4 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 5 Novembre 2002 La funzione f(x) = x da R in R è surgettiva Per ogni x 0 si ha che x 1 = x 1 La funzione f(x) = x da [0, + [ in [0, + [ è iniettiva Se a n 0 per ogni n N e n a n 2, allora a n 2 2 10 + 2 10 = 2 11 Se a n 1, allora a 4n 1 {(log n)/ n} + 1 cos x = o(x) per x 0 (1 n 1 ) n 1/e x 0 + x + x 2 x + x log(1 + 2x) 4 x 0 x x + 4 x x 10 x sin x x 0 x 3 inf{x R : cos x 1} sup{x 3 : x 0} Sia f(x) = e 2x + x log 3. Allora f (0) Test in Itinere Informatica 2002 1.1
Capitolo 1: Test d esame 5 Pisa, 5 Novembre 2002 La funzione f(x) = e x da R in [0, + [ è iniettiva L equazione x 1 = x non ha soluzioni reali La funzione f(x) = cos x da [0, π] in [ 1, 1] è bigettiva Se a n 4, allora n a n 1 log 5 log 2 = log 3 Se a n π allora sin a n 0 {(sin n)/n} 0 x log(1 + x) = o(x) per x 0 n 2n + 4 n 6 x 4 + x x + 2x + 1 log 4 x x + x e 2x2 1 x sin x x 0 + x 2 x 0 2x 3 inf{x R : x 4 3} sup{sin x : x [0, π]} Sia f(x) = cos(2x) + 4. Allora f (1) Test in Itinere Informatica 2002 1.2
6 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 5 Novembre 2002 La funzione f(x) = sin x da R in R è iniettiva 7 9 = 4 63 La funzione f(x) = x 3 da [0, 1] in [0, 1] è surgettiva Se a n 5, allora a 2n+3 13 log 2 (16 10 ) = 40 Se a n > 0 per ogni n N e a n+1 /a n 1/2, allora a n 0 {2 n n 4 } 0 sin x = o(x) per x 0 n 2n + n 2 sin x x + x 2x 2 x x x 2 + 1 1 cos x x tan x x 0 2x 2 x 0 2x 3 sup{x R : x 2 3} inf{x 2 : x 1} Sia f(x) = x 4 + 2 sin x. Allora f (π) Test in Itinere Informatica 2002 1.3
Capitolo 1: Test d esame 7 Pisa, 22 Novembre 2002 La funzione f(x) = x 4 da R in R è pari L equazione x = x + 1 ha esattamente una soluzione reale La serie + n=1 ( n + 4)(n 3 + 1) 1 converge Se a n π, allora cos(a 2n ) 1 9 3 9 7 = 9 21 La serie + n=5 ( 1)n arctan (n/(n + 1)) converge Se {na n } 5 allora a n diverge e 5x = 1 + 5x + o(x) per x 0 arcsin(sin 2) = 2 4 n + 1 sin(4x 2 ) n + n 100 x 0 x x xex x + sin x x 0 + x + cos x inf{x R : arctan x 10} max{cos x : x ] 1, 1[} Sia f(x) = e x + 2. Allora f (1) Test in Itinere Informatica 2002 2
8 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 29 Novembre 2002 La funzione f(x) = sin(x) + 1 da R in R è periodica L equazione e x = cos x ha almeno 3 soluzioni reali + n=1 n3 (n 4 + log n) 1 converge Se a 2 n 1 allora a n 1 log 5 log 3 = log 8 + n=5 = ( 1)n (n + log n) 1 converge Se x n+1 = 3x n per ogni n N e x 2 = 4, allora x 4 = 16. e x2 = 1 + o(x) per x 0 La funzione f(x) = x 3 + x da R in R è surgettiva n + n 4 + n 4n 4 + 3 1 cos(x 2 ) x 0 x 3 log 100 (x) x + x x 1 sin 2 (2x) x inf{x R : x 2 + x 0} max{arctan(x 2 + 1) : x R} Sia f(x) = sin(x 2 3). Allora f (2) Test in Itinere Informatica 2002 3
Capitolo 1: Test d esame 9 Pisa, 6 Dicembre 2002 La funzione f(x) = x 2 cos x da R in R è iniettiva L equazione e x = x + 4 ha esattamente 2 soluzioni reali La serie + n=4 (n + 2002)(n3 n) 1 converge Se a n 10 allora a 3n 30 (x 1)2 = x 1 per ogni x R n 3n + n 4 1 La successione definita per ricorrenza da x n+1 = 2x n, x 1 = 90 è monotona. log(1 + x 2 ) x = o(x) per x 0 La funzione f(x) = x/(1 + x 2 ) è itata in R. arctan(x 2 ) x + x + 1 x 0 + x sin x x 4 1 0 (x + x 2 ) dx e 4 1 0 x 1 + x dx min{x R : e x 4} sup{x x 2 : x [0, 1]} Sia f(x, y) = x + y 2 + 2xy. Allora f xy (1, 1) Test in Itinere Informatica 2002 4
10 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 13 Dicembre 2002 La funzione f(x) = x 4 1 da R in R è surgettiva L equazione e x = x non ha soluzioni reali x = 0 è un punto di minimo relativo per f(x) = x + x 2 Se x n+1 = x n + 1 per ogni n N e x 1 = 1, allora x 3 = 3 2 501 2 500 = 2 La serie + n=1 (sin n)(n3 + 1) 1 converge La serie di potenze + n=0 nxn ha raggio di convergenza 1 sin x 2x = o(x) per x 0 y(x) = e x è una soluzione dell equazione differenziale y + xy = 0. sin x x log(1 + x) x + x 2 x 0 + x 2 π/4 0 cos(2x) dx inf { x 0 : [0,2] [0,1] x 1 + x 1 } 2 } max {x x3 3 : x 0 xy dx dy Sia f(x, y) = x x cos y. Allora f yy (1, 0) Test in Itinere Informatica 2002 5
Capitolo 1: Test d esame 11 Pisa, 20 Dicembre 2002 La funzione f(x) = 2x 3 + x da R in R è surgettiva La funzione f(x) = 2x 3 + x da R in R è iniettiva Per ogni x 0 si ha sin x x L equazione differenziale y = xy è lineare Se a n 4 allora n a n 1 5 3 + 5 10 = 5 13 x = 0 è un punto di minimo relativo per f(x) = x 3 + 1 La serie + n=1 ( 1)n (2n)/(3n + 1) converge e x 1 = x + o(x 2 ) per x 0 x sin x x + x + 4 π/2 x cos(x 2 ) dx 0 2 n n + n n [0,1] [0,1] max{x R : arctan(x + 1) 0} x dx dy inf{x 2 + 3 : x ] 2, 2[} Sia f(x, y) = xe y + 3. Allora f xy (1, 0) Test in Itinere Informatica 2002 6
12 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 9 Gennaio 2003 La funzione f(x) = x 2 + x da R in R è surgettiva La funzione f(x) = x 2 + x da R in R è iniettiva n 4 2 n 0 L equazione differenziale y = 3x + y è a variabili separabili La successione definita per ricorrenza da x n+1 = x n /2, x 0 = 1 è monotona 3 2 6 2 = 18 2 L equazione e x = x ha almeno una soluzione reale La serie + n=1 3 n converge log(1 + x) = x + o(x) per x 0 e x 1 x 2x x 0 e x 1 2x e x 1 x + 2x sup{x R : log(2 + x) 0} min{e 2+x : x [ 1, 1[} Sia f(x) = x + log(2). Allora f (2) [0,1] [0,2] x dx dy Test d esame Informatica 2003 1
Capitolo 1: Test d esame 13 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 6 Febbraio 2003 La funzione f(x) = sin 2 x da R in R è periodica La funzione f(x) = x 3 1 da R in R è surgettiva La successione (n + sin n)/(n + 3) tende a 1 y(x) = x 2 è una soluzione dell equazione differenziale y = y + 1 Se a n 4 allora a 2n+3 4. log 4 log 3 = log 7 L equazione x + 1 = x ha almeno una soluzione reale La serie di potenze + n=0 xn ha raggio di convergenza 1 e x = 1 + x + o(x) per x 0 log(1 + 2x) x + x x 0 log(1 + 2x) x n + n n + 3 sup{cos x : x [ 3, 3]} min{x R : x 4 5} Sia f(x, y) = 2ye x + sin x. Allora f xy (1, 1) 2 0 cos(3x) dx Test d esame Informatica 2003 2
14 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 4 giugno 2003 La funzione f(x) = sin x da [0, 2π] in R è iniettiva x = 0 è un punto di minimo relativo per f(x) = x 2 + 1 (log n)/ n + arcsin(1/2) = π/3 Se x n+1 = 2x 2 n + 1 per ogni n N e x 0 = 0, allora x 2 = 3. (x + 3)2 = x + 3 per ogni x R L equazione e x = x ha almeno una soluzione reale + n=1 (n + 1)(n4 + n) 1 converge sin x 2 = x 2 + o(x 2 ) per x 0 arctan x x + 2x x 0 arctan x 2x x 1 arctan x 2x inf{x R : x 2 + 2 7} max{8 x 4 : x [ 2, 2[} Sia f(x, y) = x 2 y + x + e 5. Allora f xx (0, 2) 2 0 e 2x dx Test d esame Informatica 2003 3
Capitolo 1: Test d esame 15 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 24 giugno 2003 e n /n + x 1 = x 1 per ogni x 0 Se a n 0 per ogni n N e a n 5 allora n a n 5. La funzione f(x) = x + e x da R in R è strettamente crescente L equazione x + e x = 2 ha almeno una soluzione reale La funzione arctan x da R in R è surgettiva La soluzione generale di y = 2y è y(x) = ce 2x cos x 1 = o(x) per x 0 La serie + n=1 3n converge x 2 3 x x 0 + x 2 + x x 2 3 x x 1 x 2 + x x 2 3 x x + x 2 + x sup{x R : 3 sin x 0} max{3 sin x : x R} Sia f(x) = sin(3x) + 4 5. Allora f (1) [0,3] [0,1] (x + y) dx dy Test d esame Informatica 2003 4
16 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 17 luglio 2003 La funzione f(x) = sin(3x) da R in R è periodica log(5)/ log(3) = log(2) Se a n > 0 per ogni n N e a n+1 /a n 5 allora a n converge L equazione arctan x = 2 x ha esattamente una soluzione reale La funzione x + arctan x da R in R è surgettiva La soluzione di y = xy, y(0) = 1 è y(x) = e x n 2n + 10 2 x = 0 è un punto di massimo relativo per f(x) = cos(2x) arctan(x) = o(x) per x 0 sin(3x) x x x 0 sin(3x) x x π sin(3x) x inf{x R : e x 3} min{ x 3 + 4 : x ] 1, 4[} Sia f(x, y) = e xy + 3x 3. Allora f yy (3, 0) 1 0 1 1 + x dx Test d esame Informatica 2003 5
Capitolo 1: Test d esame 17 Test scritto di Analisi Matematica Pisa, 16 Settembre 2003 La funzione f(x) = x 4 /(1 + x 2 ) da R in R è itata L equazione x 4 = x non ha soluzioni reali La funzione x 4 + 1 da R in R è iniettiva 2 10 2 11 = 2 110 Se a n 4 allora a 10n+2 4 n n! + L equazione differenziale y = x(y + 1) è a variabili separabili x = 0 è un punto di minimo relativo per f(x) = x 5 e x 1 = x + o(x) per x 0 2 + log x 2 + log x 2 + log x x 0 + x 2 x 1 x 2 x+ x 2 sup{x R : x 2 2x 0} inf{x 2 2x : x [2, + [} Sia f(x) = 2 x + cos 4. Allora f (1) [0,1] [0,2] x 2 y dx dy Test d esame Informatica 2003 6