Diario Complementi di Probabilità a.a. 2016/2017

Transcript

1 Diario Complementi di Probabilità a.a. 2016/2017 Testi di riferimento: [W] Probability with martingales, D.Williams [Bi] Probability and measure, P.Billingsley [Ba] Appunti del corso di Calcolo delle Probabilità II mod, P.Baldi [Ba2] Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, P.Baldi [N] Note del docente settembre, lunedì, [W]: Cap.I, Paragrafi da 1.1 a 1.10 Spazi di probabilità: la terna, le regole di calcolo e le proprietà della probabilità; una misura additiva che verifica l assioma di continuità è σ-additiva (dimostrazione). Esempi: la terna con un evento certo diverso da tutto Ω e come caso particolare la delta di Dirac in un singleton; gli spazi discreti, cioè Ω discreto con la σ-algebra delle parti; gli intervalli [0, 1) e [0, 1] con i boreliani e la misura di Lebesgue. Costruzione di misure di probabilità su R 1 : ogni m.p. determina una f.d. ; richiamo del risultato di estensione di Carathéodory; ogni f.d. determina una m.p. (idea della costruzione di Lebesgue-Stieltjes) settembre, mercoledì, [W]: Cap IV, Paragrafi 4.1, 4.2 e Appendici, A1.2, A1.3 e A1.4 Definizione delle classi di Dynkin; un d-sistema che è π-sistema è una σ-algebra (dimostrazione); il lemma di Dynkin, ovvero un d-sistema che contiene un π-sistema contiene la σ-algebra generata (dimostrazione; due probabilità che coincidono su un π-sistema coincidono sulla σ-algebra generata (dimostrazione). Definizione di indipendenza per famiglie di σ-algebre; condizione sufficiente con l uso di π-sistemi generatori (dimostrazione; relazione con la nozione elementare di indipendenza di una famiglia di eventi (dimostrazione); lo spazio di Bernoulli finito settembre, venerdì, [W]: Cap II, Paragrafi dal 2.1 al 2.4 a), dal 2.5 al 2.7 e 2.9 e Cap IV, Paragrafo 4.3 Richiamo delle definizioni di limsup e liminf; relazione con il limsup e liminf di indicatrici; catena di disuguaglianze per le probabilità di limsup e liminf; lemma di Borel-Cantelli I e II enunciato (dimostrazione). Esempio di applicazione di Borel-Cantelli: nello spazio di Bernoulli infinito ogni sequenza finita di teste e croci si ripete infinite volte con probabilità

2 4. 3 ottobre, lunedì, [Ba]: Proposizione 2.4; [N]: Bernoulli.pdf Indipendenza a pacchetti di σ-algebre. La misura di probabilità sullo spazio di Bernoulli infinito e l algebra dei cilindri (idea della dimostrazione) ottobre, mercoledì, [W]: Cap.III, fino al Paragrafo 3.13 b) e Cap. IV, Paragrafo 4.10; [Ba]: Proposizione 1.2 Definizione di variabile aleatoria reale come applicazione misurabile da Ω in R 1 boreliana; una condizione sufficiente affinché X sia una v.a. ; il caso Ω topologico; le operazioni con le v.a.. Esempi: l indicatrice di un evento; sullo spazio di Bernoulli infinito la v.a. che legge 1 se esce testa all -n-mo lancio e la v.a. che conta le teste uscite nei primi n-lanci; le applicazioni a valori reali da uno spazio discreto. Definizione di v.a. a valori nella retta estesa ed esempi; le v.a. semplici e l approssimazione monotona di v.a. non negative, uniforme se sono limitate. σ-algebra generata da una v.a. e da una famiglia di v.a.; indipendenza di famiglie di v.a. come indipendenza della famiglia di σ-algebre generate e quindi indipendenza degli eventi come indipendenza della famiglia di indicatrici; indipendenza delle v.a. sullo spazio di Bernoulli infinito parametrizzate da i che valgono 1 se all i-mo lancio esce testa. Definizione di σ-algebra coda; esempio di evento nella σ-algebra coda ottobre, venerdì, [W]: Cap.IV, Paragrafi 4.10 e 4.11 Nuovo esempio di evento nella σ-algebra coda; legge 0-1 di Kolmogorov; esempio di v.a. misurabili rispetto alla σ-algebra coda; {la frequenza relativa delle teste converge a p} è un evento nella σ-algebra coda delle v.a. parametrizzate da i che valgono 1 se all i-mo lancio esce testa nello spazio di Bernoulli infinito (di questo evento la LLN calcola la probabilità!); ancora un evento nella σ-algebra coda; interpretazione del lemma di Borel-Cantelli alla luce della legge ottobre, lunedì Esercitazione in classe ottobre, mercoledì, [Bi]: Paragrafo 31; [Folland]: pag.102 Funzioni di distribuzione sulla retta; salti al più numerabili di una f.d. ; esistenza q.o. della derivata prima di una f.d. e sua derivabilità (senza dimostrazione); parte a salti e parte continua, parte assolutamente continua e parte singolare; legge di una v.a. e sua f.d. ; variabili aleatorie con densità ottobre, venerdì, [W]: Cap.III, Paragrafi 3.11, 3.12 Continuità della f.d. di una v.a. con densità; f.d. discrete e v.a. semplici; il massimo tra una v.a. di legge esponenziale e una costante come esempio di v.a. con f.d. né assolutamente continua, né discreta; il teorema di decomposizione di Lebesgue per le f.d. Esistenza di v.a.: l inversa generalizzata c.a.s. 2

3 ottobre, lunedì, [W]: Cap.III, Paragrafo 3.11 e Cap. IV, Paragrafi 4.5, 4.6 Proprietà dell inversa generalizzata c.a.s. ; l inversa generalizzata c.a.d. ; come costruire una famiglia di v.a. indipendenti con f.d. assegnate su di uno spazio di probabilità sul quale esiste una famiglia di variabili i.i.d. uniformi in [0, 1] ottobre, mercoledì, [N]: Bernoulli2.pdf; [W]: Cap. IV, Paragrafi 4.5, 4.6 Conclusione della costruzione dello spazio di Bernoulli infinito simmetrico: additività numerabile di P sull algebra; costruzione di uno spazio di probabilità sul quale esiste una famiglia di variabili i.i.d. uniformi in [0, 1] ottobre, venerdì Esercitazione in classe ottobre, lunedì, [W]: Cap.VI, Paragrafi 6.1, 6.2 Variabili aleatorie con media e spazio L 1 (P ); applicazione dei teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale: comportamento della sequenza dei valori medi di una sequenza di v.a. q.c.-convergente; calcolo della media di funzione di v.a. in termini della legge della v.a.; esempi: indicatrice di un evento, v.a. semplice, v.a. con densità ottobre, mercoledì, [W]: Cap.VI, Paragrafi 6.4, 6.6, 6.7 Media di v.a. non negativa con densitá come integrale della funzione di sopravvivenza; disuguaglianza di Markov; disuguaglianza di Jensen; momenti assoluti di ordine p; monotonia degli spazi L p (P ) ottobre, venerdì, [W]: Cap.VI, Paragrafi 6.8, 6.9 e Cap.VII, Paragrafi 7.1, 7.2 Ogni X appartenente a L p (P ) è q.c.-finita, le v.a. q.c.-costanti e quelle q.c.-limitate sono in L p (P ); L p (P ) è spazio vettoriale; la semi-norma X p ; disuguaglianza di Schwartz e disuguaglianza di Minkowski nel caso p = 2, Hoelder e Minkowski nel caso generale (solo enunciato); covarianza, varianza,varianza della somma; la media del prodotto nel caso v.a. in L 1 (P ) e indipendenti; legge dei grandi numeri con il momento quarto novembre, mercoledì, [W]: Cap.VII, Paragrafo 7.4 e [Ba] Cap.3, Lemma 3.4 Il polinomio di Bernstein; legge forte con il momento quarto e medie diverse; unicità del limite q.c.; somma finita di successioni che convergono q.c. converge q.c. e condizione equivalente alla convergenza q.c novembre, venerdì, [Ba]: Cap 3, Paragrafo 3.3 Legge di Rajchmann; confronto tra la legge forte con il momento quarto e quella di Rajchmann; la legge di Kolmogorov senza dimostrazione novembre, lunedì Esercitazione in classe e parziale correzione novembre, mercoledì, [Ba]: Cap 3, Proposizione 3.5, Proposizione 3.7, Esempio 3.2 Convergenza in probabilità e relazioni con la convergenza q.c. ; la convergenza q.c. implica quella in L p (P ) quando c è uniforme dominazione con una v.a. in L p (P ); la convergenza L p (P ) implica quella in probabilità; esempio di convergenza in probabilità che non è q.c novembre, venerdì [W] Cap XVII, Lemma 17.2, [Bi]: Teorema 25.2 Le medie convergono se la convergenza è in L p (P ), per qualche p 1, ma in generale non convergono se è q.c.: controesempio; convergenza in legge come convergenza delle medie di funzionali continui e limitati; equivalenza con la convergenza delle funzioni di distribuzione nei punti di continuità della legge limite; unicità in legge del limite in legge; dimostrazione 3

4 del fatto che la convergenza in probabilità (e quindi quella q.c. e quella in L p (P )) implica quella in legge novembre, mercoledì [W]: in Cap XVII e [Bi]: nei Paragrafi 25 e 29 Se c è convergenza in legge converge in legge anche la sequenza ottenuta componendo con una funzione continua a meno di un insieme di misura limite nulla e se la funzione è limitata converge anche la sequenza delle medie (in [Bi] Teorema 25.7 e Corollari 1 e 2); la convergenza in legge di una sequenza di v.a. equivale alla convergenza delle misure dei boreliani con frontiera di misura limite nulla (in [Bi] Teorema 29.1); due controesempi; esempio di convergenza in legge di leggi discrete ad una continua; la converge in legge ad una costante implica quella in probabilità; convergenza debole di una sequenza di funzioni di distribuzione e Teorema di Helly (in [Bi] Teorema 25.9 e in [W] Lemma in Sec.17.4) novembre, venerdì [Bi]: nei Paragrafi 25 e [Ba]: nel Cap. 2 Tightness e convergenza debole (o stretta) di una sequenza di misure di probabilità: ogni misura di probabilità sulla retta è tight; una sequenza di d.f. tight ammette una sottosequenza debolmente convergente ad una d.f. (in [Bi] Teorema 25.10); data una sequenza tight se tutte le sottosequenze debolmente convergenti convergono allo stesso limite allora quello è anche limite debole della sequenza (in [Bi] Corollario al Teorema 25.10); definizione di funzione caratteristica di v.a.; proprietà; in particolare dimostrazione dell uniforme continuità e della regolarità in base all esistenza dei momenti della v.a. (in [Ba] Proposizione 2.17) novembre, lunedì [W]: Cap XVIII Paragrafi 18.1, 18.3, 18.4 Enunciato del Teorema di inversione di Lévy; dimostrazione del Teorema di convergenza di Lévy; enunciato del Teorema Limite Centrale di Lindeberg-Lévy; discussione sulla condizione di Lindeberg per il CLT in assenza di di equidistribuzione degli addendi novembre, mercoledì [W]: in Cap IX Equivalenza tra l indipendenza di m v.a. e la fattorizzazione della media del prodotto di funzioni delle singole variabili misurabili positive (o misurabili e limitate); stima del resto di ordine n dell esponenziale complesso; espansione di Taylor al II ordine in θ = 0 della funzione caratteristica di una v.a. con momento secondo; dimostrazione del teorema di Lindeberg-Lévy; definizione ed esistenza delle variabili gaussiane multidimensionali novembre, venerdì [W]: in [Ba] e [Bi] Applicazioni del teorema di Fubini nello studio di n v.a.: condizioni equivalenti all indipendenza di n v.a.; v.a. n-dimensionali con densità e densità marginali; v.a. indipendenti con densità e equivalenza con la fattorizzazione della densità congiunta; richiamo al teorema del cambio di variabile e alla sua applicazione al calcolo della densità di v.a. ottenute tramite diffeomorfismi: il caso gaussiano novembre, lunedì [W]: in Cap IX Definizione di media condizionata e interpretazione; esistenza con il Teorema di Radon- Nycodim e come proiezione ortogonale per v.a. in L 2 e poi per passaggio al limite; principali proprietà: unicità, monotonia, linearità, passaggi al limite, disuguaglianza di Jensen, condizionamenti successivi novembre, mercoledì [W]: in Cap IX Probabilità condizionata; problema della versione regolare; la legge condizionata di una v.a. data un altra v.a.; relazione tra media condizionata e legge condizionata; il caso con 4

5 densità congiunta; la media condizionata di una variabile rispetto ad un altra quando sono congiuntamente gaussiane dicembre, venerdì [W]: Cap X Paragrafi da 10.1 a 10.9 Definizioni, principali proprietà, esempi per le martingale, supermartingale, submartingale a tempo discreto; martingala trasformata mediante un processo prevedibile; tempi d arresto; supermartingala, supermartingale arrestate sono supermartingale (Par.10.9 di [W]) dicembre, lunedì [W]: Cap X Paragrafo Teorema d arresto di Doob; σ-algebra generata da un tempo d arresto; teorema del campionamento opzionale per le supermartingale dicembre, mercoledì [W]: in Cap XI e Cap XII Enunciato del Lemma degli attraversamenti di Doob e teorema di convergenza per le supermartingale uniformemente limitate in L 1 (P ) (Par.11.1,11.2,11.3,11.4,11.5 di [W]); martingale quadrato integrabili: gli incrementi sono scorrelati, CNES per la uniforme limitatezza in L 2 (P ) (Teorema in Par.12.1 di [W], punto (a) del Teorema in Sec.12.2 di [W]), una martingala uniformemente limitata in L 2 (P ) converge P -q.c. e in L 2 (P ), una somma infinita di v.a. indipendenti, centrate e in L 2 (P ) converge P -q.c. quando converge la serie delle varianze dicembre, lunedì [Ba2]: Cap IV Lemma 4.8, Teorema 4.9, Teorema 4.10 Martingale in L p (P ), p > 1: disuguaglianza di Doob, convergenza e limitatezza dicembre, mercoledì [W]: Cap XIII e [Ba2] Proposizione 4.14, Teorema 4.15, Proposizione 4.16 Martingale in L 1 (P ): uniforme integrabilità per una famiglia di v.a.; due condizioni sufficienti per l uniforme integrabilità; uniforme integrabilità e limitatezza in L 1 (P ); martingale regolari; una sequenza limitata che converge in probabilità converge in L 1 (P ); convergenza in L 1 (P ) se e solo se convergenza in probabilità e uniforme integrabilità; una martingala converge in L 1 (P ) se e solo se è famiglia di v.a. uniformemente integrabili; una martingala à famiglia di v.a. uniformemente integrabili se e solo se è regolare; il limite di martingala regolare come condizionamento all informazione completa dicembre, giovedì [W]: Cap XII Paragrafi 12.11, Decomposizione di Doob per un processo adattato ed integrabile; il caso di sub-martingala; il compensatore di una martingala in L 2 (P ). Esercizi dicembre, venerdì dicembre, lunedì dicembre, martedì dicembre, giovedì Esonero. 5