COMPORTAMENTO TERMICO DELLE MACCHINE ELETTRICHE

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1 COMPORTAMENTO TERMICO DELLE MACCHINE ELETTRICHE Generalità Durante il funzionamento, il passaggio di corrente negli avvolgimenti, la magnetizzazione ciclica del circuito magnetico, la rotazione della macchina ed altri fenomeni di minore entità determinano la trasformazione di una frazione dell'energia elaborata dalla macchina in calore; questa trasformazione ha luogo nella massa stessa dei materiali (prevalentemente rame e ferro) e ne provoca il riscaldamento; d'altra parte la necessità di mantenere l'intera macchina, ma principalmente gli isolanti, entro determinati limiti di temperatura, rende necessario un sistema di raffreddamento. In linea di massima il calore viene ceduto ad un fluido di raffreddamento, che, convogliato alla macchina ad una certa temperatura, ne esce a temperatura aumentata, asportando quindi del calore; affinché questo scambio abbia luogo occorre ovviamente che la temperatura delle parti delle macchine lambite dal fluido di raffreddamento sia superiore a quella del fluido stesso. Si verificano quindi fenomeni di due distinte categorie: accumulazione di calore nella massa stessa della macchina, in seguito all aumento di temperatura, e scambio termico tra parti a temperatura più alta - avvolgimenti, nucleo magnetico, ecc. - e parti a temperatura inferiore, fino ad interessare il fluido raffreddante. 1 Equazione elementare del comportamento termico Si consideri una porzione di materiale attivo (rame o ferro), sede di perdite uniformemente distribuite nella massa, sufficientemente piccola da poter essere ritenuta a tutti gli effetti isoterma. Detta P p la potenza persa in questo elemento in un intervallo di tempo dt, il lavoro P p dt sarà trasformato in calore all'interno dell'elemento in questione. Prendendo come origine per le temperature del corpo in esame la temperatura ambiente T a, che esso ovviamente assume in assenza di perdite interne, e indicando quindi con la sovratemperatura esistente tra la temperatura T del corpo in esame l'ambiente ( = T T a ), si può scrivere la relazione: P p dt = cmd + K t Adt (1) dove il primo termine a secondo membro indica la frazione dell'energia P p dt che, a seguito dell'aumento di temperatura d, è immagazzinata nel copro, ed è legata al calore specifico c e alla massa m, ossia in definitiva alla capacità termica C t = cm. A sua volta il secondo termine indica la rimanente parte dell'energia P p dt che, per essere il corpo ad una temperatura superiore di rispetto l'ambiente, é ad esso ceduta, ed é legata al coefficiente di scambio termico K t ed all'area di scambio termico A. Detta la quantità K t A conduttanza termica G t, dalla (1) si ottiene l'equazione differenziale seguente: P p = C t d/dt + G t (2) che é l'equazione che governa lo scambio termico tra il volume di materiale sede di perdite preso in esame e l'ambiente che lo circonda, al quale é ceduta l'energia termica. Si tratta di un'equazione differenziale del 1 ordine a coefficienti costanti la cui soluzione è, notoriamente (t) = r ( r o )exp(t/), dove: o è la sovratemperatura all'istante t = 0; r = P p /G t è la sovratemperatura di regime; = C t /G t è la costante di tempo. In caso di riscaldamento a potenza persa costante partendo dalla temperatura ambiente ( o = 0) si ha la ben nota: (t) = r (1 exp(t/)) e in caso di raffreddamento: (t) = r exp(t/).

2 Sistemi ad una costante di tempo Applicare la (2) ad una macchina elettrica significa assumere una schematizzazione molto grossolana per i seguenti motivi: 1. i materiali attivi (cioè sede di perdite) hanno perdite specifiche [W/kg] molto diverse (usualmente P pcu = W/kg il rame; P pfe = l 5 W/kg il ferro), diverse masse e diversi calori specifici; 2. lo scambio con il fluido raffreddante avviene spesso attraverso un fluido intermedio la cui capacità termica é molto importante e spesso determinante agli effetti del comportamento; 3. tutta la geometria del sistema termico è fortemente anisotropa e le temperature nei vari punti della macchina sono diverse. Ciò nonostante considerare la macchina come un sistema elementare quale quello descritto dalla (2) ossia ad una sola costante di tempo permette di trarre numerose conclusioni qualitative che possono trovare in prima approssimazione anche applicazioni quantitative (ad es. nei trasformatori). 2 Determinazione indiretta di G t Poiché le perdite totali sono di regola un valore ben noto (per ragioni contrattuali di garanzia del rendimento), e la temperatura massima di funzionamento é determinata dalla classe di isolamento usata e dalla temperatura ambiente del tipo di fluido refrigerante (per i climi temperati: 40 C per l'aria e 25 C per l'acqua, secondo le norme IEC -International Electrotechnical Commission-), risulta immediatamente G t = P p / = P p / ( max amb ) [W/ C] Legami dimensionali di G t e Per una determinata classe di isolanti il salto di temperatura massimo ammissibile utilizzabile per lo scambio termico rimane fisso ed uguale per tutte le macchine; poiché d'altra parte le perdite totali P p sono funzione del volume dei materiali attivi e dello sfruttamento dei materiali (identificato da S e B) dovrà essere per macchine ugualmente sfruttate G t P p [L 3 ] dove L 3 indica il cubo delle dimensioni lineari. Si osservi che G t = K t A = L 2 é proporzionale - per un medesimo valore di K t ossia col medesimo sistema di raffreddamento - all'area A, cioé al quadrato delle dimensioni lineari. Ne deriva che al crescere delle dimensioni delle macchine deve diventare più efficiente il sistema di raffreddamento, cioè deve aumentare G t più che "naturalmente" o incrementando K t (ventilazione forzata, ecc.), o aumentando la area di scambio termico A (alette o radiatori supplementari). Soddisfatta la condizione G t P p [L 3 ], ne deriva che la costante di tempo termica = C t /G t [L 3 ] / [L 3 ] = costante. Pertanto, poiché anche la capacità termica C t dipende dal calore specifico dei materiali c e della loro massa m ( L 3 ), la costante di tempo termica di macchine simili è uguale. Questa conclusione non é rigorosa; tuttavia, le costanti di tempo termiche delle macchine elettriche, a differenza delle costanti di tempo elettriche dei circuiti che assumono valori molto diversi, variano entro limiti assai ristretti, ossia compresi nella grande maggioranza dei casi tra (piccole macchine a raffreddamento forzato) e (grandi macchine a raffreddamento naturale). Colpo di calore Può avvenire che una macchina sia sottoposta per tempi relativamente brevi (molto inferiori a ) a correnti molto superiori a quelle usualmente trasportate (ad esempio in caso di corti circuiti, avviamenti di motori, sovraccarichi ecc...). In tal caso la trasmissione del calore è trascurabile e tutto il lavoro perso va accumulata nel materiale sede di perdite. L'equazione fondamentale si riduce alla P p = C t d/dt

3 e quindi P p / C t = d/dt ossia l'incremento di temperatura (in [ C/s]) è costante e dato dal rapporto perdite/capacita termica. Normalmente ha interesse valutare la sopraelevazione di temperatura negli avvolgimenti; in tal caso, indicando con cu la densità del rame, la potenza persa è data dalla perdita specifica nel rame (per unità di massa) per la massa del rame: P p = p spm_cu m cu e C cu = c cu m cu per cui d/dt = (p spm_cu m cu ) / (c cu m cu ) = ( cu /( cu c cu ))S 2. 3 Sistemi a più costanti di tempo Per uno studio più approfondito del comportamento termico delle macchine è necessario considerare separatamente i vari elementi, siano essi sede di perdite o semplicemente abbiano la funzione di veicoli per il calore. Osservando che l'equazione termica P p = C t d/dt + G t è formalmente identica alla equazione elettrica i = Cdv/dt + Gv, è possibile istituire un analogia tra le varie grandezze secondo la seguente tabella: Perdita corrente Temperatura tensione Capacità termica capacità elettrica Conduttanza termica conduttanza elettrica. Si può dunque rappresentare il comportamento termico del modello ad una costante di tempo con il circuito di fig.1, in cui, assunto pari a zero il potenziale del punto B, quello v(t) del punto A avrà l'andamento della sovratemperatura (t) cercato. Fig. 1 circuito equivalente del modello termico ad una costante di tempo Sistema a due costanti di tempo Si consideri ora il caso di un corpo omogeneo e sede di perdite uniformemente distribuite nella massa, immerso in un fluido, che a sua volta scambia calore con l'ambiente (ad esempio un trasformatore in cui si considerino conglobati tutti i materiali attivi, l'olio separatamente e l'ambiente). Sia inoltre ciascuno di questi tre elementi isotermo. Si verificheranno quindi i seguenti fenomeni: a. il corpo sede di perdite si scalda ed immagazzina calore; b. il medesimo corpo cede calore al fluido; c. il fluido si scalda ed immagazzina calore; d. il fluido cede calore all'ambiente.

4 4 Fig.2 - Schematizzazione di un corpo con due masse termicamente distinte (es. trasformatore). Questi fenomeni sono descritti dai seguenti parametri: a. Calore sviluppato nel corpo: P p ; b. accumulo di calore nel corpo: capacità termica C 1 ; c. scambio termico corpo-fluido: conduttanza termica G t12 ; d. accumulo di calore nel fluido: capacità termica C 2 ; e. scambio termico fluido-ambiente : conduttanza termica G t2a. Si osservi ora che, nell'analogia termica-elettrica, ad un corpo isotermo corrisponde un nodo, che il calore accumulato dai corpi é legato a C, ossia é legato al salto di temperatura tra corpo e ambiente, e che lo scambio termico é legato alla differenza di temperatura tra i corpi contigui. E dunque possibile disegnare la rete equivalente al sistema termico di fig. 2, che assume la configurazione di fig. 3. Fig. 3 La soluzione di questo circuito - che è rappresentato da un'equazione differenziale di secondo ordine a coefficienti costanti - non presenta difficoltà: l andamento di 1 (t) e di 2 (t) è costituito dalla somma di due esponenziali. Inoltre, studiando la rete stazionaria che si ottiene quando le capacità siano sostituite con circuiti aperti, i valori delle sovratemperature 1r e 2r a regime risultano: 1r = P p (G t1 + G t2 )/(G t1 G t2 ) 2r = P p /G t2. Procedura generale per la determinazione della rete elettrica rappresentativa di un sistema termico Un sistema termico complesso può essere studiato scindendolo in diversi elementi, ciascuno dei quali va considerato isotermo e dotato della propria capacità termica: esso costituisce quindi un nodo della rete equivalente.

5 Gli elementi sede di perdite sono tutti collegati al nodo rappresentativo della temperatura ambiente (la "massa") da generatori di corrente (i P p ); tutti i nodi indistintamente vanno collegati al nodo "temperatura ambiente" con una capacità rappresentativa della capacità termica; tra i nodi tra cui si sviluppa uno scambio termico (indipendentemente dalla direzione del flusso termico) vanno inserite le conduttanze termiche. Il calcolo dei parametri di tali reti termiche si basano sulla stima dei tubi di flusso del campo termico (lunghezze, sezioni, volumi, ), dai quali calcolare sorgenti di perdita, conduttanze, capacità. La fig.4 mostra i diagrammi a torta e le relative reti termiche di sistemi con due elementi sede di perdite e fluido intermedio, e con tre elementi sede di perdite e fluido intermedio. Quest'ultimo modello può essere utilizzato per: a. trasformatori: perdite localizzate nel: ferro, rame primario, rame secondario, fluido intermedio: olio b. macchine sincrone: perdite in ferro statore, rame rotore; fluido di raffreddamento; c. macchina asincrona: come in b) d. macchina a c.c.: perdite in rame statore, ferro statore, rame rotore; fluido di raffreddamento. 5 Fig. 4 - a sinistra: diagramma a torta, con suddivisioni in porzioni; a destra, corrispondente rete; sopra: sistema con due porzioni sede di perdite; sotto: sistema con tre porzioni sede di perdite. Raffreddamento Calcolo del volume di fluido refrigerante A regime raggiunto tutto il calore prodotto nella macchina deve essere asportato dal fluido refrigerante; detta e la sovratemperatura del fluido all'entrata del sistema di raffreddamento e u quella all'uscita, la quantità di energia termica immagazzinata da una massa m di fluido vale:

6 W = cm( u e ) e dividendo per il tempo t impiegato dalla massa m ad attraversare il sistema di raffreddamento si ha P p = c(m/t)( u e ) = c dove é la portata in massa [kg/s] e l'aumento di temperatura assunto dal fluido. Normalmente assume valori compresi tra 10 C e 15 C tanto nel raffreddamento forzato ad aria che ad acqua; tenendo conto dei calori specifici dell'aria e dell'acqua si ottengono i seguenti dati orientativi: raffreddamento ad aria: Q 1 m 3 aria/s per ogni kw di potenza asportata raffreddamento ad acqua: Q l litro acqua /min per ogni kw di potenza asportata. 6 Tipi di raffreddamento a) Macchine statiche (trasformatori) Generalmente la macchina é contenuta in un cassone pieno di olio minerale particolarmente fluido, che assolve la funzione di fluido intermedio per il raffreddamento e di isolante. Le unità di modesta potenza sono a raffreddamento naturale, ossia l'aria che lambisce il cassone e l olio all'interno si muovono per i moti convettivi conseguenti alle variazioni di densità provocate dallo aumento di temperatura degli strati a contatto con le parti calde (ONAN = olio naturale, aria naturale). Per potenze più elevate si impiegano dei ventilatori che convogliano l'aria sulla cassa e sui radiatori (ONAF = olio naturale, aria forzata). In alternativa o per potenze ancora più elevate si usano uno o più aerotermi, ossia scambiatori di calore olio-aria, in cui tanto la circolazione dell'olio che quella dell'aria é determinata, rispettivamente da pompe e ventilatori (OFAF = olio forzato, aria forzata). Se il fluido refrigerante è l'acqua si utilizzano dei refrigerarti olio-acqua, a fascio tubiero; anche in questo caso la circolazione dell'olio e dell'acqua è forzata mediante elettropompe. b) Macchine rotanti; perdite per ventilazione Macchine di modesta potenza aspirano direttamente l'aria dall'ambiente e la restituiscono riscaldata. Questa soluzione non è adottata per macchine di maggiore impegno o destinate a funzionare in ambienti particolari, a causa della grande quantità di impurità che possono depositarsi nella macchina. Si usa quindi un gas (aria e talvolta idrogeno) come fluido intermedio, e aria o acqua come fluido a perdere per asportare il calore. Il fluido intermedio è mosso da ventilatori radiali o assiali ottenuti direttamente per costruzione sui rotori, o applicati sull'asse; la potenza spesa per la ventilazione é, come per tutte le macchine fluidodinamiche, proporzionale circa al cubo della velocità di rotazione; tenendo in conto anche la coppia di attrito (costante) determinata dai cuscinetti su cui posa il rotore (e dalle spazzole, in caso di macchine con collettore a lamelle) si ottiene la espressione delle perdite meccaniche delle macchine rotanti: Tipi di servizio P m = P m_attrito + P m_ventilaz = AN + BN 3 Si è visto che la costante di tempo termica di una macchina elettrica è dell'ordine di alcune decine di minuti; la macchina andrà a regime (in 45 ) non prima di un'ora, spesso dopo 4 5 ore. D'altra parte non sempre le macchine funzionano per durate così lunghe, e per intervalli di tempo limitato possono erogare potenze notevolmente superiori a quella erogabile per un tempo indefinito senza superare i limiti termici ammessi dalla classe di isolante usato. Si definiscono quindi diversi tipi di servizi, ossia di modi di funzionamento della macchina per quanto riguarda le esigenze di natura termica.

7 Servizio continuativo Si definisce continuativo un servizio di durata superiore a 5, ossia tale che la macchina raggiunga il regime termico e la massima temperatura ammissibile per gli isolanti. E' il tipo di servizio più comune. Servizio di durata limitata Si definisce di durata limitata un servizio in cui la macchina funziona per un tempo inferiore a 5, ossia non raggiunge il regime termico; per un completo sfruttamento delle sue possibilità é però raggiunta, alla fine del servizio, la massima temperatura ammissibile dagli isolanti. Per contro l intervallo di tempo intercorrente tra due funzionamenti successivi è superiore a 5, per cui la macchina ritorna a temperatura ambiente prima del successivo funzionamento. 7 Servizio intermittente In questo caso sia il periodo di lavoro che quello di riposo sono inferiori a 5: dunque, la macchina non raggiunge il regime termico sia nell intervallo di riscaldamento che in quello di raffreddamento. Potenza nominale Le considerazioni termiche fin qui fatte determinano completamente i limiti di funzionamento delle macchine e permettono di definirne la potenza nominale come la potenza che la macchina può erogare in un certo tipo di servizio, alle condizioni elettriche e meccaniche nominali (tensione, corrente, cos, frequenza, velocità di rotazione), senza superare i limiti di temperatura ammessi dalle Norme per i materiali isolanti usati. La potenza nominale é espressa in VA per i trasformatori, in VA (con un fattore di potenza non inferiore ad un certo valore) per i generatori sincroni, in W per tutti i motori (a corrente alternata e continua) e per i generatori in corrente continua. Prove di riscaldamento Scopo di questa prova é l'individuazione del punto più caldo della macchina e la determinazione (o la verifica) della potenza resa erogabile in corrispondenza della quale il punto più caldo raggiunge la massima sovratemperatura ammessa dalle Norme per la particolare classe a cui appartiene l'isolamento che interessa tale punto. La prova così definita presenta le seguenti difficoltà: é molto difficile individuare il punto più caldo e misurarne la temperatura; per eliminare ogni arbitrarietà le norme indicano i punti e le modalità per effettuare i rilievi di temperatura; altra difficoltà, sia economica che tecnica, consiste nella necessità di far funzionare la macchina in prova a potenza costante per il tempo necessario affinché sia esaurito il transitorio termico (in base alle Norme il transitorio si deve considerare ultimato quando la sovratemperatura non aumenta più di 1 o 2 C all'ora, secondo il tipo di macchina). La cosa, fattibile con macchina in servizio, é impossibile in laboratorio e nelle sale prova dei costruttori, per macchine di grande potenza, salvo particolari artifici. Misura delle temperature Temperatura ambiente: é convenzionalmente la media delle temperature rilevate in diversi punti attorno alla macchina, a 1-2 m da essa e ad una altezza dal pavimento pari a circa metà altezza di macchina; lo strumento di misura é il termometro a mercurio, con il bulbo immerso in un pozzetto metallico pieno di olio, per renderlo insensibile alle variazioni brusche di temperatura ambiente; Temperatura della macchina: per la misura della temperatura locale si adoperano: termocoppie (per uso di laboratorio) termometri a resistenza: in tal caso la sonda termometrica é un conduttore avvolto in doppio (in modo che i campi magnetici non possano indurre in esso f.e.m. perturbatrici) costituito da un

8 metallo del quale si conosca la legge di variazione della resistenza con la temperatura; la misura della resistenza si effettua di solito con ohmetri logometrici (tarabili direttamente in C). Allo scopo di controllare la temperatura della macchina in esercizio, durante la costruzione si dispongono sonde termometriche nelle cave di statore delle macchine rotanti e nel pacco lamiere dei trasformatori. Per la misura della sovratemperatura media nel caso degli avvolgimenti si applica lo stesso principio dei termometri elettrici a resistenza, utilizzando come elemento termometrico l'avvolgimento stesso della macchina (naturalmente, durante la misura, perché valga la legge V = RI non vi devono essere f.e.m. indotte nell'avvolgimento). In tal modo, nota la resistenza R 1 quando la sovratemperatura vale 1, dalla misura di resistenza R 2 si ricava il corrispondente valore di sovratemperatura 2 : 8 2 = 1 + (1/ o + 1 )(R 2 R 1 )/R 1, dove 1/ o = per il rame. Le Norme prescrivono che nelle prove di riscaldamento la sovratemperatura degli avvolgimenti va determinata col metodo della variazione di resistenza; per la misura delle temperature delle parti in ferro, dell'olio, ecc., si deve usare invece il termometro a mercurio o le termo-resistenze; il controllo in esercizio della temperatura nei punti non accessibili è poi affidato a rivelatori interni. Studio di alcuni tipi di servizio Nel seguito si considera l analisi di alcuni tipi di servizio: per semplicità, sarà preso il esame il comportamento termico del trasformatore in olio, adottandone il modello ad una costante di tempo. Il modello è quello di fig. 5, dove: T cu P p C G Fig. 5 circuito equivalente del 1 ordine, per lo studio dei tipi di servizio. - C = c cu M cu + c fe M fe + c o M o è la capacità termica associata al nodo superiore, la cui temperatura viene assunta pari a quella degli avvolgimenti in rame (N.B.: c cu = 400, c fe = 500, c o = 1900, M cu, M fe, M o sono i calori specifici [J/(kg C)] e le masse rispettivamente degli avvolgimenti in rame, del nucleo ferromagnetico e della massa di olio contenuto nella cassa); - G = 1/R è la conduttanza termica complessiva verso l ambiente; - = T cu T a è la sovratemperatura degli avvolgimenti rispetto all ambiente; - P p = P fen + P cu = P fen + P cun (I/I n ) 2 = P fen + P cun 2 sono le perdite totali, somma di quelle nel ferro alla tensione nominale (P fen ) e di quelle nel rame (P cu ); queste ultime si possono esprimere come prodotto delle perdite nominali nel rame (P cun ) e del quadrato del fattore di carico = I/I n. E da notare che, poiché si assume che il funzionamento avviene a tensione di alimentazione primaria costante, per il fattore di carico vale la seguente relazione: = I/I n = (V n I)/(V n I n ) = A/A n. a) Servizio continuativo Nell ipotesi che P p = costante, l equazione corrispondente al circuito di fig.5 presenta la seguente struttura di soluzione: (t) = r + t (t) = RP p + Dexp(t/) dove: T a r è la soluzione di regime (integrale particolare della equazione completa, ovvero risposta a fine transitorio al regime imposto dalla forzante, in questo caso di tipo stazionario);

9 t è la soluzione transitoria (integrale generale della equazione omogenea associata), definita a meno della costante di integrazione D, da calcolarsi in base alle condizioni iniziali ((0 ) = (0 + ) = o ). Imponendo le condizioni iniziali, si ottiene: (t) = RP p + ( o RP p )exp(t/). Se la condizione iniziale è nulla ( o = 0: macchina inizialmente a temperatura ambiente), la precedente soluzione si riduce a: (t) = r (1 exp(t/)) = RP p (1 exp(t/)), il cui andamento è mostrato in fig.6, con variabili espresse in p.u. ( pu = / r ; t pu = t/) / r t/ Fig. 6 transitorio di riscaldamento del servizio continuativo. L osservazione della fig. 6 evidenzia che: nei primi istanti, e comunque al di sotto di 0.5, l andamento della sovratemperatura è praticamente governata dal fenomeno dell accumulo (poiché è piccolo, si ha P p Cd/dt, cioè il comportamento è pressoché adiabatico); dopo 5 il comportamento è praticamente stazionario (poiché d/dt 0, si ha P p G r ); nella zona intermedia, il comportamento è di pieno transitorio; come anche visibile in fig. 6, la tangente alla curva nell origine intercetta l asintoto orizzontale in corrispondenza ad un istante pari a 1: questa osservazione suggerisce un metodo grafico di identificazione della costante di tempo a partire da una curva sperimentale di riscaldamento. Con riferimento al funzionamento a regime, che corrisponde al servizio di tipo continuativo, è naturale che quando la macchina si trovi a funzionare a carico nominale ( = 1), cioè con perdite nominali (P pn = P fen + P cun ), la situazione di sovratemperatura della macchina sia pure nominale ( r = n ): r.n = R P pn. b) Colpo di calore Questa modalità di funzionamento termico, intrinsecamente adiabatica per la rapidità del fenomeno, interessa le condizioni improvvise di sovracorrente, tipicamente il corto-circuito. Come mostrato in altra trattazione, il valore relativo i k della corrente di corto-circuito (valore del regime elettromagnetico) è pari all inverso della tensione relativa di corto circuito v k : i k = I k /I n = k = 1/v k 1/( ) Considerando che già normalmente risulta P fen < P cun, la condizione di corto-circuito rende le perdite rame così rilevanti: P cuk = 2 k P cun ( )P cun da far ritenere insignificante il contributo delle perdite P fen durante il colpo di calore.

10 Va poi osservato che l equazione del transitorio termico, già privata del termine di scambio G per la natura adiabatica del fenomeno, va ulteriormente modificata: in tal caso, infatti, la capacità termica da mettere in conto non è la capacità equivalente totale (che include rame + ferro + olio), ma solo quella del rame C cu, sempre in base alla considerazione che le perdite (solo quelle nel rame) non hanno modo, per la rapidità del fenomeno, di trasferirsi al ferro e all olio, che rimangono sostanzialmente a temperatura invariata rispetto al valore precedente al corto-circuito. Dunque si può assumere che: P pk C cu d/dt. D altra parte, si può scrivere: P pk = P cuk = 2 k P cun = cu S 2 k V cu, con cu resistività del rame (valore calcolato ad una opportuna temperatura media), S k densità di corrente in corto-circuito, V cu volume degli avvolgimenti; C cu = c cu cu V cu, dove cu = 9980 kg/m 3 è la densità di massa del rame; S k /S n = I k /I n = i k = k. Dunque, per la derivata di sovratemperatura si ottiene: d/dt P pk / C cu = i k 2 cu S n 2 /(c cu cu ). Considerando che un valore tipico per la densità di corrente nominale è S n 3.5 A/mm 2, la derivata di temperatura può valere: d/dt = C/s: è dunque indispensabile adottare provvedimenti per la rapida estinzione della corrente, per evitare danni irreversibili alla macchina (intervento di interruttori). 10 c) Funzionamento di durata limitata Questo funzionamento, che nel seguito sarà contrassegnato dal pedice L (L: durata Limitata) ipotizza di far funzionare la macchina nelle seguenti condizioni: carico costante, con fattore di carico L (da individuare, ma certamente superiore all unità); temperatura ambiente standard (pari a T a = 40 C per l aria); temperatura iniziale della macchina pari a quella ambiente ( o = 0); durata limitata t (tipicamente t = 1 h) delle condizioni di carico, in modo tale che, al termine di tale intervallo (allorchè la macchina viene liberata dal suo carico, cioè si porta a funzionare a vuoto, o addirittura viene disinserita) la sovratemperatura raggiunga il valore nominale n. Le perdite (assunte costanti) sviluppate dalla macchina durante l intervallo t si possono così esprimere: P pl = P fen + P cul = P fen + P cun 2 L. La soluzione del transitorio conduce alla seguente espressione: L (t) = rl (1 exp(t/)) = RP pl (1 exp(t/)), dove rl = RP pl sarebbe la sovratemperatura di regime che verrebbe raggiunta dalla macchina se il funzionamento con le perdite P pl durasse a tempo indeterminato: questo, tuttavia, non può avvenire, pena il danneggiamento irreversibile degli isolanti. In fig. 7 è mostrato il transitorio conseguente al funzionamento di durata limitata, a confronto con quello del servizio continuativo. Nell istante finale dell intervallo t si verifica la seguente condizione: Ma considerando che: L (t) = n = rl (1 exp(t/)) = RP pl (1 exp(t/)). n = RP pn = R(P fen + P cun ) e che rl = RP pl = R(P fen + P cun L 2 ), sostituendo tali relazioni nella precedente si giunge alla seguente espressione del fattore di carico L :

11 L 1 fen 1 e cun P P e t t. Ad esempio, con P fen /P cun = 0.17, = 3 h, t = 1 h, si ottiene L 2, ovvero una sovraccaricabilità oraria del 100%. 150 [ C] L n 50 t t [h] Fig. 7 transitorio conseguente al funzionamento di durata limitata, a confronto con quello del servizio continuativo d) Funzionamento intermittente Questo tipo di funzionamento, studiato nelle condizioni di regime periodico, è rappresentabile schematicamente con gli andamenti di fig. 8. P p1 P pav P p (t) P p2 t M av (t) m t 1 t 2 T t Fig. 8 funzionamento con servizio intermittente, studiato in regime periodico. Il funzionamento intermittente periodico è caratterizzato dal periodo T (usualmente risulta: T «). Riferendosi ancora al semplice caso del trasformatore, tale periodo T include un intervallo t 1 di funzionamento a carico (con perdite costanti pari a: P p1 = P fen + i 2 P cun ) e un intervallo t 2 di funzionamento a vuoto (con perdite costanti pari a: P p2 = P fen ). Si definisce rapporto di intermittenza ( duty cycle in Inglese) la quantità i = t 1 /(t 1 +t 2 ) = t 1 /T; naturalmente si ha: 0 < i < 1.

12 A fronte della variazione delle perdite, si ha una corrispondente oscillazione della sovratemperatura, secondo archi di esponenziale in salita e discesa, con valori compresi tra il massimo M (che si verifica alla fine dell intervallo di funzionamento a carico) e il minimo m (che si verifica alla fine dell intervallo di funzionamento a vuoto). Lo studio di questo funzionamento può essere svolto in modo esatto in forma chiusa, studiando i due transitori successivi nelle variabili temporali locali t 1 e t 2 e di sovratemperatura locale: 1 = (t 1 ) per 0<t 1 <t 1 e 2 = (t 2 ) per 0<t 2 <t 2 (l origine di ogni variabile temporale locale è posta all istante iniziale di ogni intervallo). Le soluzioni nei 2 intervalli sono definite a meno di 2 costanti di integrazione, determinabili sulla base delle seguenti condizioni ai limiti: condizione di continuità ( 1 (t 1 = t 1 ) = 2 (t 2 = 0)); condizione di periodicità ( 1 (t 1 = 0) = 2 (t 2 = t 2 )). Tuttavia, nel seguito si adotterà un diverso approccio, giustificato dalla ipotesi T «, solitamente ben verificata, cui conseguono espressioni più compatte. Innanzi tutto è assai semplice determinare le perdite medie P pav e la corrispondente sovratemperatura media av. Infatti, applicando ad ogni termine della equazione: 12 l operatore valore medio nel periodo T: si ottiene: P p (t) = Cd/dt + G 1 T T 0 dt P pav = G av, da cui: av = RP pav = R(1/T)(P p1 t 1 + P p2 t 2 ) = R[P p1 + P p2 ( 1)]. Se si può ritenere = M m «av, allora si può fare la seguente approssimazione: M = av + /2 av = n ; dunque, nella equazione ai valori medi si può scrivere: n = RP pn = R(P fen + P cun ) = R[(P fen + 2 i P cun ) + P fen ( 1)]. da cui si ottiene l espressione del fattore di carico: i 1. La fig. 9 mostra che la sovraccaricabilità del funzionamento intermittente può essere tanto più significativa quanto più piccolo è il rapporto di intermittenza. 5 i ( ) Fig. 9 fattore di carico i in funzione del duty cycle, nel funzionamento intermittente a regime.

13 E comunque possibile operare una stima approssimata della fluttuazione di sovratemperatura, scomponendo l equazione differenziale originaria (P p (t) = Cd/dt + G) con le modalità descritte nel seguito. Sia per quanto riguarda le perdite (causa) che relativamente alla sovratemperatura (effetto), ogni variabile va espressa come somma del valore medio e della variazione rispetto al valore medio: P p (t) = P pav + P p~ (t) ; (t) = av + ~ (t). La sostituzione di tali espressioni nella equazione originaria, considerando che P pav = G av, conduce a: P p~ (t) = Cd ~ (t)/dt + G ~ (t). In questa equazione, mentre il termine di accumulo (Cd ~ (t)/dt) è esattamente pari a quello della equazione originaria (Cd(t)/dt = Cd[ av + ~ (t)]/dt), il termine di scambio (G ~ (t)) è piccolo, perché lo è la fluttuazione ~ (t); dunque, il termine di scambio si può trascurare, scrivendo: P p~ (t) Cd ~ (t)/dt. Si noti che questa equazione corrisponde ad un modello adiabatico agli effetti dei termini di fluttuazione: questa ipotesi è congruente con quella inizialmente assunta per T (T «), e ad essa corrisponde la proprietà grafica che gli esponenziali di fig. 8 sono largamente approssimabili a segmenti rettilinei. Si consideri ora lo studio della equazione approssimata alle fluttuazioni nell intervallo di funzionamento a carico (con rampa di salita pressoché rettilinea della sovratemperatura): d ~ (t)/dt P p~ (t) / C, per 0 < t < t 1. In tale intervallo, per P p~ (t) si può scrivere: P p~ (t) = P p1 P pav = P p1 [P p1 + P p2 ( 1)] = (P p1 P p2 )(1 ) = (P fen + P cu P fen )(1 ) = = P cu (1 ), per 0 < t < t 1. Dunque, integrando la d ~ (t)/dt P p~ (t) / C all intero intervallo t 1, si ottiene: P cu (1 )t 1 /C = P cu (1 )T/C = 2 i P cun (1 )T/C = 2 i RP cun (1 )T/. Come si osserva, la fluttuazione cresce al crescere del periodo e delle perdite negli avvolgimenti e decresce al crescere della costante di tempo termica; inoltre ha una dipendenza parabolica di con, che presenta il massimo per = 0.5; infine, dalla ipotesi T «, discende il piccolo valore atteso per. 13 Dipendenza delle perdite Joule dalla temperatura Si è finora studiato il comportamento termico assumendo che le perdite negli avvolgimenti siano costanti, calcolate ad una opportuna temperatura media: in realtà, durante il riscaldamento aumenta la resistività del rame e dunque, anche se la corrente efficace I circolante è costante, le perdite aumentano. Si consideri nel seguito la sola presenza delle perdite nel rame P cu, esplicitando la loro dipendenza dalla sovratemperatura: P cu = RI 2 = (1+ o )R o I 2 = (1+ o )P cuo dove o C 1 e P cuo = R o I 2 è la perdita Joule con resistenza a temperatura ambiente ( = 0). In queste condizioni, l equazione differenziale del modello ad una costante di tempo va scritta così: ovvero, riordinando: da cui: (1+ o )P cuo = Cd/dt + G, P cuo = Cd/dt + (G o P cuo ), P cuo = Cd/dt + G(1 ),

14 ove si è posto: = ( o / G)P cuo. La soluzione di questa equazione è caratterizzata dai seguenti valori della sovratemperatura a regime e della costante di tempo termica: r = (P cuo /G)[1/(1 )] = ro [1/(1 )] ; = (C / G)[1/(1 )] = o [1/(1 )]. Come si osserva, tali quantità dipendono dal parametro, che risulta proporzionale a P cuo = R o I 2 : per valori di corrente sempre più elevati, si verifica un progressivo incremento sia della sovratemperatura di regime sia della costante di tempo. Qualora risultasse 1, scomparirebbe il termine di scambio e il comportamento si presenterebbe come adiabatico: in realtà, fisicamente il calore è ceduto all ambiente, ma in misura eguale a quello aggiuntivo che si sviluppa nell avvolgimento, per effetto all aumento di resistività con la temperatura. Per tale ragione, si parla di comportamento pseudo-adiabatico. 14