Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari

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1 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari Nicola Fanizzi Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Bari Linguaggi di Programmazione [010194] 18 mar, 2016

2 Sommario 1 Espressioni Regolari Linguaggi Formali e Operazioni 2 Automi a Stati Finiti Automi Non-Deterministici Automi Deterministici ɛ-chiusura 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze Espressioni Regolari Automi DFA Grammatiche Regolari Grammatiche Espressioni Regolari 5 Minimizzazione Automi Indistinguibilità Tabella a Scala 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

3 Introduzione Trasformazione stringa di caratteri in lista di token Teoria del linguaggi formali Come si implementa? Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

4 Introduzione [... cont.] Scopo: riconoscere nella stringa in ingresso gruppi di caratteri che corrispondono a categorie sintattiche trasformare la stringa di caratteri in sequenze di simboli astratti token da passare all analisi sintattica Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

5 Introduzione [... cont.] separazione tra analisi lessicale e sintattica motivi teorici? motivi pratici? tecnologie più efficienti maggiore semplificazione della specifica e struttura del compilatore semplicità nella descrizione del linguaggio (progettazione macchina astratta / programmazione) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

6 Token Token rappresentazione astratta di una sottostringa in ingresso nome, valore nome simbolo astratto che rappresenta una categoria sintattica es.: identificatore, operatore, parola chiave,... valore la stringa letta in ingresso Osservazione il valore può essere sottinteso quando la relazione nome-valore è 1-a-1 (es. parole chiave) Esempio token IDE, x1 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

7 Token [... cont.] Specifica lessicale di un linguaggio: descrizione dei suoi token attraverso pattern che identificano la forma dei suoi lessemi pattern descrizione generale della forma dei valori del token (cfr. espressioni regolari) lessema la stringa istanza del pattern Esempio pattern: (x y)(x y 0 1) lessema: x1 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

8 Token [... cont.] Esempio Nella stringa in C: if (x > 0) printf("positivo"); potrebbero essere riconosciuti i token: IF, IDE, printf, (, (, IDE, x, CONSTSTR, positivo, OPREL, >, ), CONSTNUM, 0, ;. ), Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

9 Agenda 1 Espressioni Regolari Linguaggi Formali e Operazioni 2 Automi a Stati Finiti 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze 5 Minimizzazione Automi 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

10 Stringhe e Operazioni Alfabeto: insieme di simboli finito e non vuoto di simboli Esempi Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} alfabeto delle cifre decimali Σ = {a, b, c,..., z} alfabeto delle lettere (minuscole) Stringa (o parola) w su un alfabeto Σ: sequenza finita di simboli s 1 s 2 s n tale che i {1,..., n} : s i Σ La lunghezza di w è pari ad n e si denota con w Esempi Alcune stringhe su Σ sono aaba, aca, cbaa, b,... Dato Σ = {0, 1} sia w = con w = 7 La stringa vuota, denotata con ɛ, è la parola priva di simboli ( ɛ = 0) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

11 Stringhe e Operazioni [... cont.] Si denota con Σ l insieme di tutte le stringhe su Σ Osservazione Σ : ɛ Σ Esempio Dato Σ = {0, 1} risulta Σ = {ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

12 Stringhe e Operazioni [... cont.] Date w, z Σ, si definisce l operazione di concatenazione: w z Osservazioni non commutativa ɛ elemento neutro: w ɛ = ɛ w = w Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

13 Stringhe e Operazioni [... cont.] Iterando, si ottiene una forma esponenziale Data w Σ, potenza k-esima di w: w k = { ɛ k = 0 ww k 1 k > 0 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

14 Linguaggi Formali Definizione Un linguaggio L su un alfabeto Σ è un sottoinsieme di Σ : L Σ Osservazioni, {ɛ} e Σ sono linguaggi su Σ = 0 1 = {ɛ} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

15 Linguaggi Formali [... cont.] Esempi Linguaggio finito L = {ɛ, aab, aaaabb}. Linguaggio infinito L = {a i b 2i i 0}. Linguaggio delle parentesi bilanciate L {(, )} : (())() L e ()(()()) L mentre (()() L e ())(() L Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

16 Linguaggi Formali [... cont.] Dati due linguaggi L e L definiti sullo stesso alfabeto Σ: prodotto L L = {w = w 1 w 2 Σ w 1 L w 2 L } unione L L = {w Σ w L w L } iterazione L k = { {ɛ} se k = 0 L k 1 L se k > 0 potenza L + = k>0 k L chiusura positiva (o transitiva) L = L 0 L + = {ɛ} L + chiusura di Kleene (transitiva e riflessiva) L = {w 1... w n Σ n N i = 1,..., n : w i L} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

17 Linguaggi Formali [... cont.] Altre operazioni complemento L = {w Σ w L} intersezione L L = {w Σ w L w L } riflessione L R = {w R w L} dove la stringa riflessa w R di una stringa w inverte l ordine dei simboli Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

18 Espressioni Regolari Espressioni e linguaggi regolari: 1 ɛ è una espressione regolare (ER) L(ɛ) = {ɛ} 2 a è una ER per ogni a Σ L(a) = {a} 3 (r) è una ER, per ogni ER r L((r)) = L(r) 4 (r) (s) è una ER, per ogni coppia di ER r, s L((r) (s)) = L(r) L(s) 5 (r) (s) è una ER, per ogni coppia di ER r, s L((r) (s)) = L(r) L(s) 6 (r) è una ER, per ogni r L((r) ) = L(r) 7 nient altro è una ER Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

19 Espressioni Regolari [... cont.] Osservazioni il simbolo di concatenazione può essere omesso le parentesi possono essere omesse essendo le op. associative a sinistra e imponendo la precedenza: > > Esempio (((a) (b)) ((a) (b))) (a) si può scrivere in modo compatto come: (a b) (a b) a (((1) )(0)) (2) si può scrivere Per ogni linguaggio possono esistere diverse ER che lo denotano Esempio L[(ab) a] = L[a(ba) ] Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

20 Espressioni Regolari [... cont.] Esempi i) ab b definisce il linguaggio {ab, b} ii) a(a b)b definisce {aab, abb} iii) a sta per {a n n 0} = {ɛ, a, aa, aaa, aaaa,...} iv) b a c denota per {b n a n 0} {c} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

21 Espressioni Regolari [... cont.] Identità: si definisce una relazione d equivalenza tra ER in base ai linguaggi definiti: r = s se e solo se L[r] = L[s] Proprietà commutatività di r r = r r associatività di r (r r ) = (r r ) r associatività di r(r r ) = (rr )r ɛ elem. neutro per ɛr = rɛ = r idempotenza di r = r distributività a sinistra di su r(r r ) = rr rr distributività a destra di su (r r )r = rr r r Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

22 Espressioni Regolari [... cont.] Estensioni rip. positiva r + = rr = r r possibilità r? = r ɛ elenco [a 1,..., a n ] = a 1 a n dove a i Σ se sussiste una rel. d ordine tra i simboli: [a 1 -a n ] = a 1 a n Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

23 Linguaggi Regolari Definizione (Linguaggio Regolare) Un linguaggio L è regolare se L = oppure L = L(r) per qualche espressione regolare r Esempio Dato Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.} l ER: [0-9] + (ɛ.[0-9] + ) denota il linguaggio dei numeri decimali (senza segno) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

24 Linguaggi Regolari [... cont.] Definizioni Regolari dato Σ d 1 := r 1 d 2 := r 2... d n := r n dove d i sono nuovi simboli e ogni r i è una ER sull alfabeto Σ {r j 1 j i 1} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

25 Esercizi { } 1 Dato L = 0 n 1 2n 0 n 2, determinare L 2 e L 3 { } 2 Dato L = a k b k k > 0, determinare L 2 e L 3 3 Dato L = {00, 01, 100}, stabilire se appartengono a L w w w Quali di queste appartengono a L 4? 4 Dato L = { 0 n 1 n n > 0 }, determinare L [scomporre nelle varie sotto-stringhe] [scomporre in sotto-insiemi (disgiunti) definiti anche ricorsivamente] 5 Determinare una ER per identificatori C 6 Determinare una ER per numeri in notazione scientifica es E-7 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

26 Agenda 1 Espressioni Regolari 2 Automi a Stati Finiti Automi Non-Deterministici Automi Deterministici 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze 5 Minimizzazione Automi 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

27 Automi a Stati Finiti Problema: riconoscere i lessemi ed associarli ai token Automi Modelli astratti di macchine in input su un nastro, fatto da celle contenenti un simbolo ciascuna, stringhe su un dato alfabeto d ingresso Σ lettura L-to-R (con/senza terminatore) un simbolo alla volta una unità di controllo a stati finiti determina il funzionamento della macchina Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

28 Automi a Stati Finiti [... cont.] b b a a a a q 3... q 2 δ q n q 1 q 0 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

29 Automi a Stati Finiti [... cont.] Diagrammi di transizione per descrivere automi Esempio [0-9] [0-9] [0-9]. [0-9] A B C D riconosce [0-9] + (ɛ.[0-9] + ) accetta 23 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

30 Automi a Stati Finiti [... cont.] Esempio [0-9] E. F [0-9] riconosce [0-9] + (ɛ.[0-9] + ) ma anche altre stringhe Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

31 Automi a Stati Finiti [... cont.] Esempio riconoscere (a b) ba a b a b non determinismo: nello stato 0 si legge b per accettare deve esistere almeno un percorso che porti ad uno stato finale accetta bba e abba, rifiuta aabb Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

32 Automi Non-Deterministici Un automa finito non deterministico (NFA) è una quintupla Σ, Q, δ, q 0, F dove Σ è un alfabeto finito di simboli di input; Q è un insieme finito di stati; δ è la funzione di transizione δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q) q 0 Q stato iniziale; F Q stati finali Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

33 Automi Non-Deterministici [... cont.] matrice di transizione: δ a 1 a 2 a n ɛ q 0 q q m Esempio automa precedente δ a b ɛ 0 {0} {0, 1} 1 {2} 2 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

34 Automi Non-Deterministici [... cont.] Un NFA N = Σ, Q, δ, q 0, F accetta w = a 1 a n sse nel diagramma di transizione esiste un cammino da q 0 a uno stato di F nel quale w è esattamente la stringa che si ottiene concatenando le etichette degli archi percorsi Il linguaggio accettato da un NFA N è l insieme L[N] = {w Σ N accetta w} Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

35 Automi Non-Deterministici [... cont.] formalmente: δ : P(Q) Σ P(Q) δ (Q i, za) = δ(q, a) δ (Q i, ɛ) = a Σ δ(q i, a) q δ (Q i,z) w accettata sse: q F : q δ ({q 0 }, w) L[N] = {w Σ δ ({q 0 }, w) F } Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

36 Automi Non-Deterministici [... cont.] ɛ ɛ 2 a 4 ɛ ɛ 0 1 ɛ ɛ ɛ b a b ɛ 5 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

37 Automi Deterministici Un automa finito deterministico (DFA) è una quintupla Σ, Q, δ, q 0, F dove Σ è un alfabeto finito di simboli di input; Q è un insieme finito di stati; δ è la funzione di transizione δ : Q Σ Q q 0 Q (lo stato iniziale); F Q (gli stati finali). Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

38 Automi Deterministici [... cont.] B a a a A b D b b b C a DFA per (a b) ba Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

39 Equivalenza DFA NFA Dato un linguaggio accettato da un NFA è sempre possibile costruire un DFA per lo stesso linguaggio? Definizione (ɛ-chiusura) Dato un NFA, sia q Q: la ɛ-chiusura di q (ɛ-clos(q)) è il più piccolo insieme di stati raggiungibili da q via ɛ-transizioni: q ɛ-clos(q) e se p ɛ-clos(q) allora δ(p, ɛ) ɛ-clos(q) Per estensione, sia P Q ɛ-clos(p) = p P ɛ-clos(p) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

40 Equivalenza DFA NFA [... cont.] Calcolo ɛ-clos(p) 1 T P; // iniz. 2 ɛ-clos(p) P; // iniz. 3 4 while T { 5 scegli r T; 6 T T \ {r}; 7 foreach s δ(r, ɛ) 8 if (s / ɛ-clos(p)) { 9 ɛ-clos(p) ɛ-clos(p) {s}; 10 T T {s}; 11 } 12 } Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

41 Equivalenza DFA NFA [... cont.] Mossa (non deterministica) mossa : P(Q) Σ P(Q) mossa(p, a) = p P δ(p, a) Dallo stato q, consumando a, un NFA potrà transitare in uno degli stati in ɛ-clos(mossa(ɛ-clos({q}), a)) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

42 Equivalenza DFA NFA [... cont.] Costruzione Sottoinsiemi (stati del DFA) sia N = Σ, Q, δ, q 0, F 1 S ɛ-clos(q 0 ); // insieme di stati 2 T {S}; // insieme di sottoinsiemi 3 4 while P T non marcato { 5 marca P; 6 for each a Σ { // calcolo arco uscente 7 R ɛ-clos(mossa(p, a)); // raggiunto con mossa+chiusura 8 definisci (P, a) = R; 9 if R / T 10 T T {R}; // nuovo, aggiunto non marcato 11 } 12 } Si definisce il DFA M N = Σ, T,, ɛ-clos(q 0 ), F dove F = {R T R F } Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

43 Equivalenza DFA NFA [... cont.] Esempio 2 a b a b 5 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

44 Equivalenza DFA NFA [... cont.] init: ɛ-clos(0) = {0, 1, 2, 3, 7} = A e T = {A} T = {A}: (A, a) = ɛ-clos(mossa(a, a)) = = ɛ-clos(4) = {1, 2, 3, 4, 6, 7} = B, e T = T {B} (A, b) = ɛ-clos(mossa(a, b)) = = ɛ-clos({5, 8}) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} = C, e T = T {C} T = {A, B, C}, si marca B e si calcolano gli archi uscenti: (B, a) = ɛ-clos(mossa(b, a)) = ɛ-clos({4}) = B T (B, b) = ɛ-clos(mossa(b, b)) = ɛ-clos({5, 8}) = C T T = {A, B, C}; si marca C con archi uscenti calcolati: (C, a) = ɛ-clos(mossa(c, a)) = = ɛ-clos({4, 9}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9} = D, e T = T {D} (C, b) = ɛ-clos(mossa(c, b)) = ɛ-clos({5, 8}) = C T T = {A, B, C, D}; si marca D e si assegnano gli archi uscenti: (D, a) = B (D, b) = C A stato iniziale, chiusura dello stato iniziale del NFA D unico stato finale perché contiene lo stato 9 del NFA Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

45 Equivalenza DFA NFA [... cont.] stati NFA stato DFA {0, 1, 2, 3, 7} A {1, 2, 3, 4, 6, 7} B {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} C {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9} D A a B b a a D b b a b C Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

46 Equivalenza DFA NFA [... cont.] Teorema Sia N = Σ, Q, δ, q 0, F un NFA e sia M N il DFA ottenuto con la costruzione per sottinsiemi. Risulta che L[N] = L[M N ] Teorema La classe dei linguaggi riconosciuti dagli NFA coincide con la classe dei linguaggi riconosciuti dai DFA. Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

47 Esercizi [Approfondimento 3.2] Esercizio Ricavare un DFA dal NFA per (a a(a b)b) a 0 a a,b 1 2 b Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

48 Agenda 1 Espressioni Regolari 2 Automi a Stati Finiti 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze 5 Minimizzazione Automi 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

49 Grammatiche Regolari Una grammatica libera è regolare sse ogni produzione ha la forma V aw oppure V a con V, W NT e A T. Per S è ammessa anche S ɛ Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

50 Grammatiche Regolari [... cont.] Esempio Sia G = {A, B, C}, {a, b}, A, R con R dato da A aa bb, B bb ac a, C aa bb Grammatica regolare tale che L[G] = (a b) ba Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

51 Agenda 1 Espressioni Regolari 2 Automi a Stati Finiti 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze Espressioni Regolari Automi DFA Grammatiche Regolari Grammatiche Espressioni Regolari 5 Minimizzazione Automi 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

52 Espressioni Regolari Automi Teorema Data un espressione regolare r, si può costruire un NFA N r tale che L[r] = L[N r ] Dim. per induzione r ɛ i f r a i a f Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

53 Espressioni Regolari Automi [... cont.] i s N[s] f s r s t i f i t N[t] f t r st i N[s] s f s /i N[t] t f t Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

54 Espressioni Regolari Automi [... cont.] r s i i N[s] s f s f Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

55 DFA Grammatiche Regolari Teorema Da un DFA M si può definire una grammatica regolare G M tale che L[M] = L[G M ] Dim. Sia M = Σ, Q, δ, q 0, F il DFA. La grammatica G M = Q, Σ, R, q 0 ha: non terminali NT = Q, stati di M; terminali T = Σ, alfabeto d ingresso di M; simbolo iniziale S = q 0 ; produzioni R: per ogni δ(q i, a) = q j : q i aq j R e q i a R se q j F Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

56 DFA Grammatiche Regolari [... cont.] Esempio dato B a a a A b D b b C b a la grammatica corrispondente G = {A, B, C, D}, {a, b}, A, R con R dato da A ab bc, B ab bc, C ad a bc, D ab bc Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

57 Grammatiche Espresioni Regolari Teorema Il linguaggio definito da una grammatica regolare G è un linguaggio regolare: è vuoto, oppure è possibile costruire un espressione regolare r G tale che L[G] = L[r G ] Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

58 Grammatiche Espresioni Regolari [... cont.] [Approfondimento 3.6] Grammatica definizione ricorsiva di un linguaggio (sistema di produzioni/equazioni) NT: variabili T: costanti Soluzione: (L Σ ) per la variabile S NT Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

59 Grammatiche Espresioni Regolari [... cont.] Esempio data A aa b c ɛ può essere considerata come un equazione tra linguaggi: L A = {a}l A {b} {c} {ɛ} soluzione (più piccola): A = a (b c ɛ) si sostituisce la ricorsione su A con la chiusura di Kleene e la si concatena con le alternative non ricorsive Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

60 Grammatiche Espresioni Regolari [... cont.] Esempio G con A simbolo distintivo e produzioni/equazioni A = aa bb c (1) B = ca ab d (2) risolviamo prima la (2): B = a (ca d) sostituendo B nella (1): A = aa b(a (ca d)) c = aa ba ca ba d c = (a ba c)a ba d c quindi: A = (a ba c) (ba d c) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

61 Grammatiche Espresioni Regolari [... cont.] Caso generale G regolare con NT = {A 1,..., A n } e T = Σ come sistema lineare di n equazioni in n incognite: A 1 = a 11 A 1 a 1n A n b 11 b 1p A 2 = a 21 A 1 a 2n A n b 21 b 2p. A n = a n1 A 1 a nn A n b n1 b np dove a ij e b hk sono elementi (non necessariamente distinti) di Σ Si parte da un A i S, si risolve e si sostituisce nelle altre eq. fino a risolvere per il simbolo distintivo (soluzione generale) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

62 Corrispondenza per i Linguaggi Regolari ESPRESSIONI REGOLARI NFA GRAMMATICHE REGOLARI DFA Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

63 Esercizi Esercizio Ricavare una grammatica dal DFA a,b F b A b C a b a a b E b B a D a [Approfondimento 3.5] Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

64 Esercizi [... cont.] Esercizio Sia G grammatica regolare con R dato da ricavare l ER corrispondente A ab bc, B ab bc, C ad a bc, D ab bc Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

65 Agenda 1 Espressioni Regolari 2 Automi a Stati Finiti 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze 5 Minimizzazione Automi Indistinguibilità Tabella a Scala 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

66 Indistinguibilità Siano q 1 e q 2 due stati di un DFA e x Σ x distingue q 1 e q 2 sse i. il cammino che parte da q 1 e consuma x arriva in q F, ma il cammino che parte da q 2 e consuma x arriva in q / F ii. oppure, viceversa, il cammino che parte da q 1 e consuma x arriva in q / F, e il cammino che parte da q 2 e consuma x arriva in q F q 1 e q 2 sono indistinguibili se nessuna x Σ li distingue La relazione di indistinguibilità è una relazione d equivalenza Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

67 Indistinguibilità [... cont.] Esempio A b a b Osservazione B C b a b a a D ɛ distingue ogni stato in F da ogni stato in Q \ F, quindi sono distinguibili: {A, D}, {B, D} e {C, D} a distingue B da C essendo δ(b, a) = B mentre δ(c, a) = D, e {B, D} già distinguibili e anche {A, C} e {C, D} b non distingue alcuna coppia A e B indistinguibili: da entrambi gli stati le stringhe che iniziano con a portano a B le stringhe che iniziano con b portano a C Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

68 Tabella a Scala Sia M = Σ, Q, δ, q 0, F un DFA. Un elemento (p, q) della tabella può contenere: nulla: p e q non sono ancora distinti; X : p e q sono distinguibili; alcune coppie (p, q ): se p e q sono distinguibili, allora tutte le (p, q ) saranno distinguibili Esempio q 1 q 2 q 3 q 0 q 1 q 2 Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

69 Tabella a Scala [... cont.] Algoritmo di riempimento della tabella 1 marca (X) ogni (p, q) tale che p F e q Q \ F o viceversa; 2 per ogni altra (p, q): se esiste un a Σ con (δ(p, a), δ(q, a)) già marcata con X: i. marca (p, q) con X; ii. marca con X tutte le coppie elencate in (p, q), e procedi ricorsivamente alla marcatura di tutte le coppie marcate in questo modo; altrimenti, per ogni a Σ tale che δ(p, a) δ(q, a), metti (p, q) nella lista di (δ(p, a), δ(q, a)) 3 sia J l insieme delle coppie che non contengono X 4 la relazione di indistinguibilità I Q Q sarà: I = J {(q, q) q Q} {(q, p) (p, q) J} chiusura riflessiva e simmetrica di J Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

70 Tabella a Scala [... cont.] a B a a (a) inizio (b) marca coppie distinte da ɛ (c) marca coppie distinte da a A b D b b b C a B C D A B C (a) B C D X X X A B C (b) B C X X D X X X A B C (c) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

71 Tabella a Scala [... cont.] Teorema Dato un DFA M = Σ, Q, δ, q 0, F, l algoritmo di riempimento della tabella a scala termina. Due stati p e q sono distinguibili se e solo se la casella (p, q) (ovvero (q, p)) è marcata con X. Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

72 Automa Minimo Dato il DFA M = Σ, Q, δ, q 0, F, l automa minimo equivalente è M min = Σ, Q min, δ min, [q 0 ], F min con: Q min = Q/I insieme delle classi di equivalenza [q] Q di I δ min ([q], a) = [δ(q, a)] F min = {[q] q F} Teorema Dato un DFA M = Σ, Q, δ, q 0, F, l automa M min riconosce lo stesso linguaggio di M, ed ha il minimo numero di stati tra tutti gli automi per questo linguaggio Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

73 Automa Minimo [... cont.] Esempio dato il DFA 0 1 A B A B A C C D B D D A E D F F G E G F G H G D da cui si ricava: la tabella a scala risultante è: B X C X X D X X X E X X X F X X X X G X X X X X H X X X X X X X A B C D E F G 0 1 A, G B, F A, G B, F A, G C, E C, E D B, F D D A, G Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

74 Automa Minimo [... cont.] Esempio DFA: [Ausiello et al.] a b tabelle a scala risultanti (iniziale/finale) 1 2 X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X X (3,6) 2 X X 3 X X X 4 X X (2,5) X 5 X X (0,1) X (2,4) 6 X X X (2,5) X X Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

75 Automa Minimo [... cont.] Indistinguibili I = {(0, 1), (2, 4), (2, 5), (4, 5), (3, 6)} quindi Q/I = {{0, 1}, {2, 4, 5}, {3, 6}} da cui si ricava: a b [0] [0] [2] [2] [2] [3] [3] [0] [2] Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

76 Agenda 1 Espressioni Regolari 2 Automi a Stati Finiti 3 Grammatiche Regolari 4 Corrispondenze 5 Minimizzazione Automi 6 Pumping Lemma linguaggi regolari Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

77 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari Teorema (Pumping Lemma linguaggi regolari) Sia L un linguaggio regolare. Esiste una costante N > 0 tale che, ogni z L con z N può essere suddivisa in tre sottostringhe z = uvw tali che (i) uv N; (ii) v ɛ; (iii) per ogni k 0, uv k w L Inoltre N è minore o uguale del numero di stati del DFA minimo che accetta L Osservazioni condizione necessaria ma non sufficiente da usare per dimostrare che un linguaggio non è regolare Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

78 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari [... cont.] Dim. (cenni) Si considera un DFA tale che L(M) = L con N = Q e z L, z = a 1 a 2 a l con l N Percorso d accettazione di z (sequenza di stati q (0), q (1),..., q (l) ): a q (0) 1 a q (1) 2 a i a i+1 a q (i) l q (l) con q 0 = q (0) e q (l) F Sono l + 1 stati ma z = l N = Q quindi c è (almeno) uno stato ripetuto nella sequenza: i, j {0,..., l} : q (i) = q (j) con i < j e (i + j) N Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

79 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari [... cont.] q (0) u a 1 a i q (i) q (j) w a j+1 a l q (l) v a i+1 a j z = uvw e q (l) F costituisce uno stato di accettazione per uvvw, uvvvw, ecc.,... dunque k 0 uv k w L(M) Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

80 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari [... cont.] Esempio L = {a n b n n 0} Supponiamo che sia regolare Deve valere il P.L. quindi si considera N 0 non noto, ma fissato Scegliamo uno specifico z tale che z N : z = a N b N Per ogni scomposizione z = uvw si ha che (i) uv N (ii) v 1 Quindi v = a h con 1 h N Scegliendo uno numero di ripetizioni di v pari a k = 2, risulta: z 2 = uvvw = a N+h b N / L che contraddice la tesi (iii) del P.L. Quindi L non può essere regolare Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

81 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari [... cont.] Esempio [Linz] Dimostrare che L = {w {a, b} n a (w) n b (w)} non è regolare. Si assuma, per assurdo, che L sia regolare. Allora, per un certo N, si consideri in modo che z > N. z = a N! b (N+1)! L In base al P.Lemma, u, v, w tali che z = uvw e uv N, v 1 i 0 : uv i w L Poiché dev essere k = v uv N, sarà v = a k. Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

82 Pumping Lemma per Linguaggi Regolari [... cont.] Quindi le stringhe gonfiate avranno la forma: a N! k (a k ) i b (N+1)! i = 0, 1,... Esse rientrano nel tipo a m b m L se N! k + ki = (N + 1)!, ossia se i = (N + 1)! N! + k k = ((N + 1) 1)N! k + k k = N N! k + 1 N ma ciò è sempre valido, essendo k N. Quindi L non può essere regolare. Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

83 Esercizi 1 Es.3, Cap.3: NFA da ab (a b) 2 DFA (minimo) dal NFA dell esercizio precedente 3 Grammatica dal DFA dell esercizio precedente 4 Dato L = {aaa} {a 2k k 0}, scrivere un NFA N tale che L(N) = L, ricavare un DFA M equivalente minimale e fornire la grammatica G tale che L[M] = L[G] = L 5 Es.1, Cap.3: Dimostrare che non sono regolari i linguaggi: i. {ww w {0, 1} } ii. {w {0, 1} n 0 (w) = n 1 (w)} iii. {ww R w {0, 1} } iv. {0 n 1 m n m 0} v. {1 m m primo} 6 Dimostrare che non sono regolari i linguaggi: i. {a n b k n > k > 0} ii. {a n b m c k n > k, n, m, k > 0} iii. {a n b m c k m > k, n, m, k > 0} Si vedano anche i testi consigliati sui ling. formali Analisi Lessicale: Linguaggi Regolari 18 mar, / 84

84 Riferimenti M. Gabbrielli, S. Martini: Linguaggi di programmazione. Principi e paradigmi, 2/e. McGraw-Hill. Cap. 3 [con gli Approfondimenti] Hopcroft, Motwani, Ullman: Automi, Linguaggi e Calcolabilità, Pearson Italia, 3/a Ed. [Capp. 1-7] Ausiello, d Amore, Gambosi: Linguaggi, Modelli, Complessità, FrancoAngeli Linz: An Introduction to Formal Languages and Automata, 5th Ed. Jones & Bartlett