*M I* Livello di base MATEMATICA Prova d'esame 1. Venerdì, 26 agosto 2011 / 120 minuti SESSIONE AUTUNNALE

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1 Codice del candidato: Državni izpitni center *M I* Livello di base MATEMATICA Prova d'esame 1 SESSIONE AUTUNNALE Venerdì, 6 agosto 011 / 10 minuti Al candidato sono consentiti l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, di una calcolatrice tascabile priva di interfaccia grafica e possibilità di calcolo con simboli, nonché del compasso, di due squadrette e di un righello. Al candidato vengono consegnati due fogli per la minuta e una scheda di valutazione. MATURITÀ GENERALE INDICAZIONI PER I CANDIDATI Leggete con attenzione le seguenti indicazioni. Non aprite la prova d'esame e non iniziate a svolgerla prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice negli spazi appositi su questa pagina in alto a destra e sulla scheda di valutazione. Scrivete il vostro numero di codice anche sui fogli della minuta. La prova d'esame si compone di 1 quesiti, risolvendo correttamente i quali potete conseguire fino a un massimo di 80 punti. Il punteggio conseguibile in ciascun quesito viene di volta in volta espressamente indicato. Per risolvere i quesiti potete fare uso dell'elenco di formule che trovate a pagina. Scrivete le vostre risposte negli spazi appositamente previsti all'interno della prova utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera. Disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verrà assegnato il punteggio di zero (0). Utilizzate i fogli della minuta solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Nel caso in cui un quesito sia stato risolto in più modi, deve essere indicata con chiarezza la soluzione da valutare. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Vi auguriamo buon lavoro. La prova si compone di 16 pagine, di cui bianche. RIC 011

2 M I Formule n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 n a + b = ( a + b)( a a b + a b... + a b ab + b ) h = ab 11 Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: R = abc 4A, r = A p, p = a + b + c Formule di bisezione: sen x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tan x = sen x 1+ cosx Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo: sen 3x = 3 sen x 4 sen 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Teoremi di Euclide e dell altezza di un triangolo rettangolo: a = ca 1, b = cb 1, Teoremi di addizione: sen( x + y) = sen x cosy + cos x sen y cos( x + y) = cos x cos y sen x sen y tan x + tan y tan( x + y) = 1 tanx tany Formule di prostaferesi o di fattorizzazione: x + y x y x + y x y sen x + sen y = sen cos, sen x sen y = cos sen x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sen sen sen( x ± y) sen( y ± x) tan x ± tan y = cos x cos y, cotx ± coty = sen x sen y Formule di Werner o della scomposizione del prodotto: sen x sen y = 1 [ cos( x + y) cos( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sen x cos y = 1 [ sen ( x + y) + sen ( x y) ] Distanza del punto (, ) 0 0 (, p) = dt T x y dalla retta ax + by c = 0 : ax + by c 0 a + b Area del triangolo di vertici Ax (, y 1 1), B( x, y ), (, 3 3) A= 1 ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) C x y : Ellisse: e = a b, ε = e a ; a > b Iperbole: e = a + b, ε = e a ; a è il semiasse reale. p Parabola: y = px, fuoco F,0 Integrali: = + C, = arc sen + C a x dx x + a 1 arc tan x a a dx x a c

3 M I Indicate nelle figure gli insiemi: a) A B b) A B (6 punti) A B A B c) A\ B d) B \ A A B A B e) ( A B) C f) ( A C) \ B A B A B C C

4 4 M I 0. Scomponete le espressioni algebriche date, in un numero massimo di fattori, nell'insieme dei numeri reali. a) a 3a = (1 punto) b) x + x 48 = (1 punto) c) 3 a + a 9a 18 = ( punti) d) 4 x 7x = ( punti) e) 3 a 7 = ( punti)

5 M I In un triangolo isoscele la base misura 16 cm, il lato obliquo invece 10 cm. Calcolate il perimetro, l'altezza alla base, l'area del triangolo e inoltre l'angolo alla base con esattezza al decimo di grado. (6 punti)

6 6 M I 04. È data la funzione quadratica f ( x) = x x 3. Calcolate gli zeri e le coordinate del vertice e inoltre scrivete l'intersezione del grafico della funzione f con l'asse delle y. Tracciate il grafico della funzione f. In quale intervallo la funzione f è negativa? y (8 punti) x

7 M I Tracciate nel sistema coordinato del piano la circonferenza di equazione x + y 6x + y + 1= 0. Calcolate le ascisse dei punti d'intersezione della circonferenza con l'asse x. (7 punti) y 1 1 x

8 8 M I 06. Sia il numero complesso z la soluzione dell'equazione 139 z + i = 3iz 18. Calcolate z. (7 punti)

9 M I Nel triangolo equilatero di lato a = 6 il punto M giace sul lato BC in modo che BM : MC = 5:1. Esprimete il vettore AM con i vettori AB = a e BC = b e calcolate inoltre il prodotto scalare AM AB. (7 punti)

10 10 M I 08. Gli angoli α e β sono angoli acuti. Sappiamo che sen( α+ β) in due modi: sen α = 1 e 5 sen β = 4. Calcolate 5 a) con la calcolatrice tascabile calcolando dapprima l'ampiezza degli angoli α e β e arrotondando il risultato alla seconda cifra decimale; (3 punti) b) senza la calcolatrice tascabile, non calcolando l'ampiezza degli angoli α e β, il risultato sia esatto. (5 punti)

11 M I Calcolate il valore dell'espressione numeri reali positivi diversi da loga a + logb 1 logc + 3 logd d dove a, b, c e d sono c (6 punti)

12 1 M I 10. Con le lettere della parola KAŽIPOT componiamo delle parole lunghe 7 lettere prendendo ogni lettera esattamente una volta. Quante parole diverse possiamo comporre? Scegliendo a caso una di queste parole calcolate la probabilità degli eventi: A nella parola le consonanti stanno assieme, B nella parola compare la sequenza POT (le lettere P, O e T devono stare assieme in questo ordine). (5 punti)

13 M I È data la funzione f ( x) = x + 1. Scrivete l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto A ( 1, y 1 ). (6 punti)

14 14 M I 1. I primi tre termini di una successione geometrica sono, 3, 3. Calcolate la ragione e il quarto termine di questa successione. Calcolate inoltre la somma della rispettiva serie geometrica Il risultato sia esatto. Razionalizzate il denominatore della frazione. (6 punti)

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