The Modeling of Two-dof Mechanical Systems. forced oscillations

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1 The Modeling of Two-dof Mechanical Systems forced oscillations

2 Let's analyze the following scheme in the particular case of: With the force F(t): m m m 3 F(t) F sen t F(t) F sen t x, x, x x, x, x m m Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

3 The system of dynamic equilibrium equation becomes: mx x x F sen t m x x 3 x m x x x F sen t m x x x In matrix notation: And in compact form: m x x F sen t m x x M x K x F xx xx x Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 3 / 3

4 The solutions x x x x x x gen part gen part Let us first study the general integral of homogeneous associated with give us the free vibrations of the system (in the absence of forcing), it is of the type: x sen t ψ gen xgen sen t ψ and deriving and substituting in the homogeneous system associated, is obtained: m m Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 4 / 3

5 The algebraic system admits solutions different from the trivial if and only if the determinant of the matrix of coefficients is equal to zero, ie: m m resulting in the following equation biquadratic : 4 m 4 m 3 Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 5 / 3

6 And the natual frequency: per m 4 m 3 m m m have the first modo of vibration with pulsation and law of motion: m 3 m sen t ψ sen t ψ x x gen gen being amplitudes equal =, the two carts are moving as if they were rigidly connected, the central spring is not deformed during the first mode of vibration, Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 6 / 3

7 per m We have the II mode of vibrations with e low of motion: sen t ψ sen t ψ x x gen gen amplitudes of motion of the two carts still have the same form but opposite, the side springs are deformed in equal measure while the center has a double. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 7 / 3

8 If there were no external forcing the generic free motion of the system would be expressed by: For t = : sen t ψ sen t ψ sen t ψ sen t ψ x x gen gen The four constants: senψ senψ senψ senψ x x x v cosψ cosψ x x x v cosψ cosψ ψ ψ Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 8 / 3

9 Let us now study the particular integral of the system from which forced the motion to the system, that is, when the vibration is damped transient initial effect of the causes of dissipative always present in real systems. The particular integral is of the type: x Asen t part x part Bsen t that derivative and substituted into the system: m x x x F sen t m x x x A m B F A Bm Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 9 / 3

10 with Cramer's rule, we obtain the values of the amplitudes: with: A B F m F m m F The values of the amplitudes A and B of the integrals of motion particular, amplitudes that scheme will be merged with those of the absolute motion, can be represented as a function of pulsation of external forcing. F Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

11 A B << the motion of the two masses is concordant and in phase with the forcing; amplitudes are almost equal to the corresponding static displacements; deformations of the springs in practice are those that would have been obtained by applying to the mass a constant force F. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

12 A il moto dei due carrellini è ancora equiverso con ampiezze di notevole entità che tendono a diventare praticamente uguali tra di loro e, per <, il moto è ancora in fase con la B forzante, mentre è in controfase per > ; la molla centrale si deforma molto meno di quelle laterali: la deformata di vibrazione del sistema è praticamente uguale a quella del I modo proprio di vibrare, siamo in presenza della prima pulsazione di risonanza del sistema. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

13 A < < gli spostamenti sono equiversi tra di loro, ma in opposizione di fase rispetto alla forzante; le ampiezze diminuiscono anche se x part rimane, in valore B assoluto, maggiore di x part. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 3 / 3

14 A la massa a cui è applicata la forzante resta teoricamente ferma; l altra massa si muove quel tanto che basta per far si che la molla centrale trasmetta alla B prima una forza esattamente uguale e contraria alla forzante esterna. Questo particolare fenomeno viene sfruttato per smorzare le vibrazioni delle macchine. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 4 / 3

15 A < < gli spostamenti hanno segno opposto, il primo in fase con la forzante, il secondo in opposizione; le rispettive ampiezze, dapprima piccole, aumen- B tano all aumentare di. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 5 / 3

16 A B gli spostamenti x part e x part tornati ad essere molto grandi e di egual valore, hanno segno opposto; la molla centrale si deforma circa il doppio di quelle laterali, ed un suo punto resta fermo; la deformata di vibrazione del sistema è praticamente uguale a quella del II modo proprio di vibrare, siamo alla seconda risonanza. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 6 / 3

17 A >> entrambi gli spostamenti, pur avendo segno opposto, tendono rapidamente a zero all aumentare di ; il sistema in pratica non si deforma più e rimane in B quiete. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 7 / 3

18 The law of motion of the system forced, in its initial transient, is given by the complete: sen t ψ sen t ψ sen t sen t ψ sen t ψ sen t x A x B The values: the initial conditions: ψ ψ x x senψ senψ Asen x v cosψ cosψ Acos x x senψ senψ Bsen x v cosψ cosψ Bcos Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 8 / 3

19 A dynamic absorber For a schema vibrant original to a degree of freedom, consisting of mass m and elastic element of constant forced by an external forcing type harmonic F = F sent, is coupled, via a spring, an absorber mass m. F(t) F sen t The new scheme is, of course, with two degrees of freedom.. m x, x, x m x, x, x Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 9 / 3

20 Assorbitore dinamico The equations of motion are: F sen t x x x m x x x m x Introducing the angular frequency of the original system and that of the absorber: m m static displacement of the original system: m m F(t) F sen t x, x, x F x, x, x Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

21 Assorbitore dinamico We impose the solutions of the forced system: x Asen t part x part Bsen t F(t) F sen t The system can be written in the form: m m x, x, x x, x, x Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

22 Assorbitore dinamico A questo punto il comportamento dinamico del sistema, e perciò la funzione dell'assorbitore, può essere analizzato se si studiano le espressioni delle ampiezze delle due masse riferite allo spostamento statico del sistema originario: From the first equation it is obvious that the amplitude of the vibrations of the original system vanishes when the pulsation of forcing coincides with that of the absorber. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate / 3

23 Assorbitore dinamico At this frequency, the amplitude of the mass m becomes: x F in phase opposition with the forcing. The principle of the absorber is, in fact, based on his own ability to transmit to the mass m, through the spring, a force x equal and opposite to the external F. Its mass m depends on the intensity of the exciter force F, as the absorber must exert a force equal and opposite to the disturbing force, which in turn depends on the permissible deformation of the spring of the absorber: m F L'assorbitore dinamico può essere usato, per quanto già detto, solo quando la frequenza di disturbo è costante, perchè esso è efficiente solo alla propria frequenza naturale. L'assorbitore dinamico ben si adatta a macchine sincrone ed ad apparecchi funzionanti a corrente alternata a frequenza costante. Sistemi vibranti g.d.l. - Oscillazioni forzate 3 / 3