ma può aiutare La ricorsione all opera

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1 ma può aiutare Un problema complesso Numero di percorsi su una griglia di strade (Manhattan-like) quanti percorsi minimi differenti da A a B? minimi: aventi la minima lunghezza possibile ogni segmento tra due incroci ha lunghezza unitaria calcolarlo in modo non ricorsivo? provate i 1 2 A 3 j B 30 La ricorsione all opera Ragionare ricorsivamente i tutti i possibili percorsi da A a B2! 1 2 A 3 j B1 B2 B tutti i possibili percorsi da A a B1! 31

2 La ricorsione all opera (cont) ogni possibile percorso da A a B o passa per B1 o per B2" mai per entrambi" caso generale! num percorsi da A a B = " num percorsi da A a B1 num percorsi da A a B2" soluzione diretta! se A e B sono sulla stessa riga o sulla stessa colonna " allora! num percorsi da A a B = 1" j i A B B B 32 Codifica Python coordinate di A def num_of_paths(ia, ja, ib, jb) :! ia, ja, ib, jb : int! coordinate di B int! if (ia>ib or ja>jb):! coordinate mal definite! else:! if (ia==ib or ja==jb) :! soluzione diretta! else :! caso generale! def num_of_paths(ia, ja, ib, jb) :! ia, ja, ib, jb : int! int! if (ia>ib or ja>jb) :! coordinate mal definite! else:! if (ia==ib or ja==jb):! return 1! else:! caso generale! 33

3 Codifica Python def num_of_paths(ia, ja, ib, jb)! if (ia>ib or ja>jb):! coordinate mal definite! else:! if (ia==ib or ja==jb):! return 1! else:! coordinate di B1 return num_of_paths(ia,ja,ib-1,jb)! num_of_paths(ia,ja,ib,jb-1)! coordinate di B2 if (ia>ib or ja>jb):! print "ill defined coordinates"! return 0! else:! 34 Un esercizio di ricorsione operazioni aritmetiche su numeri naturali usando solo le operazioni di incremento e decremento di 1 somma (x, y ) x = 0 somma (x, y ) = y (soluzione diretta) x > 0 somma (x, y ) = somma (x-1, y ) 1 (caso generale) prodotto (x, y ) x = 0 prodotto (x, y ) = 0 (soluzione diretta) x > 0 prodotto (x, y ) = somma(prodotto (x-1, y ), y) (caso generale) def somma(x, y) :" x, y : int" int" assert x>=0 and y>=0" if (x==0) :" return y" else :" return somma(x-1, y) 1" def prodotto(x, y) :" x, y : int" int" assert x>=0 and y>=0" if (x==0) :" return 0" else :" return somma(prodotto(x-1,y), y)" 35

4 Pensare ricorsivamente : elementi chiave per risolvere un problema complesso, risolvere prima lo stesso problema in un caso un po più semplice assicurarsi che questo processo termini su un caso risolvibile direttamente concentrarsi su come risolvere il problema iniziale a partire dalla soluzione del caso un po più semplice 36 Esempio Problema: riconoscimento di stringhe palindrome! esempi di stringhe palindrome" Anilina" ingegni" Etna gigante" i topi non avevano nipoti" Avida di vita desiai ogni amore vero ma ingoiai sedativi da diva" " Obiettivo: costruire una funzione ricorsiva per verificare se una stringa è palindroma " 37

5 Costruzione di una soluzione ricorsiva passo 1 : costruire un problema un poʼ più semplice" più semplice stringa più corta" di solito, varie possibilità vari modi per ridurre la stringa iniziale" rimuovere il primo carattere" rimuovere lʼultimo carattere" rimuovere il primo e lʼultimo carattere" rimuovere un carattere dal mezzo della stringa" spezzare la stringa in due metà" quale sembra più efficace?" 38 efficacia della semplificazione al passo 1 = capacità di supportare la definizione del passo 2 : risolvere il problema iniziale a partire da quello semplificato spezzare la stringa in due metà: efficace? "ingegni" "inge" "gni" che cosa facciamo delle due metà? rimuovere il primo e l ultimo carattere: efficace? "ingegni" "ngegn" : se la stringa di partenza è palindroma lo è anche quella di arrivo buona semplificazione una stringa è palindroma se :" il primo e lʼultimo carattere sono uguali " caso generale! la stringa ottenuta rimuovendo il primo e lʼultimo carattere è palindroma" 39

6 rimane il passo 3 : uscita dalla ricorsione casi semplici risolvibili direttamente cosa è un caso semplice? in generale, un caso a cui non è applicabile la procedura di semplificazione del passo 2 nel caso delle stringhe palindrome : stringa di un carattere stringa di zero caratteri (stringhe di due o più caratteri si riducono, alla fine, a uno di questi due casi) quale dei due? soluzione diretta! una stringa di zero o un carattere è palindroma 40 def is_palindrome(s) :" s : string" bool" if len(s) <= 1 :" return true" if s[0] == s[len(s)-1] :" primo carattere! ultimo carattere! shorter = s[1:len(s)-1]" stringa semplificata! return is_palindrome(shorter)" else :" return false" soluzione diretta! caso generale! nota bene : questa soluzione funziona solo se la stringa è formata da caratteri tutti minuscoli (o tutti maiuscoli)!!! 41

7 Problema: le torri di Hanoi Trasferire i dischi dalla colonna A alla colonna C (utilizzando eventualmente la colonna B) si può spostare un solo disco alla volta non si può mai poggiare un disco più grande su uno più piccolo 42 Problema: le torri di Hanoi Soluzione con 3 dischi Scrivere una funzione che determina le mosse da fare con n dischi per qualunque n 1 43

8 Efficienza della ricorsione ricorsione: tecnica efficace per ideare una soluzione, ma la soluzione ideata può essere inefficiente caso di studio: successione di Fibonacci f 1 = 1 f 2 = 1 f n = f n-1 f n-2 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, codifica Python in forma ricorsiva : def fib(n) :" n : int" int" assert (n>=0)" if (n <= 2) :" return 1" else :" return fib(n - 1) fib(n 2)" 44 è una realizzazione efficiente? provare ad eseguire fib(n) per n crescente quante operazioni per calcolare f n usando fib(n)? proporzionale a 2 n (si può dimostrare) quanto tempo per eseguire 2 n operazioni? calcolatore in grado di eseguire operazioni/sec T(n): tempo per eseguire 2 n operazioni T(20) : 10-6 sec T(30) : 10-3 sec T(40) : 1 sec T(50) : 20 min T(60) : 13 giorni T(70) : 365 anni T(80) : 37 x anni 45

9 NOTA: un essere umano ci metterebbe qualche minuto per calcolare f n (per valori di n ragionevoli ) che cosa causa la inefficienza di fib(n)? fib(4)! fib(6)! fib(5)! fib(3)! 3 fib(4)! 2 fib(3)! fib(2)! fib(3)! fib(2)! fib(2)!fib(1)! fib(2)!fib(1)! 1! fib(2)! fib(1)! 1! 1! 1! 1! 1! 1! 46 codifica Python in forma iterativa : è quello che faremmo noi con carta e penna def fib(n) :" n : int" int" if (n <= 2) :" return 1" fold = 1" fold2 = 1" for i in range(3, n1) : " fnew = fold fold2" fold2 = fold" fold = fnew" return fnew" è sempre possibile risolvere in modo iterativo un problema risolto ricorsivamente? SI però: soluzioni ricorsive spesso sono più facili da ideare L iterazione è umana, la ricorsione divina (L Peter Deutsch) 47

10 Che cosa abbiamo appreso Obiettivi di apprendimento generali introdurre una nuova strategia di soluzione caso di studio conteggio percorsi alternativi 48