Rendiconto del Progetto GNCS 2018 Metodi numerici per equazioni lineari, non lineari e matriciali con applicazioni

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1 Rendiconto del Progetto GNCS 2018 Metodi numerici per equazioni lineari, non lineari e matriciali con applicazioni Responsabile: Benedetta Morini benedetta.morini@unifi.it Finanziamento: 4000 Euro. Partecipanti: Luca Bergamaschi, Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Ambientale, Università degli Studi di Padova. Valentina De Simone, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università degli Studi della Campania Luigi Vanvitelli. Massimiliano Ferronato, Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Ambientale, Università degli Studi di Padova. Carlo Janna, Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Ambientale, Università degli Studi di Padova Angeles Martinez Calomardo, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Padova. Benedetta Morini, Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Firenze. Alessandra Papini, Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Firenze. Margherita Porcelli, Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università degli Studi di Firenze. Valeria Simoncini, Dipartimento di Matematica, Università di Bologna. 1 Descrizione dell attività svolta Si riassume l attività svolta nell ambito del progetto distinguendo le principali tematiche affrontate. Metodi numerici per equazioni lineari. Nell ambito del progetto sono state studiate tecniche di precondizionamento di tipo Algebraic Multigrid Adattivo in cui si utilizzano inverse approssimate fattorizzate con pattern adattivo come smoother; il 1

2 near-kernel del sistema è calcolato dinamicamente risolvendo, in maniera approssimata, il problema agli autovalori generalizzato relativo a matrice e smoother. Questo approccio, puramente algebrico e molto generale, è stato oggetto di uno sviluppo ad hoc per i problemi di elasticità lineare. In quest ambito si usa un near-kernel di partenza rappresentato dai moti rigidi del corpo e la qualità dello smoother è controllata durante il calcolo in modo da consentire lo smorzamento delle frequenze alte anche in presenza di contrasti di rigidezza nel materiale e griglie distorte. Sono stati anche studiati nuovi algoritmi per il calcolo e l applicazione delle inverse approssimate particolarmente efficienti su architetture many-core di ultima generazione quali le GPU. Il lavoro svolto è documentato nei lavori [1] [5]. Si è anche considerato lo sviluppo di precondizionatori per matrici con struttura a blocchi, generalmente non simmetriche e indefinite, derivanti dalla discretizzazione di sistemi di PDE che governano processi accoppiati. Sono stati considerati modelli che simulano processi poromeccanici accoppiati in mezzi fratturati, di grande interesse per l industria petrolifera. I problemi in esame danno origine a sistemi discreti a blocchi 2x2 e 3x3, generalmente indefiniti e talvolta con struttura a punto sella o doppio punto-sella. Sono state sviluppate tecniche di approssimazione sparsa dei complementi di Schur utilizzando algoritmi basati sulle inverse approssimate a blocchi e strategie possibilmente Schur complement-free basate su opportuni splitting della matrice a blocchi. Gli algoritmi sono stati testati con implementazioni parallele in applicazioni di grandi dimensioni derivanti da applicazioni reali provenienti dall industria petrolifera. Il lavoro svolto è documentato nei lavori [6] [8]. In [9] è presentato uno studio teorico e computazionale della presenza di autovalori coincidenti per ensemble di matrici random che dipendono da parametri reali ed hanno particolari strutture a banda e/o tensoriali; questo tipo di problema nasce ad esempio nel contesto della discretizzazione di problemi differenziali. I lavori [10] [19] documentano attività nell ambito della risoluzione iterativa dei sistemi lineari derivanti dalla discretizzazione di un modello di trasporto ramificato (Branched Transport Model) con opportuni spazi di elementi finiti nello spazio e integrato nel tempo e nel precondizionamento di sistemi KKT formulati mediante sistema normale o aumentato. In particolare, nella risoluzione iterativa dei sistemi lineari derivanti dalla discretizzazione di un modello di trasporto ramificato, si sono rivelate efficienti le tecniche di precondizionamento basate su accelerazione spettrale di precondizionatori standard combinate con diversi metodi per il calcolo approssimato degli autovettori relativi agli autovalori pi piccoli delle matrici nella sequenza. L accelerazione spettrale è stata inoltre applicata alla soluzione di sistemi lineari con shift originati dall applicazione di metodi iterativi per il calcolo parziale di autovalori. Correzioni di basso rango si sono rivelate infine di grande utilità per l aggiornamento del Constraint Preconditioner nell ambito di sistemi lineari KKT. Metodi numerici per equazioni non lineari. Lo studio della risoluzione di sistemi non lineari con variabili soggette ad appartenere ad un insieme convesso è documentato in [20] e [21] ed include la definizione di nuovi procedimenti Quasi-Newton con line-search non monotona, la loro analisi teorica e lo studio della complessità in termini di iterazioni. Fra le possibili implementazioni di questi metodi si ha una versione che 2

3 opera senza l uso di derivate e versioni sviluppate per sistemi di grandi dimensioni. I nuovi procedimenti sono stati applicati con successo nella risoluzione di problemi che descrivono la distribuzione di gas naturale per uso domestico. La risoluzione di sistemi non lineari è stato affrontata anche nell applicazione di metodi Interior Point a problemi matrix completion (problema Netflix) e di partizionamento dei grafi, esprimibili come problemi di programmazione semidefinita (SDP) [22], e a problemi di selezione di portafogli finanziari statici o dinamici, ovvero tali che la valutazione della composizione del portafoglio sia fatta una volta per tutte oppure periodicamente nell investimento [23 25]. Metodi numerici per equazioni matriciali. È stato affrontato il caso di matrici simmetriche e termine noto a rango basso ed il caso di dati generali con struttura a banda. Inoltre, sono stati sviluppati nuovi algoritmi per il caso di sistemi di equazioni lineari matriciali con fino a tre matrici incognite. Sempre nell ambito delle condizione di risolubilità di equazioni matriciali, anche di tipo quadratico, sono state stabilite nuove condizioni per l esistenza di matrici feedback di grande interesse in problemi di controllo, ed anche necessarie per la ben posizione di metodi di tipo proiettivo. Il lavoro svolto è documentato nei lavori [26 29]. Lavori inerenti al progetto 1. A. Franceschini, V. A. Paludetto Magri, G. Mazzucco, N. Spiezia, and C. Janna, A robust adaptive algebraic multigrid linear solver for structural mechanics, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, in corso di seconda revisione, M. Bernarschi, M. Carrozzo, A. Franceschini and C. Janna, A Dynamic Pattern Factored Sparse Approximate Inverse Preconditioner on Graphics Processing Units, SIAM Journal of Scientific Computing, in corso di stampa. 3. V. A. Paludetto Magri, A. Franceschini, and C. Janna, A novel AMG approach based on adaptive smoothing and prolongation for ill-conditioned systems, SIAM Journal of Scientific Computing, 41, pp. A190 A219, V. A. Paludetto Magri, A. Franceschini, M. Ferronato, and C. Janna, Multilevel Approaches for FSAI Preconditioning, Numerical Linear Algebra with Applications, 25, A. Franceschini, V. Magri Paludetto, M. Ferronato and C. Janna, A robust multilevel approximate inverse preconditioner for symmetric positive definite matrices, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 39, pp , A. Franceschini, N. Castelletto, M. Ferronato. Block preconditioning for fault/fracture mechanics saddle-point problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 344, pp ,

4 7. M. Ferronato, A. Franceschini, C. Janna, N. Castelletto, H.A. Tchelepi. A general preconditioning framework for coupled multi-physics problems. Inviato per la pubblicazione a Journal of Computational Physics. 8. M. Frigo, N. Castelletto, M. Ferronato. A Relaxed Physical Factorization preconditioner for Mixed Finite Element coupled poromechanics. Inviato per la pubblicazione a SIAM Journal on Scientific Computing. 9. L. Dieci, A. Papini, A. Pugliese, Coalescing points for eigenvalues of banded matrices depending on parameters with application to banded random matrix functions, Numerical Algorithms, 80, pp , L. Bergamaschi, A. Martinez, Generalized block tuned preconditioners for SPD eigensolvers, Springer INdAM Series, 2019, in stampa. 11. L. Bergamaschi, E. Facca, A. Martinez, M. Putti, Spectral preconditioners for the efficient numerical solution of a continuous branched transport model, Journal of Computational and Applied Mathematics, 354, pp , L. Bergamaschi, V. De Simone, D. di Serafino, A. Martinez, BFGS-like updates of constraint preconditioners for sequences of KKT linear systems, Numerical Linear Algebra with Applications, 25, pp. 1-19, L. Bergamaschi and E. Bozzo, Computing the smallest eigenpairs of the graph Laplacian, SeMA Journal, 75, pp. 1-16, S. De Marchi, A. Martinez, E. Perracchione, M. Rossini, RBF-based partition of unity method for elliptic PDEs: Adaptivity and stability issues via Variably Scaled Kernels, Journal of Scientific Computing, 2019, in stampa. 15. S. De Marchi, A. Martinez and E. Perracchione Fast and stable rational RBF-based partition of unity interpolation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 349, , A. Martinez, F. Piazzon, A. Sommariva, and M. Vianello, Quadrature-based polynomial optimization, Optimization Letters, 2019, in stampa. 17. A. Carreno, L. Bergamaschi, A. Martinez, A. V.-Ferrandiz, D. Ginestar, G. Verdu, Block Preconditioning Matrices for the Newton Method to Compute the Dominant λ-modes Associated with the Neutron Diffusion Equation, Mathematical and Computational Applications, 24, B. Morini, On partial Cholesky factorization and a variant of Quasi-Newton preconditioners for symmetric positive definite matrices, Axioms, 7, 44, J.W. Pearson, M. Porcelli, M. Stoll, Interior Point Methods and Preconditioning for PDE-Constrained Optimization Problems Involving Sparsity Terms, pp. 1-27, 2019 (arxiv: ). 4

5 20. L. Marini, B. Morini, M. Porcelli, Quasi-Newton methods for constrained nonlinear systems: complexity analysis and applications, Computational Optimization and Applications, 71, pp , B. Morini, M. Porcelli, Ph. L. Toint, Approximate norm descent methods for constrained nonlinear systems, Mathematics of Computation, 87, pp , S. Bellavia, J. Gondzio, M. Porcelli, An inexact dual logarithmic barrier method for solving sparse semidefinite programs, Mathematical Programming Ser. A (2018), accettato per la pubblicazione. 23. S. Corsaro, V. De Simone, Adaptive l1-regularization for short-selling control in portfolio selection, Computational Optimization and Applications, 2018, /s , in corso di stampa. 24. V. De Simone, D. di Serafino, B. Morini, On preconditioner updates for sequences of saddle-point linear systems, Communications in Applied and Industrial Mathematics 9, pp , S. Corsaro, V. De Simone, Z. Marino, F. Perla, Numerical solution of the regularized portfolio selection problem, In: Corazza M., Durbán M., Grané A., Perna C., Sibillo M. (eds) Mathematical and Statistical Methods for Actuarial Sciences and Finance. Springer, Cham, pp , N. Guglielmi, V. Simoncini, On the existence and approximation of a dissipating feedback, pp. 1-23, Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, arxiv: D. Palitta, V. Simoncini, Computationally enhanced projection methods for symmetric Sylvester and Lyapunov matrix equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 330, pp , D. Palitta, V. Simoncini, Numerical methods for large-scale Lyapunov equations with symmetric banded data, SIAM Journal Scientific Computing, 40, pp. A3581 A3608, V. Simoncini, On the numerical solution of a class of systems of linear matrix equations, IMA Journal of Numerical Analysis. DOI: /imanum/dry08, in corso di stampa. Comunicazioni a Convegni (partecipazione finanziata parzialmente da questo Progetto). B. Morini: Approximate norm descent methods for constrained nonlinear systems of equations, Convegno Calcolo scientifico e modelli matematici: alla ricerca delle cose nascoste attraverso le cose manifeste, Como, Maggio

6 M. Porcelli: Gray-box optimization of structured problems and other new developments in BFO, 23rd International Symposium on Mathematical Programming, Bordeaux, 1-6 Luglio A. Martinez: Generalized block tuned preconditioners for SPD eigensolvers, 6th IMA Conference on Numerical Linear Algebra and Optimization, University of Birmingham, UK, June 27-29, Generalized block tuned preconditioners for sequences of shifted linear systems: application to SPD eigensolver CMMSE 2018 International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering, La Rota-Cadiz, 9 14 Luglio, V. De Simone: Numerical solution of the l1-regularized portfolio selection problem, Convegno SIMAI 2018, Roma, 2 6 Luglio