Problemi sui rettangoli con le incognite
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- Sofia Giuseppina Volpe
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1 Problemi sui rettangoli con le incognite
2 Problemi tipo somma e differenza di dimensioni La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è35 cm la loro differenza è5 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + = 35 cm b = 5 cm A cosa corrisponde b +? Col compasso puntato su B e apertura tracciamo un arco AE; il segmento EC èuguale a b + Vediamo sulla figura a cosa corrisponde b - = 5 cm Col compasso puntato su B e apertura tracciamo un arco AF BF èuguale ad perciò i 5 cm (il valore con cui la base supera l altezza) sarà pari a al segmento FC Proviamo a toglierlo, cosa succede? 5 cm Rimangono due segmenti uguali ad EF = EC FC cioèef = 35 cm 5 cm EF = + = 2 2 = 35 cm 5 cm = 30 cm = 30 cm : 2 = 15 cm b = 15 cm + 5 cm = 20 cm 2P = (b+ ) x 2 = ( ) cm x 2 = 70 cm A = b x = 20 cm x 15 cm = 300 cm 2
3 Problemi del tipo una dimensione supera l altra l di. La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è60 cm una supera l altra di 12 cm trovare perimetro ed area del rettangolo b + = 60 cm b = + 12 cm A cosa corrisponde b +? Col compasso puntato su B e apertura tracciamo un arco AE; il segmento EC èuguale a b + Col compasso puntato su B e apertura tracciamo un arco AF Il segmento FC èesattamente la porzione di b ce supera e sarà uguale a 12 cm Proviamo a toglierlo, cosa succede? 12 cm Rimangono due segmenti uguali ad EF = EC FC cioèef = 60 cm 12 cm EF = + = 2 2 = 60 cm 12 cm = 48 cm = 48 cm : 2 = 24 cm b = 24 cm + 12 cm = 36 cm 2P = (b + ) x 2 = ( ) cm x 2 = 120 cm A = b x = 36 cm x 24 cm = 864 cm 2
4 .. Ma sono uguali!!!! I due problemi ce abbiamo appena visto sono perfettamente identici ance se sono scritti in forma diversa Posso scrivere ce la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e la loro differenza è di 6 cm Ma ance la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e una supera l altra di 6 cm Non cambia assolutamente nulla!!! b + = 26 cm b = 6 cm 2 = 26 cm 6 cm = 20 cm = 20 cm : 2 = 10 cm b = 10 cm + 6 cm = 16 cm 10 cm 6 cm
5 .variante col perimetro Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro ce altro non è ce la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo èdi 120 cm, e la differenza delle sue dimensioni èdi 20 cm. Trovare l area del rettangolo P = 2P : 2 = 120 cm : 2 = 60 cm b + = 60 cm b = 20 cm 2 = 60 cm 20 cm = 40 cm = 40 cm : 2 = 20 cm b = + 20 cm = ( ) cm = 40 cm A = b x = 20 x 40 cm 2 = 800 cm 2 20 cm
6 Problemi La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 84 cm una supera l altra di 18 cm trovare perimetro ed area La somma della base e dell altezza di un triangolo è di 324 cm, la base supera l altezza di 38 cm trovare perimetro ed area La somma della base e dell altezza di un rettangolo è di 129 cm, la loro differenza è di 65 cm trovare perimetro ed area La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 145 m la loro differenza è di 47 m. trovare perimetro ed area
7 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è.. una multipla di un altra La somma delle dimensioni di un rettangolo èdi 44 cm una èil triplo dell altra. Trovare l area b + = 44 cm b = 3 Col compasso puntiamo in B e con apertura tracciamo l arco AE Il segmento EC saràuguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo ce EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad Questo significa ce b + può essere suddivisa in 4 parti uguali ad perciò 4 = 44 cm 4 = 44 cm; = 44 cm : 4; = 11 cm b = 3 x = 3 x 11 cm = 33 cm A = b x = 33 cm x 11 cm = 363 cm
8 Osserviamo i seguenti casi La somma delle due dimensioni è33 cm una èil doppia dell altra b = 2 EC = 3 EC = 33 cm EC = 3 3 = 33 cm : 3 = 11 cm La somma delle due dimensioni èdi 48 cm una èil triplo dell altra b = 3 EC = 4 EC = 48 cm EC = 4 4 = 48 cm = 48 cm : 4 = 12 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la somma delle dimensioni per «una unità superiore a quella del multiplo» La somma delle due dimensioni èdi 60 cm, una èil quadruplo dell altra b = 4 EC = 5 EC = 60 cm EC = 5 5 = 60 cm = 60 cm : 5 = 12 cm Infatti se b + = 60 cm b = 3 sostituiamo 3 + = 60 cm; 4 = 60 cm
9 .. varianti col perimetro Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro ce altro non è ce la somma delle due dimensioni Il perimetro di un rettangolo èdi 90 cm, e una dimensione èil doppio dell altra. Trovare l area del rettangolo P = 2P : 2 = 90 cm : 2 = 45 cm b + = 45 cm b = 2 3 = 45 cm = 45 cm : 3 = 15 cm b = 2 x = 15 cm x 2 = 30 cm A = b x = 15 x 30 cm 2 = 450 cm 2
10 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è.. una supera di.. il multiplo dell altra La somma delle dimensioni di un rettangolo èdi 61 cm, una supera di 13 cm il triplo dell altra. Trovare l area b + = 61 cm b = cm Col compasso puntiamo in B e con apertura tracciamo l arco AE Il segmento EC saràuguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo ce EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad piùun pezzo ce misura 13 cm Se io tolgo questo pezzo ottengo una lungezza ce saràil triplo della dimensione piùpiccola In pratica io o ce: + b = cm = 61 cm 13 cm Da cui ricavo ce 4 = 61 cm 13 cm = 48 cm = 48 cm : 4 = 12 cm b = cm sostituiamo b = 3 x 12 cm + 13 cm = 36 cm + 13 cm = 49 cm A = b x = 12 cm x 49 cm = 588 cm 2
11 Problemi La somma delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dell altra. Trovare l area del rettangolo La somma della base e dell altezza di un rettangolo è 144 cm. L altezza è il triplo della base. Trovare l area La somma della dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell altra. Trovare l area del rettangolo La base e l altezza di un rettangolo sono una il doppio dell altra. La loro somma è di 96 cm. Trovare l area. La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 149 cm, una supera di 13 cm il triplo dell altra. Trovare l area
12 Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è.. una multipla di un altra La differenza delle dimensioni di un rettangolo èdi 44 cm una èil triplo dell altra. Trovare perimetro ed area b = 44 cm b = 3 Col compasso puntiamo in B e con apertura tracciamo l arco AE Per definizione BE = A questo punto EC saràproprio la differenza fra b ed Se prima BC era formato da tre segmenti uguali ad, ora, dopo la sottrazione, ne resteranno solo 2 EC = b EC = 2 2 = 44 cm = 44 cm : 2 = 22 cm b = x 3 Sostituisco ad il suo valore b = 22 cm x 3 = 66 cm 2P = (b + ) x 2 = ( ) cm x 2 2P = 88 cm x 2 = 176 cm A = b x = 22 x 66 cm 2 = 1452 cm 2
13 Osserviamo i seguenti casi La differenza delle due dimensioni è33 cm una è il doppia dell altra b = 2 EC = EC = 33 cm = 33 cm b = 33 cm x 2 = 66 cm La differenza delle due dimensioni èdi 48 cm una èil triplo dell altra b = 3 EC = 2 EC = 48 cm EC = 2 2 = 48 cm = 48 cm : 2 = 24 cm Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la differenza delle dimensioni per «una unità inferiore a quella del multiplo» La differenza delle due dimensioni è di 60 cm, una èil quadruplo dell altra b = 4 EC = 3 EC = 60 cm EC = 3 3 = 60 cm = 60 cm : 3 = 20 cm Infatti se b = 60 cm b = 3 sostituiamo 3 = 60 cm; 2 = 60 cm
14 Problemi La differenza delle due dimensioni di un rettangolo è 45 cm, una è il doppio dell altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza della base e dell altezza di un rettangolo è 144 cm. L altezza è il triplo della base. Trovare perimetro ed area La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo La base e l altezza di un rettangolo sono una il doppio dell altra. La loro differenza è di 96 cm. Trovare perimetro ed area.
15 Problemi del tipo la somma di due dimensioni è una è una frazione di un altra La somma delle dimensioni di un rettangolo èdi 104 cm una èi 3/5 dell altra. Trovare l area del rettangolo Analizziamo la situazione ce propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore èlunga quanto 3 di queste parti Col compasso puntiamo in B e con apertura tracciamo l arco AE Il segmento EC saràuguale alla somma delle due dimensioni Se osserviamo attentamente vediamo ce EC può essere suddivisa in 8 parti uguali ad Questo significa ce b + può essere suddivisa in 8 parti uguali ad perciò 8 = 104 cm = 104 cm : 8 = 13 cm ècostituita da 3 perciò: = 13 cm x 3 = 39 cm b ècostituita da 5 perciò: = 13 cm x 5 = 65 cm A = b x = 13 x 65 cm2 = 845 cm 2
16 .. varianti col perimetro Il perimetro di un rettangolo èdi 216 cm, e la base èi 4/5 dell altezza. Trovare l area del rettangolo Il segmento EC = b + altro non èce il semiperimetro e questo risulta suddiviso in 9 Con b = 4 e = 5 EC = P = 2P : 2 = 216 cm : 2 = 108 cm 9 = 108 cm = 108 cm : 9 = 12 cm b = 4 x = 4 x 12 cm = 48 cm = 5 x = 5 x 12 cm = 60 cm
17 Problemi Il perimetro di un rettangolo è di 210 cm; l altezza è i 2/5 della base. Trovare l area La somme delle dimensioni di un rettangolo è di 234 cm, l altezza è i 5/8 della base. Trovare l area del rettangolo La somma delle dimensioni di un rettangolo vale 854 cm, una è i 3/11 dell altra. Trovare l area del rettangolo Il perimetro di un rettangolo è di 960 dm, l altezza è i 7/8 della base. Trovare l area del rettangolo
18 Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è una è una frazione di un altra La differenza delle dimensioni di un rettangolo èdi 104 cm una èi 3/5 dell altra. Trovare l area del rettangolo Analizziamo la situazione ce propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore èlunga quanto 3 di queste parti Col compasso puntiamo in B e con apertura tracciamo l arco AE Il segmento EC saràuguale alla differenza delle due dimensioni Percé BE, per costruzione, è uguale ad Se osserviamo attentamente vediamo ce EC risulta composta di 2 sole parti uguali ad (5-3 = 2 ) Questo significa ce b - può essere suddivisa in 2 parti uguali ad perciò 2 = 104 cm = 104 cm : 2 = 52 cm ècostituita da 3 perciò: = 52 cm x 3 = 156 cm b ècostituita da 5 perciò: = 52 cm x 5 = 260 cm
19 Problemi La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 42 cm, una dimensione è i 4/7 dell altra, trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza fra la base e l altezza di un rettangolo è di 160 cm. La prima è gli 8/3 della seconda. Trovare perimetro ed area del rettangolo In un rettangolo la base è i 2/9 dell altezza, la differenza fra le due dimensioni è di 84 cm. Trovare perimetro ed area del rettangolo La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 12 cm, una è gli 8/9 dell altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo
20 Problemi del tipo l area l è una dimensione è una frazione di un altra L area di un rettangolo e di 2880 cm 2, una dimensione èi 4/5 dell altra. Trova il perimetro del rettangolo Come al solito le dimensioni risultano suddivise in parti uguali a, la base 5 e l altezza 4 Però non posso trattarle come le o trattare fino adesso percénon o una lungezza ma o un area. Devo fa riferimento ad un area unitaria, formata un quadrato il cui lato sia A questo punto posso ottenere semplicemente facendo la radice quadrata dell area di questo quadrato. Se moltiplico 5 x 4 (i termini del rapporto) mi rendo conto ce l area può essere suddivisa in 20 quadratini unitari 144 cm 2 5 x 4 = 20 2 A = 20 2 = 2880 cm 2 Per trovare l area di 2 debbo perciò dividere l area per 20 2 = 2880 cm 2 : 20 = 144 cm 2 = 144 cm 2 = 12 cm b = 12 cm x 5 = 60 cm = 12 cm x 4 = 48 cm 2P = (b + ) x 2 = ( ) cm x 2 = 216 cm
21 problemi Un rettangolo a l area di1690 cm 2. Le sue dimensioni sono una i 2/5 dell altra. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo a l area di 8092 cm 2. Le sue dimensioni sono una i 4/7 dell altra. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo a l area di 2904 cm 2. la base è i 3/8 dell altezza. Trovare il perimetro del rettangolo Un rettangolo a l area di 154,35 m 2. la base è i 7/5 dell altezza. Trovare il perimetro del rettangolo
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