Quarta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio Superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Quarta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-B (Alunni Biennio Superiori) Quesito Risposta esatta B E A D B C C E D A / Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [Bastoncini rotti] (vale 4 punti) Lucia ha 21 bastoncini di varie lunghezze per lavori di decoupage. Dopo averne scartate tre, perché rovinati, ne spezza tre a metà, due in tre pezzi ciascuno e cinque in quattro parti ciascuno. Quanti bastoncini ha Lucia adesso? A) 32; B) 40; C) 53; D) 30; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: B) 40. Dopo lo scarto, i bastoncini rimasti sono 18 (21-3). Da questi 18, Lucia ne prende, prima tre, poi due e, infine, cinque. In tutto ne prende dieci (3+2+5). Ne restano, quindi, 8 (18-10). Tre bastoncini divisi a metà formano 6 bastoncini (3x2). Due bastoncini, divisi ciascuno in tre parti formano altri 6 bastoncini (2x3). Infine i cinque bastoncini divisi ciascuno in quattro parti formano 20 bastoncini (5x4). Alla fine Lucia avrà a disposizione gli 8 bastoncini restanti (non adoperati nello spezzettamento) più quelli ottenuti dai vari spezzettamenti. In tutto 8+(6+6+20) = 40. Quesito 2 [proprietà delle potenze] (vale 4 punti) Quali delle seguenti relazioni è vera? A) = (2 15 x5 15 ) ; B) = (11 5 x10 5 ) : 7 5 ; C) = (11 5 x10 5 ) ; D) = (2 15 x5 15 ) x 3 15 ; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta E). Si procede per esclusione: Alternativa A) il secondo membro diventa (2x5) = Passando al calcolo il secondo membro dà un numero di 31 cifre mentre il primo solo un numero di sole 16 cifre!! Per i pignoli ( = ; mentre = = = ). Non si chiedeva questo!! Le alternative B) e C) sono da scartare immediatamente (tra le altre cose hanno anche esponenti diversi). L alternativa D) è pure da scartare in quanto (2 x5x3) 15 ; (30) 15. Non resta che l alternativa E. Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 1

2 Quesito 3 [dalle parole alla formula] (vale 4 punti) Quali tra le seguenti espressioni rappresenta: il triplo della differenza tra il quadrato del consecutivo della quarta parte di un numero intero n e il cubo del precedente della terza parte di n? A) 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; B) [3 (n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]; C) 3[(n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; D) [3 (n/4-1) 2 (n/3+1) 3 ]; E) 3[(n/4+1) 2 (n/3+1) 3 ]. Risposta esatta: A) La quarta parte di un numero si indica con n/4. Il consecutivo avrà un unità in più: n/ Il quadrato si indicherà con (n/4+1) 2. La terza parte di un numero si indica con n/3. Il precedente avrà un unità in meno: n/3 1. Il cubo si indicherà (n/3+1) 3. Il triplo della differenza tra le suddette due espressioni verrà infine indicato con 3[(n/4+1) 2 (n/3-1) 3 ]. Quesito 4 [Il cicloamatore alle prese con salite e discese] (vale 4 punti) Un cicloamatore parte dal suo paese, in provincia di Chieti, per raggiungere il Blockhaus (località della Maiella situata a quasi 2000 m di altitudine sul livello del mare). All andata, quasi tutta in salita, procede ad un andatura di 15 km/h. Dopo quattro ore, giunto in cima, rigira e ridiscende a valle (percorrendo la stessa strada) impiegando esattamente la metà del tempo impiegato per la salita. Qual è la media complessiva tenuta dal cicloamatore, durante tutto il suo viaggio? A) 22.5; B) 30; C) 25; D) 20; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta D) 20. Intanto calcoliamo la lunghezza del tragitto (in andata): km (4x15) = 60 km. All andata, il cicloamatore, quando la strada era in salita, ha pedalato per il doppio del tempo di quanto abbia fatto in discesa durante il ritorno a casa. Perciò la media oraria dell andata (15 km/h) deve essere moltiplicata per le ore in cui si è tenuta quella media (cioè quattro). L altra media (per il ritorno: 30 Km/h) deve essere moltiplicata per 2 perché questa media è stata tenuta per due ore. Velocità media = (4x15+2x30):6 = 120:6 = 20 km/h. Più semplicemente, il cicloamatore ha impiegato complessivamente 6 ore per percorrere 120 km (andata e ritorno). Vm = km/h (120:6) = km/h 20. Quesito 5 [Quadrato ed esagono contro circonferenza] (vale 5 punti) Il lato di un esagono regolare misura cm 10. Circoscriviamo una circonferenza all esagono e poi circoscriviamo un quadrato alla circonferenza. Qual è la misura del lato del quadrato? A) 17.32; B) 20; C) 14.14; D) 17; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 20 cm Il raggio della circonferenza circoscritta all esagono è uguale alla misura del lato dell esagono. Il lato del quadrato circoscritto alla circonferenza è uguale al diametro della circonferenza stessa, cioè 20 cm ( il doppio del raggio). Quesito 6 [Villetta nel giardino e lavori di manto stradale] (vale 5 punti) La figura disegnata a fianco, mostra la pianta di un giardino con al centro una villetta. Tre quarti del giardino ospita prato verde e qualche aiuola con fiori ornamentali. La parte restante del giardino è formata da strada di accesso più alcuni viottoli. Quanti Euro occorrono per asfaltare strade e viottoli di quel giardino sapendo che il costo complessivo (asfalto e mano d opera) viene a costare 12 a m 2? A) 3880; B) 3900; C) 3888; D) 3936; E) nessuna delle precedenti. A 6m 6m Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 2

3 Risposta esatta: C) Il lato del quadrato A misura 6 metri; quindi la sua superficie è di m Di conseguenza, la superficie del cortile, (pari a 36 volte la superficie del quadrato A), sarà di m 2 (36x36) = m La superficie del giardino da asfaltare è solo un quarto (1-3/4= ¼) e corrisponde a m 2 (1296:4) = m Il costo sarà: (12x324) = A Quesito 7 [Somma di super-potenze ] (vale 5 punti) Qual è l ultima cifra di questa somma: ? A) 1; B) 2; C) 4; D) 6; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) 4. Le potenze di 156 e 516 terminano sempre per 6 per qualsiasi esponente 0. Le potenze di 165 e 615 terminano sempre per 5 per qualsiasi esponente 0. Le potenze di 561 e 651 terminano sempre per 1 per qualsiasi esponente. Qualsiasi sia l esponente di questi sei numeri (purchè 0, ed in questo esempio lo sono) le loro potenze termineranno sempre, nell ordine, con queste cifre 6, 5, 6, 1, 5, 1. La somma di queste cifre è = 2x(6+5+1) = 2x12 = 24. Quindi il totale di queste sei potenze avrà per ultima cifra il 4. Quesito 8 [Percentuali di percentuali!! ] (vale 5 punti) La popolazione residente nel comune di Chieti rappresenta il 4.16% di quella abruzzese ed il 13.74% di quella della provincia di Chieti. Quale percentuale della popolazione residente nella regione Abruzzo è rappresentata dalla popolazione residente nella provincia di Chieti? (dare il risultato con due cifre decimali). A) 24.26; B) 26.24; C) 42.46; D) 46.24; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta E) Il 4.16% della popolazione residente nella regione Abruzzo è pari al 13.74% della popolazione residente nella provincia di Chieti. Quindi la popolazione residente nella provincia di Chieti è il 4.16/13.74 x 100 di quella residente nella regione Abruzzo cioè circa il 30.27%. Quesito 9 [Le potenze.magiche!!!] (vale 6 punti) Il calcolo della seguente potenza: , richiede molto tempo!! Non vogliamo sapere tutto il numero ma solo le ultime tre cifre. Quali delle seguenti alternative è quella giusta? A) 994; B) 499; C) 991; D) 001; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: D) Le potenze di 499 sono magiche!!! Infatti se l esponente è dispari, le rispettive potenze finiscono per 499; mentre se l esponente è pari, le rispettive potenze finiscono per 001. Provare per credere!!! Con una certa meraviglia, poi, notiamo che entrambe le sequenze, sia 499 che 001 risultano una complementare all altra rispetto a 500!!! ( = 500). Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 3

4 Quesito 10 [Gli imbianchini e le stanze da dipingere!!!] (vale 6 punti) Vittorio, Nicola e Gino sono tre provetti imbianchini. Ciascuno di loro riesce a dipingere una stanza, rispettivamente, in due ore, tre ore e quattro ore. Se dipingono tutti insieme la stessa stanza quanto tempo (in ore, minuti e secondi) ci impiegano? A) 0 h 55 m 23 s ; B) 1 h 30 m 00 s ; C) 1 h 15 m 00 s ; D) 1 h 25 m 00 s ; E) 1 h 05 m 00 s. Risposta esatta A) 55 minuti e 23 secondi. Esprimiamo i tempi in minuti. Allora avremo che: Vittorio dipinge una stanza in 120 minuti; Nicola dipinge una stanza in 180 minuti e Gino dipinge una stanza in 240 minuti. [120=2 3 x3x5; 180=2 2 x3 2 x5; 240=2 4 x3x5] Eseguiamo il mcm (120, 180, 240) = 2 4 x 3 2 x5 = 16x9x5 = 720. Vittorio, in 720 minuti, dipinge (720:120) = 6 stanze. Nicola, in 720 minuti, dipinge (720:180) = 4 stanze. Infine Gino, in 720 minuti dipinge (720:240) = 3 stanze. In 720 minuti, i tre imbianchini riescono a dipingere = 13 stanze. Per conoscere il tempo necessario per dipingere una stanza basta dividere il tempo complessivo (720 minuti) per il numero delle stanze dipinte (13). 720:13 = 55 minuti e 23 secondi. Quesito 11 [I numeri che hanno le vertigini!!!] (vale 6 punti) Quanti sono i numeri di quattro cifre, che, ruotati di 180 gradi (non interessa se in senso orario o antiorario) restano tali e quali? Attenzione: ciascuna cifra non si può adoperare più di due volte. Lo zero non si può adoperare come cifra iniziale 0 finale. Risposta esatta: e 9006; 6889 e 9886; 8698 e 8968; 6699 e 9966; 6969 e 9696; Immaginate di scrivere ciascuno di questi numeri su un cartoncino e appenderlo al muro con un chiodo fissato nel foro che si trova tra A e B.. Se fate ruotare il cartoncino di 180 attorno al foro in modo che il lato C D venga a trovarsi in alto e il lato AB, in basso (vedi per es. fig. a destra), si legge ancora lo stesso numero :8698. A B D 8698 C Lo stesso, naturalmente, si poteva ottenere mediante una simmetria centrale (per es. di centro D) oppure mediante due simmetrie assiali, con assi perpendicolari tra loro (per es. S 1 intorno all asse BC, S 2 intorno all asse CD). Quesito 12 [La crescita della ninfea nello stagno] (vale 6 punti) Una pianta acquatica, dalle foglie grandi e galleggianti, chiamata ninfea bianca, si riproduce molto velocemente. Una di queste, caduta in uno stagno, raddoppia la sua superficie in 96 ore (quattro giorni). Dopo centoventi giorni (4 mesi circa) è riuscita a ricoprire tutto lo stagno. Quanti giorni ha impiegato per ricoprire la metà dello stagno? Risposta esatta C) 116. Se al centoventesimo giorno la pianta ha ricoperto tutto lo stagno, quattro giorni prima ne copriva evidentemente la metà, dato che ogni quattro giorni le foglie di questa pianta raddoppiano. Quesito 13 [Mattoni e mattonelle. ma quanto pesano???!!!] (vale 8 punti) So che otto mattoni pesano come 25 mattonelle più quattro chili. Inoltre so che ottanta mattonelle pesano come 21 mattoni più 1 chilo. Quanto pesa una mattonella (in grammi)? Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 4

5 Risposta esatta E) 800 g Risolviamo con un semplice sistema di due equazioni di primo grado: Indicando con x ed y il peso, rispettivamente, di un mattone ed di una mattonella avremo: 8x = 25y+ 4 (kg); (prima relazione) 80y = 21x + 1 (kg) (seconda relazione) Risolvendo rispetto alla x della prima equazione otteniamo: x= 25/8y + ½; e sostituendo questo valore alla x della seconda equazione, otteniamo: 80y= 21(25/8y + ½) + 1; 80y = 525/8y + 21/2 +1; (80 525/8)y = 21/2 + 1; 115/ 8y = 23/2; y = 23/2x8/115 = 4/5 = 0.8 kg = 800 g Volendo, ma non era richiesto, potevamo ricavarci anche il peso di un mattone che, poteva servirci, come prova. Il valore di x diventava: x= 25/ ½ = 25/8 4/5 + ½ = 5/2 + ½ = 6/2 = 3 kg = 3000 g. Quesito 14 [Si avvicina Natale.. si gioca!!!!] (vale 8 punti) Lanciando tre dadi simultaneamente, a caso, qual è la probabilità di ottenere il totale undici? Nota Bene: qui si parla di dadi normali a forma di cubo (con sei facce). Risposta esatta: 1/8. Soluzione: abbiamo 27 casi favorevoli su 6 3 = 216 casi possibili. Prob. (tot. 11) = 27/216 = 1/8. Punteggio Punteggio Punteggio Punteggio Punteggio Punteggio Totale 1 dado 2 dado 3 dado 1 dado 2 dado 3 dado Totale Quesito 15 [Disposizione di angolare su griglia bipiramidale!!!] (vale 12punti) In quanti modi diversi posso disporre l angolare A sulla griglia disegnata? A Risposta esatta: 56. Ci sono in tutto [( )+( ) +( )+ +( )] = [ ] = 56 disposizioni diverse. Vedi sotto: Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 5

6 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 5 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Si ottengono 3 disp.div. Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12 Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Si ottengono 2 disp.div. Fig. 13 Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Si ottengono 4 disp.div. Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 6

7 Quesito 16 [Area e perimetro di una scatola rettangolare] (vale 12 punti) La seguente scatola è formata da 9 scomparti rettangolari perfettamente uguali. Si sa che il lato minore di ciascuno dei nove scomparti differisce da quello maggiore di 14 cm. Sapendo che il perimetro della scatola misura 420 cm qual è la sua area? Risposta: cm 2. Noto che il perimetro della scatola è formato da 9 volte il lato minore più 4 volte quello maggiore (sempre riferito ad un singolo scomparto). Ma quattro volte l eccedenza di cm 14 fanno cm (14x4) = cm 56. Togliendo questi 56 cm dal perimetro ottengo cm (420-56) = cm 364. Avendo tolto le eccedenze, cm 364 non rappresenta altro che la somma di 13 (9+4) segmenti uguali al lato minore. Perciò: lato minore = cm (364:13) = cm 28; lato maggiore = cm (28+14) = cm 42. La scatola avrà le seguenti dimensioni: la minore = cm (42x2) = cm 84; oppure cm (28x3) = cm 84. la maggiore = cm (3x28+42) = cm (84+42) = = cm 126. Quindi l area della scatola è cm 2 (126x84) = = cm 2. Soluzioni_Sup-B_IV-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 7