Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio delle scuole superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Terza Edizione Giochi di Achille ( ) - Olimpiadi di Matematica Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio delle scuole superiori) Quesito Risposta esatta Punti previsti E E D A B D C E E A sec Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. 1. La sveglia di Don Tranquillo, parroco di Ora, è poco affidabile. Infatti, durante le ore notturne rallenta di 5 secondi per ogni ora: Durante le ore diurne, invece, accelera di 3 secondi per ogni ora. In estate, nel paese di Ora, il giorno dura 14 ore mentre la notte soltanto 10 ore. Per la celebrazione di un matrimonio, il parroco arriva con due minuti di ritardo. Quanto tempo prima aveva regolato, sulla sua sveglia, l ora esatta? A) 12 giorni prima; B) 10 giorni prima; C) 14 ore prima; D) 20 giorni prima; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: E) Nelle 24 ore la sveglia totalizza complessivamente secondi (5 x 10) = 50 secondi di ritardo e secondi (3 x 14) = 42 secondi di anticipo. Per cui, nelle ventiquattro ore, avremo: secondi (50 42) = 8 secondi di ritardo per giorno. Ma due minuti di ritardo corrispondono a 120 secondi. I giorni di ritardo saranno dunque 120 : 8 = 15 gg. 2. Marianna, Stefania, Francesco e Mario misurano la lunghezza del giro di pista dello stadio dove si stanno allenando. Tutti e quattro procedono di corsa e contano in silenzio i loro passi. Concluso il giro si hanno queste informazioni: Marianna ha contato 465 passi. Stefania ha contato 475 passi. Francesco ha contato 445 passi. Infine, Mario, ha contato 455 passi. Cosa si può dire dei loro passi? A) Non è vero che Marianna ha il passo più lungo rispetto a Stefania; B) Non è vero che Mario ha il passo più corto rispetto al passo di Francesco; C) Marianna ha il passo più lungo rispetto a Mario, ma non rispetto a Stefania; D) Mario ha il passo più corto rispetto agli altri tre; E) Nessuna delle risposte precedenti è esatta. Risposta esatta: E) Si procede per esclusione: A) Effettivamente Marianna ha il passo più lungo di Stefania. Il fatto che si affermi il contrario è sbagliato; B) Effettivamente Mario ha il passo più corto di Francesco. Il fatto che si affermi il contrario è sbagliato; C) Marianna non ha il passo più lungo rispetto a Mario, per cui questa risposta è sbagliata. D) Neanche questa affermazione è esatta. Non resta che l ultima alternativa ad essere vera: la E). 3. Adoperando otto cifre diverse, tra le dieci disponibili (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), formate due numeri, ciascuno di quattro cifre, e sottraete il minore dal maggiore. La cifra 0 ( zero ) non può occupare il posto delle migliaia. Quale sarà la differenza minima che si può ottenere? A) 27; B) 37; C) 47; D) 25; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 1

2 Risposta esatta: D): 25. Affinché la differenza sia minima, bisogna avere il minuendo ed il sottraendo molto vicini ma appartenenti a migliaia consecutive. Le tre cifre restanti (centinaia, decine ed unità) devono formare il più grande numero possibile in quelle del sottraendo ed il più piccolo in quelle del minuendo. I numeri più piccoli, per il minuendo, con quattro cifre diverse, sono: 2034, 3014, 4012, 5012, 6012, 7012, I numeri più grandi, per il sottraendo, con quattro cifre diverse, sono: 1987, 2987, 3987, 4987, 5987, 6985 e La differenza minima si ha in tre casi: = 25; = 25; = 25. La differenza minima è 25 e, quindi, la risposta giusta è la D) 4. In una Cantina Sociale, l impianto, durante i 3 mesi più intensi (agosto, settembre ed ottobre), in media, lavora sfruttando il 96% della massima produttività. Nei quattro mesi seguenti, da inizio novembre a fine febbraio, l impianto viene sfruttato, in media, all 87%. Nei restanti mesi, invece, lavora al 72%. Qual è lo sfruttamento medio annuo dell impianto di quella Cantina Sociale? A) 83 %; B) 87.5 %; C) 93 %; D) 87 %; E) Nessuno dei precedenti. Risposta esatta: A) Bisogna fare la media ponderata delle tre percentuali di sfruttamento. Il 96%, l 87% e il 72% verranno moltiplicate per le corrispondenti frazioni di anno (3 mesi, 4 mesi e 5 mesi). Il tutto verrà diviso per la somma dei tre pesi (3+4+5 = 12 mesi). 96x 3/ x 4/ x 5/12 = (96x3 + 87x4 + 72x5) :12 = 83%. 5. Pensa un numero. Aggiungi 6 e moltiplica il risultato per 7. Quindi sottrai 21 e dividi il numero ottenuto per 7. Togli, infine, il numero che avevi pensato. Quale numero hai ottenuto? A) 2; B) 3; C) 4; D) 1; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: B): 3. Il numero da indovinare non dipende dal numero pensato, bensì dalle operazioni indicate nel quesito. Qualsiasi sia il numero di partenza (numero pari o dispari non fa differenza!!!) aggiungo 6 e moltiplico tutto per 7 e avrò un numero che è la somma dell eptuplo (sette volte) del numero pensato più 42 (l eptuplo di 7 che sarebbe il numero che ho aggiunto). Dal numero così composto, togliendo 21, mi resterà un numero formato dall eptuplo di quel numero più ventuno (42-21=21). E se divido questo numero per 7, avrò il numero pensato più 3. Togliendo infine il numero pensato, non mi resta che 3. Succede sempre così, con qualsiasi numero. Si può risolvere impostando una semplice espressione dove con la lettera x indichiamo il numero pensato. Avremo: ((x + 6) 7-21) : 7 - x = (7x ) :7 x = (7x + 21) : 7 x = x + 3 x = Dovendo scrivere tutti i numeri multipli di 8 da 1088 a 1488 (estremi compresi) qual è la cifra che si ripete di più? A) 4; B) 2; C) 0; D) 1; E) un altra. Risposta esatta: D) (la cifra 1) Può sembrare strano che tra i multipli di 8, la cifra 1 si possa ripetere più spesso. Questo perché l intervallo numerico presenta l 1 nella posizione delle migliaia per ben 51 volte; 12 volte nella posizione delle centinaia e 4 volte in quella delle decine. In tutto ben 67 volte!!!! Riporto nella tab. la frequenza delle varie cifre nell intervallo (in tutto 51 multipli di 8). Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 2

3 Cifra Posto occupato Totale Migliaia Centinaia Decine Unità presenze Totale Barbara per svolgere i suoi compiti a casa dedica i 2/5 del tempo disponibile per lo studio dell italiano e della storia. Dedica 1/3 del tempo rimasto per l inglese. Poi dedica 10 minuti per la matematica e la mezz ora restante per il disegno. Giovanni, invece, dedica 5/17 del suo tempo disponibile per lo studio dell italiano e storia. Un quarto del tempo rimasto per la matematica. Dedica poi un quarto d ora all inglese e la mezz ora restante al disegno. Qual è la differenza, in minuti, dei tempi dedicati allo studio dai due studenti? A) 20; B) 30; C) 15; D) 10; E) nessuno dei precedenti. Risposta esatta: C) 15 minuti. Tempo impiegato da Barbara per lo studio: 100 min. 1-2/5 = 3/5. Frazione di tempo complessivo che Barbara dovrà dedicare allo studio delle tre materie: inglese, matematica e disegno. 1/3 di 3/5 = 1/3x3/5 = 1/5 del tempo complessivo. 3/5-1/5 = 2/5. Frazione di tempo che resta per lo studio della matematica e disegno. (10+30) = 40 minuti. Tempo dedicato allo studio della matematica e del disegno. Se 2/5 del tempo complessivo corrispondono a 40 minuti, allora il tempo complessivo sarà: 40:2/5 = 40 x 5:2 = 100 minuti. Tempo impiegato da Giovanni per lo studio: 85 min. 1-5/17 = 12/17. Tempo restante a Giovanni per studiare inglese, matematica e disegno; 1/4 di 12/17 = 1/4x12/17 = 3/17. 12/17-3/17 = 9/17. Frazione di tempo che resta per lo studio della matematica e disegno. (15+30) = 45 minuti. Tempo dedicato allo studio della matematica e del disegno. Se 9/17 del tempo complessivo corrispondono a 45 minuti, allora il tempo complessivo sarà: 45:9/17 = 45 x 17:9 = 85 min. La differenza sarà: = 15 minuti. 8. La griglia riportata a fianco rappresenta uno schema del Sudoku 12x12. Per completarla bisogna rispettare le seguenti regole: 1) Ogni riga deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che rappresentano i numeri 10, 11 e 12); 2 Ogni colonna deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che rappresentano i numeri 10, 11 e 12); 3 Ognuna delle 12 sottogriglie, ciascuna formata da 3 righe e 4 colonne, deve contenere una sola volta i numeri da 1 a 9 e le lettere A, B, C (che stanno per 10, 11 e 12). Che numero o lettera dobbiamo mettere nella casella m4 (indicata in grigio)? A) 5; B) 3; C) B; D) C; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 3

4 a b 3 7 C 6 c A 8 Risposta esatta: E): 7. Infatti, nella sottogriglia 1, il 7 è costretto in c1, per cui nella sottogriglia 10, sull unico rigo possibile (rigo m), il 7 non può occupare la col. 1 perché è presente già in c1. Non può occupare la col. 2 perché è presente già in g2. Non resta, per il 7, che la casella m4. d B e 4 A 6 5 f B g 7 A h 9 C 6 A i C l m n A Quanto vale quest espressione? 1:( ) + 1:( ) + 1:( ) + 1:( ) + 1:( ) + 1:( 10+ 3) A) 6 [1:( )]; B) ( ); C) ( ); D) 15-2( ); E) Nessuno dei precedenti. Risposta esatta: E) Risolvendo l espressione, con la razionalizzazione dei denominatori, otteniamo: ( 15-14)/(15-14)+( 14-13)/(14-13)+( 13-12)/(13-12)+( 12-11)/(12-11)+( 11-10)/(11-10)+( 10-3)/(10-9) = = = Durante un esercitazione navale, due navi militari partono contemporaneamente da uno stesso punto, alle ore 3 e15 del mattino. La prima procede ad una velocità pari a 12 Km/h; la seconda, invece, procede ad una velocità doppia. Le loro rotte formano un angolo di 60 gradi. A che ora le due navi si troveranno esattamente a 81 3 Km di distanza? A) 10 h ; B) 9 h 54 m ; C) 9 h 50 m ; D) 9 h 45 m ; E) 9 h 40 m. Risposta esatta: A) Le due navi alle ore 10 si troveranno a 81 3 Km di distanza. Le rotte descritte dalle due navi rappresentano (approssimativamente) il cateto minore (nave più lenta) e l ipotenusa (nave che viaggia a velocità doppia) di un triangolo rettangolo particolare (la metà di quello equilatero). La distanza tra le due navi è rappresentata, invece, dal cateto maggiore (che corrisponde all altezza del triangolo equilatero). Come si sa l altezza in un qualsiasi triangolo equilatero vale metà lato per radice di tre (h = l:2 3). Mentre il lato vale doppia altezza per radice di tre, fratto tre, cioè l = 2h 3/3. Andiamo a sostituire al posto di h, 81 3 ed avremo: l = /3 = /3 = 162 Km. (distanza percorsa dalla nave più veloce). Il tempo (in ore) sarà espresso dalla formula t = s/v; t = 162:24 = 6.75 h = 6 h 45 m. La nave era partita alle 3 h 15 m del mattino. Dopo 6 h 45 m saranno esattamente le 10 h 00 m del mattino. Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 4

5 11. Questa figura è formata da 7 quadrati tutti di dimensione diversa. Si sa che il lato del quadrato A è di 1 m inferiore a quello del quadrato D ed è il triplo del lato del quadrato G il cui lato è esattamente la metà di quello del quadrato C. Il perimetro del quadrato C è pari a 24 m. Dite in che rapporto si trova la superficie delimitata dalla linea continua rispetto alla superficie evidenziata in grigio. 9 A E 1 4 B F 7 10 D 6 C 3 G Risposta esatta: 2. Il lato del quadrato C è di 6 m (24:4). Il lato del quadrato G è di 3 m (6:2). Il lato del quadrato A è di 9 m (3x3). Il lato del quadrato D è di 10 m (9+1). Il lato del quadrato E è di 1m (10-9). Il lato del quadrato F è di 7 m (10-3). Il lato del quadrato B è di 4 m (10-6). La superficie delimitata dalla linea continua è: m 2 ( ) = = m 2 ( ) = m La superficie evidenziata in grigio è: m 2 ( ) = m 2 ( ) = m Il rapporto sarà 292/146 = Nel Campionato di Calcio Italiano del in serie B giocavano 22 Squadre. Siccome erano e sono tuttora previsti due turni o gironi (uno di andata ed uno di ritorno), con 22 squadre presenti, ogni squadra, nel corso del campionato, deve disputare 42 incontri (due incontri per ognuna delle 21 squadre restanti). Per la classifica, negli ultimi anni, sono previsti: per ogni partita vinta 3 punti; per ogni pareggio 1 punto e per ogni sconfitta 0 punti. In quel campionato il Bologna si è classificato all ottavo posto con 64 punti, ottenendo un ugual numero di pareggi e di vittorie. Quante partite ha perso? Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 5

6 Risposta esatta: 10) Sappiamo che i pareggi eguagliano le vittorie. Perciò per ogni partita vinta e pareggiata il Bologna ha ottenuto (3+1) = 4 punti. 64:4 = 16 (numero delle partite vinte e pareggiate). Partite perse = ( ) = La scala mobile del Terminal dei Bus di Chieti è formata da due tratti rispettivamente di 125 e 82 gradini. Se salgo con scala mobile ferma, impiego complessivamente 2 minuti e 10 secondi. Se utilizzo la scala mobile in funzione impiego 120 secondi se resto fermo durante la salita. Quanto tempo impiego se, sulla scala mobile in movimento, salgo le scale con la mia andatura normale? Risposta esatta: 62 secondi e 4/10 di secondo. Per l intera salita, io impiego 130 secondi; la scala mobile impiega 120 secondi. Lo spazio è lo stesso. (s). V 1 e V 2 indicano rispettivamente le due velocità (la mia e quella della scala mobile). 130V 1 = 120V 2 ; da cui V 2 = 130/120 V 1 = 13/12 V 1. Sommando le due velocità avrò: V 1 + V 2 = V /12 V 1 = 25/12 V 1. Adesso devo dividere il mio tempo per 25/12 e cioè (130x12/25) = 62,4 secondi. 14. Sommate tutti i numeri pari da a 2 e poi tutti i numeri dispari da ad 1: Sottraete la seconda somma (quella dei numeri dispari) dalla prima. Che risultato ottenete? Risposta esatta: Infatti, posso disporre così queste operazioni: = ( ) + ( ) + ( ) +.+ (2-1) = = x1 = volte (Nota bene: da 1 a i numeri pari o dispari sono esattamente la metà di ). 15. La differenza tra due numeri è 5. La differenza tra i loro cubi è Qual è la somma dei quadrati dei due numeri? Risposta esatta: 277. Indichiamo con a e b i due numeri con a > b. Sappiamo che a b = 5; a 3 b 3 = Ricordando i prodotti notevoli, scriviamo: (a b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3. Sostituendo i dati che conosciamo, otteniamo: 5(a 2 + ab + b 2 ) = 2015; (*) da cui a 2 + ab + b 2 = 403; aggiungo e tolgo 2ab al primo membro. Avremo: a 2 + ab + 2ab -2ab + b 2 = 403; e quindi (a 2-2ab + b 2 )+ ab + 2ab = 403; infine: (a - b) 2 + 3ab = 403. Ma dai dati so che a b = 5. Vado a sostituire ed ottengo: ab = 403; 3ab = ; ab = 378/3 = 126. Andiamo ora a sostituire in (*) ed otteniamo: a b 2 = 403; da cui a 2 + b 2 = = 277. Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 6

7 16. Apri bene gli occhi!!! Quanti parallelogrammi, di tutte le dimensioni, si possono contare nella figura? Nota Bene: (si devono contare anche i quadrati ed i rettangoli). Risposta esatta: 349. Di cui: 124 parallelogrammi; 55 quadrati e 170 rettangoli. I parallelogrammi 4x5 = 20 4x5 = 20 3x5 = 15 3x5 = 15 2x5 = 10 2x5 = 10 1x5 = 5 1x5 = 5 2x4 = 8 2x4 = 8 1x4 = 4 1x4 = 4 I parallelogrammi sono in tutto 2x( ) = 2x62 = 124 I quadrati 5x5 = 25 4x4 = 16 3x3 = 9 2x2 = 4 Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 7

8 I quadrati sono = = 55 quadrati. 1 4x5 = 20 4x5 = 20 3x5 = 15 3x5 = 15 2x5 = 10 2x5 = 10 1x5 = 5 1x5 = 5 4x3 = 12 3x4 = 12 2x4 = 8 4x2 = 8 1x4 = 4 1x4 = 4 2x3 = 6 3x2 = 6 1x3 = 3 1x3 = 3 1x2 = 2 Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 8

9 1x2 = 2 I rettangoli sono 2x( ) = 2x85 = 170 Soluzioni_Sup-T_III-Ed._Giochi_di_Achille ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] pag. 9