*M I* Livello superiore MATEMATICA Prova d'esame 1. Giovedì, 26 agosto 2010 / 90 minuti SESSIONE AUTUNNALE

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1 Codice del candidato: Državni izpitni center *M104011I* Livello superiore MATEMATICA Prova d'esame 1 SESSIONE AUTUNNALE Giovedì, 6 agosto 010 / 90 minuti Al candidato sono consentiti l'uso della penna stilografica o della penna a sfera, della matita, della gomma, di una calcolatrice tascabile priva di interfaccia grafica e possibilità di calcolo con simboli, nonché del compasso, di due squadrette e di un righello. Al candidato vengono consegnati due fogli per la minuta e una scheda di valutazione. MATURITÀ GENERALE INDICAZIONI PER I CANDIDATI Leggete con attenzione le seguenti indicazioni. Non aprite la prova d'esame e non iniziate a svolgerla prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice negli spazi appositi su questa pagina in alto a destra e sulla scheda di valutazione. Scrivete il vostro numero di codice anche sui fogli della minuta. La prova d'esame si compone di 1 quesiti, risolvendo correttamente i quali potete conseguire fino a un massimo di 80 punti. Il punteggio conseguibile in ciascun quesito viene di volta in volta espressamente indicato. Per risolvere i quesiti potete fare uso dell'elenco di formule che trovate a pagina. Scrivete le vostre risposte negli spazi appositamente previsti all'interno della prova utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera. Disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verrà assegnato il punteggio di zero (0). Utilizzate i fogli della minuta solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Nel caso in cui un quesito sia stato risolto in più modi, deve essere indicata con chiarezza la soluzione da valutare. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Vi auguriamo buon lavoro. La prova si compone di 16 pagine, di cui bianche. RIC 010

2 M I Formule n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 n a + b = ( a + b)( a a b + a b... + a b ab + b ) h = ab 11 Raggi delle circonferenze circoscritta ed inscritta ad un triangolo: R = abc 4A, r = A p, p = a + b + c Formule di bisezione: sen x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tan x = sen x 1+ cosx Funzioni trigonometriche relative al triplo di un angolo: sen 3x = 3 sen x 4 sen 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Teoremi di Euclide e dell altezza di un triangolo rettangolo: a = ca 1, b = cb 1, Teoremi di addizione: sen( x + y) = sen x cosy + cos x sen y cos( x + y) = cos x cos y sen x sen y tan x + tan y tan( x + y) = 1 tanx tany Formule di prostaferesi o di fattorizzazione: x + y x y x + y x y sen x + sen y = sen cos, sen x sen y = cos sen x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sen sen sen( x ± y) sen( y ± x) tan x ± tan y = cos x cos y, cotx ± coty = sen x sen y Formule di Werner o della scomposizione del prodotto: sen x sen y = 1 [ cos( x + y) cos( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sen x cos y = 1 [ sen ( x + y) + sen ( x y) ] Distanza del punto (, ) 0 0 (, p) = dt T x y dalla retta ax + by c = 0 : ax + by c 0 a + b Area del triangolo di vertici Ax (, y 1 1), B( x, y ), (, 3 3) A= 1 ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) C x y : Ellisse: e = a b, ε = e a ; a > b Iperbole: e = a + b, ε = e a ; a è il semiasse reale. p Parabola: y = px, fuoco F,0 Integrali: dx 1 arc tan x a a C x + a = +, dx arc sen x = C a + a x c

3 M I Sono dati gli insiemi A = { 1, }, B = { 1, 3, 4, 5} e C = {, 4, 5}. Scrivete gli insiemi A B, A B, A\ B, B \ A, ( A C) B, ( A B) \ ( A B) e A C elencando i loro elementi. A B = (8 punti) A B = A\ B = B \ A= ( A C) B = ( A B) \ ( A B) = A C =

4 4 M I 0. Risolvete la disequazione ( x 3) x ( x 3)( x + 3) 10. Scrivete l'insieme delle risoluzioni con l'intervallo e rappresentatelo sull'asse numerico. (6 punti)

5 M I Il triangolo ABC dello schizzo è isoscele ( AB = BC ). L'angolo esterno al vertice A misura 16. La distanza CE è parallela al lato AB. Scrivete nella tabella le ampiezze degli angoli α, β, γ, δ e ε. (5 punti) C ε γ δ E A α 16 β B α β γ δ ε

6 6 M I 04. È dato il numero complesso z = 1 + 5i. Calcolate il numero z iz + z. (6 punti)

7 M I 7 x 05. Tracciate il grafico della funzione f ( x ) = 3 1 e il suo asintoto. Scrivete lo zero della funzione f e l'equazione dell'asintoto. I punti T1( 1, y1) e T( x,8) appartengono al grafico della funzione f. Calcolate le coordinate sconosciute y 1 e x. y 9 (8 punti) x

8 8 M I 06. La retta di equazione x 5y 10 = 0 interseca l'asse x nel punto S. Scrivete l'equazione della circonferenza di centro S e che passa per il punto T ( 0,1). (6 punti)

9 M I Calcolate le ascisse degli estremi della funzione f ( x) = x x x (7 punti)

10 10 M I 08. Un commerciante ha in un sacchetto 15 biglietti della lotteria: 5 con vincita e 10 vuoti. Acquistiamo, scegliendo a caso, 4 biglietti. Calcolate la probabilità dei seguenti eventi: A almeno uno dei biglietti è con la vincita, B due biglietti sono con la vincita e due sono vuoti. (7 punti)

11 M I Risolvete l'equazione ( x ) cos π + senx 1 = 0. (7 punti)

12 1 M I 10. Sono dati i vettori a = ( t,,6) e b = ( 3, t, 10). Per quale numero reale t i vettori a e b sono perpendicolari? Per quali numeri reali t il modulo del vettore a è uguale a 7? (8 punti)

13 M I La somma dei primi tre termini di una successione aritmetica è 1, la somma del primo e del quinto termine è invece 10. Calcolate il primo termine e la ragione di questa successione. Quant'è la somma dei primi cento termini della successione? (7 punti)

14 14 M I 1. Dimostrate che 1 dx = tanx cotx + C. sen x cos x (5 punti)

15 M I 15 Pagina bianca

16 16 M I Pagina bianca