6.6 Sequence Alignment

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1 6.6 Sequence Alignment

2 E capitato anche a voi? Di digitare sul computer una parola in maniera sbagliata (per esempio usando un dizionario sul Web): AGORITNI E sentirsi chiedere: «Forse cercavi ALGORITMI?» Come fanno a capirlo? Sanno veramente cosa abbiamo in mente???? Non trovando AGORITNI sul dizionario ha cercato una parola «simile», «vicina»

3 String Similarity How similar are two strings? ocurrance occurrence o c u r r a n c e - o c c u r r e n c e 6 mismatches, 1 gap o c - u r r a n c e o c c u r r e n c e 1 mismatch, 1 gap o c - u r r - a n c e o c c u r r e - n c e 0 mismatches, 3 gaps 3

4 Applications. Basis for Unix diff Speech recognition Edit Distance Computational biology (sequenze di simboli nel DNA rappresentano proprietà degli organismi) Edit distance. [Levenshtein 1966, Needleman-Wunsch 1970] Gap penalty ; mismatch penalty pq (you may assume pp =0). Cost = sum of gap and mismatch penalties. C T G A C C T A C C T - C T G A C C T A C C T C C T G A C T A C A T C C T G A C - T A C A T TC + GT + AG+ 2 CA 2 + CA 4

5 Sequence Alignment Goal: Given two strings X = x 1 x 2... x m and Y = y 1 y 2... y n find alignment of minimum cost. Def. An alignment M is a set of ordered pairs x i -y j such that each item occurs in at most one pair and no crossings. Def. The pair x i -y j and x i' -y j' cross if i < i', but j > j'. cost(m) x i y j (x i, y j ) M i : x i unmatched j : y j unmatched mismatch gap Ex: CTACCG vs TACATG. Sol: M = x 2 -y 1, x 3 -y 2, x 4 -y 3, x 5 -y 4, x 6 -y 6. 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 C T A C C - - T A C A T G G y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6

6 Sequence Alignment: Problem Structure Def. OPT(i, j) = min cost of aligning strings x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j. Case 1: OPT matches x i -y j. pay mismatch for x i -y j + min cost of aligning two strings x 1 x 2... x i-1 and y 1 y 2... y j-1 Case 2a: OPT leaves x i unmatched. pay gap for x i and min cost of aligning x 1 x 2... x i-1 and y 1 y 2... y j Case 2b: OPT leaves y j unmatched. pay gap for y j and min cost of aligning x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j-1 OPT( i, j) min i j x i y j OPT( i 1, j OPT( i 1, j) OPT( i, j 1) 1) if i 0 otherwise if j 0 6

7 Sequence Alignment: Algorithm Sequence-Alignment(m, n, x 1 x 2...x m, y 1 y 2...y n,, ) { for i = 0 to m M[0, i] = i for j = 0 to n M[j, 0] = j } for i = 1 to m for j = 1 to n M[i, j] = min( [x i, y j ] + M[i-1, j-1], + M[i-1, j], + M[i, j-1]) return M[m, n] Analysis. (mn) time and space. English words or sentences: m, n 10. Computational biology: m = n = 100, billions ops OK, but 10GB array? 7

8 Sequence Alignment: Linear Space Q. Can we avoid using quadratic space? Easy. Optimal value in O(m + n) space and O(mn) time. Compute OPT(i, ) from OPT(i-1, ). No longer a simple way to recover alignment itself. Theorem. [Hirschberg 1975] Optimal alignment in O(m + n) space and O(mn) time. Clever combination of divide-and-conquer and dynamic programming. Inspired by idea of Savitch from complexity theory. 8

9 Ricostruzione dell allineamento OPT( i, j) min i j x i y j OPT( i 1, j OPT( i 1, j) OPT( i, j 1) 1) if i 0 otherwise if j 0 Per ricostruire l allineamento seguiamo il percorso all indietro nella matrice Esempio: X = mean, Y= name = 2 costo mismatch fra vocali differenti=1 costo mismatch fra consonanti differenti=1 costo mismatch fra vocale e consonante=3 La freccia nella casella (i,j) proviene dalla casella usata per ottenere il minimo M[4,4]= min{ n e + M[3,3], + M[3,4], +M[4,3]}= = min { 3+ 5, 2+5, 2+4} =

10 Ricostruzione soluzione ottima

11 Una visione grafica del problema del sequence alignment Ad X = x 1 x 2 x 3 e Y = y 1 y 2 y 3 y 4 associamo il grafo G XY seguente: nodo (i,j) in corrispondenza di x i e y j costi archi orizzontali e verticali = costo arco diagonale verso (i,j) = xi, yj

12 Un esempio n a e m n a m e costi archi orizzontali e verticali = costo arco diagonale verso (i,j) = xi, yj = 2 costo mismatch fra vocali differenti=1 costo mismatch fra consonanti differenti=1 costo mismatch fra vocale econsonante=3 Trovare allineamento di costo minimo fra X e Y equivale a cercare il cammino di costo minimo in G XY dal nodo in basso a sinistra a quello in alto a destra. Prova per induzione (fare) Studieremo algoritmi per la ricerca di cammini di costo minimo in un grafo, ma non apporteranno miglioramenti al tempo di esecuzione.

13 Tale proprietà è detta: Proprietà della Sottostruttura Ottima.

14 Proprietà della sottostruttura ottima: Sequence Alignment 1 OPT(i, j) = min cost of aligning strings x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j OPT è un allineamento ottimale per x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j. Case 1: OPT matches x i -y j. pay mismatch for x i -y j + min cost of aligning two strings x 1 x 2... x i-1 and y 1 y 2... y j-1 Quindi OPT= { x i -y j } X, con X insieme di coppie ordinate Il punto cruciale qui è che X : è una soluzione, cioè è un allineamento per x 1 x 2... x i-1 e y 1 y 2... y j-1 (perché OPT lo è, quindi le posizioni non si incrociano etc.) è ottima, cioè ha cardinalità massima fra le soluzioni al sottoproblema per x 1 x 2... x i-1 e y 1 y 2... y j-1 (infatti, se così non fosse, esisterebbe una soluzione OPT per x 1 x 2... x i-1 e y 1 y 2... y j-1 di cardinalità OPT( i, j) OPT( i 1, j x i y j strettamente 14 superiore a quella di X e allora OPT {x i -y j } sarebbe una 1)

15 Proprietà della sottostruttura ottima: Sequence Alignment 2 OPT(i, j) = min cost of aligning strings x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j. Case 2a: OPT leaves x i unmatched. pay gap for x i and min cost of aligning x 1 x 2... x i-1 and y 1 y 2... y j Case 2b: OPT leaves y j unmatched. pay gap for y j and min cost of aligning x 1 x 2... x i and y 1 y 2... y j-1 In maniera analoga 15

16 Proprietà della sottostruttura ottima: Scheduling di attività Il punto cruciale qui è che O {n} : è una soluzione, cioè è un insieme di attività compatibili di {1,, p(n)} (perché le attività di O sono compatibili) è ottima, cioè ha cardinalità massima fra le soluzioni al sottoproblema relativo alle attività {1,, p(n)} (infatti, se così non fosse, esisterebbe una soluzione O per {1,, p(n)} di cardinalità strettamente superiore a quella di O {n} e allora O {n} sarebbe una soluzione strettamente migliore di O.

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18 Esercizi: varianti al problema dello zaino

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20 Dall elenco

21 Dall elenco

22 Esercizio 1 pag. 312 KT punto a) [continua ]

23 Esercizio 1 pag. 312 KT punti b) e c)

24 Prossime lezioni Lezione 2 nov: rinviata Lezione mercoledì 7 nov ore Lab P13