Numeri e Crittografia
s. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia ~ Springer
S. LEONESI Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze e Tecnologie Università di Camerino, Camerino C. TOFFALORI Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze e Tecnologie Università di Camerino, Camerino Springer-Verlag fa parte di Springer Science+ Business Media springer.it Springer-Verlag Italia, Milano 2006 ISBN lo 88-470-0331-8 ISBN 13 978-88-470-0331-6 Quest'opera è protetta dalla legge sul diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest'opera, oppure di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d'autore, ed è soggetta all'autorizzazione dell'editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. I:utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest'opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampato in Italia: Signum, Bollate (Mi)
Indice Introduzione... VII 1 Dalla Crittografia ai Numeri............................... 1 1.1 Giulio Cesare e Sherlock Holmes........................... 1 1.2 L'ABC della Crittografia................................. 4 1.3 Esistono Criptosistemi Perfetti?........................... 10 1.4 Crittografia a Chiave Pubblica............................ 17 1.5 Problemi del millennio................................... 19 1.6 Teoria dei Numeri e Crittografia........................... 24 2 Primi e Composti.......................................... 27 2.1 Divisori, resti e quozienti................................. 27 2.2 Una parentesi computazionale............................. 31 2.3 Il Teorema Fondamentale dell'aritmetica... 33 2.4 Il Teorema dei Numeri Primi... 37 2.5 Riconoscere i Primi?..................................... 41 2.6 Generare i Primi... 42 2.7 Numeri e Misteri... 47 3 Potenze, Radici e Logaritmi... 51 3.1 Introduzione... 51 3.2 L'Aritmetica dell'orologio... 51 3.3 Radici Quadrate e Resti Cinesi............................ 53 3.4 Potenze... 57 3.5 Il Piccolo Teorema di Fermat... 59 3.6 La funzione cjj e il Teorema di Eulero....................... 60 3.7 Campi finiti... 64 3.8 Logaritmi discreti... 68 3.9 I simboli di Legendre e di Jacobi... 68 3.10 La Legge di Reciprocità Quadratica di Gauss... 76 3.11 Ancora Radici Quadrate... 81
VI Indice 3.12 Curve Ellittiche, per finire................................ 82 4 Il Problema della Primalità................................ 91 4.1 Dagli antichi Greci ad AKS... 91 4.2 Gli Pseudoprimi di Carmichael............................ 94 4.3 Variazioni sul Piccolo Teorema di Fermat................... 98 4.4 Primi e N P... 101 4.5 L'Algoritmo di Solovay-Strassen... 102 4.6 L'Algoritmo di Miller-Rabin... 107 4.7 AKS: l'algoritmo di Agrawal-Kayal-Saxena... 114 4.8 Variazioni su AKS... 122 5 Il Problema della Fattorizzazione... 127 5.1 Introduzione... 127 5.2 Il Metodo p-l... 128 5.3 Il Metodo p... 129 5.4 Fattorizzazione alla Fermat... 132 5.5 Fattorizzazione e Curve Ellittiche... 137 5.6 Riflessioni finali... 140 6 Ancora Crittografia... 143 6.1 Crittografia a Chiave Pubblica... 143 6.2 Il Logaritmo Discreto e il Criptosistema di Diffie-Hellman... 144 6.3 Doppi Lucchetti... 147 6.4 Il Problema dello Zaino... 148 6.5 Il Criptosistema RSA... 151 6.6 Attacchi arsa.... 155 6.7 Crittografia e Curve Ellittiche... 157 6.8 Firme digitali... 159 6.9 Protocolli a Conoscenza Zero... 161 6.10 Testa o Croce telefonico... 162 6.11 Poker al telefono... 165 Riferimenti bibliografici... 171 Indice analitico... 175
Introd uzione L'Aritmetica, o Teoria dei Numeri, è una delle discipline più antiche della Matematica. I numeri che tratta sono quelli che si chiamano naturali 0, 1, 2,... e che adoperiamo sin da bambini per contare. Apparentemente semplici e innocui, nascondono tuttavia alcuni dei misteri più difficili e appassionanti dell'intera Matematica. La Crittografia si interessa invece di nascondere a occhi indiscreti il contenuto di comunicazioni riservate. Corrisponde a esigenze largamente diffuse nella nostra società; infatti la possibilità di usare strumenti telematici per acquisti, o per transazioni di denaro, o addirittura per esprimere il voto elettorale, richiede protocolli capaci di garantire la segretezza dei dati trasmessi e la privacy personale. La Teoria dei Numeri può soccorrere la Crittografia in queste sue esigenze; proprio grazie ai misteri che ancora la avvolgono, riesce a fornire idee e strategie per la architettura di protocolli di sicurezza. Il libro che presentiamo dà resoconto di questo collegamento. Introduce dapprima la Crittografia moderna, i suoi obiettivi, le sue priorità, le sue necessità. Passa poi a esporre argomenti di Teoria dei Numeri, con particolare riferimento ai due problemi di riconoscere i numeri primi, e di decomporre un naturale nei suoi fattori primi; per ognuna delle due questioni fornisce un vasto panorama degli algoritmi che la trattano e cercano di risolverla nel modo più efficiente possibile. In particolare presenta la recentissima procedura AK S per riconoscere i numeri primi. Il libro torna poi alla Crittografia e mostra come idee e metodi di Teoria dei Numeri si applichino alla costruzione di procedure affidabili per la trasmissione sicura delle informazioni riservate. Gli argomenti trattati corrispondono dunque in modo naturale a un corso del terzo anno di una Laurea Triennale in Matematica, o del successivo biennio della Laurea Specialistica. Può interessare e coinvolgere anche studenti di Informatica. Del resto, il libro deriva direttamente da esperienze didattiche svolte per vari anni nell'università di Camerino. Alcuni colleghi di altre sedi
VIII Introduzione hanno avuto la bontà di apprezzare le note che da queste esperienze furono tratte qualche tempo fa e che forniscono la base del libro stesso. Speriamo che anche i nostri lettori possano gradire allo stesso modo questo nostro lavoro.