DAL PROBLEMA ALL EQUAZIONE

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1 DAL PROBLEMA ALL EQUAZIONE Ecco un problema semplice, ma, per risolverlo, ci si deve pensare: È dato un rettangolo diviso in due rettangoli A e B. Il perimetro del rettangolo A è il triplo del perimetro del rettangolo B. Quali sono le dimensioni del rettangolo B? A B 4 cm 0 cm Lo si risolve facilmente se si traduce l enunciato del problema in un equazione. Prima si sceglie l incognita: x è la dimensione sconosciuta del rettangolo B. Si può allora completare il disegno in questo modo: 0 - x x A B 4 cm 0 cm Poi si traducono le indicazioni date nel problema in un equazione: = Il perimetro del rettangolo A è il triplo del perimetro del rettangolo B. Si risolve l equazione: Le dimensioni del rettangolo sono Spesso l equazione è uno strumento efficace per risolvere problemi. 1

2 Esempio 1 Alice ha anni, mentre sua sorella Marta ne ha 1. Fra quanti anni l età di Marta sarà doppia di quella di Alice? Indichiamo con t il numero di anni che devono trascorrere. Età di Alice Età di Marta ora 1 fra t anni Ed ora possiamo tradurre la domanda del problema in equazione: = = t = Fra anni l età di Marta sarà doppia di quella di Alice, perché allora l età di Marta sarà di e l età di Alice sarà di Esempio In un trapezio rettangolo la base minore è di cm più corta di quella maggiore. La sua area è di,6 cm e la sua altezza è di 4 cm. Qual è la misura della base minore? b Chiamiamo b la misura della base minore. Completiamo il disegno con le informazioni del testo L area di un trapezio è data dalla formula Somma delle basi x altezza. In essa sostituiamo i dati del problema che abbiamo indicato nel disegno. Otteniamo così l equazione:

3 Risolviamola: La base minore misura Esempio Il perimetro di un triangolo è 60 cm. Determina la misura di ciascun lato sapendo che il secondo e il terzo lato sono rispettivamente il doppio e il triplo del primo. Chiamiamo x la misura del primo lato. Quindi la misura del secondo lato è x e quella del terzo lato è x. L equazione che traduce il problema è Risolviamola: I lati misurano rispettivamente cm, cm e cm. Però, osservando le misure dei lati ci si accorge che Quando si mette in equazione un problema è opportuno procedere in quattro fasi: 1. Si sceglie l incognita ;. si traduce l enunciato del problema in un equazione ;. si risolve l equazione ; 4. si controlla che la soluzione dell equazione sia soluzione del problema.

4 AD OGNI PROBLEMA LA SUA EQUAZIONE 1. Le piramidi di caselle sono costruite rispettando le seguenti regole: - ogni casella contiene un numero: - la somma dei numeri di due caselle adiacenti è uguale al numero nella casella che sta sopra di esse. Completa le seguenti piramidi. a) b) Il terreno rettangolare raffigurato è suddiviso in quattro parti rettangolari uguali. Se il perimetro del terreno è di 80 m, qual è la sua area?. Dove occorre mettere il punto P, sul segmento AB, affinché il poligono APEF abbia la stessa area del poligono BCDEP? Dove occorre mettere il punto P, sul segmento AB, affinché il poligono APEF abbia lo stesso perimetro del poligono BCDEP? Le misure indicate nel disegno sono in centimetri. Indica con x la misura di AP. F 8,9 10 D E 8 C A P B 4

5 4. Un ragazzo ha in tasca, CHF in monete da 1 CHF, 0 ct, 0 ct, 10 ct, ct. Se il numero di monete di ogni tipo è lo stesso, quante monete ha in tasca in totale?. ABCD è un rettangolo. Il rettangolo DEFG e il trapezio BCGF hanno la stessa area. A E D 6 cm Quanto è, in cm, l area di ABFE? F 8 cm G 4 cm B C 6. Due ragazzi, distanti m, partono contemporaneamente e camminano l uno verso l altro alle velocità rispettive di 1, m/s e m/s. 1, m/s m/s m i) Dopo quanto tempo si incontrano? ii) Che distanza ha percorso ognuno?. Sui due piatti di una bilancia si trovano sacchetti e 16 monete tutte uguali (vedi figura). I sacchetti contengono tutti la medesima quantità di monete, uguali a quelle che stanno fuori. I due piatti sono in equilibrio. Quante monete contiene ciascun sacchetto? ( il peso dei sacchetti è trascurabile)

6 ESERCIZI SULLE EQUAZIONI Risolvere le seguenti equazioni nell insieme dei numeri razionali. a) 1x 4 = 16 b) -x + = -10 c) (x + ) : = d) 0 + x = 10 e) x 0 = x f) x = x g) x + 1 = x - 4 h) 8x + 4 = 9x - m),x 4, =,4 x n) x = 0x Eseguire i seguenti calcoli: a) 1 b) 1 6 a c) 6 n d) 1 a x e) 4 f) Risolvere le seguenti equazioni nell insieme dei numeri razionali. x a) 1 x b) x x 1 x 1 c) x d) 6 4 e) x x 8 x f) g) 9 x x h) x x 8 9 6

7 PROBLEMI ED EQUAZIONI Risolvi i seguenti problemi mediante un equazione. Quelli di geometria devono essere tradotti prima in un disegno. 1. Qual è il numero tale che il suo doppio, diminuito di 9, è uguale al numero stesso, aumentato di? (1). Il peso di 6 mele è uguale a quello di 1 arance. Calcola il peso medio di un arancia sapendo che supera di g il peso medio di una mela. (180 g). Luigi ha 4 anni più di Silvio, che, a sua volta ha anni più di Carlo. Se complessivamente hanno 4 anni, qual è l età di ciascun ragazzo? (8, 11, 1) 4. L età di un figlio è gli /1 dell età del padre. Trovare le due età, sapendo che fra tre anni l età del padre sarà doppia di quella del figlio. (4, 1). I / dei veicoli posteggiati in una piazza sono automobili, i / dei rimanenti sono motociclette; infine ci sono 8 autobus. Quanti veicoli si trovano sulla piazza? (60) 6. In un triangolo isoscele gli angoli alla base hanno ampiezza doppia del terzo angolo. Determina le ampiezze dei tre angoli. (,, 6 ). Una donna greca, recatasi al tempio di Giove, pregava il dio di raddoppiarle il denaro che aveva con sé. Esaudita nella sua richiesta, gli offrì in ringraziamento 0 dracme. Col rimanente denaro andò al tempio di Apollo, fece la stessa domanda, fu esaudita ed offrì in ringraziamento 0 dracme. Dopo ciò, contando il suo denaro, lo trovò, con piacere, doppio di quello che aveva all inizio. Quanto denaro aveva inizialmente portato con sé? (0) 8. Un lato di un rettangolo è uguale ai /10 del suo perimetro e supera di cm 1 l altro lato. Calcolare l area del rettangolo. (864 cm ) 9. In un parallelepipedo retto uno spigolo di base è il doppio e l altro è il triplo dell altezza del solido. L area totale è di 00 cm. Trova il suo volume. (6000 cm ) 10. Un cilindro circolare retto ha l altezza uguale al diametro della base. Il suo volume è di 100 cm. Trova l area totale del solido. ( 11,81 cm ) 11. Dividi il numero 000 in tre parti in modo che la prima parte superi la seconda di 000 e la terza sia i /4 della seconda. (1000, 10000, 90000) 1. Nella tasca sinistra ho il triplo dei soldi che ho nella tasca destra. Tolgo 10 franchi dalla tasca sinistra e li metto in quella di destra. Adesso nella tasca destra ho 6 franchi in più rispetto ai soldi che ho nella tasca sinistra. Quanti soldi avevo all inizio in ognuna delle due tasche? ( CHF, 1 CHF)

8 TRE ROMPICAPO DI SAM LOYD Quanti bicchieri servono per equilibrare la bottiglia? Nella seconda situazione c è un piattino a destra, nella terza situazione i piattini sono tre. Il mattone a sinistra è equilibrato a destra da tre quarti di mattone e da una massa di tre quarti di libbra. Qual è la massa del mattone intero? La signora O Toole è molto sensibile al risparmio, per questo vorrebbe pesare se stessa, il piccolo bambino ed il cane con una sola moneta. Sappiamo che ella pesa 100 libbre più del cane e del bambino assieme e che il cane pesa sessanta per cento in meno del bambino. La bilancia segna 10 libbre. Quanto pesa il bambino? I tre problemi sono tratti da Sam Loyd, Passatempi matematici, Sansoni