Esercizi svolti in aula

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1 Università degli Studi di Cagliari Corsi di Laurea in Ing. Civile e Ing. per l Ambiente e il Territorio ondamenti d Informatica 1 A.A. 2018/2019 Docente: Giorgio umera Esercizi svolti in aula ormulazione di algoritmi e loro rappresentazione mediante diagrammi di flusso I diagrammi di flusso, o diagrammi a blocchi, sono uno strumento grafico per la descrizione di algoritmi che può essere usato come passo intermedio verso la codifica di un algoritmo in un linguaggio di programmazione. Un diagramma di flusso rappresenta la sequenza di operazioni che compongono un algoritmo, e che dovranno essere eseguite dal suo esecutore. Un tale diagramma è composto da un insieme di blocchi, ciascuno dei quali corrisponde a una certa operazione; i blocchi sono collegati tra loro per mezzo di frecce che indicano in modo non ambiguo la sequenza nella quale le corrispondenti operazioni dovranno essere eseguite. Convenzionalmente i diagrammi di flusso vengono disegnati disponendo la sequenza dei blocchi in verticale, dall alto verso il basso. I blocchi, ovvero le operazioni che essi rappresentano, possono essere di quattro tipi principali: Blocchi che indicano l inizio o la conclusione di un algoritmo, che possono essere rappresentati dai seguenti simboli: Ogni diagramma di flusso deve iniziare con il blocco e terminare con il blocco. Tali blocchi possono comparire una sola volta in un diagramma. Si noti che essi sono gli unici blocchi a non avere frecce dirette verso di essi (nel caso del blocco ) o uscenti da essi (nel caso del blocco ). Blocchi di ingresso/uscita, o di input/output (I/O), rappresentati da parallelogrammi: essi rappresentano le operazioni di acquisizione dei valori da elaborare (i valori d ingresso dell algoritmo) e della loro memorizzazione in opportune celle di memoria, e di stampa dei risultati. Durante l esecuzione di un programma da parte di un calcolatore tali operazioni avvengono attraverso periferiche d ingresso (tastiera, memoria secondaria, ecc.) e d uscita (monitor, stampanti, ecc.). All interno di tali blocchi le due operazioni saranno rappresentate dal termine acquisire seguito dai nomi delle celle di memoria nei quali i valori da acquisire (uno o più) dovranno essere memorizzati, e dal termine stampare seguito dal nome di una cella di memoria il cui valore dovrà essere stampato, o da un messaggio rappresentato tra doppi apici, come negli esempi seguenti: acquisire x stampare p stampare "l'equazione non ha soluzioni" Il blocco di elaborazione, rappresentato da un rettangolo, che indica un espressione (di norma aritmetica) il cui valore dovrà essere memorizzato in una cella di memoria. Convenzionalmente

2 tali operazioni si indicano con la sintassi cella espressione. Negli esempi che seguono si considereranno solo operazioni aritmetiche che potranno essere composte dagli operatori di somma (+), sottrazione ( ), moltiplicazione ( ), divisione (/) e modulo (mod, ovvero il resto di una divisione tra interi), e da operandi che consistono in numeri oppure nomi di celle di memoria. Alcuni esempi di blocchi di elaborazione: x 1 p x c c + 1 Si noti che l operazione rappresentata da un blocco di elaborazione viene eseguita calcolando prima il valore dell espressione alle destra del simbolo, e poi memorizzando tale valore nella cella di memoria indicata a sinistra dello stesso simbolo. Questo significa che un operazione come c c + 1 corrisponde a incrementare di un unità il contenuto della cella di memoria c. il blocco di selezione, rappresentato da un rombo con due frecce uscenti, che esprime la scelta tra due diverse sequenze di istruzioni alternative in base al verificarsi o meno di una data condizione; la condizione consiste in un confronto tra due espressioni per mezzo degli operatori <,, =,,, >, come nell esempio seguente dove le etichette e indicano il verificarsi (ero) o meno (also) della condizione: x < 0 Per comprendere meglio il significato di un dato diagramma di flusso può essere utile eseguirlo con carta e penna, per esempio disegnando su un foglio un insieme di riquadri corrispondenti alle celle di memoria (ciascuno associato al nome di una cella distinta), e scrivendo nel riquadro corrispondente a ciascuna cella il valore da memorizzare in essa durante l esecuzione di un operazione di acquisizione o di elaborazione; se una cella contiene già un valore, questo sarà sostituito dal nuovo valore. Esercizi 1. Calcolare il valore del polinomio 3x 2 2x + 1 per un dato valore di x. L algoritmo per eseguire questo calcolo può essere descritto come una semplice sequenza di blocchi di ingresso/uscita e di elaborazione: Calcolare il valore del polinomio $3x^2-2x + 1$ per un dato valore di $x$. acquisire! " 3 %! %! 2 %! + 1 stampare "

3 " 3 %! %! 2 %! + 1 stampare " 2. Calcolare il valore assoluto di un dato numero. Questo algoritmo richiede l uso del blocco di selezione. Nella soluzione a sinistra in figura si usa una cella di memoria (di nome v) per memorizzare il risultato. Nella soluzione a destra si memorizza il risultato nella stessa cella (x) che contiene (inizialmente) il numero da elaborare: in questo caso se tale numero è positivo non è necessario svolgere nessuna elaborazione, dato che il risultato coincide con il numero stesso. Calcolare il valore assoluto di un dato numero acquisire! acquisire x! < 0 x < 0,!,! % 1 x x % 1 stampare, stampare x 3. Calcolare la radice di un equazione di primo grado ax + b = 0, per valori dati dei coefficienti. Prima di calcolare la radice è necessario verificare che il coefficiente a sia diverso da zero, attraverso un blocco di selezione., b a = 0 stampare "equazione indefinita" x b a stampare x

4 4. Calcolare le radici di un equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0, per valori dati dei coefficienti (assumere che l esecutore sia anche in grado di calcolare le radici quadrate). Anche in questo caso è necessario verificare che il coefficiente a sia diverso da zero. Nel caso in cui sia diverso da zero si deve anche verificare che le radici siano reali, cioè che il termine b 2 4ac sia non negativo (si assume che l esecutore non sia in grado di elaborare i numeri complessi)., b, c a = 0 stampare "l'equazione non è di secondo grado" delta b, b 4, a, c delta < 0 stampare "le radici sono complesse" x1 b + delta 4 2, a x2 b delta 4 2, a stampare x1, x2 5. Calcolare la somma di una data sequenza di cinque numeri. Una semplice soluzione: acquisire a, b, c, d, e somma a + b + c + d + e stampare somma

5 La soluzione precedente non può però essere facilmente generalizzata (dal punto di vista della costruzione del diagramma di flusso) al caso in cui il numero di valori da sommare sia elevato, poiché richiederebbe di usare un numero corrispondente di celle di memoria i cui nomi dovrebbero essere scritti esplicitamente nel diagramma di flusso e nell espressione all interno del blocco di elaborazione. Una soluzione alternativa, e più aderente al procedimento di calcolo seguito da una persona, è quella mostrata nella figura in basso a sinistra: si calcola una somma alla volta, e in ogni istante è sufficiente ricordare l ultima somma parziale e il nuovo valore da sommare a essa (la prima somma parziale corrisponde al primo addendo); per questo si usano due sole celle di memoria. Tuttavia anche questa soluzione ha uno svantaggio: bisogna disegnare la stessa sequenza di due blocchi (acquisizione di un nuovo valore ed esecuzione di una somma) per un numero di volte pari al numero di addendi meno uno. Una soluzione migliore, anche se non banale, è quella mostrata nel diagramma in basso a destra. Questa soluzione fa uso di uno schema iterativo (evidenziato dal riquadro tratteggiato in figura) che esprime in modo conciso la ripetizione di una stessa sequenza di blocchi per un certo numero di volte; a questo scopo si usa una cella di memoria (c) per contare il numero di addendi che sono già stati considerati, e un blocco di selezione per verificare se siano già stati sommati tutti gli addendi. Notare che dopo ogni ripetizione della sequenza di due blocchi (acquisizione di un nuovo valore ed esecuzione di una somma) l esecuzione riprende dal blocco di selezione. Si noti che i tre schemi di esecuzione sequenziale, di selezione e di iterazione consentono di esprimere qualsiasi algoritmo (teorema di Böhm-Jacopini). Per questo motivo sono alla base di tutti i linguaggi di programmazione di alto livello. In particolare, tutti i linguaggi (compreso Python) comprendono due specifiche istruzioni corrispondenti alla selezione (istruzione condizionale) e all iterazione (istruzione iterativa). somma a somma a c 1 c < 5 c c + 1 stampare somma stampare somma

6 6. Calcolare la somma di una sequenza di numeri di una data lunghezza. Per descrivere questo procedimento è indispensabile l uso di uno schema iterativo, poiché il numero di somme da calcolare non è noto nel momento della formulazione dell algoritmo. La soluzione mostrata in basso consiste nel memorizzare prima il numero di addendi (che fa quindi parte dei dati d ingresso), e nel definire la condizione del blocco di selezione in funzione di tale numero. acquisire n somma a c 1 c < n c c + 1 stampare somma 7. Calcolare il fattoriale n! di un dato intero non negativo n, definito come segue: n! = (n 1) n, se n > 0 0! = 1 Anche l algoritmo per l esecuzione di questo calcolo necessita di uno schema iterativo, e può essere descritto da un diagramma di flusso simile al precedente. In questo caso i valori da moltiplicare vengono facilmente calcolati (e memorizzati nella cella c) in funzione del valore di n. Si noti che l assegnamento iniziale f 1 corrisponde al fattoriale dei primi due numeri naturali (0! e 1!): per questo motivo è sufficiente proseguire il calcolo a partire dal terzo fattore (2), ovviamente solo se il valore di n fosse maggiore o uguale a 2. acquisire n f 1 c 2 c n f f & c c c + 1 stampare f

7 8. Calcolare la somma dei primi n termini della serie armonica, per un dato valore di n: n k=1 L algoritmo è molto simile a quello per la somma di una sequenza di numeri qualsiasi, e a quello per il calcolo del fattoriale. Si noti che nella cella di memoria serie viene memorizzato inizialmente il valore 1, che corrisponde al primo termine della serie (per n = 1): per questo motivo il valore iniziale della cella k è 2, corrispondente al secondo termine della serie. 1 k acquisire n serie 1 k 2 k n serie serie + 1, k k k + 1 stampare serie

8 9. Calcolare il valore più grande di una sequenza di numeri di una data lunghezza. L algoritmo proposto è basato su una logica simile a quella degli algoritmi che calcolano una sequenza di somme o di prodotti: anche in questo caso è sufficiente acquisire i valori da elaborare uno alla volta, tenendo traccia solo del valore più grande tra quelli già acquisiti e del valore successivo. A questo scopo è sufficiente usare due celle di memoria (chiamate rispettivamente max e x), oltre a due altre celle per memorizzare la lunghezza della sequenza (n) e il numero di elementi già acquisiti (c). Secondo la logica sopra descritta il valore iniziale della cella max dovrà essere pari al primo elemento della sequenza; gli eventuali elementi successivi (se n > 1) verranno acquisiti attraverso uno schema iterativo, all interno del quale il valore della cella max verrà aggiornato ogni qual volta l ultimo elemento acquisito fosse maggiore del valore attuale di max. acquisire n acquisire x max x c 1 c < n acquisire x x > max max x c c + 1 stampare max

9 10. Calcolare il massimo comun divisore (MCD) di due numeri naturali dati. Un procedimento (algoritmo) ben noto si basa sulla scomposizione dei due numeri m e n in fattori primi: il loro MCD è dato dal prodotto dei fattori comuni, ciascuno elevato a una potenza pari all esponente più piccolo con il quale esso compare nelle due scomposizioni. Tale algoritmo è però non facilmente rappresentabile per mezzo delle operazioni elementari utilizzabili nei diagrammi di flusso considerati (si noti che tali operazioni corrispondono in buona misura a quelle esprimibili nei linguaggi di programmazione di alto livello). Un algoritmo più semplice da esprimere mediante diagrammi di flusso si può formulare partendo dalla definizione di MCD tra due numeri m e n, ovvero il più grande intero che sia divisore di entrambi. Considerando che il MCD è sempre compreso tra 1 (nel caso in cui m e n siano primi tra loro) e il più piccolo di essi (nel caso in cui questo sia anche divisore del più grande), ovvero MCD(m, n) {1, 2,..., min{m, n}}, esso può essere calcolato scandendo a ritroso i valori da min{m, n} a 1, e arrestandosi non appena si trovi un divisore comune: per definizione questo sarà pari a MCD(m, n). Tale algoritmo, rappresentato dal seguente diagramma di flusso, determina prima di tutto il più piccolo tra i due numeri, memorizzando tale valore nella cella min, e successivamente scandisce a ritroso i valori da min a 1, memorizzandoli (uno alla volta) nella cella d, attraverso uno schema iterativo; in ogni passo dell iterazione il blocco di selezione verifica se il valore attuale di d sia un divisore comune di m e n, calcolando il resto (tramite l operatore modulo) delle divisioni tra m e d e tra n e d: se d non fosse un divisore di m oppure non fosse un divisore di n (questo comprende il caso in cui non sia un divisore di m né di n) il suo valore verrebbe decrementato di una unità e l iterazione proseguirebbe; in caso contrario si sarebbe trovato il MCD e l algoritmo terminerebbe stampando il valore attuale di d. acquisire m, n m < n min n min m d min m mod d 0 oppure n mod d 0 d d 1 stampare d

10 Osservazione sugli schemi iterativi Si è già osservato che gli schemi iterativi sono fondamentali per la descrizione degli algoritmi, e che per questo nei linguaggi di programmazione è presente una specifica istruzione che consente di esprimere una iterazione, ovvero la ripetizione di una stessa sequenza di istruzioni (istruzione iterativa). Nei diagrammi di flusso gli schemi iterativi possono avere diverse strutture, come per esempio quelle mostrate nella seguente figura, dove i riquadri tratteggiati indicano una qualsiasi sequenza di blocchi: Si può dimostrare che ogni schema iterativo può essere ricondotto a uno schema equivalente avente la struttura a sinistra oppure quella a destra in figura. L istruzione iterativa dei linguaggi di programmazione corrisponde alla struttura più a sinistra: inizia con la verifica di una condizione, e se questa risulta vera viene eseguita una certa sequenza di istruzioni, dopo la quale l iterazione ricomincia con la verifica della condizione; non appena la condizione risulta falsa l iterazione termina e si passa all istruzione successiva. Per questo motivo, se si vuole usare un diagramma di flusso per rappresentare un algoritmo che dovrà poi essere tradotto in un linguaggio di programmazione si suggerisce di rappresentare gli schemi iterativi usando la struttura a sinistra in figura: in questo modo la traduzione dello schema iterativo in un istruzione iterativa sarà immediata.