MATEMATICA Prova d'esame 2 Livello superiore. Lunedì, 28 agosto 2006 / 90 minuti

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1 Codice del candidato: *M0640I* SECONDA SESSIONE D'ESAME MATEMATICA Prova d'esame Livello superiore Lunedì, 8 agosto 006 / 90 minuti Al candidato è consentito l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, della calcolatrice tascabile senza interfaccia grafica e senza possibilità di calcolo algebrico o simbolico, nonché del compasso, di due squadretti e di un righello. Al candidato va consegnato il fascicolo della prova, due schede di valutazione e due fogli per la minuta. MATURITÀ GENERALE INDICAZIONI PER I CANDIDATI Leggete attentamente le seguenti indicazioni. Non tralasciate nulla! Non voltate pagina e non iniziate a risolvere gli esercizi prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice nello spazio apposito su questa pagina in alto a destra e sulle schede di valutazione. Questa prova d'esame comprende 3 esercizi strutturati. Risolvete tutti gli esercizi. Gli esercizi vanno risolti nello spazio sotto il testo di ciascuno di essi e nella pagina che lo segue. Le pagine 0,, e sono di riserva e vanno usate solo in caso di carenza di spazio. Qualora le doveste utilizzare, non dimenticate di indicare chiaramente quali esercizi avete risolto su di esse. I valutatori non terranno in considerazione le risoluzioni contenute nei fogli per la minuta. È d'obbligo l'uso della penna stilografica o a sfera. Se ritenete di aver sbagliato, tracciate una barra sulle soluzioni errate. Disegnate i grafici delle funzioni con la matita. Fate attenzione che le risoluzioni siano scritte in modo chiaro e leggibile. Nelle risoluzioni mettete ben in evidenza il procedimento, i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. A pagina trovate un elenco delle formule più impegnative che non è necessario sapere a memoria. Forse qualcuna di esse potrà esservi utile. Le soluzioni degli esercizi della prova d'esame non vanno scritte a matita. Se avete risolto l'esercizio proponendo più versioni, indicate in modo inequivocabile quella che il valutatore deve correggere. Leggete bene ogni esercizio e risolvete la prova con attenzione. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Il punteggio massimo conseguibile è di 40 punti. Buon lavoro. Questa prova d'esame ha pagine, di queste 3 sono di riserva. C RIC 006

2 M I Formule n n n n n n n n a b áab a a b a b... a b ab b Teoremi di Euclide e dell altezza di un triangolo rettangolo: a ca, b cb, abc A Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: R, r 4A p, Formule di bisezione: o ; x cos x sen x cos x x senx cos o ; tg cos x Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo:, 3 sen 3 3 sen 4 sen 3 x x x cos 3 x 4 cos x 3 cos x h c p a b a b c Teoremi di addizione: sen áx y sen x cos y cos x sen y cos áx y cos x cos y sen x sen y tg áx tgx tgy y tgx tgy Formule di prostaferesi o di fattorizzazione:, sen x sen y cos sen x y x y x y, cos x cos y sen sen sen áxo y sen áyo x o tgy, ctgxo ctgy x y x y sen x sen y sen cos cos cos cos cos tgx cos x cos y sen x seny x y x y x y x y Formule di Werner o della scomposizione del prodotto: ; sen x sen y cos áx y cos áx y cos x cos y cos áxy cos áx y ; sen x cos y sen áxy sen áx y Distanza del punto T x, y dalla retta ax by c ax by c 0 0 d T, p 0 a b : Area del triangolo di vertici A x, y, B x, y, C x, y : A x x y y x x y y 3 3 Ellisse: e a b,. ; a b e a 3 3 Iperbole: e,. ; a è il semiasse reale. e a b a p Parabola: y px, fuoco ž,0 Integrali: dx x arctg C, a a x a F ž žÿ dx a x x arc sen a C

3 M I 3 VOLTATE PAGINA

4 4 M I 0. Sono date le funzioni f áx x 3x 3 e g áx x x. a) Calcolate gli zeri della funzione f e i punti nei quali la funzione f ha gli estremi relativi. Tracciate il grafico della funzione f. (6 punti) y x

5 M I 5 f áx b) Tracciate il grafico della funzione razionale h áx (non è necessario calcolare i punti g áx stazionari). (4 punti) y x 3. c) Calcolate gli zeri della funzione u áx g á x (5 punti)

6 6 M I 3 x x x 0. Sia... áx 0, x v v žÿ žÿ x x x una serie geometrica infinita. a) Calcolate con esattezza la somma della serie per 3 x. b) Per quale valore di x la somma della serie è uguale a? c) Calcolate per quali valori di x la serie è convergente. (4 punti) (3 punti) (5 punti)

7 M I 7

8 8 M I 03. In tutti i rettangoli che incontrerete in questo esercizio siano AB a e BC b. a) Il perimetro di un rettangolo misura 880 cm. Calcolate i lati a e b in modo che l'area del rettangolo sia massima. (4 punti) b) Ruotiamo di 360º il rettangolo ( a 8 cm, b 3 cm ) attorno all'asse esterno al rettangolo, parallelo al lato BC e distante da esso di d cm. Calcolate il volume e l'area della superficie del solido di rotazione ottenuto. Il risultato sia esatto. (5 punti) c) Il punto M giace sul lato BC in modo che risulti BM : MC : 3. Indichiamo con P il punto d'intersezione del segmento DM con la diagonale AC. In quale rapporto il punto P divide la diagonale AC? Scrivete il rapporto AP : PC. (4 punti)

9 M I 9

10 0 M I PAGINA DI RISERVA

11 M I PAGINA DI RISERVA

12 M I PAGINA DI RISERVA