Programmazione. Marco Anisetti. Università degli Studi di Milano, Dipartimento di Informatica

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1 Programmazione Marco Anisetti Università degli Studi di Milano, Dipartimento di Informatica Marco Anisetti - 1 / 63

2 Riepilogo lezione 2 Valutazioni su algoritmi semplici e loro rappresentazione in un linguaggio adatto ad un elaboratore automatico Notazione prefissa, infissa e postfissa nelle espressioni matematiche Linguaggio naturale, Flow chart, Linguaggio di Programmazione Grammatica di un linguaggio, BNF, carte sintattiche Marco Anisetti - 2 / 63

3 Algoritmo - Modellazione - Programma La modellazione del problema attraverso flow chart è uno strumento utilissimo, anche per produrre prove di correttezza del funzionamento, ma deve poi essere tradotto in un linguaggio comprensibile all elaboratore Nella lezione 1 abbiamo visto una anticipazione di un programma scritto per un modello di elaboratore (RAM) con prevalenti finalità di valutazione della complessità Il linguaggio comprensibile per un elaboratore è quello quanto più possibile vicino alla sua vera logica di ragionamento Serve un modello meno astratto e più completo su cui sviluppare un linguaggio che permetta la traduzione dell algoritmo il programma Il programmatore anche se agisce con strumenti ad alto livello deve aver molto ben presente come funziona la macchina che eseguirà i programmi da esso sviluppati Marco Anisetti - 3 / 63

4 La macchina di Von Neumann (1946) La macchina di Von Neumann costituisce l architettura della maggior parte dei Calcolatori John Von Neumann realizzò ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) ENIAC era in grado di effettuare 300 moltiplicazioni al secondo, ed occupava una stanza lunga più di 30 metri Fino al 1952, l ENIAC fu il calcolatore più potente del mondo. Poi entrarono in servizio due nuovi calcolatori, EDVAC e ORDVAC, e nel 1955 ENIAC fu spento definitivamente Marco Anisetti - 4 / 63

5 Componenti fondamentali CPU, (Central Processing Unit):è in grado di acquisire, interpretare ed eseguire le istruzioni di un Programma La Memoria Centrale: è il dispositivo dove si trovano le informazioni necessarie all esecuzione di un Programma, ossia istruzioni e dati Dispositivi di Input/Output o Periferiche: permettono di trasferire informazioni tra memoria centrale e/o CPU e l ambiente esterno Bus di sistema: collega tra loro i vari componenti Marco Anisetti - 5 / 63

6 Componenti fondamentali (2) Immagine di W Nowicki da wikipedia Marco Anisetti - 6 / 63

7 Funzionamento La CPU coordina le varie attività, ed in particolare si occupa delle fasi di Fetch estrae istruzioni dalla memoria Decode ne comprende il loro significato Execute esegue quanto decodificato I contenuti della memoria sono indirizzati in base alla posizione, indipendentemente dal tipo di dato o istruzione contenuto Le istruzioni vengono eseguite in modo strettamente sequenziale (limitazione principale del modello di Von Neumann) Marco Anisetti - 7 / 63

8 Linguaggio macchina il linguaggio macchina è il linguaggio in cui sono scritti i Programmi che la CPU è in grado di eseguire (è il risultato della decode) Ogni istruzione (es. lettura, somma, etc.) è definita da un codice binario speciale detto codice operativo Ogni processore ha un proprio linguaggio macchina con un proprio formato delle istruzioni Un istruzione è costituita da una stringa di bit contenente: l operazione da eseguire gli operandi su cui tale operazione deve essere eseguita (registri, locazioni di memoria, costanti...) Marco Anisetti - 8 / 63

9 Linguaggio macchina La scrittura di un Programma in linguaggio macchina è un operazione estremamente complessa, per via del fatto di dover indicare istruzioni e operandi in codice binario Il linguaggio assembler di un processore è la versione simbolica del linguaggio macchina Vengono adoperati dei simboli per la rappresentazione del codice operativo (tipo add per la somma) e degli operandi di un istruzione (direttamente il nome di un Registro, es. R01, o un numero in esadecimale per indicare un indirizzo di memoria) Corrispondenza biunivoca tra l insieme delle istruzioni in linguaggio macchina ed in linguaggio assembler per una stessa CPU L assembler deve essere tradotto in linguaggio macchina per essere eseguito dalla CPU. Questa traduzione è effettuata da un programma apposito, chiamato Assemblatore Marco Anisetti - 9 / 63

10 Istruzioni assembler Aritmetico-logiche: manipolano dati in ingresso e restituiscono il risultato in uscita, specificando dove depositare il risultato, solitamente in un Registro della CPU ADD R01, R02 MUL R01,R02... Salti: alterano l esecuzione sequenziale del programma Salto incondizionato: specificano l indirizzo di memoria in cui si trova la prossima istruzione da eseguire JUMP label1... label1:... Salto condizionato: salto soggetto al verificarsi di una condizione che se non verificata lascia proseguire il programma in sequenza. JZERO R01, label1... label1:... ingresso/uscita: servono a trasferire dati da e verso la CPU LOAD R01, x STORE R01, y... Marco Anisetti - 10 / 63

11 M.C.D in assembler LOAD R01, 101 LOAD R02, 102 label1: DIV R01, R02 MUL R01, R02 LOAD R02, 101 SUB R02, R01 JZERO R02, fine LOAD R01, 102 STORE R01, 101 STORE R02, 102 JUMP label1 fine: LOAD R01, 102 STORE R01, 103 Tratto dal Pighizzini, Ferrari Marco Anisetti - 11 / 63

12 Esecuzione nella macchina di Von Neumann(1) Tre fasi: fetch, decode, execute Fetch si svolge a sua volta in quattro passi: Il contenuto del PC (Program Counter) viene trasferito attraverso il Bus indirizzi al Registro Indirizzi della Memoria Centrale. Attraverso il Bus di Controllo viene specificata un operazione di Lettura Avviene l operazione di lettura dalla memoria centrale: il contenuto della cella specificato dal registro indirizzi viene copiato nel registro dati della memoria Attraverso il bus dati viene trasferita la nuova istruzione nell IR (Instruction register) della CPU. Viene incrementato di 1 il valore del PC (ma in caso di salto il PC sarà aggiornato con un altro valore) Marco Anisetti - 12 / 63

13 Esecuzione nella macchina di Von Neumann(2) Decode: analisi dell IR per identificare l operazione da eseguire (il suo codice operativo) Execute: dipende dal tipo di operazione (aritmetico-logica, salto o trasferimento dati) Marco Anisetti - 13 / 63

14 Estensioni alla Macchina di Von Neumann(1) Elementi generali che determinano le prestazioni Dimensione dei Registri Dimensione della RAM La frequenza di clock della CPU Ampiezza del Bus Dati Ampiezza del Bus Indirizzi Elementi architetturali che determinano le prestazioni Esecuzione sequenziale, un istruzione dopo l altra Impiego eccessivo del Bus di sistema per l interscambio delle informazioni con memoria e dispositivi Tempi di accesso alla memoria centrale alti rispetto alla velocità di funzionamento della CPU Marco Anisetti - 14 / 63

15 Estensioni alla Macchina di Von Neumann(2) Architetture di tipo Pipeline: Esecuzione separata ed in parallelo da parte di dispositivi appositi delle varie fasi di un istruzione (fetch, decode e execute): Utilizzo di memorie Cache (estremamente veloci ma costose e di ridotte dimensioni) da inserire tra CPU e Memoria centrale, dove conservare Dati e Istruzioni di uso più frequente Architetture che utilizzano più processori: Processori dedicati (es coprocessori matematici, GPU, DMA) Sistemi multiprocessore: architetture dotate di molteplici CPU indipendenti. Marco Anisetti - 15 / 63

16 Svantaggi del linguaggio macchina Richiedono competenze sui dettagli dell architettura della macchina ed il relativo linguaggio che varia a seconda della CPU I programmi così scritti non sono assolutamente portabili Il programmatore si specializza nella programmazione di una particolare macchina, e ne studia le scorciate algoritmiche e i trucchi ad essa legati I programmi così sviluppati risultano di difficile comprensione e molto difficili da modificare La struttura logica del programma è nascosta, il debugging diventa davvero complesso Il ciclo di vita del programma è limitato alla sola macchina per cui è stato scritto e la sua evoluzione è ostacolata dalla scarsa leggibilità Marco Anisetti - 16 / 63

17 Linguaggi di programmazione: classificazione (1) Linguaggi ad alto livello e linguaggi a basso livello, in base al livello di astrazione che essi forniscono rispetto alla macchina dove verranno eseguiti. La distinzione, in generale, non è così netta I linguaggi a basso livello sono quelli che sono strettamente dipendenti da una specifica macchina hardware Addiziona i numeri nella locazione 10 e 11 e li salva in 12 I linguaggi ad alto livello nascondono, le caratteristiche delle diverse macchine hardware Sono scritti per funzionare su una macchina astratta M e offrono al programmatore una sintassi molto più vicina al linguaggio naturale Marco Anisetti - 17 / 63

18 Linguaggi di programmazione: classificazione (2) General purpose: una caratteristica del linguaggio di programmazione che dice che tale linguaggio può essere adottato per un vasto range di applicazioni. Inizialmente i linguaggi si svilupparono con degli obiettivi ben precisi, in seguito tendettero a diventare general purposes Esempi: Fortran (numerical computing), Lisp (artificial intelligence), Prolog (natural language processing) Benefici linguaggi ad alto livello Leggibilità Indipendenza dalla macchina (portabilità) Possibilità di packaging in librerie Controllo di consistenza durante lo sviluppo Marco Anisetti - 18 / 63

19 Programmazione strutturata E un paradigma di programmazione emerso fra gli anni sessanta e gli anni settanta nel contesto della programmazione procedurale Critica della struttura di controllo del salto incondizionato, che rappresentava, negli anni sessanta, lo strumento fondamentale per la definizione di algoritmi complessi Dijkstra fu tra i primi a evidenziare gli gli effetti deleteri dei salti incondizionati sulla leggibilità e modificabilità del software (spaghetti code) Riprendiamo l esempio della lezione 1 Marco Anisetti - 19 / 63

20 Codice assembler per Macchina (RAM) 1: Mem[0]:=0 2: read(mem[1]) 3: if Mem[1] 0 then goto 5 4: goto 7 5 Mem[3]:=Mem[0]-Mem[1] 6: if Mem[3] 0 then goto 16 7: write(mem[1]) 8: read(mem[2]) 9: Mem[3]:= Mem[2]-Mem[1] 10: if Mem[3] 0 then goto 12 11: goto 14 12: Mem[3]:=Mem[1]-Mem[2] 13: if Mem[3] 0 then goto 8 14: Mem[1]:=Mem[2] +Mem[0] 15: goto 3 16: halt Marco Anisetti - 20 / 63

21 Programmazione strutturata (1) Non è semplice capire cosa il codice fa guardandolo Il problema principale è seguire i goto incondizionati Non sempre posso avere una documentazione addizionale come Flow Chart Il programma deve avere una sua leggibilità indipendente da documentazione aggiuntiva Al crescere delle dimensioni di un programma, diventa sempre più difficile per il programmatore padroneggiarlo nel suo complesso. Il programma precedente prende in ingresso una sequenza di numeri tipo e ritorna la sequenza senza doppioni Marco Anisetti - 21 / 63

22 Programmazione strutturata (2) Obiettivo: ottenere il più possibile un flusso ordinato di istruzioni dall inizio alla fine (abolizione dei salti incondizionati) Idealmente ottenibile considerando una sequenza lineare di operazioni, senza alternative (ridotta potenza degli algoritmi) Nella realtà avviene attraverso regole che portano ad effetti equivalenti all esecuzione sequenziale di operazioni Ogni struttura di controllo ha un solo punto di ingresso e un solo punto d uscita Il flusso di esecuzione è evidente dalla struttura del codice Marco Anisetti - 22 / 63

23 Programma proprio (1) Un programma si definisce proprio se gode delle seguenti proprietà Ha un unico ingresso ed un unica uscita Ogni elemento appartiene ad un percorso che porta dall ingresso all uscita L ingresso è l unica via di accesso al programma e l uscita è l unica via di terminazione del programma Il programma proprio può essere suddiviso in strutture proprie detti blocchi che godono delle stesse due proprietà Marco Anisetti - 23 / 63

24 Programma proprio (2) Marco Anisetti - 24 / 63

25 Programmi equivalenti Due programmi che realizzano lo stesso algoritmo usando operazioni differenti si dicono equivalenti In modo formale due programmi propri P e Q sono equivalenti se: P(X) = Y = Q(X) Ovvero se applicati agli stessi argomenti X forniscono lo stesso risultato Y Marco Anisetti - 25 / 63

26 Strutturazione in moduli La definizione di programma proprio e di blocchi suggerisce una strutturazione modulare dei programmi I moduli hanno usa strutturazione gerarchica ben definita, e definiscono funzioni logiche precise (coesione funzionale) i moduli devo avere dimensioni accettabili (dimensione) Le strutture di controllo presenti nei moduli devono essere tenute d occhio, annidate al max su 3 livelli (profondità) Un modulo è una fase concettuale dell algoritmo (fase temporale) Tutte le attività di un modulo dovrebbero essere eseguite nelle stesse condizioni (stessa base condizionale) Tutte le attività di uno stesso modulo dovrebbero lavorare sugli stessi dati (condivisione dei dati) Marco Anisetti - 26 / 63

27 Teorema di BÖHM JACOPINI Teorema di BÖHM JACOPINI Dato un programma proprio P è possibile costruire un programma strutturato S(P) equivalente a P Il teorema permise di dimostrare che la potenza di calcolo dei programmi strutturati non è inferiore a quella dei programmi che usano il goto (completezza). Il programma strutturato S(P) è costituito da combinazioni di tre oggetti logici fondamentali: Sequenza, Selezione, Iterazione. Completezza Tutti i programmi esprimibili tramite istruzioni di salto (goto) o diagrammi di flusso (flow-chart) possono essere riscritti utilizzando esclusivamente le tre strutture di controllo fondamentali (eliminazione dei salti). Marco Anisetti - 27 / 63

28 Costrutti fondamentali Sequenza permette di eseguire le istruzioni secondo l ordine in cui sono scritte Selezione permette di scegliere l esecuzione di un blocco di istruzioni tra due possibili in base al valore di una condizione Iterazione permette di ripetere l esecuzione di una o più istruzioni in base al valore di una condizione Marco Anisetti - 28 / 63

29 Sequenza Le istruzioni sono eseguite nello stesso ordine in cui compaiono nel programma, cioè secondo la sequenza in cui sono scritte. Moltiplicazione tra due numeri leggi i numeri x e y calcola x y scrivi il risultato Marco Anisetti - 29 / 63

30 Sequenza:esempio Calcolo dell età media dei componenti di un nucleo familiare Marco Anisetti - 30 / 63

31 Selezione (if-then) (1) Sintassi IF condizione THEN blocco 1 ENDIF blocco 2 Marco Anisetti - 31 / 63

32 Selezione (if-then) (2) Esecuzione Valutazione della condizione: vera vengono eseguite le istruzioni del blocco 1 ed in seguito si esegue blocco 2 essendo la prima istruzione che segue il costrutto falsa l esecuzione prosegue direttamente dalla prima istruzione che segue il costrutto ovvero blocco 2 Marco Anisetti - 32 / 63

33 Selezione (if-then-else) (1) Sintassi in pseudocodice IF condizione THEN blocco 1 ELSE blocco 2 ENDIF blocco 3 Marco Anisetti - 33 / 63

34 Selezione (if-then-else) (2) Esecuzione (1) Valutazione della condizione vera vengono eseguite le istruzioni del blocco 1 falsa vengono eseguite quelle del blocco 2 (2) L esecuzione procede con le istruzioni in blocco 3 Marco Anisetti - 34 / 63

35 Selezione (if-then-else) (3) L uso dell else equivale ad un doppio uso dell if-then: esempio in pseudocodice IF condizione THEN blocco 1 ENDIF IF not condizione THEN blocco 2 ENDIF blocco 3 Marco Anisetti - 35 / 63

36 Esempio (1) Calcolo della divisione tra due numeri controllando che il divisore sia diverso da zero: leggi il dividendo e il divisore IF il divisore è diverso da zero THEN calcola dividendo/divisore scrivi il risultato ELSE scrivi errore: divisione per zero ENDIF Marco Anisetti - 36 / 63

37 Esempio (2) Calcolo delle soluzioni reali di ax 2 +bx +c = 0 leggi i valori dei parametri a, b, c calcola il discriminante IF il discriminante è minore di zero THEN scrivi nessuna soluzione reale ELSE IF il discriminante è uguale a zero THEN calcola b 2a scrivi Due soluzioni coincidenti:, il risultato ELSE scrivi Due soluzioni:, calcola b b 2 4ac 2a scrivi il risultato calcola b+ b 2 4ac 2a scrivi il risultato ENDIF ENDIFMarco Anisetti - 37 / 63

38 Esempio: flow chart (1) prima approssimazione della soluzione, approccio modulare Marco Anisetti - 38 / 63

39 Esempio: flow chart (2) Versione completa Marco Anisetti - 39 / 63

40 Iterazione (post-condizionato) (1) Chiamato anche ciclo repeat-until Sintassi DO blocco 1 WHILE condizione blocco 2 Marco Anisetti - 40 / 63

41 Iterazione (post-condizionato) (2) Esecuzione (1) Viene eseguito blocco 1 (2) Viene valutata condizione: vera si ritorna al punto (1) falsa si prosegue con la prima istruzione scritta dopo il costrutto iterativo il blocco 1 è eseguito almeno una volta termina quando la condizione diventa falsa Marco Anisetti - 41 / 63

42 Esempio: somma dei primi 100 numeri interi Calcolo iterativo, senza utilizzare la formula di Gauss ( n i=1 i = n(n+1) 2 ). poni il valore della somma a zero inizia a considerare il numero 1 DO aggiungi alla somma il numero che stai considerando considera il numero successivo WHILE il numero che stai considerando non supera 100 scrivi la somma Marco Anisetti - 42 / 63

43 Iterazione (pre-condizionato) (1) Sintassi WHILE condizione DO blocco 1 ENDWHILE blocco 2 Marco Anisetti - 43 / 63

44 Iterazione (pre-condizionato) (2) Esecuzione (1) Viene valutata la condizione: vera viene eseguito blocco 1 quindi si torna al punto (1) falsa l esecuzione riprende dalla prima l istruzione che segue il costrutto iterativo il blocco 1 può essere eseguito anche zero volte termina quando la condizione diventa falsa Marco Anisetti - 44 / 63

45 Esempi cicli Il comportamento dello schema WHILE... DO... può essere simulato combinando DO...WHILE... e selezione: IF condizione THEN DO blocco 1 WHILE condizione ENDIF Marco Anisetti - 45 / 63

46 Variabili e assegnamenti (1) Fino ad ora abbiamo usato i concetti matematici relativi alle incognite di una espressione per identificare dei valori che evolvono durante il programma In prima approssimazione si può dire che in informatica l equivalente di una incognita matematica è una variabile Una variabile è un contenitore preposto a contenere dei valori che possono variare durante il tempo di esecuzione E una locazione di memoria che ha una dimensione associata e che è riferibile attraverso il suo nome e nella quale si può scrivere attraverso un assegnamento Istruzione di assegnamento variabile espressione Marco Anisetti - 46 / 63

47 Variabili e assegnamenti (2) Semantica assegnamento (1) Viene calcolato il valore dell espressione scritta a destra del simbolo (2) Il risultato ottenuto è assegnato alla variabile a sinistra del simbolo, sovrascrivendo l eventuale valore precedentemente contenuto Molti linguaggi, utilizzano per l assegnamento il simbolo =, usato comunemente per indicare l uguaglianza Marco Anisetti - 47 / 63

48 Esempio x y + z valuta l espressione y+z, recuperando i valori presenti in y e z sommandoli pone il risultato nella variabile x sovrascrivendo il valore precedentemente presente Marco Anisetti - 48 / 63

49 Tipo Il tipo di una variabile specifica La classe di valori che questa può assumere L insieme delle operazioni che possono essere effettuate su di essa. Quanto spazio occupa in memoria Ad esempio una variabile x di tipo intero può assumere come valori solo numeri interi su di essa possono essere effettuate soltanto le operazioni consentite per i numeri interi La sua occupazione di memoria è solitamente uguale alla dimensione dei suoi registri (es. 32, 64 bit) Marco Anisetti - 49 / 63

50 Astrazioni Variabili Il concetto di variabile è un astrazione del concetto di locazione di memoria La variabile è il riferimento mnemonico all indirizzo della locazione di memoria L assegnamento di un valore a una variabile è un astrazione dell operazione STORE di un ipotetico linguaggio macchina Tipi Sebbene tutte le variabili siano rappresentate nella memoria come sequenze di bit, tali sequenze possono essere interpretate diversamente in base ai tipi La tipizzazione delle variabili permette di mantenere il controllo sulla correttezza dello sviluppo La nozione di tipo fornisce un astrazione rispetto alla rappresentazione effettiva dei dati Il programmatore può utilizzare variabili di tipi differenti, senza necessità di conoscerne l effettiva rappresentazione Marco Anisetti - 50 / 63

51 Dichiarazione delle variabili Molti linguaggi richiedono di dichiarare le variabili utilizzate nel programma indicandone il tipo. Alcuni linguaggi (ad esempio Pascal) richiedono che le variabili siano dichiarate tutte all inizio del programma. Alcuni linguaggi richiedono che siano dichiarate prima del loro utilizzo (ad esempio Java). Vantaggi: Accresce la leggibilità dei programmi Diminuisce la possibilità di errori Facilita la realizzazione di compilatori efficienti Marco Anisetti - 51 / 63

52 Esempio: calcolo delle radici variabili a, b, c, discriminante, x, x1, x2: numeri reali leggi a, b, c discriminante b 2-4 * a * c IF discriminante < 0 THEN scrivi nessuna soluzione reale ELSE IF discriminante == 0 THEN x - b / (2 * a) scrivi Soluzioni coincidenti:, x ELSE x1 (- b - discriminante) / (2 * a) x2 (- b + discriminante) / (2 * a) scrivi Due soluzioni distinte:, x1, x2 ENDIF ENDIF Marco Anisetti - 52 / 63

53 Dimostrazione Teorema di BÖHM JACOPINI La dimostrazione del teorema porta a del codice strutturato in maniera da avere un unico ciclo (di tipo WHILE DO) e una serie di variabili booleane di supporto per il mantenimento dell ordine delle operazioni. Le variabili booleane sono a guardia di ogni operazione e permettono di eseguire una istruzione per ogni ciclo WHILE in maniera simile ad un program counter WHILE... IF... THEN istruzione 1 ENDIF... IF... THEN istruzione n ENDIF Marco Anisetti - 53 / 63

54 Dimostrazione Teorema di BÖHM JACOPINI:esempio Marco Anisetti - 54 / 63

55 Dimostrazione Teorema di BÖHM JACOPINI: conclusioni E sempre possibile scrivere un qualsiasi programma usando solo i costrutti della programmazione strutturata Si possono eliminare i salti di un programma non strutturato ottenendo un programma strutturato a patto di inserire un certo numero di selezioni aggiuntive Il risultato di questa trasformazione è un programma strutturato ma la tecnica presentata nella dimostrazione non porta ad un programma meno intircato del programma non strutturato (programma spaghettiforme) Esiste una trasformazione che dimostra il teorema e che porta a risultati più rilevanti Marco Anisetti - 55 / 63

56 La trasformazione di Ashcroft e Manna (1) Tecnica costruttiva per portare alla dimostrazione del teorema di BÖHM JACOPINI sfruttando i concetti di programma proprio e di scomposizione gerarchica di un programma in sottoprogrammi propri. La dimostrazione sfrutta il diagramma di flusso come rappresentazione non considerando gli stati iniziale e finale e permette di preservare la struttura logica del programma. Marco Anisetti - 56 / 63

57 La trasformazione di Ashcroft e Manna (2) Marco Anisetti - 57 / 63

58 La trasformazione di Ashcroft e Manna (2) Marco Anisetti - 58 / 63

59 La trasformazione di Ashcroft e Manna (3) Marco Anisetti - 59 / 63

60 La trasformazione di Ashcroft e Manna (4) Per trasformare questi blocchi ci son due regole 1. Il blocco contiene un solo test (lo sappiamo già trasformare), oppure non contiene cicli, e anche questo caso è banale 2. Il blocco contiene più di un test e almeno un ciclo. Si identificano i punti dell insieme di taglio sulle frecce del blocco in modo tale che ciascun ciclo contenga almeno uno di tali punti e che uno di questi punti stia sull unica freccia uscente. Si traduce il blocco in un pezzo di programma con un while esterno in modo tale che ogni iterazione del ciclo while segua l esecuzione del blocco da un punto dell insieme di taglio al successivo. Si introduce un numero i di variabili booleane sufficiente a distinguere tutti i punti dell insieme di taglio definiti i è il più piccolo intero successivo a log2 n dove n è il numero di punti di taglio. Marco Anisetti - 60 / 63

61 La trasformazione di Ashcroft e Manna (5) Marco Anisetti - 61 / 63

62 La trasformazione di Ashcroft e Manna (6) b 1 controlla il WHILE, quindi è logicamente collegata al punto γ b 2 svolge la funzione di selettore tra i due cicli interni controllati dai punti α e β Dimostrazione è più costruttiva che introduce concetti interessanti di gerarchia Marco Anisetti - 62 / 63

63 Costrutti strutturati minimali In realtà i 3 costrutti visti possono essere ulteriormente ridotti ai soli sequenza e iterazione per codificare qualsiasi algoritmo E possibile rappresentare una selezione come un costrutto iterativo inserendo una variabile (boolean) in aggiunta. IF condizione THEN blocco 1 ENDIF b condizione WHILE b blocco 1 b false ENDWHILE Marco Anisetti - 63 / 63