Dr`avni izpitni center MATEMATICA. Prova d'esame. Martedì, 28 agosto 2007 / 120 minuti senza interruzioni

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1 Codice del candidato: Dr`avni izpitni center *P07C10111I* SECONDA SESSIONE D'ESAME MATEMATICA Prova d'esame Martedì, 8 agosto 007 / 10 minuti senza interruzioni Mezzi consentiti: penna stilografica o penna a sfera, matita, gomma, calcolatrice tascabile priva di interfaccia grafica e priva del calcolo letterale, compasso, squadra, righello e goniometro. Al fascicolo d'esame sono allegati due fogli per gli appunti e la scheda di valutazione. PROVA DI MATURITÀ PROFESSIONALE INDICAZIONI PER IL CANDIDATO Leggete attentamente le seguenti indicazioni. Non voltate pagina e non iniziate a risolvere i quesiti prima del via dell'insegnante preposto. Incollate o scrivete il vostro numero di codice nello spazio apposito su questa pagina in alto e sulla scheda di valutazione. Questa prova d'esame è composta da due parti. Accanto ad ogni esercizio sono indicati i punti previsti per la sua soluzione. Nella prima parte risolvete tutti e 9 gli esercizi proposti. Nella seconda parte sono proposti tre esercizi. Sceglietene due e risolveteli. È d'obbligo l'uso della penna stilografica o della penna a sfera. In caso di errore tracciate una barra sulla risposta errata e scrivete quella corretta. Gli esercizi le cui soluzioni non sono chiare e leggibili saranno valutati con zero (0) punti. Se avete risolto un esercizio in modi diversi, indicate in modo inequivocabile quello da valutare. Usate la matita per i grafici delle funzioni, per le costruzioni geometriche e per i disegni a mano libera. Scrivete in modo leggibile e ordinato. Ogni procedimento di soluzione va presentato in modo comprensibile dall'inizio alla fine, con tutti i calcoli ed i risultati intermedi. Alle pagine e 3 troverete delle formule matematiche che possono fornirvi un aiuto nella soluzione degli esercizi. Segnate con una x nella tabella i due quesiti che avete scelto per la seconda parte. 1 quesito quesito 3 quesito I valutatori non esamineranno i fogli previsti per gli appunti. Leggete attentamente ogni esercizio prima di risolverlo. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro. Questo fasicolo comprende 0 pagine, di cui bianche. RIC 007

2 P07-C I FORMULE 1. Sistema di coordinate cartesiane nel piano Ax ( y ) B( x y ) ( ) Area (A ) del triangolo di vertici,,,, C x, y : A= x x y y x x y y ( )( ) ( )( ) k k 1 Angolo tra due rette: tg ϕ= 1+ k k Geometria del piano (l'area di ogni figura è indicata con A ) Triangolo: c h 1 A= c = absen γ a + b + c A = p( p a)( p b)( p c), p = Raggio della circonferenza inscritta ( r ) e circoscritta ( R ) ad un triangolo: A a + b + c r =, p p = ; abc R = 4A a 3 a 3 a 3 Triangolo equilatero: A =, h =, r =, 4 6 e f a + c Romboide, rombo: A =, trapezio: A= h πα r Lunghezza di un arco di circonferenza: l = 180 r Area del settore circolare: A π α = 360 a b c Teorema dei seni: = = = R sen α sen β sen γ Teorema del coseno: a = b + c bccosα a 3 R = 3 3. Aree e volumi dei solidi (B indica l'area di base del solido) Prisma e cilindro: A = B + A, V = B h Piramide: A B A 1 = +, V = B h t l 3 1 Cono retto: A = πr ( r + l), V = πr h t 3 3 4πr Sfera: A= 4πr, V = 3 t l

3 P07-C I 3 4. Funzioni goniometriche sen α 1 sen α+ cos α = 1 tg α = 1+ tg α = cos α cos α sen ( α ± β) = sen αcos β ± cos αsen β cos( α ± β) = cos αcos β sen αsen β sen α = sen α cos α cos α = cos α sen α 5. La funzione e l'equazione di secondo grado f ( x) = ax + bx + c Vertice: V ( p, q), ax + bx + c = 0 Zeri: x 1, b D p =, q =, a 4a b ± b 4ac = a D = b 4ac x 6. Logaritmi loga y = x a = y loga x = n loga x loga ( x y) = loga x + loga y loga x log x = b loga b x loga loga x log y y = a n 7. Successioni n Progressione aritmetica: an = a + ( n 1) d, s ( 1) 1 n = a + n d 1 n 1 Progressione geometrica: an a q n q 1 =, s 1 n = a 1 q 1 ( ) 8. Statistica x + x + + x 1 k Valore medio (media aritmetica): x = k Varianza: σ σ 1 ( x x ) ( x x ) ( x x = ) k k f1( x1 x) + f( x x) + + fk ( xk x) = f + f + + f 1 1 Scarto quadratico medio o deviazione standard: σ = k σ x f x + f x + + f x k k = f + f + + f, k

4 4 P07-C I PAGINA BIANCA

5 P07-C I 5 Parte prima. Risolvete tutti i quesiti. 1. Il punto A è l intersezione della retta y = x 3con l asse delle ordinate. Calcolate la distanza tra il punto A e il punto B ( 3,1). (4 punti)

6 6 P07-C I. Semplificate l espressione: 1 ab ( ab ) 1 1. (4 punti)

7 P07-C I 7 3. Calcolate il perimetro della figura disegnata qui sotto. Arrotondate il risultato al millimetro di precisione. 7 cm 5 cm 13 cm (4 punti)

8 8 P07-C I 4. Se al sestuplo di un numero si sottrae 9, si ottiene il quadrato del numero iniziale. Determinate tale numero. (4 punti)

9 P07-C I 9 5. Sia dato il polinomio px ( ) = ( x 3) ( x+ 1 ). Scrivete il grado del polinomio, il coefficiente direttivo e il termine noto. Grado del polinomio: Coefficiente direttivo del polinomio: Termine noto del polinomio: (4 punti)

10 10 P07-C I 6. Determinate x in modo che x +, x, x 1 siano i primi tre termini di una progressione geometrica. Scrivete i primi termini di tale progressione. (5 punti)

11 P07-C I Scrivete nella tabella i valori della funzione f ( x ) = log 3 x per i valori di x già inseriti. x f ( x ) (5 punti)

12 1 P07-C I 8. La figura rappresenta la sezione assiale di un cono retto. Calcolate l altezza del cono e l angolo al vertice della sezione assiale del cono. 13 cm 10 cm (5 punti)

13 P07-C I Gli studenti di una classe si sono confrontati in una gara di corsa sui 100 m, ottenendo i seguenti risultati (in secondi): 1, 1, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16. Calcolate il risultato medio e la percentuale degli studenti che hanno ottenuto un risultato migliore di quello medio. (5 punti)

14 14 P07-C I Parte seconda. Scegliete due quesiti, cerchiatene il numero e risolveteli. 1. I punti A( 4, 0 ), B( 4, 3 ), C ( 0, 5) e l origine del sistema cartesiano sono i vertici di un quadrilatero. a) Nel sistema cartesiano già tracciato disegnate con esattezza il quadrilatero e calcolatene l area. b) Calcolate tutti gli angoli interni del quadrilatero. c) Quanto misura la lunghezza della diagonale maggiore? (Totale 15 punti) (6 punti) (6 punti) (3 punti) y x

15 P07-C I 15

16 16 P07-C I. La costruzione del primo metro di una ciminiera alta 6 m comporta un costo di 8000 euro, ogni metro successivo costa 3000 euro in più rispetto a quello precedente. a) Quanto costa la costruzione dell ultimo metro di ciminiera? b) Quanto costa la costruzione di tutta la ciminiera? c) Per costruire i primi dieci metri di ciminiera sarebbero sufficienti euro? Motivate la risposta con un calcolo. (Totale 15 punti) (6 punti) (4 punti) (5 punti)

17 P07-C I 17

18 18 P07-C I 3. Siano date le equazioni della parabola y = 1 x x 3 e della retta y = x 3. a) Disegnate la retta e la parabola nel sistema cartesiano tracciato qui sotto. b) Calcolate le ascisse dei due punti di intersezione della retta con la parabola. c) Per quali valori di x la parabola si trova sotto la retta? (Totale 15 punti) (8 punti) (4 punti) (3 punti) y x

19 P07-C I 19

20 0 P07-C I PAGINA BIANCA