij S(x) mod x 2t = n 1 j=0 e j α j 1 α j x = γ j=1 E j β j 1 β j x. p.25/39
54 Polinomio valutatore degli errori γ ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = γ = E j β j (1 + β i x) j=1 i j j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i. p.26/39
55 Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = = γ E j β j (1 + β i x) j=1 i j ω(βl 1 ) = E l β l i l (1 + β iβl 1 ) γ j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i. p.26/39
56 Polinomio valutatore degli errori ω(x) = S(x)σ(x) mod x 2t = = γ E j β j (1 + β i x) j=1 i j ω(βl 1 ) = E l β l i l (1 + β iβl 1 ) E l = ω(β 1 l ) Q β l i l (1+β iβ 1 l ) γ j=1 E j β j 1 β j x (1 + β i x) i. p.26/39
57 Algoritmo di Euclide Servirá per calcolare i polinomi σ(x) ed ω(x) Siano a(x) e b(x) polinomi su campo F, con deg(a) deg(b) Algoritmo di Euclide trove massimo comun divisore (mcd) d(x) di a(x) e b(x) e produce equazione s(x)a(x) + t(x)b(x) = d(x). p.27/39
58 Algoritmo di Euclide Algoritmo iterativo che produce sequenza polinomi: s i, t i, r i, q i con s 1 (x) = 1 t 1 (x) = 0 r 1 (x) = a(x) s 0 (x) = 0 t 0 (x) = 1 r 0 (x) = b(x). p.28/39
59 Algoritmo di Euclide Algoritmo iterativo che produce sequenza polinomi: s i, t i, r i, q i con s 1 (x) = 1 t 1 (x) = 0 r 1 (x) = a(x) s 0 (x) = 0 t 0 (x) = 1 r 0 (x) = b(x) Per i 1, q i (x) e r i (x) rappresentano quoziente e resto della divisione di r i 2 (x) per r i 1 (x): r i 2 (x) = q i (x)r i 1 (x) + r i (x) deg(r i ) < deg(r i 1 ) Inoltre s i (x) = s i 2 (x) q i (x)s i 1 (x) t i (x) = t i 2 (x) q i (x)t i 1 (x). p.28/39
60 Algoritmo di Euclide Resti grado decrescente esiste ultimo resto di grado > 0, sia r n (x). Si dimostra che r n (x) = d(x) = mcd(a, b) s n (x)a(x) + t n (x)b(x) = r n (x). p.29/39
61 Proprietá Alg. Euclide A. t i r i 1 t i 1 r i = ( 1) i a i = 0,..., n + 1 B. s i r i 1 s i 1 r i = ( 1) i b i = 0,..., n + 1 C. s i t i 1 s i 1 t i = ( 1) i+1 i = 0,..., n + 1 D. s i a t i b = r i i = 1,..., n + 1 E. deg(s i ) + deg(r i 1 ) = deg(b) i = 1,..., n + 1 F. deg(t i ) + deg(r i 1 ) = deg(a) i = 0,..., n + 1. p.30/39
62 Algoritmo di Euclide Lemma. Dati interi non negativi µ e ν con ν > deg(mcd(a, b)) e µ + ν = deg(a) 1, esiste unico j t.c. deg(t j ) µ deg(r j ) ν. p.31/39
63 Algoritmo di Euclide Lemma. Dati interi non negativi µ e ν con ν > deg(mcd(a, b)) e µ + ν = deg(a) 1, esiste unico j t.c. DIM. Sia j t.c. deg(t j ) µ deg(r j ) ν deg(r j 1 ) ν + 1, deg(r j ) ν Dalla proprietá F (deg(t i ) + deg(r i 1 ) = deg(a)) si ha deg(t j ) µ deg(t j+1 ) µ + 1 Quindi l indice j esiste ed é unico.. p.31/39
64 Algoritmo di Euclide Teorema. Siano t(x) e r(x) due polinomi t.c. t(x)b(x) r(x) mod a(x) (1) deg(t) + deg(r) < deg(a) (2) Esistono unico indice j, 0 j n, e polinomio λ(x) t.c. t(x) = λ(x)t j (x), r(x) = λ(x)r j (x) (3). p.32/39
65 Algoritmo di Euclide DIM. (1) t(x)b(x) q(x)a(x) = r(x) r(x) multiplo di mcd(a, b) deg(r) deg(mcd(a, b)) Sia j l indice del Lemma precedente con Si ha ν = deg(r), mu = deg(a) deg(r) 1 deg(t j+1 ) µ+1 deg(t)+1 deg(r j 1 ) ν+1 = deg(r)+1 Quindi se esiste indice che soddisfa (3) esso é unico.. p.33/39
66 Algoritmo di Euclide Dimostriamo che indice esiste. Riscriviamo D (s i a t i b = r i ) e (1) come s j a + t j b = r j, sa + tb = r (4) per qualche polinomio s(x). Moltiplicando per t e t j, risp. s j ta + t j tb = r j t, st j a + tt j b = rt j (5). p.34/39
67 Algoritmo di Euclide Dimostriamo che indice esiste. Riscriviamo D (s i a t i b = r i ) e (1) come s j a + t j b = r j, sa + tb = r (4) per qualche polinomio s(x). Moltiplicando per t e t j, risp. s j ta + t j tb = r j t, st j a + tt j b = rt j (5) Quindi r j t rt j (moda). p.34/39
68 Algoritmo di Euclide Sapendo r j t rt j (moda) e deg(t) + deg(r) < deg(a): deg(r j ) ν deg(r j t) = deg(r j )+deg(t) ν+µ < deg(a) deg(t j ) µ deg(rt j ) = deg(r)+deg(t j ) µ+ν < deg(a) Quindi r j t = rt j. Usando anche (5), s j t = st j.. p.35/39
69 Algoritmo di Euclide Sapendo r j t rt j (moda) e deg(t) + deg(r) < deg(a): deg(r j ) ν deg(r j t) = deg(r j )+deg(t) ν+µ < deg(a) deg(t j ) µ deg(rt j ) = deg(r)+deg(t j ) µ+ν < deg(a) Quindi r j t = rt j. Usando anche (5), s j t = st j. Essendo da C, s j e t j primi tra loro: esiste λ(x) t.c. s(x) = λ(x)s j (x) t(x) = λ(x)t j (x). p.35/39
70 Algoritmo di Euclide Sapendo r j t rt j (moda) e deg(t) + deg(r) < deg(a): deg(r j ) ν deg(r j t) = deg(r j )+deg(t) ν+µ < deg(a) deg(t j ) µ deg(rt j ) = deg(r)+deg(t j ) µ+ν < deg(a) Quindi r j t = rt j. Usando anche (5), s j t = st j. Essendo da C, s j e t j primi tra loro: esiste λ(x) t.c. s(x) = λ(x)s j (x) t(x) = λ(x)t j (x) Sostituendo in (4) (cioé sa + tb = r): λs j a + λt j b = r. p.35/39
71 Algoritmo di Euclide Sapendo r j t rt j (moda) e deg(t) + deg(r) < deg(a): deg(r j ) ν deg(r j t) = deg(r j )+deg(t) ν+µ < deg(a) deg(t j ) µ deg(rt j ) = deg(r)+deg(t j ) µ+ν < deg(a) Quindi r j t = rt j. Usando anche (5), s j t = st j. Essendo da C, s j e t j primi tra loro: esiste λ(x) t.c. s(x) = λ(x)s j (x) t(x) = λ(x)t j (x) Sostituendo in (4) (cioé sa + tb = r): λs j a + λt j b = r Usando s j a + t j b = r j : r = λ(s j a + t j b) = λr j quindi λ(x)r j (x) = r(x). p.35/39
72 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x). p.36/39
73 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) DIM. Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: Siano t(x) e r(x) due polinomi t.c. t(x)b(x) r(x) mod a(x) deg(t) + deg(r) < deg(a) Esistono unico indice j, 0 j n, e polinomio λ(x) t.c. t(x) = λ(x)t j (x), r(x) = λ(x)r j (x). p.36/39
74 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: σ(x) = λ(x)t j (x) e ω(x) = λ(x)r j (x). p.37/39
75 Computo di σ(x) e ω(x) TEOREMA. Sia il numero di errori t. Si applichi l algoritmo di Euclide a a(x) = x 2t e b(x) = S(x) e sia j il primo indice t.c. deg(r j ) < t, allora σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x) Se numero di errori é t, allora deg(σ) t deg(ω) < t, σ(x)s(x) ω(x) mod x 2t Teorema su A.E: σ(x) = λ(x)t j (x) e ω(x) = λ(x)r j (x) Notando che σ(x) e ω(x) non hanno fattori comuni, si ottiene σ(x) = t j (x), ω(x) = r j (x). p.37/39
76 ALGORITMO DI DECODIFICA Input: vettore ricevuto R 1. Calcola le sindromi 2. Applica A.E. a x 2t e S(x), stop quando deg(r j ) < t Poni σ(x) = t j (x) e ω(x) = r j (x) = x Trova le radici di σ radice errore in posizione β i β 1 i 4. Determina il vettore errore E= (E 0,..., E n 1 ): E l = β l Q ω(β 1 l ) i l (1+β iβ 1 l E l = 0 altrimenti. 5. Output R+E ) se c e errore. p.38/39
77 Esempio Consideriamo il codice RS(7, 2) su F 8. Sia il vettore ricevuto R = (α 3, α, 1, α 2, 0, α 3, 1). Le sindromi sono S 1 = α 3, S 2 = α 4, S 3 = α 4, S 4 = 0. Eseguiamo l algoritmo di Euclide su x 2t = x 4 e S(x) = α 4 x 2 + α 4 x + α 3 fermandoci quando deg(r j ) < t = 2. i t i r i q i 1 0 x α 4 x 2 + α 4 x + α 3 1 α 3 x 2 + α 3 x + α 5 x + 1 α 3 x 2 + α 3 x + α 5 Quindi σ(x) = t 1 (x) = α 3 x 2 + α 3 x + α 5 ω(x) = r 1 (x) = x + 1 Si ricorda r i 2 (x) = q i (x)r i 1 (x) + r i (x) deg(r i ) < deg(r i 1 ) t i (x) = t i 2 (x) q i (x)t i 1 (x). p.39/39
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