LE EQUAZIONI DI MAXEWLL (Propedeutiche all Introduzione alle Teorie Dinamo) Antonio Meloni. Geofisica Generale ed Applicata. Univ. Roma Tre,

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1 LE EQUAZIONI DI MAXEWLL (Propedeutiche all Introduzione alle Teorie Dinamo) Antonio Meloni Geofisica Generale ed Applicata Uni. Roma Tre, (15 pagine)

2 Le equazioni di Maxwell Le equazioni di Maxwell sono le 4 equazioni tra le piu importanti nella scienza. I due teoremi di Gauss, rispettiamente per I campi elettrici e magnetici, la legge di Faraday- Neumann e la legge detta di Ampere Maxwell. Il loro ambito e l elettromagnetismo e in questa presentazione erranno introdotte in quanto fondamentali per la parte di geofisica che si occupa delle applicazioni in elettromagnetismo. Lo studio della meccanica si fonda su tre elementi base: spazio, tempo e massa. Nella descrizione dei fenomeni dell elettromagnetismo è necessaria l introduzione di una quantità addizionale. Si introduce tradizionalmente il concetto di carica elettrica. Gli elementi base dientano quindi l, m, t e q (carica elettrica). La mutua interazione fra carica elettrica q e correnti i (i=q/t) iene descritta in termini di campi elettrici e induzione magnetica E, B. La definizione operatia di questi campi è data dalla forza generata su una carica elettrica e causata da tutte le altre cariche.

3 . I campi elettrico e magnetico engono definiti da E e H e dipendono dal tipo di materia che riempie lo spazio e dalla distribuzione di cariche ii presente. Ai due termini campo E ed H engono aggiunti per completezza i termini detti induzione elettrica D e induzione magnetica B. D iene introdotto per descriere l'effetto delle cariche di polarizzazione elettrica sulla configurazione spaziale e temporale dei campi. Nel caso del magnetismo H (campo magnetico) descrie l'effetto delle correnti elettriche, mentre B (induzione magnetica) iene introdotto per descriere adeguatamente i fenomeni magnetici all interno della materia. Per materiali omogenei ed isotropi il rapporto tra B ed H è ben descritto dalla permeabilità magnetica del mezzo, un indicatore della tendenza del materiale a magnetizzarsi. Nei mezzi non conduttori le relazioni engono rappresentate, rispettiamente nei due sistemi di unità SI (o mks) e Gauss): SI (mks) D E 0 re B H H 0 r (Gauss) D E B H 0 0 = Costante dielettrica, Farad/m = Permeabilità magnetica, Henry/m In quel che segue siano =densità spaziale di carica; =conducibilità elettrica. Nei conduttori (corpi con cariche libere di muoersi) troeremo anche la forma ettoriale della legge di Ohm per la densità di corrente elettrica J J E

4 Quella qui riportata è la forma differenziale delle equazioni di Maxwell. Le due diergenze sono rispettiamente note come teorema di Gauss, nel caso elettrico e nel caso magnetico. Le due azioni come equazioni di Faraday e di Ampere nei due sistemi di misura normalmente usati. SI (mks) (Gauss) di di D B 0 di D 4 di B 0 B E t H J D t 1 B E c t H 4 J c 1 c D t In quel che segue erranno meglio spiegate le notazioni usate e il significato delle equazioni stesse. c sia la elocità della luce c 2 =1/ 0 0

5 Il Flusso di un ettore In un campo ettoriale il flusso elementare di un ettore attraerso una superficie chiusa, si definisce a partire dai ettori passanti attraerso una superficie elementare (ds) e quindi al suo integrale che abbraccia tutta la superficie S: d( ) ( ) S n ds n ds Intendendo con l angolo fra la normale alla superficie e la direzione del ettore. Il flusso di un campo ettoriale è anche uguale al numero di linee di forza che attraersano tale superficie (criterio di Faraday). Useremo in quel che segue anche l operatore gradiente (nabla ). In coordinate cartesiane nabla agisce come una deriata direzionale, trasformando uno scalare in un ettore. Ad esempio applicato a uno scalare T le componenti del ettore ottenuto saranno T T T T,, x y z La diergenza di un ettore è una quantità scalare ottenuta dalla somma delle tre deriate direzionali delle componenti di un dato ettore. La diergenza si può ottenere mediante l applicazione del nabla al ettore con l operazione di prodotto scalare. di x x y y S ( ) n ds di S V z z dv ds n Il teorema della diergenza Il teorema esprime il concetto che il flusso di un ettore attraerso una superficie S è anche uguale alla sua diergenza integrata nel olume V racchiuso dalla superficie

6 Il DELTA e un operatore ettoriale chiamato Nabla E e il ettore Campo Elettrico La densità di carica spaziale ro TEOREMA di GAUSS L operazione di applicare Nabla con prodotto scalare ad E da luogo alla diergenza di E La costante dielettrica epsilon che qui iene indicata nel uoto Le cariche elettriche producono campi elettrici e il flusso del campo elettrico attraerso una superficie chiusa è proporzionale alla densità di carica all interno Nel SI i campi Elettrici si misurano in V/m (o anche N/C); le densità spaziali di carica in C/m 3 e la costante dielettrica (nel uoto) in Farad m -1

7 Casi di Campi Elettrici Rappresentati da Linee di Forza

8 TEOREMA di GAUSS, MAGNETICO Anche qui il Nabla per Indicare, con prodotto scalare, l operazione di diergenza L induzione magnetica iene indicata con il ettore B Il flusso totale dell induzione magnetica attraerso una superficie chiusa è sempre nullo. Dato un certo olume di spazio il numero di linee di forza che i entrano (flusso negatio) eguaglia quindi quelle che ne escono (flusso positio). Ricordiamo che B H Nel SI i campi magnetici H si misurano in A/m e l induzione magnetica B in Tesla (o anche Weber /m 2 ) e in Henry/m la permeabilità nel uoto 0

9 Casi di Campi Magnetici Rappresentati Da Linee di Forza

10 Per ben comprendere il significato della azione è utile un richiamo al flusso di un ettore (isto prima) e alla circuitazione. La azione (in inglese curl) e una operazione ettoriale che può essere definita utilizzando l operatore nabla precedentemente introdotto. Infatti se applicato a un ettore, con l operazione di prodotto ettoriale, abbiamo dl La circuitazione di un ettore e definita da un integrale di linea chiuso su un percorso di passo dl n ds nds dl S S La circuitazione del ettore lungo una linea chiusa l è sempre uguale al flusso della azione attraerso una superficie S aente per contorno l. y x k x z j z y i z y x k j i x y z x y z z y x Teorema della circuitazione (teorema di Stokes) La azione di un ettore

11 Legge di Faraday-Newmann La azione del ettore campo Elettrico E B t Le ariazioni temporali del Vettore induzione magnetica Quindi il campo elettrico è irazionale (conseratio) solo se un campo magnetico non aria nel tempo, altrimenti il campo elettrico non è conseratio. Interpretando in base al teorema di Stokes si può edere che la circuitazione del campo Elettrico è uguale al flusso della deriata del campo di induzione magnetica attraerso qualsiasi superficie delimitata dalla linea chiusa di circuitazione

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13 La legge di Fraday-Neumann (con il introdotto da Lenz) introduce quindi campi elettrici che non sono generati da cariche statiche. Sino ad ora aeamo isto campi elettrici originanati, ad esempio, da cariche positie che poteano prolungarsi all infinito o terminare su cariche negatie. I campi elettrici introdotti con la legge di Faraday engono inece prodotti da campi magnetici ariabili nel tempo e le loro linee di forza non hanno quindi punti di origine o termine. I campi elettrici indotti da ariazioni di flusso di campo magnetico attraerso una data superficie, circolano come forza elettromotrice (fem) indotta nelle linee di circuitazione che delimitano la superficie stessa. (Se aria solo il campo magnetico ma non il flusso concatenato allora si genera solo campo elettrico e non fem). Se il percorso è materializzato da un conduttore elettrico allora la forza elettromotrice genera una corrente nel circuito corrispondente.

14 Legge di Ampere-Maxwell La azione del ettore campo Magnetico Il ettore densità di corrente elettrica Le ariazioni temporali del Vettore induzione elettrica H J D t Una corrente elettrica e/o una ariazione temporale di induzione elettrica generano un campo magnetico che si manifesta con linee di forza circolari attorno alla sorgente elettrica. Le ariazioni temporali del ettore induzione elettrica (o del campo elettrico) sono quindi equialenti a correnti elettriche anche se non consistono di cariche in moimento ma indicano che campi elettrici che ariano nel tempo inducono campi magnetici ariabili e iceersa (anche nel uoto!)

15 Con le equazioni di Maxwell quindi si certifica che, pur se i campi elettrico e magnetico possono essere considerati a se stanti separatamente, di fatto sono inseparabili. In presenza dell uno è sempre presente anche l altro (a parte casi limite che rientrano nelle ipotesi considerate puramente statiche). Per questo motio dopo Maxwell si parlerà sempre di Elettromagnetismo. Questo è stato il primo atto del sogno della scienza di unificare fra loro le forze naturali. In realtà oltre alla graità che già si conoscea, nel XX secolo si sarebbero scoperte altre forze nuoe destinate a complicare ulteriormente le cose, allontanando sempre di più il sogno della grande unificazione. Ma sicuramente Maxwell il suo contributo l aea dato