Calcolo differeziale e itegrale fuzioi di ua variabile reale Gabriele H. Greco Dipartimeto di Matematica Uiversità di Treto 385 POVO Treto Italia www.sciece.uit.it/ greco a.a. 5-6: Apputi del corso di Aalisi Matematica UD, UD Cap. Serie di Fourier -7. Fuzioi periodiche, pari e dispari.... Covergeza delle serie di Fourier euciato...3 3. Covergeza delle serie di Fourier esempi.... Coefficieti di Fourier e formule di ortogoalità...5 5. Il ucleo di Dirichlet...6 6. Covergeza delle serie di Fourier dimostrazioe...7 La fuzioe f è π-periodica; vale π su π e su. grafico di f 3-6 - - 6 - - Le prime 8 armoiche di ordie pari di f. Notare la loro ampiezza che diveta via via più piccola. -3 5a somma parziale della serie di Fourier 3 Le prime 8 somme parziali di ordie pari della serie di Fourier di f -6 - - 6 - - -3
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 b www.sciece.uit.it/ greco Fuzioi periodiche, pari e dispari Sia f : R R ua fuzioe. U umero reale T si dice periodo di f se f[x + T ] = f[x] per ogi x R. Ua fuzioe f è detta periodica, se ha u periodo T che o è ullo; i tal caso la fuzioe f è detta T -periodica; e per ogi α R ache le fuzioi x f[x + α], x f[x] + α, x αf[x] soo T -periodiche; metre 3 la fuzioe x f[αx] ha periodo T α, per α. Le fuzioi trigoometriche cos e si soo le piu importati fuzioi periodiche; esse soo π-periodiche. Ache le fuzioi del tipo x a m + a cos[x] + b si[x] = dove a i, b i R e m N, soo π-periodiche; soo dette poliomi trigoometrici. L itegrale di ua fuzioe periodica su u itervallo di ampiezza pari al periodo, o dipede dall itervallo. Ifatti Lemma Se f è T -periodica, itegrabile sull itervallo T. Per ogi a R si ha: a 3, Ω, Φ 3 5 T fxdx = a+t a fxdx. Dimostrazioe. Dall additività dell itegrale e dalla periodicità di f abbiamo che f è itegrabile su ogi itervallo limitato. Ioltre a+t fxdx = a a fxdx+ T fxdx+ a+t fxdx. Queste uguagliaze combiate co le segueti T a fxdx = a fx + T dx = T a+t ftdt, dao 5. Nota che la prima uguagliaza di è cosegueza della periodicità; metre co il cambiameto di variabile x + T = s t si ottiee la secoda. Esercizio Ua fuzioe f : R R è detta siusoidale, se a, ω, φ R tali che - - -3 a 3, Ω 5, Φ 3 - - f[x] := a cos[ωx + φ] per ogi x R co ampiezza a, frequeza ω > e fase iiziale φ π. Si osservi che 6 per ω R ++, le soluzioi dell equazioe differeziale ÿ eq = ω y soo le fuzioi siusoidali che hao frequeza ω; -3 a 5, Ω 8, Φ 7 qualuque siao N, a, b, a, φ R, le fuzioi x a cos[x] + b si[x] e le fuzioi x a si[ωx + φ] soo siusoidali; le prime hao frequeza e ampiezza a + b, le secode hao ampiezza a e frequeza ω. - - 8 le fuzioi siusoidali co ua stessa frequeza formao uo spazio vettoriale i altri termii, per ogi ω R, le combiazioi lieari di fuzioi siusoidali co frequeza ω soo siusoidali co la stessa frequeza. a 5, Ω, Φ Usiamo impropriamete il termie frequeza, che per i fisici è il rapporto ω π. Suggerimeto per la dim. Primo, si osservi che mediate il cambiameto di variabile x s = ωt o cambio di scala x s = ωx si passa dalle soluzioi di ÿ eq = y a quelle di ÿ eq = ω y. Secodo, ci si ricordi delle soluzioi di ÿ eq = y. - -
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 b www.sciece.uit.it/ greco Ua fuzioe f è detta pari, se f[ x] = f[x]; per esempio, i cosei cos, cosh, le poteze x x ad espoete itero pari e le loro serie soo fuzioi pari. Ua fuzioe f è detta dispari, se f[ x] = f[x]; per esempio, i sei si, sih, le poteze x x ad espoete itero dispari e le loro serie soo fuzioi dispari. Ogi fuzioe f è somma di ua fuzioe dispari e di ua pari. Ifatti f[x] + f[ x] f[x] f[ x] 9 x e x soo, rispettivamete pari e dispari; la loro somma è f. La somma di fuzioi pari risp. dispari è pari risp. dispari. Il prodotto di due fuzioi, etrambe dispari o etrambe pari, è pari. Ivece, il prodotto di ua fuzioe pari per ua dispari è dispari. Lemma Sia f ua fuzioe itegrabile ell itervallo a a a f[x] dx = a f[x] dx, se f è pari; a f[x] dx =, se f è dispari. a a R. Allora Dimostrazioe. Mediate la sostituzioe x = s t, si ha che a f[x] dx = a f[ t] dt. Duque a a f[x] dx = a f[x] dx + a f[ t] dt. Da cui seguoo e. Esercizio Sul gruppo additivo dei periodi Sia P l isieme dei periodi di ua fuzioe f : R R. Si osservi che P o è vuoto, perchè P. 3 Ioltre Pf = R se e solo se f è costate; 3 T T P, se T, T P; P = Q, se f è la fuzioe di Dirichlet. 5 esisteza del periodo miimo Se f è periodica, cotiua i almeo u puto e o è costate, allora esiste mip R ++, cioè tra i periodi positivi di f ve è uo che è il più piccolo. Ioltre, se τ è questo periodo più piccolo, si ha che P = {τ : Z}, cioè ogi altro periodo di f è u multiplo itero di τ. Dim. per assurdo della prima parte di 5. Sia x u puto di cotiuità di f. Si fissi ε R ++. Per cotiuità, esiste δ R ++ tale che a f[x] f[ x] < ε per ogi x x δ x + δ. Suppoiamo per assurdo che o esista u periodo miimo tra i periodi positivi e o ulli di f. Allora ci sarao almeo due periodi T, T tali che che < T T < δ. Quidi, posto T := T T, da a segue: b f[x] f[ x] < ε per ogi x x T x + T. Grazie a 3, T è u periodo di f; duque da b si ha c f[x] f[ x] < ε per ogi x R. Duque, essedo ε arbitrario, si ha che d f[x] = f[ x] per ogi x R, i cotraddizioe co l ipotesi che asserisce che f o è costate. 3 Nel caso che oltre a o vi sia altro periodo, la fuzioe f è detta aperiodica. Sia G R u sottoisieme o vuoto tale che a b G per ogi a, b G. Si costruisca ua fuzioe f tale che si abbia P = G! fuzioe dispari x x 3 fuzioe pari x x x f x.5.5 - - -.5 - f x f x x.5.5 - - -.5 f x f x x.. - - -. -.
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 a www.sciece.uit.it/ greco3 Covergeza delle serie di Fourier euciato Sia f : R R ua fuzioe itegrabile sull itervallo π, defiiamo a := π f[x] dx, a := π f[x] cos[x] dx, b := π f[x] si[x] dx per ogi N. Questi umeri a e b soo detti coefficieti di Fourier della fuzioe f, relativamete all itervallo π. La serie trigoometrica a + a cos[x] + b si[x] = è detta serie di Fourier di f. La fuzioe S : R R defiita da S [x] := a + a k cos[kx] + b k si[kx] k= è ua somma parziale della serie di Fourier. Teorema Covergeza putuale della serie di Fourier Se f è π-periodica e derivabile a tratti, allora, per ogi x R, si ha 5 3 a + = a cos[x] + b si[x] = f[x+] + f[x ]. Chiariamo i termii o defiiti. Co f[x+] e f[x ] deotiamo, rispettivamete, il limite destro ed il limite siistro di f i x; i altre parole: f[x+] := lim f[t] e f[x ] := lim f[t]. t x + t x Ua fuzioe g è detta derivabile a tratti su u itervallo chiuso limitato a domg, se esiste u sottoisieme fiito D a b tale che 5 g è derivabile i ogi x a b \ D e esistoo e soo fiiti i limiti g[x+y] g[x+] a g[x+] e lim y + y per ogi x D a b g[x+y] g[x ] b g[x ] e lim y y per ogi x D a b. Ua fuzioe f : R R che è π-periodica, è detta derivabile a tratti, se lo è sull itervallo π. La dervabilità a tratti ci garatisce tramite la coseguete cotiuità a tratti 6 l itegrabilità di f e quidi il calcolo dei coefficieti di Fourier. Si tega be i mete che per ua fuzioe derivabile a tratti 6 i coefficieti a, b e le medie f[x+] f[x ] o cambiao e la derivabilità a tratti o viee a meo, qualora si modifichi la fuzioe i u umero fiito di puti. 5 Il teorema vale ache quado f ha u geerico periodo T il lettore lo dimostri mediate la sostituzioe x = s T/πx. I tal caso la 3 diveta A + P π = A cos[ T x] + B si[ π f[x+]+f[x ] x] =, dove i coefficieti soo defiiti da A T := R T f[x] cos[ π x] dx T T R T e B := f[x] si[ π π π x] dx. Le fuzioi siusoidali x T T A cos[ x] + B si[ x] soo le T T T cosiddette armoiche di f; la prima tra di esse, detta armoica fodametale, ha periodo T. 6 g è detta cotiua a tratti su u itervallo chiuso limitato a b domg, se i ogi x a b risp. i ogi x a b esiste fiito il limite siistro risp. destro e, esclusi al più u umero fiito di puti, tali limiti destro e siistro coicidoo. T b
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 a www.sciece.uit.it/ greco 3 Covergeza delle serie di Fourier esempi Esercizio 3 Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe f : R R π-periodica, defiita sull itervallo π da { π per x π f[x] := per x. 5 somme parziali di Fourier - E servirsi dello sviluppo per dimostrare che = + = π. Soluzioe. Osservato che f è dispari, abbiamo, per ogi N, a = a = e b = π π si[x] dx = cos[x] { π = cos[π] = = per dispari per pari. Essedo f derivabile a tratti, dal teorema sulla covergeza putuale delle serie di Fourier segue che { per x πz si[ x] = f[x] altrimeti. = Perciò, essedo si[ + π ] =, N, - cos[π] =, N somme parziali di Fourier - - π = f[π ] = = si[ π ] = = + si[ + π ] = +. Esercizio Sviluppare i serie di Fourier la fuzioe f : R R π-periodica, defiita sull itervallo π da f[x] := x. E servirsi dello sviluppo per dimostrare che = + = π 8. Soluzioe. Osservato che f è pari, abbiamo, per ogi N, b = e a = π Itegrado per parti si ha x cos[x] dx = x si[x] x dx = π, π π si[x] a = π x cos[x] dx. { dx = cos[x] π = = per dispari per pari. 3 somme parziali.5 3 di Fourier.5.5 5 somme parziali.5 3 di Fourier.5.5 Essedo f derivabile a tratti, dal teorema sulla covergeza delle serie di Fourier segue che π Perciò si ha π = = cos[ x] π = f[x], per ogi x R. π = f[] =. Quidi π 8 = = +. somme parziali di Fourier.5 3.5.5 Esercizio 5 Dimostrare le segueti uguagliaze: - - x = 3 + cos[πx] π = per x, 3 = = π 6, + = = π. 3 somme parziali di Fourier.8.6.. 3 somme parziali di Fourier.8.6.. - -
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 b www.sciece.uit.it/ greco5 Coefficieti di Fourier e formule di ortogoalità Per brevità, deotiamo co C ± l isieme delle fuzioi g : π R cotiue a tratti sull itervallo π. Si defiisca il seguete prodotto scalare e la correlata orma per ogi f, g C ± : f, g := π f[x]g[x] dx e g := g, g. Lo chiamiamo prodotto scalare, perchè valgoo le sequeti tre proprietà qualuque siao f, g, h C ± e α, β R: positività f, f, 7 3 simmetria f, g = g, f, { a αf + βh, g = α f, g + β h, g biliearità b g, αf + βh = α g, f + β g, h. Ua famiglia {h } N C ± è detta ortoormale rispetto a questo prodotto scalare, se h = e h, h m = per ogi, m N co m. Lemma 3 ortogoalità delle fuzioi trigoometriche. La famiglia di fuzioi, formata dalla fuzioe costate e dalle fuzioi trigoometriche x cos[x] e x si[x], è ortoormale. Ioltre, per ogi f C ±, si ha: 5 a = f,, a = f, cos[ ], e b = f, si[ ]. Dimostrazioe. Sugg. Calcolare gli itegrali co le formule di prostaferesi v. 6cap6. Proposizioe Sia {h } N ua famiglia ortoormale e f C ±. Posto s := i= f, h i h i. Allora 6 teorema di Pitagora i= α ih i = i= α i per ogi {α i } i.. R, 7 proiezioe ortogoale f, s = i= f, h i = s = f f s, 8 disuguagliaza di Bessel i= f, h i f. Dimostrazioe. Verifica di 6. i= α ih i = i= α ih i, j= α jh j = i,j= α ih i, α j h j = i,j= α iα j h i, h j = s= α sα s h s, h s = s= α s h s = s= α s. Verifica di 7. La prima uguagliaza segue dal fatto che f, s = f, i= f, h i h i = i= f, f, h i h i = i= f, h i f, h i = i= f, h i. Grazie a 6, dalla defiizioe di s segue immediatamete la secoda uguagliaza. Per la terza uguagliaza si osservi che f s = f s, f s = f + s f, s = f + s s = f s. Verifica di 8. Segue immediatamete da 7. Lemma disuguagliaza di Bessel per le serie di Fourier. Sia f : R R cotiua a tratti sull itervallo [, π]. Allora 9 a + a + b π = f [x] dx. Dimostrazioe. Segue immediatamete da 5 e da 8. 7 Qualuque sia la fuzioe f C ±, si ha f = se e solo se {x π : fx } è fiito. Quidi, ogi fuzioe che sia cotiua i ogi puto π e abbia orma ulla, è ulla. proiezioe ortogoale proiezioe ortogoale f s f s
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 a www.sciece.uit.it/ greco6 5 Il ucleo di Dirichlet Per ogi N, la fuzioe D : R R, detta ucleo di Dirichlet, è defiita da: 8 D 6 D [x] := + cos[kx]. Lemma 5 sul ucleo di Dirichlet. Sia f : R R ua fuzioe π-periodica e cotiua a tratti. Allora per ogi x R valgoo le segueti uguagliaze: si [ x ] D [x] = si [ + x], 3 D [x] dx = D [x] dx = π, S [x] = π f[x + y]d [y] dy. Dimostrazioe. Dimostriamo la. si[ x ]D [x] = si[ x ] + k= si[ x ] cos[kx] k= = si[ x ]+ si[ x + kx] + si[x kx] = si[ x ]+ si[k+ x] si[k + x] k= = si[ x ]+ si[k+ x] si[k+ x] = si[x ]+si[+ x] si[x ] = si[+ x] k= k= Per la dimostrazioe della si tega coto che cos[kx] dx = cos[kx] dx = per ogi k N. Ora dimostriamo la 3. Esplicitado i coefficieti di Fourier che compaioo i S [x] si ha: S [x] = π = f[t] + π f[t] dt+ k= π k= = f[t]d [t x] dt = π π k= f[t] cos[kt] cos[kx] dt+ π k= f[t] si[kt] si[kx] dt cos[kt] cos[kx]+si[kt] si[kx] dt = f[t] + π x x k= f[x + y]d [y] dy = f[x + y]d [y] dy, π dove l uguagliaza cotrassegata co, è dovuta al cambiameto di variabile t x s = y; metre l uguagliaza segue dal lemma. Lemma 6 ifiitesimalità dei coefficieti di Fourier Sia f cotiua a tratti sull itervallo π. Allora 5 lim f[x] cos[x] dx = lim f[x] si[x] dx =. + + Dimostrazioe. Poichè f[x] dx <, dal lemma 6 disuguagliaza di Bessel segue la covergeza della serie a + = a + b. Perciò lim + a = lim + b = lim + a + b =. cos[kt kx] dt - -5 5 - - D3 8 6 - -5 5 - - D5 8 6 - -5 5 - - D 5 5 5 - -5 5-5
Cap. : Lezioi di Aalisi Mat.-ud a.a.5/6 a www.sciece.uit.it/ greco7 6 Covergeza delle serie di Fourier dimostrazioe fx+ + f[x ] Si fissi x R. Da 3 5 e 5 abbiamo S [x] = = f[x + y]d [y] dy f[x+]d [y] dy f[x ]D [y] dy π π π = π ] D [y] dy + π f[x + y] f[x ] D [y] dy. Per dimostrare la covergeza della serie di Fourier sarà sufficiete verificare che lim f[x+y] f[x+] D [y] dy = e lim f[x+y] f[x ] D [y] dy =. Iiziamo co il verificare il primo limite. Ricordado la 5, abbiamo = = D [y] dy = si [ + y] si[ y ] dy = si[y] cos[ y ] + cos[y] si[ y ] si[ y ] dy si[ y ] cos[ y ] si[y] dy + si[ y ] Nei due ultimi itegrali vi è, come fattore, la fuzioe g : { f[x+y] f[x+] si[ 3 gy := y ] se y π se y. Per y + abbiamo: lim g[y] = lim, y + y + y si[ y ] cos[y] dy. π R data da perciò, i virtù della derivabilità a tratti della fuzioe f, si ha che il limite destro g[+] esiste ed è fiito. Duque, teedo coto che f è cotiua a tratti, e segue che ache g è cotiua a tratti i π e, di cosegueza, ache la fuzioe 5 x g[y] cos[ y ]. Quidi applicado il lemma 6 disuguagliaza di Bessel a questa fuzioe, abbiamo fx + y fx+ 6 lim si y Aalogamete si dimostra che 7 lim si[ y ] cos y si[y] dy = lim si[ y ] cos[y] dy = lim gy cos[ y ] si[y] dy =. g[y] si[ y ] cos[y] dy =. I coclusioe, abbiamo calcolato il primo limite di *. Mediate la sostituzioe x s = x, si ottiee ache il secodo limite, ricoducedolo al primo. E co ciò la dimostrazioe del teorema è coclusa.