B trees. Memoria. Memoria principale Piccola e veloce (chips, silicio) Pochi Gb 10-9 sec.

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1 B trees 1 Vittorio Maniezzo Università di Bologna Memoria Memoria principale Piccola e veloce (chips, silicio) Pochi Gb 10-9 sec. Memoria secondaria Grande e lenta (dischi magnetici) Molti Gb 10-4 sec. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 2 1

2 Distribuzione dati su disco Traccia: un anello Settore: una fetta. Blocco: intersezione di una traccia e un settore. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 3 Blocchi di memoria Memoria principale Un blocco contiene kbytes, k=1,..., 64 Memoria secondaria Un blocco contiene kkb k=64,..., 1024 Vittorio Maniezzo Università di Bologna 4 2

3 Dischi magnetici I dischi memorizzano molti dati ma sono lenti. Trovare una pagina richiede tempo (posizionamento testina più tempo di rotazione, 5-10ms), la lettura è veloce Conviene leggere i dati in pagine (blocchi) sufficientemente grandi. Dall alto cilindri rotazione traccia settore testina di lettura/scrittura Vittorio Maniezzo Università di Bologna 5 Tempo di accesso Spesso il tempo necessario per accedere ad una pagina su disco è superiore al tempo necessario all elaboratore per esaminare tutta l informazione letta. Il tempo di esecuzione viene calcolato con: numero di accessi a disco tempo (di calcolo) della CPU Il num. di accessi a disco è misurato in numero di pagine lette/scritte. Non è costante, però... Vittorio Maniezzo Università di Bologna 6 3

4 Tempo di accesso al disco Seektime = Somma di Tempo necessario alla testina per muoversi sulla traccia corretta. Tempo necessario al settore desiderato per ruotare fino alla posizione della testina. (A volte questo componente è chiamato latenza, a volte per latenza si intende l'intero seek time) Transfer time = tempo necessario per leggere o scrivere i dati. Per un disco a 7200 RPM con seektime di 8 millisec, il tempo medio di accesso a un blocco è di circa 12 millisec. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 7 ISAM) ISAM è l'acronimo di IndexedSequentialAccess Method (metodo di accesso sequenziale indicizzato), ed è un modo per immagazzinare dati da estrarre rapidamente. Sviluppato da IBM, costituisce oggi la base per l'immagazzinamento dei dati in molti database, relazionali e non. Si memorizzano mrecord in ogni blocco del disco, ciascuno identificato univocamente da una chiave k. Si utilizza un indice: un array con una cella per ogni blocco del disco che contiene la chiave più grande memorizzata in quel blocco. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 8 4

5 ISAM) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 9 ISAM: get) Per recuperare un record (di chiave k): get(k) 1. Ricerca nell'indice, ad esempio con ricerca binaria, per determinare il blocco che contiene il record desiderato. 2. Accesso al disco per leggere il blocco ed estrarre il record desiderato, se esiste. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 10 5

6 ISAM, limiti Problemi con ISAM: 1. L'indice stesso può essere troppo grande per stare tutto in memoria. 2. Inserimento e cancellazione di record possono essere molto costosi se tutti i record dopo quello inserito / cancellato devono essere spostati. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 11 Una soluzione: B Tree Idea 1: Usare alberi di ricerca m-ari (ogni nodo, fino a m figli). Idea 2: non richiedere che ogni blocco sia pieno. Lo spazio vuoto permette inserimenti e cancellazioni senza ridefinire l'albero. Idea 3: La ristrutturazione dell'albero ogni tanto è inevitabile. Necessario progettarla con complessità proporzionale all'altezza dell'albero. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 12 6

7 B tree Perchè B? Inventati da R. Bayer nel 1970 Un B-treeè una generalizzazione di un m-tree(multiwaytree), che a sua volta è una generalizzazione di un albero binario di ricerca, BST. Richieste: mantenere il bilanciamento(altezza logaritmica) minimizzare I/O su disco Vittorio Maniezzo Università di Bologna 13 B tree Un B-treeè un albero di radice root(t)in cui ogni nodo xè strutturato come segue: x= dove: n leaf key 1 key 2... key n n[x] = numero delle chiavi (key) del nodo x leaf[x]: booleano, vero se x è foglia Chiavi memorizzate in ordine non-decrescente key 1 [x] key 2 [x] key 3 [x]... key n [x] Vittorio Maniezzo Università di Bologna 14 7

8 B tree, un nodo La struttura completa di un nodo è: Dove: n: numero di chiavi nel nodo leaf: flagbooleano, dice se il nodo è una foglia p father : puntatore al nodo padre p i : puntatore all'i-esimo sottoalbero (i= 1,..., n+1) key i : chiave i-esima (i= 1,..., n) rec i : puntatore data record i-esimo, blocco e offset su disco (i= 1,..., n): ci si immagina che la chiave serva come identificatore univoco di un record (cfr. hashing) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 15 B tree, proprietà Un B-treedi ordine mè un albero m-ario tale che: Tutti i nodi foglia sono allo stesso livello. Tutti i nodi interni (tranne la radice) hanno al massimo me almeno m/2figli. Il numero delle chiavi per i nodi interni è pari al numero dei figli meno 1, per le foglie è almeno m/2 e al più m 1. La radicepuò avere anche solo 2 figli, se l'albero non è costituito dalla sola radice. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 16 8

9 Operazioni sui dati Per accedere alle strutture dati non si fa riferimento a indirizzi in memoria centrale ma a locazioni su file. Sia xun puntatore ad un oggetto: se xè nella memoria principale, gli si accede ad es. con key[x] se è su disco, la procedura DiskRead(x) copia l oggetto in memoria (DiskWrite(x) lo ricopia su disco) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 17 B tree If leaf[x]= false (x è un nodo interno) c 1 [x], c 2 [x],..., c n[x]+1 [x] sono puntatori ai nodi figli I campi key i [x] definiscono gli intervalli delle chiavi memorizzate in ciascun sottoalbero: se k i è una chiave memorizzata nel sottoalbero di radice c i [x] allora si ha che: k 1 key 1 [x] k 2 key 2 [x]... key n[x] [x] k n[x]+1 Ogni foglia ha la stessa profondità, che è quindi anche l altezza dell albero. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 18 9

10 B tree c 1 key 1 c 2 key 2 c 3 key 3 c 4 a i b i d i e i a i key 1 b i key 2 d i key 3 e i Il num. di chiavi memorizzabili in un nodo è limitato in funzione di un intero t, t 2, chiamato grado minimo x root n[x] t-1 AND n[x] 2t-1 x= root n[x] 1 Un nodo xè pienose n[x] = 2t-1 Vittorio Maniezzo Università di Bologna 19 B tree root[t] nodo chiavi nodi chiavi nodi chiavi Più di un miliardo di chiavi! h=2 num. accessi 2!!! Vittorio Maniezzo Università di Bologna 20 10

11 B tree Alberi di ricerca bilanciati (balanced search tree, BST!!!) I nodi dei B-tree possono avere molti figli (migliaia) Profondità = O(log n) Generalizzano naturalmente i BST (binary search tree!!!) M D,H Q,T,X B,C F,G J,K,L N,P R,S V,W Y,Z Vittorio Maniezzo Università di Bologna 21 Altezza di un B tree Se n 1, allora per ogni B-treeT (con nchiavi) di altezza h, di grado minimo t 2, vale che: livello #di nodi t t -1 t -1 t -1 t -1 t -1 t t -1 t -1 t t Vittorio Maniezzo Università di Bologna 22 11

12 Analisi tempi di esecuzione numero di accessi a disco: O(log t n) CPU time: O(t log t n) trovato non trovato Vittorio Maniezzo Università di Bologna 23 Operazioni sui B tree Assunzioni: La radice di un B-treeè sempre in memoria centrale Quando si modifica la radice bisogna effettuare una scrittura su disco (DiskWrite) Qualsiasi nodo venga passato come parametro deve già essere in memoria centrale, a seguito di una DiskRead. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 24 12

13 Operazioni sui B tree Le operazioni da realizzare sono: Ricerca di una chiave (semplice) Creazione di un nuovo albero vuoto (semplice) Inserimento di nuove chiavi (complessa) Cancellazione di chiavi (complessa) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 25 B tree search(x,k) Operazione di ricerca su B-tree, parametri: x: radice di un sottoalbero k: chiave da cercare B-TREE-SEARCH(x,k) i=1 while i n[x] and k>key i [x] do i=i+1 if i n[x] and k=key i [x] then return(x,i) if (leaf[x]) then return(nil) else DISKREAD(c i [x]) return(b-tree-search(c i [x],k) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 26 13

14 Creazione di un B tree vuoto Inizialmente si crea un nodo radice vuoto con la B-Tree-Create, poi lo si riempie con la B-Tree-Insert. Entrambe utilizzano la AllocateNodeche crea un nuovo nodo e gli assegna una pagina di disco in tempo O(1). B-Tree-Create(T) x = AllocateNode() leaf[x]=true n[x]=0 DiskWrite(x) root[t]=x num accessi a pagina: O(1) tempo CPU: O(1) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 27 Divisione di un nodo I nodi si riempiono e raggiungono la loro capacità massima di 2t 1 chiavi. Per poter inserire una nuova chiave è necessario fare spazio, cioè dividere (split) il nodo. La divisione avviene in corrispondenza della sua chiave mediana. Risultato: una chiave di xsale di un livello e si creano 2 nodi con t-1 chiavi. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 28 14

15 Split di un nodo t=4, 2t-1=7 non pieno x... N W... y = c i [x] pieno P Q R S T V W x... N S W... y = c i [x] z = c i+1 [x] P Q R T V W T 1... T 8 Mediano! Vittorio Maniezzo Università di Bologna 29 B Tree Split Child B-Tree-Split-Child(x,i,y) z = AllocateNode() leaf[z] = leaf[y] n[z] = t-1 for j = 1 to t-1 key j [z] = key j+t [y] if not leaf[y] then for j = 1 to t c j [z] = c j+t [y] n[y] = t-1 for j = n[x]+1 downto i+1 c j+1 [x] = c j [x] c i+1 [x] = z for j = n[x] downto i key j+1 [x] = key j [x] key i [x] = key t [y] n[x] = n[x]+1 DiskWrite(y) DiskWrite(z) DiskWrite(x) x: nodo padre y: nodo da spezzare (figlio di x) i: indice in x z: nuovo nodo x y = c i [x]... N W... P Q R S T V W T 1... T 8 Vittorio Maniezzo Università di Bologna 30 15

16 Split : tempo di CPU Lo split è un operazione locale che non percorre l albero Tempo di CPU Θ(t): I due loop vengonoeseguititvolte 3 operazioni di I/O Vittorio Maniezzo Università di Bologna 31 Inserimento di elementi Inserimentoeffettuato ricorsivamente: si inizia dalla radice e si può percorrere ricorsivamente l albero fino al livello delle foglie E necessario scendere ad un livello inferiore se il nodo corrente contiene 2t 1 elementi Vittorio Maniezzo Università di Bologna 32 16

17 Inserimento di elementi ( 2) Caso particolare: la radice è piena(btreeinsert) B-TREE-INSERT(T) r = root[t] if n[r] == 2t 1 then s = ALLOCATENODE() root[t] = s leaf[s] = FALSE n[s] = 0 c 1 [s] = r B-TREE-SPLIT-CHILD(s,1,r) B-TREE-INSERT-NON-FULL(s,k) else B-TREE-INSERT-NON-FULL(r,k) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 33 Split della radice Lo split della radice richiede la creazione di nuovi nodi root[t] A D F H L N P T 1... T 8 r root[t] r A D F H s L N P L albero cresce (verso l alto invece che verso il basso). Vittorio Maniezzo Università di Bologna 34 17

18 Inserimento di elementi BTREEINSERTNONFULLcerca di inserire un elemento kin un nodo x, che si assume essere non pienoquando la procedura viene chiamata BTREEINSERTe la ricorsionein BTreeInsertNonFullgarantiscono che l assunzione sia vera. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 35 Inserimento di elementi : Pseudo Codice B-TREE-INSERT-NON-FULL(x,k) i = n[x] if leaf[x] then while i 1 and k < key i [x] key i+1 [x] = key i [x] i = i - 1 key i+1 [x] = k n[x] = n[x] + 1 DISKWRITE(x) else while i 1 and k < key i [x] i = i - 1 i = i + 1 DISKREAD c i [x] if n[c i [x]] = 2t 1 then BTREESPLITCHILD(x,i,c i [x]) if k > key i [x] then i = i + 1 BTREEINSERTNONFULL(c i [x],k) inserimento di una foglia nodo interno: attraversamento dell albero Vittorio Maniezzo Università di Bologna 36 18

19 Inserimento : esempio albero iniziale (t = 3) G M P X A C D E J K N O R S T U V Y Z inserimento di B G M P X A B C D E J K N O R S T U V Y Z inserimento di Q G M P T X A B C D E J K N O Q R S U V Y Z Vittorio Maniezzo Università di Bologna 37 Inserimento : esempio ( 2) inserimento di L P G M T X A B C D E J K L N O Q R S U V Y Z inserimento di F P C G M T X A B D E F J K L N O Q R S U V Y Z Vittorio Maniezzo Università di Bologna 38 19

20 Inserimento : tempo di CPU I/O su disco: O(h), dato che vengono eseguiti solo O(1) accessi a disco durante le chiamate ricorsive a BTreeInsertNonFull CPU: O(t h) = O(tlog t n) In ogni momento sono presenti O(1) pagine disco in memoria principale Vittorio Maniezzo Università di Bologna 39 Cancellazione di elementi Effettuata ricorsivamente, iniziando dalla radice e percorrendo l albero ricorsivamente fino al livello delle foglie Si scende ad un nuovo livello dell albero se il nodo corrente contiene <telementi (mentre per l inserimento < 2t 1 elem.) B-tree-Delete gestisce tre diversi casi: Caso 1: elemento ktrovato in una foglia Caso 2: elemento ktrovato in un nodo interno Caso 3: elemento kprobabilmente in un nodo di livello inferiore Vittorio Maniezzo Università di Bologna 40 20

21 Cancellazione ( 2) albero iniziale P C G M T X A B D E F J K L N O Q R S U V Y Z F cancellato: caso 1 C G M P T X A B D E J K L N O Q R S x U V Y Z Caso 1: se l elemento k è nel nodo x, e xè una foglia, cancellakda x Vittorio Maniezzo Università di Bologna 41 cancellazione ( 3) Caso2: se la chiavekè nelnodo x, e xnon è unafoglia, cancellak da x a) Siayilfigliodi xcheprecede k.se yha almeno tchiavi, trovailpredecessore k di knelsottoalberodi radicein y. Ricorsivamente cancella k e sostituisci k con k in x. b) Oppure, simmetricamente, per il nodo col successore z c) se siayche zhanno t-1 chiavi, siinseriscein ysiak chetutti ifiglidi z(chediventanofiglidi y). Il nodo yha 2t-1 chiavi. Ricorsivamente, si elimina k da y. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 42 21

22 Cancellazione ( 4) M cancellato: caso 2a P C G L x T X A B D E J K N O Q R S y U V Y Z G cancellato: caso 2c P C L x -k T X A B D E J K N O Q R S y= k+ z -k U V Y Z Vittorio Maniezzo Università di Bologna 43 Cancellazione distribuzione Caso 3:si esamina un nodo interno x che non contiene k, trova il sottoalbero di radice c i [x] che potrebbe contenere k. Se c i [x] ha solo t 1 elementi, si fa in modo che il nodo abbia almeno dimensione t; poi si chiama ricorsivamente l operazione sul sottoalbero scelto. Possibili due casi. a) se c i [x] ha solo t-1 chiavi, ma ha un fratello con almeno t chiavi, aggiungi a c i [x] un altra chiave prendendola da x, poi sposta una chiave dal fratello immediatamente a destra o a sinistra di c i [x] in xe sposta l opportuno figlio dal fratello in c i [x] (distribuzione). Vittorio Maniezzo Università di Bologna 44 22

23 Cancellazione distribuzione ( 2) x... k... x... k... c i [x]... k c i [x]... k A B A B cancella B C L P T X c i [x] A B E J K N O Q R S U V Y Z fratello B cancellato: E L P T X A C J K N O Q R S U V Y Z Vittorio Maniezzo Università di Bologna 45 Cancellazione fusione b) Se c i [x] e tuttiisuoifratellihannot 1 elementi, allora fondi(merge) c i con un fratello, spostandoun elementoda xnelnuovonodounionee facendolo così diventare il mediano di quel nodo x... l k m... x... l m... c i [x]... l m...l k m... A B A B Vittorio Maniezzo Università di Bologna 46 23

24 Cancellazione fusione ( 2) cancella D c i [x] C L P fratello T X A B D E J K N O Q R S U V Y Z Dcancellato: C L P T X A B E J K N O Q R S U V Y Z l altezza dell albero diminuisce Vittorio Maniezzo Università di Bologna 47 Cancellazione: tempo di CPU La maggior parte degli elementi sono nelle foglie, quindi la cancellazione avviene più spesso nelle foglie. In questo caso la cancellazione avviene in un unica discesa verso il livello delle foglie La cancellazione verso un nodo interno può richiedere un ritorno verso l alto(caso 2) I/O su disco: O(h), dato che si effettuano solo O(1) operazioni su disco durante le chiamate ricorsive Tempo di CPU: O(t h) = O(t log t n) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 48 24

25 Esempio B-tree t=2, ogni nodo ha: al massimo 4 puntatori e 3 chiavi, almeno 2 puntatori e 1 chiave. Inserire: 5, 3, 21, 9, 1, 13, 2, 7, 10, 12, 4, 8 Cancellare: 2, 21, 10, 3, 4 Vittorio Maniezzo Università di Bologna 49 Insert 5, 3, 21 * 5 * a * 3* 5 * a * 3 * 5 * 21* a Next: insert 9. Split nodo, 5 radice Vittorio Maniezzo Università di Bologna 50 25

26 Insert 9 * 5 * a b * 3 * * 9 * 21 * c split del nodoa, sicreano2 figli: b e c Next: insert 1,13. Nessun problema Vittorio Maniezzo Università di Bologna 51 Insert 1, 13 * 5 * a b * 1* 3 * * 9 * 13* 21 * c I nodib e c hannospazioper inserirenuovielementi Next: insert 2. Nessun problema Vittorio Maniezzo Università di Bologna 52 26

27 Insert 2 * 5 * a b * 1 * 2 * 3 * * 9 * 13* 21 * c Next insert 7. Il nodoc non ha piùspazio, split e creazione del nodo d. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 53 Insert 7, 10 * 5 * 13 * a b d c * 1 * 2 * 3 * * 7 * 9 * 10* * 21 * Next, insert 10. Nessun problema. Next: insert 12. Split nodod Vittorio Maniezzo Università di Bologna 54 27

28 Insert 12 * 5 * 9 * 13 * a b d * 1 * 2 * 3 * * 7 * * 10 * 12* * 21 * c e Il nodoc sidivide neinodic ede Next: insert 4. Split b e radice Vittorio Maniezzo Università di Bologna 55 Insert 4 * 9 * f * 2 * 5 * g * 13 * b d h c e * 1 * * 3 * 4 * * 7 * * 10 * 12 * * 21 * Il nodod ha spazioper ilnuovoelemento Next: insert 8. Nessun problema Vittorio Maniezzo Università di Bologna 56 28

29 Insert 8 * 9 * f * 2 * 5 * g * 13 * b d h c e * 1 * * 3 * 4 * * 7 * 8* * 10 * 12 * * 21 * Next: delete 2. Merge b e d Vittorio Maniezzo Università di Bologna 57 Delete 2 * 9 * f * 5 * g * 13 * d h c e * 1 * 3 * 4 * * 7 * 8 * * 10 * 12 * * 21 * Il nodofpuòperdereun elemento. Next: delete 21. Merge fe ge prestitoda c Vittorio Maniezzo Università di Bologna 58 29

30 Delete 21 f * 5 * 9 * 12 * d h * 1 * 3 * 4 * * 7 * 8 * c * 10 * e * 13 * La cancellazionedel 21 causa l'underflowdel nodoe, quindiglielementisonoridistribuitifrainodic, f, ede Next: delete 10. Sostituzione col predecessore Vittorio Maniezzo Università di Bologna 59 Delete 10 * 5 * 8 * 12 * a d h c e * 1 * 3 * 4 * * 7 * * 9 * * 13 * Underflow del nodoc. Suopadre, ilnodog deve ricombinarsicon inodif eda. Prestitoda h a c. L'albero cala di un livello. Next: delete 3. Nessun problema Vittorio Maniezzo Università di Bologna 60 30

31 Delete 3 * 5 * 8 * 12 * a d h c e * 1 * 4 * * 7 * * 9 * * 13 * Next: delete 4. Nessun problema Vittorio Maniezzo Università di Bologna 61 Delete 4 * 5 * 8 * 12 * a d h c e * 1 * * 7 * * 9 * * 13 * Vittorio Maniezzo Università di Bologna 62 31

32 Esempio, t = 3 L'albero è tale per cui: Tutte le foglie sono sempre allo stesso livello. Tutti i nodi interni (tranne la radice) hanno al più 6 e almeno 3 figli. Il numero delle chiavi è pari al numero dei figli 1, al più 5 e almeno 2. La radice può essere l'unico nodo dell'albero ad avere solo 2 figli. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 63 Esempio, t = 3 Inserire nell'ordine: A G F IK D H M J E S BQX C L N O P R T U V Vittorio Maniezzo Università di Bologna 64 32

33 Esempio, t = 3 A G F IKD H M J E S BQX C L N O P R T U V A F G I K Vittorio Maniezzo Università di Bologna 65 Esempio, t = 3 A G F IK DH M J E S BQX C L N O P R T U V G A D F I K Vittorio Maniezzo Università di Bologna 66 33

34 Esempio, t = 3 A G F IK D HM JE S BQX C L N O P R T U V G A D F H I J K M Vittorio Maniezzo Università di Bologna 67 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J ES BQX C L N O P R T U V G A D E F H I J K M Vittorio Maniezzo Università di Bologna 68 34

35 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E SBQX C L N O P R T U V G J A D E F H I K M S Vittorio Maniezzo Università di Bologna 69 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E S BQX C L N O P R T U V G J A B D E F H I K M S Vittorio Maniezzo Università di Bologna 70 35

36 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E S BQXC L N O P R T U V G J A B D E F H I K M Q S X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 71 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E S BQX CL N O P R T U V D G J A B C E F H I K M Q S X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 72 36

37 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E S BQX C LN O P R T U V D G J Q A B C E F H I K L M S X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 73 Esempio, t = 3 A G F IK D H M J E S BQX C L N OP R T U V D G J Q A B C E F H I K L M N O S X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 74 37

38 Esempio, t = 3 A G F I K D H M J E S B Q X C L N O PR T U V D G J M Q A B C E F H I K L N O P S X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 75 Esempio, t = 3 A G F I K D H M J E S B Q X C L N O P R T UV D G J M Q A B C E F H I K L N O P R S T U X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 76 38

39 Esempio, t = 3 A G F I K D H M J E S B Q X C L N O P R T U V J D G M Q T A B C E F H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 77 Cancellazione Cancellazionedi E da unafoglia. F non può stare sola, prestito di C via D e trasferimento di M. M C G J Q T A B D E F H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 78 39

40 Cancellazione Eliminazione di E M C G J Q T A B D F H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 79 Cancellazione Cancellazionedi F: non sipuòprenderein prestito da un vicino M C G J Q T A B D F H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 80 40

41 Cancellazione Ricombinazione. M C J Q T A B D G H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 81 Cancellazione Cancellazione di Qda un nodo interno, riduzione di un livello Nota: il predecessore immediato di un nodo interno è sempre in una foglia. C J M Q T A B D G H I K L N O P R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 82 41

42 Cancellazione Cancellazione di Q da un nodo interno Si sovrascrive Q con il suo predecessore immediato C J M P T A B D G H I K L N O R S U V X Vittorio Maniezzo Università di Bologna 83 Altri metodi di accesso Varianti dei B-tree: B + -tree, B * -tree B + -tree: usati nei data base management systems(dbms) Schema generale dei metodi di accesso (comune ai B + -tree): Gli elementi contenenti dati sono memorizzati solo nelle foglie Ogni elemento in un nodo interno memorizza: un puntatore a un sottoalbero una descrizione compatta dell insieme di elementi memorizzati nel sottoalbero Vittorio Maniezzo Università di Bologna 84 42