Curriculum Scientifico di Roberto Frigerio

Curriculum Scientifico di Roberto Frigerio Dati personali: data di nascita : 20.07.1977 luogo di nascita : Cantù (Como) codice fiscale : FRGRRT77L20B639E residenza : via Digione, 3, 56121, Pisa telefono : ufficio: 050/2213231 - cell.: 339/8374248 e-mail : frigerio@dm.unipi.it posizione attuale : Ricercatore Universitario presso il Dipartimento di Matematica L. Tonelli dell Università di Pisa Formazione, posizioni e titoli 1996 Diploma di maturità scientifica presso il Liceo Scientifico Paolo Giovio di Como, votazione 60/60 con Encomio. Vincitore di un posto presso i collegi Ghislieri e Cairoli di Pavia (con rinuncia ad entrambe le posizioni). Da ottobre 1996 a ottobre 2000, allievo della Classe di Scienze della Scuola Normale Superiore (secondo posto al concorso di ammissione) e iscritto al corso di laurea in Matematica dell Università di Pisa. 1999 Colloquio interno della Scuola Normale Superiore, titolo Il teorema di periodicità di Bott, relatore: prof. E. Arbarello. 2000 In data 23/11/2000, laurea in Matematica presso l università di Pisa con tesi dal titolo Decomposizione poliedrale di varietà iperboliche con bordo, relatore: prof. C. Petronio, controrelatore: prof. R. Benedetti, votazione 110/110 e Lode - media esami: 30/30. Secondo classificato al concorso di ammissione al perfezionamento in Matematica della Scuola Normale Superiore. 2001 Diploma della Scuola Normale Superiore con una dissertazione dal titolo Construction and Recognition of Hyperbolic 3-Manifolds with Geodesic Boundary, votazione 70/70 e Lode. Dal 2001 al 2003, studente del corso di perfezionamento in Matematica. 2003 Da marzo a giugno, attività di ricerca presso l Università di Melbourne, su invito del prof. C.D. Hodgson. Vincitore della selezione per il conferimento di un assegno biennale rinnovabile in Geometria presso il Dipartimento di Matematica di Pisa. 2005 In data 28/02/2005, Diploma di Perfezionamento in Matematica (equipollente al titolo di dottore di ricerca in Matematica) presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, con tesi

dal titolo Deforming triangulations of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, relatore: prof. C. Petronio, votazione 70/70 e Lode. Primo posto nella graduatoria nazionale per l assegnazione di borse semestrali per l estero bandite dall Istituto di Alta Matematica F. Severi. 2005 Vincitore della selezione per l assegnazione di un posto di ricercatore a tempo determinato presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, nel settore di ricerca Geometria reale e complessa, sistemi dinamici e geometria diofantea. Presa di servizio in data 1/11/2005 (contratto della durata di 4 anni, rinnovabile per altri 4 anni). 2006 Vincitore della valutazione comparativa per l assegazione di un posto di ricercatore universitario nel settore MAT/03 - Geometria, presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell Università di Pisa. Presa di servizio presso il Dipartimento di Matematica della stessa università in data 1/3/2006. 2009 Confermato nel ruolo di ricercatore universitario nel settore MAT/03 - Geometria, presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell Università di Pisa. Seminari su invito 2003 Aprile: un seminario della durata di un ora dal titolo Dehn filling of cusped hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary presso l Università di Melbourne. 2004 Maggio: una comunicazione di un ora dal titolo A rigidity result for regular thickenable 2-polyhedra al convegno Low-dimensional topology and combinatorial group theory tenutosi presso l Università di Francoforte. Settembre: una comunicazione di 40 minuti dal titolo Hyperbolic manifolds with geodesic boundary which are determined by their fundamental group al convegno Recent Advances in Complex and Real Geometry, tenutosi a Levico Terme (Trento). 2005 Gennaio: una conferenza della durata di un ora dal titolo Varietà iperboliche con bordo che sono determinate dal loro gruppo fondamentale presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Milano. Giugno: una conferenza della durata di 20 minuti dal titolo Rigidity results for hyperbolic manifolds with geodesic boundary al Second joint meeting of the American Mathematical Society (AMS), the Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV) and the Österreichische Mathematische Gesellschaft (ÖMG), tenutosi a Mainz. Luglio: una conferenza della durata di 30 minuti dal titolo Uncountably many Kleinian groups and mapping class groups alla Conference on Geometry and Topology of 3-manifolds, tenutasi a Trieste. 2006 Aprile: una conferenza della durata di un ora dal titolo Quasi-isometrie e rigidità delle varietà iperboliche presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Roma Sapienza. Luglio: una conferenza della durata di 30 minuti dal titolo Rigidity theorems for hyperbolic manifolds with boundary al Joint SIMAI-SMAI-SMF-UMI meeting (sessione speciale Geometry and topology of groups ), tenutosi a Torino.

Settembre: una conferenza della durata di 30 minuti dal titolo Rigidity theorems for hyperbolic manifolds with boundary alla conferenza Groups in Geometry and Topology, tenutasi a Malaga. 2009 Maggio: un seminario della durata di un ora dal titolo Continuous cohomology and Gromov proportionality principle presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Pavia. Maggio: un seminario della durata di un ora dal titolo Continuous cohomology and Gromov proportionality principle presso il Dipartimento di Matematica dell Università di Bologna. 2010 Giugno: un seminario della durata di mezz ora dal titolo Continuous cohomology and Gromov proportionality principle alla conferenza Computational and geometric topology, tenutasi a Bertinoro (Italy). Luglio: un seminario della durata di 40 minuti dal titolo Characterizing hyperbolic spaces and real trees alla conferenza Teichmüller Theory and its Interactions in Mathematics and Physics, tenutasi all Universitat Autonoma di Barcellona. Ottobre: un seminario della durata di un ora dal titolo Rigidità di varietà in curvatura variabile presso l Università di Roma Sapienza. Dicembre: un seminario della durata di 45 minuti dal titolo Rigidity of manifolds with(out) non positive curvature alla conferenza Fourth debrun workshop on group actions, tenutasi presso la National University of Ireland, a Galway. 2011 Febbraio: un seminario della durata di un ora dal titolo Rigidity of manifolds with(out) non positive curvature presso l Università di Oxford. Settembre: un seminario della durata di dal titolo Rigidità per varietà senza curvatura negativa al XIX Congresso dell Unione Matematica Italiana, tenutosi a Bologna. Novembre: un seminario della durata di un ora dal titolo Simplicial volume and stable complexity of hyperbolic manifolds, presso l Università di Regensbürg. Organizzazione di convegni 2007 Maggio: In collaborazione con i professori Riccardo Benedetti, Giovanni Gaiffi, Carlo Petronio e Mario Salvetti ho curato l organizzazione del convegno Braids and their ramifications, tenutosi a Cortona. Attività didattica Se non altrimenti specificato, i corsi sotto descritti si sono svolti presso l Università di Pisa. 2001/2002 In collaborazione con il dott. Francesco Bonsante, presso la Scuola Normale Superiore: esercitazioni relative a due moduli di geometria differenziale per studenti del terzo anno (docenti: dott. G. Gaiffi, dott. C. Mantegazza).

2002/2003 Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni: esercitazioni relative al corso Matematica II (30 ore - docente: prof. C. Petronio). 2003/2004 Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni: esercitazioni relative al corso Algebra Lineare (30 ore - docente: prof. C. Petronio). 2004/2005 Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni: esercitazioni relative al corso Matematica III (30 ore - docente: prof. C. Petronio). 2005/2006 Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni: esercitazioni relative al corso Matematica III (30 ore - docente: prof. C. Petronio). Esercitazioni del corso annuale Complementi di analisi e geometria presso la Scuola Normale Superiore (docente: prof. G. Tomassini). 2006/2007 Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria Proiettiva (30 ore - docente: prof. E. Fortuna). Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria e Topologia Differenziale (30 ore - docente: prof. M. Abate). 2007/2008 Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria Proiettiva (30 ore - docente: prof. E. Fortuna). Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria e Topologia Differenziale (30 ore - docente: prof. M. Abate). Corso di Laurea Specialistica in Matematica: corso di Spazî di curvatura negativa (30 ore). 2008/2009 Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria Proiettiva (30 ore - docente: prof. E. Fortuna). Corso di Laurea in Fisica: le esercitazioni relative al corso Geometria I (30 ore - docente: prof. E. Fortuna). Corso di Laurea Specialistica in Matematica: corso di Geometria Superiore 2 (30 ore). 2009/2010 Corso di Laurea in Matematica: esercitazioni relative al corso Geometria Analitica e Algebra Lineare (60 ore - docente: prof. P. Lisca). Corso di Laurea Magistrale in Matematica: esercitazioni relative al corso Istituzioni di Geometria Superiore (30 ore - docente: prof. M. Abate). 2011-2012 Corso di Laurea Magistrale in Matematica: corso di Teoria dei nodi (42 ore). Libri In collaborazione con E. Fortuna e R. Pardini, ho esposto in un volume pubblicato da Springer Universitext richiami di teoria e più di 200 esercizi svolti di Geometria Proiettiva (vedi [1]).

Tesi dirette Tesi di Laurea Triennale: 2007 Andrea Pustetto, Teoria geometrica dei gruppi e varietà a curvatura costante. Lorenzo Balducci, Elementi di Teoria di Morse. Valentina Disarlo, L invariante di Alexander di nodi in S 3. 2008 Xin Yang Lu, Il Teorema di Bieberbach. Alessandro Sisto, Il Teorema di rigidità di Mostow. John Calabrese, Rivoltare la sfera. Roberta Guadagni, Un gruppo finitamente generato con differenti coni asintotici. 2009 Maria Beatrice Pozzetti, Gruppi con media e coomologia limitata. 2010 Antonio Decapua, Alcuni risultati sul mapping class group di superfici. Eleonora Bardelli, Lo spazio di Teichmüller di superfici iperboliche. 2011 Michela Zanini, Simmetrizzazione di Steiner nello spazio iperbolico. Milena Rucci, Spazi metrici localmente piatti. Giulia Cervia, La costruzione dello spazio di Teichmüller. Marco Francischello, in preparation. Tesi di Laurea Specialistica: 2008 Cristina Pagliantini, Il volume simpliciale e la coomologia limitata. 2009 Andrea Pustetto, Crescita di rivestimenti di varietà a curvatura negativa. Valentina Disarlo, L iperbolicità del complesso delle curve. 2010 Alessandro Sisto, Tree-graded spaces and relatively hyperbolic groups. 2011 Maria Beatrice Pozzetti, in preparation. Colloqui presso la Scuola Normale Superiore: 2008 Alessandro Sisto (Colloquio del III anno), Un approccio non-standard al quinto problema di Hilbert. Riccardo Scala (Colloquio del IV anno), Coordinate di Fenchel-Nielsen sullo spazio di Teichmüller delle superfici orientabili compatte. 2009 Maria Beatrice Pozzetti (Colloquio del III anno), Il Teorema di Cartan-Hadamard per spazî metrici. Alessandro Sisto (Colloquio del IV anno), Coni asintotici di gruppi finitamente generati. Antonio Sartori (Colloquio del IV anno), Volume simpliciale di varietà iperboliche.

2010 Antonio Decapua (Colloquio del III anno), Alcuni risultati sul mapping class group di superfici. Eleonora Bardelli (Colloquio del III anno), Lo spazio di Teichmüller di superfici iperboliche. Maria Beatrice Pozzetti (Colloquio del IV anno), Un teorema di Gromov sulla coomologia limitata. 2011 Matthew Trager (Colloquio del IV anno), Una caratterizzazione topologica dei gruppi iperbolici. Altre attività 2006 Membro della commissione giudicatrice del concorso di ammissione alla Classe di Scienze della Scuola Normale Superiore per il Corso di Laurea Triennale ed il Corso di Laurea Specialistica. 2007 Fino al 2011, membro della commissione per l orientamento del Dipartimento di Matematica dell Università di Pisa. 2010 Fino al 2012, membro della commissione d area relativa al rating. Fino al 2013, membro della giunta del Dipartimento di Matematica dell Università di Pisa. Fino al 2013, membro del comitato di presidenza della Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell Università di Pisa. 2011 Membro della commissione giudicatrice del concorso di ammissione alla Classe di Scienze della Scuola Normale Superiore per il Corso di Laurea Triennale ed il Corso di Laurea Magistrale. Conoscenza delle lingue Ho un ottima padronanza dell inglese scritto e dell inglese orale. Attività extra-professionali 1995 Ho partecipato alle Olimpiadi Nazionali della Matematica, classificandomi tredicesimo. Ho partecipato al Corso di orientamento universitario organizzato dalla Scuola Normale Superiore a Cortona (Arezzo). 1996 Ho partecipato alle Olimpiadi Nazionali della Matematica, classificandomi ottavo. Ho partecipato alle Olimpiadi Regionali della Chimica, classificandomi terzo. Ho partecipato alle Olimpiadi Internazionali della Matematica, tenutesi a Bombay, vincendo una medaglia di bronzo.

Attività di ricerca Costruzione e riconoscimento di varietà iperboliche Durante i miei studi di dottorato, la mia attività di ricerca si è principalmente rivolta ad un approccio costruttivo allo studio delle 3-varietà iperboliche, ed in particolare alla descrizione di 3-varietà iperboliche tramite l uso di triangolazioni geodetiche. In collaborazione con Carlo Petronio, ho descritto in [2] come l uso di tali triangolazioni possa essere sfruttato per la costruzione e il riconoscimento di 3-varietà iperboliche con bordo geodetico. I risultati ottenuti sono stati poi sfruttati per lo studio delle proprietà topologiche e geometriche di svariate classi di varietà in [3], [4], [5] e [7]. Più precisamente, in collaborazione con Bruno Martelli e Carlo Petronio, ho implementato la teoria descritta in [2] allo scopo di ottenere l elenco delle 3-varietà iperboliche con bordo geodetico che ammettono una triangolazione ideale con al più 4 tetraedri. I risultati ottenuti sono descritti in [5], e la lista di tutte le varietà che abbiamo classificato è disponibile alla pagina web [23]. In [7], [3] e [4] abbiamo poi descritto delle famiglie infinite di varietà dalle notevoli proprietà topologiche e geometriche. Rigidità e deformazioni La versione forte del Teorema di rigidità di Mostow afferma che, in dimensione maggiore di 2, ogni equivalenza omotopica tra varietà iperboliche senza bordo, complete e di volume finito è omotopa ad un isometria (in particolare, una fissata varietà topologica supporta al più una struttura iperbolica completa e di volume finito). Nel corso della mia permanenza presso l Università di Melbourne ho lavorato all estensione del Teorema di rigidità di Mostow alle varietà iperboliche con bordo geodetico non vuoto. I risultati di questa ricerca sono decritti in [6]. Sia M una 3-varietà iperbolica con cuspidi. Per il Teorema di Mostow, deformazioni non banali della struttura iperbolica di M danno luogo a metriche necessariamente non complete. Inoltre, i completamenti metrici di molte piccole deformazioni della struttura completa su M sono omeomorfi a varietà ottenute da M tramite riempimento di Dehn, e definiscono su tali varietà metriche iperboliche complete, per cui lo spazio delle deformazioni della struttura completa di M costituisce un oggetto molto studiato. Sviluppando alcuni risultati sulle triangolazioni geodetiche già descritti in [2], in [11] ho fornito una descrizione esplicita di tale spazio di deformazioni, mostrando in particolare che esso ammette una naturale struttura di varietà algebrica, rispetto alla quale la struttura completa di M individua un punto liscio. Tale risultato è poi sfruttato in [12], dove si descrivono diverse proprietà geometriche delle varietà introdotte in [4] e dei loro riempimenti di Dehn. Una descrizione molto dettagliata dei risultati ottenuti in [2], [11] e [12] è fornita nella mia tesi di perfezionamento [10]. Mapping class group e gruppo di isometrie di varietà iperboliche In collaborazione con F. Costantino, B. Martelli e C. Petronio, ho costruito in [8] una corrispondenza biunivoca tra l insieme delle triangolazioni di 3-varietà ed una classe specifica di 3-varietà iperboliche con cuspidi. Sfruttando le proprietà di tale bigezione, abbiamo mostrato tra l altro che ogni gruppo finito è isomorfo al mapping class group di una 3-varietà iperbolica ed al gruppo degli automorfismi esterni di un gruppo numerabile. In collaborazione con Bruno Martelli ho poi mostrato in [13] che in effetti per ogni gruppo numerabile G esiste una 3-varietà iperbolica N (di volume infinito) tale che il mapping class

group di N, il gruppo delle isometrie di N ed il gruppo degli automorfismi esterni del gruppo fondamentale di N sono isomorfi a G. Tra i corollari di questo risultato vi è l esistenza una quantità più che numerabile di 3-varietà iperboliche aventi gruppi fondamentali a due a due non isomorfi, o, equivalentemente, l esistenza di una quantità più che numerabile di classi di isomorfismo astratto di sottogruppi discreti e liberi da torsione di P SL(2, C). Teoria geometrica dei gruppi e rigidità Su ogni gruppo finitamente generato è possibile porre una metrica (discreta) naturale, che è ben definita a meno di quasi-isometria. Negli ultimi decenni molte energie sono state dedicate allo scopo di comprendere come le proprietà algebriche e geometriche di un gruppo finitamente generato siano in relazione con le proprietà metriche di tale gruppo. Per esempio, la nozione di Gromov iperbolicità estende al più generale ambito degli spazi metrici la nozione di curvatura negativa su larga scala, concetto che ha senso, nella sua definizione originale, solo nel contesto di varietà Riemanniane. Essendo invariante per quasi-isometrie, la Gromov iperbolicità individua peraltro una ben definita classe di gruppi finitamente generati, classe che è attualmente oggetto di una ricerca molto attiva. Della Gromov iperbolicità sono note molte definizioni tra loro equivalenti. Gromov stesso ha dimostrato che esiste una costante ε > 0 per cui ogni spazio metrico geodetico in cui tutti i triangoli di perimetro l siano ε l-fini è in effetti iperbolico. In collaborazione con Alessandro Sisto, in [14] ho dato una nuova elementare dimostrazione di questo fatto, dando peraltro un limite superiore ed un limite inferiore esplicito per la costante ε sopra menzionata. Sia n 3. Schwartz ha dimostrato che due n-varietà iperboliche complete, di volume finito e non compatte sono commensurabili se e solo se i loro gruppi fondamentali sono quasi-isometrici (due varietà si dicono commensurabili se ammettono un rivestimento a finiti fogli comune). In [9] ho esteso i risultati di Schwartz al caso di varietà con bordo geodetico, dimostrando che due n-varietà iperboliche complete, di volume finito e con bordo geodetico compatto e non vuoto sono commensurabili se e solo se hanno gruppi fondamentali quasi-isometrici. In collaborazione con J. F. Lafont e A. Sisto mi sono occupato della costruzione di varietà compatte che non ammettano metriche di curvatura non positiva e che manifestino tuttavia fenomeni di rigidità tipici degli spazi di curvatura negativa. La compattificazione del prodotto di un toro k-dimensionale e di una h-varietà iperbolica con cuspidi toriche ammette una naturale struttura di (k + h)-varietà con bordo torico. Una varietà grafo generalizzata si ottiene attaccando tra loro blocchi quali quello appena descritto tramite diffeomorfismi delle componenti di bordo. In [21] mostriamo che esistono famiglie infinite di varietà grafo generalizzate che non supportano alcuna metrica Riemanniana di curvatura non-positiva. Dimostriamo inoltre che per tali varietà è tuttavia valido un teorema di rigidità alla Mostow : due varietà grafo generalizzate aventi lo stesso gruppo fondamentale sono in effetti diffeomorfe. Tale risultato viene ottenuto come corollario di un Teorema di rigidità per quasi-isometria di rilevanza indipendente: una quasi-isometria tra i gruppi fondamentali di due varietà grafo generalizzate quasi-preserva i gruppi fondamentali dei blocchi a partire dai quali tali varietà sono costruite. Inoltre, se un gruppo è quasi-isometrico al gruppo fondamentale di una tale varietà M, allora esso è il gruppo fondamentale di un grafo di gruppi algebricamente assai simili ai gruppi fondamentali dei singoli blocchi di M. Volume simpliciale e coomologia limitata Introdotto da Gromo, il volume simpliciale è un invariante omotopico di varietà compatte. L ovvia norma L 1 sulle catene singolari a coefficienti reali induce una seminorma in omologia, e il volume simpliciale di una varietà

orientata è il valore della seminorma della sua classe fondamentale. Sebbene definito in termini puramente topologici, il volume simpliciale è profondamente legato alla geometria delle varietà: per esempio, il volume simpliciale di una varietà piatta o sferica è nullo, mentre le varietà che supportano una metrica di curvatura negativa hanno volume simpliciale positivo. Inoltre, il Principio di Proporzionalità di Gromov stabilisce che il rapporto tra il volume simpliciale e il volume Riemanniano di una varietà dipendo soltanto dal tipo di isometria del suo rivestimento universale. La coomologia limitata è in un certo senso la naturale teoria duale rispetto all omologia L 1, ed si rivela perciò utilissima nel calcolo del volume simpliciale. Più precisamente, nella dimostrazione del Principio di Proporzionalità originariamente dovuta a Gromov gioca un ruolo fondamentale la coomologia (limitata e illimitata) continua di spazi topologici. In [16] ho dimostrato che la coomologia illimitata continua è isometricamente isomorfa all usuale coomologia singolare, almeno per una vasta classe di spazi topologici che comprende tutti i complessi cellulari localmente finiti. Ciò mi ha permesso di dare una dimostrazione completa del Principio di Proporzionalità seguendo l approccio originale di Gromov. In collaborazione con C. Pagliantini, ho poi esteso i risultati descritti in [16] al caso relativo. Più precisamente, abbiamo dimostrato in [20] che coomologia continua e coomologia singolare sono isometricamente isomorfe per una vasta classe di coppie topologiche. Abbiamo applicato tale risultato per estendere al caso relativo un teorema dimostrato nel caso assoluto da C. Loeh, che assicura che l omologia singolare e l omologia di misura sono isometricamente isomorfe per una vasta classe di (coppie di) spazi. I risultati dimostrati in [20] possono essere sfruttati per il calcolo esplicito del volume simpliciale di varietà compatte con bordo. Per esempio, alcune tecniche descritte in [20] sono sfruttate in [15] per il calcolo del volume simpliciale di varietà iperboliche con bordo geodetico. Invarianti quandle di link e di domini dello spazio euclideo In collaborazione con R. Benedetti e R. Ghiloni, ho studiato in [19] alcune proprietà dei domini spaziali, ovvero delle sottovarietà compatte con bordo dello spazio euclideo. Un dominio spaziale è debolmente Helmholtz se può essere decomposto lungo superfici disgiunte in sottodomini sui quali ogni campo vettoriale a rotore nullo definito sull intero dominio iniziale ammette un potenziale. Chiaramente, i domini debolmente Helmholtz sono di grande interesse sia per i fisici sia per gli ingegneri. In [19] diamo varie caratterizzazioni di questa classe di domini, mostrando che la nozione di debolmente Helmholtz è profondamente correlata a concetti classici della teoria delle 3-varietà. Un classico teorema dovuto a R. Fox implica che ogni dominio spazioale è omeomorfo al complementare di un unione finita di corpi con manidi, per cui la teoria dei domini spaziali si riduce di fatto alla teoria dei corpi con manici annodati nello spazio. In collaborazione con R. Benedetti, ho definito in [17] diversi livelli di annodamento per i corpi con manici nello spazio, generalizzando in questo contesto nozioni tipiche della teoria dei nodi. Usando vari strumenti (ad esempio ideali di Alexander e invarianti quandle), abbiamo discusso le relazioni esistenti tra questi livelli di annodamento e fornito esempi di corpi con manici che realizzano tutti i livelli di annodamento da noi definiti. In collaborazione con R. Benedetti, ho descritto in [18] altri usi degli ideali di Alexander e degli invarianti quandle nell ambito della teoria dei nodi e dei link. Più precisamente, in [18]

mettiamo a confronto gli invarianti di Alexander classici con gli invarianti di tipo quandle basati sui quandles di Alexander, mostrando come questi ultimi siano talora molto efficienti nel fornire limiti inferiori sul genere e sul tunnel number dei link. Riferimenti bibliografici [1] E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva Problemi risolti e richiami di teoria, Universitext, Springer, 2011. [2] R. Frigerio, C. Petronio, Construction and Recognition of Hyperbolic 3-Manifolds with Geodesic Boundary, Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), 3243-3282. [3] R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio, Complexity and Heegaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds, Pacific J. Math. 210 (2003), 283-297. [4] R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio, Dehn filling of cusped hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, J. Differential Geom. 64 (2003), 425-455. [5] R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio, Small hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, Experiment. Math. 13 (2004), 171-184. [6] R. Frigerio, Hyperbolic manifolds with geodesic boundary which are determined by their fundamental group, Topology Appl. 145 (2004), 69-81. [7] R. Frigerio, An infinite family of hyperbolic graph complements in S 3, J. Knot Theory Ramifications 14 (2005), 479-496. [8] F. Costantino, R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio, Triangulations of 3- manifolds, hyperbolic relative handlebodies, and Dehn filling, Comment. Math. Helv. 82 (2007), 903-933. [9] R. Frigerio, Commensurability of hyperbolic manifolds with geodesic boundary, Geom. Dedicata 118 (2006), 105-131. [10] R. Frigerio, Deforming triangulations of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, tesi di perfezionamento in Matematica, Scuola Normale Superiore, Pisa, 2005. [11] R. Frigerio, On deformations of hyperbolic 3-manifolds with geodesic boundary, Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 435-457. [12] R. Frigerio, Similar fillings and isolation of cusps of hyperbolic 3-manifolds, Pacific J. Math. 229 (2007), 339-364. [13] R. Frigerio, B. Martelli, Countable groups are mapping class groups of hyperbolic 3-manifolds, Math. Res. Lett. 13 (2006), 897-910. [14] R. Frigerio, A. Sisto, Characterizing hyperbolic spaces and real trees, Geom. Dedicata. 142 (2009), 139-149. [15] R. Frigerio, C. Pagliantini, The simplicial volume of hyperbolic manifolds with geodesic boundary, Algebr. Geom. Topol. 10 (2010), 979-1001.

[16] R. Frigerio, (Bounded) continuous cohomology and Gromov s proportionality principle, Manuscripta Math. 134 (2011), 435 474. [17] R. Benedetti, R. Frigerio, Levels of knotting of spatial handlebodies, arxiv:1101.2151, accettato per pubblicazione in Trans. Amer. Math. Soc. [18] R. Benedetti, R. Frigerio, Alexander quandle lower bounds for link genera, arxiv:1104.4018, accettato per pubblicazione in J. Knot Theory Ramifications [19] R. Benedetti, R. Frigerio, R. Ghiloni, The topology of Helmholtz domains, arxiv:1001.4418 [20] R. Frigerio, C. Pagliantini, Relative measure homology and continuous bounded cohomology of topological pairs, arxiv:1105.4851 [21] R. Frigerio, J.F. Lafont, A. Sisto, Rigidity of high dimensional graph manifolds, arxiv:1107.2019 [22] S. Francaviglia, R. Frigerio, B. Martelli, Stable complexity and simplcial volume of manifolds, arxiv:1201.0660. [23] http://www.dm.unipi.it/pages/~ petronio/public html/data.html Pisa, 12 luglio 2011 Roberto Frigerio