Diario Complementi di Probabilità a.a. 2018/2019

Diario Complementi di Probabilità a.a. 2018/2019 Testi di riferimento: [W] Probability with martingales, D.Williams [Bi] Probability and measure, P.Billingsley [Ba] Appunti del corso di Calcolo delle Probabilità II mod, P.Baldi [Ba2] Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, P.Baldi 1. 1 ottobre lunedì, Spazi di probabilità come spazi di misura in [W]: Cap.I, Paragrafi da 1.1 a 1.10 Spazi di misura (richiami): algebra, σ-algebra, σ-algebra generata da un sottoinsieme della famiglia delle parti, σ-algebra di Borel, funzione di insieme additiva e σ-additiva, vale 0 sul vuoto ogni funzione d insieme non negativa su un algebra che dà misura finita a tutto lo spazio e dà all unione disgiunta di elementi dell algebra, se questa appartiene ancora all algebra, misura pari alla somma delle misure dei singoli elementi (IN ESERCIZIO); misure finite e σ-finite. Spazi di probabilità (richiami): il teorema di convergenza monotona di una misura di probabilità (m.p.) e l assioma di continuità; le regole di calcolo e le disuguaglianze per una m.p.; la disuguaglianza di Boole (IN ESERCIZIO); una funzione d insieme additiva su una σ-algebra che verifica l assioma di continuità e dà misura 1 a tutto lo spazio è una m.p. Esempi: Ω generale con la più piccola σ-algebra diversa da quella banale; Ω generale con la σ-algebra delle parti e come m.p. la delta di Dirac in un singleton; Ω discreto con la σ-algebra delle parti e m.p. come somma pesata di delta di Dirac; gli intervalli [α, β) e [α, β] con i boreliani e la misura di Lebesgue normalizzata. Costruzione di misure di probabilità su (R, B(R)): funzione di distribuzione (f.d.); ogni m.p. determina una f.d. (IN ESERCIZIO); enunciato del risultato di estensione di Carathéodory; ogni f.d. determina una m.p. (idea della costruzione di Lebesgue-Stieltjes). 2. 4 ottobre giovedì, Indipendenza di famiglie di σ-algebre in [W]: Cap IV, Paragrafi 4.1, 4.2 e Appendici, A1.2, A1.3 e A1.4 Definizione di π-sistema e d-sistema; un d-sistema che è anche π-sistema è una σ-algebra; il lemma di Dynkin, ovvero la σ-algebra generata da un π-sistema contenuto in un d-sistema è nel d-sistema; due misure sulla σ-algebra generata da un π-sistema che coincidono sul π- sistema e danno lo stesso valore finito a tutto lo spazio coincidono sulla σ-algebra generata dal π-sistema (e quindi due m.p. sulla σ-algebra generata da un π-sistema che coincidono sul π-sistema coincidono sulla σ-algebra generata). Definizione di indipendenza per famiglie finite di σ-algebre; condizione sufficiente con l uso di π-sistemi generatori; come cambia il precedente enunciato nel caso di due σ-algebre (IN ESERCIZIO); relazione con la nozione elementare di indipendenza di una famiglia finita di eventi; n eventi sono indipendenti se e solo se lo sono le σ-algebre generate; sullo spazio 1

di Bernoulli finito la richiesta di equiprobabilità ed indipendenza delle prove, fissata la probabilità del successo, individua univocamente la m.p. 3. 5 ottobre, venerdì, Il Lemma di Borel-Cantelli in [W]: Cap II, Paragrafi dal 2.1 al 2.4 a), dal 2.5 al 2.7 e 2.9 e Cap IV, Paragrafo 4.3 Definizione di limsup e liminf di eventi; catena di disuguaglianze per le probabilità di limsup e liminf; lemma di Borel-Cantelli I e II enunciato; un controesempio che dimostra che l indipendenza è necessaria nel II enunciato. Indipendenza di famiglie non finite di σ-algebre e indipendenza di famiglie non finite di eventi; indipendenza a pacchetti di σ-algebre; ogni sequenza finita di teste e croci nello spazio di Bernoulli infinito si ripete infinite volte con probabilità 1. 4. 8 ottobre lunedì, La legge 0-1 in [W]: Cap.III, fino al Paragrafo 3.13 b) e Cap. IV, Paragrafo 4.10; [Ba]: Proposizione 1.2 Definizione di variabile aleatoria reale come applicazione misurabile da Ω in R boreliana; una condizione sufficiente affinché X sia una v.a.; il caso Ω topologico con la σ-algebra dei boreliani; le operazioni con le v.a. Esempi: l indicatrice di un evento; sullo spazio di Bernoulli infinito la v.a. che vale 1 se esce testa all n-mo lancio e 0 altrimenti e la v.a. che conta le teste uscite nei primi n-lanci; le applicazioni a valori reali da uno spazio discreto sono v.a. Definizione di v.a. a valori nella retta estesa; se qualsiasi sia ω esiste lim n X n (ω), allora lim n X n è v.a. in [, + ]; fissato l R, (lim n X n = l) è un evento (IN ESERCIZIO); ( lim n X n R) è un evento (IN ESERCIZIO). La σ-algebra generata da una v.a. e da una famiglia di v.a.; la σ-algebra generata da una v.a. su Ω discreto (IN ESERCIZIO). Indipendenza di famiglie di v.a. come indipendenza della famiglia di σ-algebre generate e quindi indipendenza degli eventi come indipendenza della famiglia di indicatrici. Definizione di σ-algebra coda; fissato l R, (lim n X n = l) è evento della σ-algebra coda; (lim n X n = + ), ( lim n X n R) e ( n X n < + ) sono eventi della σ-algebra coda (IN ESERCIZIO). La legge 0-1. X limsup n X n è misurabile rispetto alla σ-algebra coda; limsup 1 +...+X n n n alla σ-algebra coda (IN ESERCIZIO). è misurabile rispetto 5. 11 ottobre giovedì, Esistenza di v.a. in[bi]: Paragrafo 31; [Folland]: pag.102 Legge di una v.a. e sua f.d.; per le funzioni sulla retta monotone crescenti, a valori in [0,1], con asintoto 0 a sinistra: proprietà (esistenza dei limiti destro e sinistro, discontinuità solo 2

di salto, salti al più numerabili, esistenza delle derivata (senza dimostrazione)), definizione di parte a salti e parte continua, parte assolutamente continua e parte singolare e decomposizione di Lebesgue; il massimo tra una v.a. di legge esponenziale ed una costante come esempio di v.a. con f.d. né continua, né a salti. Le inverse generalizzate X e X +. IN ESERCIZIO: se la f.d. F è iniettiva allora F 1 su ( (0, 1), B((0, 1)), Leb (0,1) ) ha f.d. pari a F ; X è c.a.s. e X + è c.a.d.; X (ω + ) = X + (ω) per ω [0, 1). 15 ottobre lunedì, Lezione sospesa 6. 18 ottobre giovedì, Lo spazio L 1 (P ) in[w]: Cap.VI, Paragrafi 6.1, 6.2, 6.4, 6.6 Quadro dei principali risultati di integrazione astratta; le v.a. integrabili; esempi elementari di calcolo di medie; la media di una v.a. non negativa; disuguaglianze di Markov e di Jensen. 7. 19 ottobre venerdì, Gli spazi L p (P ) in [W]: Cap.VI, Paragrafi 6.8, 6.9 e Cap.VII, Paragrafi 7.1, 7.2 Le v.a. con momento assoluto di ordine p finito; disuguaglianze di Schwartz-Hoelder e Minkowski (dimostrate per p=2); media del prodotto di v.a. indipendenti (dimostrato per v.a. non negative, in ESERCIZIO il caso generale); Legge Forte dei Grandi Numeri con il momento quarto: dimostrazione del caso v.a. centrate, in ESERCIZIO il caso generale. IN ESERCIZIO: Il polinomio di Bernstein 8. 22 ottobre lunedì, Convergenza q.c., in probabilità e in L p (P ) in [W]: Cap.VII, Paragrafi 7.4 [Ba]: Cap 3, Paragrafo 3.3, Proposizione 3.5, Proposizione 3.7, Esempio 3.27.2 Definizioni di convergenza P -q.c., in probabilità e in L p (P ). Condizione equivalente alla convergenza P -q.c. in termini dell evento limsup A δ n. Dimostrazione dell unicità del limite P -q.c. e del fatto che se due sequenze convergono P -q.c. allora la loro somma converge P -q.c.. Dimostrazione del fatto che la convergenza P -q.c. implica quella in prob.tà e che quella in prob.tà implica la convergenza P -q.c. di una sottosuccessione. in ESERCIZIO l unicità del limite in prob.tà.dimostrazione del fatto che la convergenza in L p (P ) implica la convergenza in prob.tà e che la convergenza P -q.c.,quando le v.a. sono dominate da una v.a. non negativa in L p (P ), implica la convergenza in L p (P ). in ESERCIZIO: l unicità del limite in L p (P ); convergenza in L p (P ) implica convergenza in L r (P ) con 1 r p;convergenza in L p (P ) implica convergenza delle medie. Studio di convergenza: Legge forte dei Grandi Numeri di Rajchmann. ξ n log n, n 2, con ξ n, n 2 i.i.d. esponenziali di parametro λ. 3

9. 25 ottobre giovedì, Convergenza in legge in [W]: nel Cap XVII, Lemma 17.2, [Bi]: nei Paragrafi 25 e 29 e in particolare Teorema 25.2 e Teorema 25.7 e Corollari 1 e 2 e Teorema 29.1 IN ESERCIZIO Le medie dei valori assoluti di una sequenza di v.a. convergono se la sequenza di v.a. converge è in L p (P ), per qualche p 1; in generale le medie non convergono se la sequenza di v.a. converge q.c. e come controesempio IN ESERCIZIO X n = n 2 1 con probabilità 1 1 n e X n = 1 con probabilità 1 n ; CNES per la convergenza in prob.tà: ogni sottosequenza ha una sottosequenza convergente P q.c.; se h è continua e X n converge in prob.tà a X, allora h X n converge in prob.tà a X; convergenza in legge come convergenza delle medie di funzionali continui e limitati; equivalenza con la convergenza in distribuzione e per la dimostrazione IN ESERCIZIO Y ( ) n liminf Y n ( ) limsup Y n (+) Y (+) ; IN ESERCIZIO unicità in legge del limite in legge; teorema del mapping continuo: se c è convergenza in legge converge in legge anche la sequenza ottenuta componendo con una funzione che è continua a meno di un insieme di misura limite (cioè secondo la legge del limite) nulla; IN ESERCIZIO se una sequenza di v.a. è limitata e converge in legge, allora converge la sequenza delle medie alla media del limite; un enunciato di Portmanteau: la convergenza in legge di una sequenza di v.a. equivale alla convergenza della misura (secondo la legge della sequenza) di quei boreliani che hanno frontiera di misura limite nulla. 10. 26 ottobre venerdì, Correzione esercizi e complementi di convergenza in legge Correzione esercizi. Convergenza in probabilità implica convergenza in legge; convergenza in legge ad una costante implica convergenza in probabilità. 11. 5 novembre lunedì, Convergenza debole di misure di probabilità in [Bi]: nei Paragrafi 25 e [Ba]: nel Cap. 2 Tightness e convergenza debole (o stretta) di una sequenza di m.p. e di una sequenza di f.d.: Teorema di Helly (in [Bi] Teorema 25.9 e in [W] Lemma in Sec.17.4); una sequenza di f.d. tight ammette una sottosequenza debolmente convergente ad una f.d. (in [Bi] Teorema 25.10); data una sequenza di f.d. tight, se tutte le sottosequenze debolmente convergenti convergono allo stesso limite, allora quello è anche limite debole della sequenza (in [Bi] Corollario al Teorema 25.10). 12. 8 novembre giovedì, I teoremi di Lévy in [W]: Cap XVIII Paragrafi 18.1, 18.3, 18.4 Enunciato del I Teorema di Lévy (Teorema di inversione) e dimostrazione del suo corollario: la funzione caratteristica individua unicamente la legge. Dimostrazione del II Teorema di Lévy (Teorema di convergenza) e suo corollario: convergenza in legge di v.a. equivale a convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche. 13. 9 novembre venerdì, Confronto di misure di probabilità in [Folland]: Cap III Paragrafo 2 e in [Cannarsa, D Aprile] Cap.8 e in particolare Paragrafi 8.1 e 8.2.1 4

Definizione di assoluta continuità di una m.p. Q rispetto ad un altra m.p. P e della derivata di Radon-Nikodym. Il caso della m.p. Q ottenuta integrando rispetto a P una v.a. non negativa di media 1. Enunciato del Teorema di Radon-Nikodym per mi. L integrazione sotto Q di una v.a. X come integrale sotto P di X dq dp (non dimostrato). La proprietà di assoluta continuità è transitiva. Il caso dq dp > 0, P -q.c.:q e P equivalenti e Q. La decomposizione di Lebesgue (non dimostrata). 14. 12 novembre lunedì, una lezione e mezza, Medie condizionate data una σ-algebra in [W]: in Cap IX, in [Cannarsa, D Aprile] Cap.8 e in particolare Teorema 8.24, in [Folland] Cap.III in particolare pp. 84,85,86 esercizio 17 p.87 Svolgimento di due esercizi Definizione di media condizionata e cenni alla sua esistenza con il Teorema di Radon- Nicodym per le misure con segno; equivalenza del secondo assioma con la condizione E [W E[X G]] = E[W X] per ogni v.a. W 0, G-misurabile tale che W X L 1 (P ); il caso di G generata da una partizione; principali proprietà della media condizionata: unicità, X 0 implica E[X G] 0, P -q.c. (IN ESERCIZIO); linearità, monotonia, passaggi al limite, ovvero teoremi di Beppo-Levi e convergenza dominata per le medie condizionate. 15. 16 novembre venerdì, Probabilità condizionata data una σ-algebra e sua versione regolare in [W]: in Cap IX Ancora proprietà della media condizionata: disuguaglianza di Jensen; il caso X G-misurabile; il caso X indipendente da G; il caso G banale; E[Y X G] con Y G-misurabile e Y X L 1 (P ); i condizionamenti successivi. Probabilità condizionata data una σ-algebra. Problema della versione regolare della probabilità condizionata data una σ-algebra. Enunciato dell esistenza della legge condizionata di una v.a. data una σ-algebra. Esistenza della versione regolare della probabilità condizionata su σ(x). 16. 19 novembre lunedì, una lezione e mezza, Legge e media condizionata di una v.a. data un altra v.a. in [W]: in Cap IX Dimostrazione dell esistenza della legge condizionata di una v.a. data una σ-algebra. Media condizionata data G come integrale rispetto alla legge condizionata data G. Il caso G = σ(z) con Z v.a. e in particolare il caso Z tale che X e Z hanno densità congiunta e il legame con la densità condizionata elementare. 17. 22 novembre giovedì, V.a. multidimensionali I V.a. multidimensionali: legge, funzione di distribuzione, esistenza, densità e densità marginali, indipendenza delle componenti. 5

18. 23 novembre venerdì, Correzione esercizi 19. 26 novembre, lunedì, V.a. multidimensionali II V.a. multidimensionali: proprietà della funzione caratteristica e sua derivabilità, enunciati di Lévy, definizione delle gaussiane multidimensionali, esistenza di una v.a. multidimensionale di parametri assegnati. 20. 29 novembre, giovedì, V.a. gaussiane V.a. gaussiane: significato dei parametri di una gaussiana multidimensionale, esistenza della densità se la matrice di covarianza è invertibile. 21. 30 novembre, venerdì, Esercizi Esercizi. Dimostrazione dell enunciato: se ξ e η sono v.a. e f : R 2 R è funzione misurabile con f(ξ, η) integrabile, quando η è G-misurabile vale E [ f(ξ, η) G ] = E [ f(ξ, z) G ] z=η 22. 3 dicembre, lunedì, una lezione e mezza, Martingale I in [W]: Cap X Paragrafi da 10.1 a 10.9 Definizioni, principali proprietà, due esempi di martingale, supermartingale e submartingale a tempo discreto; martingale (submartingale e supermartingale) trasformate mediante un processo prevedibile; tempi d arresto; supermartingale arrestate sono supermartingale (Par.10.9 di [W]). 23. 6 dicembre, giovedì, Martingale II in [W]: Cap X Paragrafo 10.10 Il Teorema d arresto di Doob. La σ-algebra associata ad un tempo d arresto. 24. 7 dicembre, venerdì, Martingale III in [W]: in Cap XI e Cap XII Proprietà della σ-algebra associata ad un tempo d arresto. Teorema del campionamento opzionale. Esercizi. 25. 10 dicembre, lunedì, una lezione e mezza, Martingale IV in [W]: in Cap XI e Cap XII Lemma degli attraversamenti di Doob e teorema di convergenza per le supermartingale uniformemente limitate in L 1 (P ) (Par.11.1,11.2,11.3,11.4,11.5 di [W]). Martingale quadrato integrabili: gli incrementi sono scorrelati; CNES per la uniforme limitatezza in L 2 (P ) (Teorema in Par.12.1 di [W], punto (a) del Teorema in Sec.12.2 di [W]); una martingala uniformemente limitata in L 2 (P ) converge P -q.c. e in L 2 (P ); una somma infinita di v.a. indipendenti, centrate e in L 2 (P ) converge P -q.c. quando converge la serie delle varianze. 6

26. 13 dicembre, giovedì, Martingale V in [Ba2]: Cap IV Lemma 4.8, Teorema 4.9, Teorema 4.10 Martingale in L p (P ), p > 1: disuguaglianza di Doob, convergenza e limitatezza in L p (P ). 27. 14 dicembre, venerdì, Martingale VI in [W]: Cap XIII e [Ba2] Proposizione 4.14, Teorema 4.15, Proposizione 4.16 Martingale in L 1 (P ): uniforme integrabilità per una famiglia di v.a.; due condizioni sufficienti per l uniforme integrabilità; uniforme integrabilità e limitatezza in L 1 (P ); una sequenza di v.a. limitata che converge in probabilità converge in L 1 (P ); Teorema di Vitali: convergenza in L 1 (P ) se e solo se convergenza in probabilità e uniforme integrabilità; una martingala converge in L 1 (P ) se e solo se è famiglia di v.a. uniformemente integrabili. 28. 17 dicembre, lunedì, Martingale VII in [W]: Cap XII Paragrafi 12.11, 12.12 Una martingala è famiglia di v.a. uniformemente integrabili se e solo se è ottenuta condizionando una v.a. integrabile (martingala regolare); il limite di martingala regolare come condizionamento all informazione completa. 29. 20 dicembre, giovedì, Martingale VIII in [W]: Cap XII Paragrafi 12.11, 12.12 La rappresentazione di una martingala uniformemente integrabile come media condizionata del suo limite. Decomposizione di Doob per un processo adattato ed integrabile; il caso di sub-martingala; il compensatore di una martingala in L 2 (P ) e l integrabilità del limite del compensatore come CNES affinché la martingala sia limitata in L 2 (P ). 30. 21 dicembre, venerdì, Martingale IX Teorema delle classi monotone di funzioni, una nuova proprietà delle medie condizionate, convergenza delle martingale rovesciate, Teorema di Kolmogorov. 7