Automi a stati finiti

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2 ommario Introduzione agli automi a stati finiti Concetti di base della teoria degli automi Tecniche di dimostrazione deterministici (DFA) non deterministici (NFA) non deterministici con ɛ-transizione (ɛ-nfa)

3 utomi a stati finiti Automa: Dispositivo capace di eseguire una seuenza di azioni/operazioni in modo automatico Automa a stati finiti: Automa con una memoria finita Automa stati finiti come modello per Software per la progettazione di circuiti digitali. Analizzatori lessicali di un compilatore. Ricerca di parole chiave in un file o sul web. Software per verificare i protocolli di comunicazione.

4 sempi Automa a stati finiti per un interruttore on/off Push Start off on Push Automa a stati finiti che riconosce la stringa then Start t h e n t th the then

5 appresentare automi a stati finiti Grafo: la piu semplice rappresentazione Nodi = stati Archi rappresentano transizioni Etichette sugli archi ci dicono cosa causa la transizione

6 oncetti di base della teoria degli automi Alfabeto: Insieme finito e non vuoto di simboli Esempio: Σ = {0, 1} alfabeto binario Esempio: Σ = {a, b, c,..., z} insieme di tutte le lettere minuscole Esempio: Insieme di tutti i caratteri ASCII Stringa: Seuenza finita di simboli presi da un alfabeto Σ Esempio: (stringa su Σ = {0, 1}) Stringa vuota: La stringa con zero occorrenze di simboli da Σ La stringa vuota e denotata con ɛ

7 Lunghezza di una stringa: Numero di posizioni per i simboli nella stringa w denota la lunghezza della stringa w 0110 = 4, ɛ = 0 Potenze di un alfabeto: Σ k = insieme delle stringhe di lunghezza k con simboli da Σ Example: Σ = {0, 1} Σ 1 = {0, 1} Σ 2 = {00, 01, 10, 11} Σ 0 = {ɛ} Domanda: Quante stringhe ci sono in Σ 3?

8 L insieme di tutte le stringhe su Σ e denotato da Σ Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2 Anche: Σ + = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Σ = Σ + {ɛ} Concatenazione: Se x e y sono stringhe, allora xy e la stringa ottenuta mettendo una copia di y immediatamente dopo una copia di x x = a 1 a 2... a i, y = b 1 b 2... b j xy = a 1 a 2... a i b 1 b 2... b j Esempio: x =01101, y = 110, xy = Nota: Per ogni stringa x xɛ = ɛx = x

9 inguaggi Linguaggio: insieme di stringhe scelte da Σ, dove Σ e un alfabeto. L Σ e un linguaggio. Esempi di linguaggi: L insieme delle parole italiane legali L insieme dei programmi C legali L insieme delle stringhe che consistono di n zeri seguiti da n uni, con n 0 {ɛ, 01, 0011, ,...} L insieme delle stringhe con un numero uguale di zeri e di uni {ɛ, 01, 10, 0011, 0101, 1001,...} L insieme dei numeri binari il cui valore e primo L P = {10, 11, 101, 111, 1011,...}

10 ltri esempi di linguaggi Il linguaggio vuoto che non contiene nessuna stringa Il linguaggio {ɛ} consiste della stringa vuota Nota: {ɛ} Nota: L alfabeto Σ e sempre finito

11 roblemi Problema: Sia Σ un alfabeto, w Σ e L un linguaggio, w L? La stringa w e un elemento di un linguaggio L? Esempio: Dato un numero binario, e primo = e un elemento di L P?

12 imostrazioni deduttive Seuenza di enunciati la cui verita porta da un enunciato iniziale (l ipotesi) ad un enunciato finale (la conclusione) Forma del teorema: Se H, allora C (H C, H implica C) H= ipotesi, C= conclusione Teorema: se x 4, allora 2 x x 2 x parametro uantificato universalmente (vale per tutti gli x)

13 Teoremi della forma C1 se e solo se C2 : due direzioni di prova. (Si deve provare che: C 1 C 2 e C 2 C 1 ) Dimostrazione per assurdo di teoremi della forma H C H e non C implica il falso Controesempio: per dimostrare che un teorema non vale basta provare che in un caso non vale Esercizio: E vero che se x e un numero primo allora x e dispari? No, infatti 2 e numero primo ma non e dispari

14 imostrazioni per induzione Utili uando ci sono cose definite ricorsivamente Esempio: 0 e un intero e se n e un intero allora n+1 e un intero Induzione sugli interi: dobbiamo dimostrare un enunciato S(n) su un intero n Base: dimostriamo S(i) per un intero particolare i (0 o 1 di solito) Passo induttivo: si suppone n i, si dimostra che se vale S(n) allora vale S(n + 1) Possiamo concludere che S(n) e vero per ogni n i

15 sempio - dimostrazione per induzione Se x 4, allora 2 x x 2 Base: x = 4 2 x = 2 4 = 16 e x 2 = 4 2 = 16 Induzione: Si suppone che per x 4, 2 x x 2 (ipotesi induttiva) Dobbiamo dimostrare che 2 x+1 (x + 1) 2 Abbiamo: 2 x+1 = 2 x 2 x 2 2 = 2x 2 (per ipotesi induttiva) Dimostriamo adesso che 2x 2 (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 Cioe dimostriamo che x 2 2x + 1 Cioe, semplificando (divido per x), dimostriamo che x 2 + 1/x Se x 4, allora 1/x 1/4 e uindi 2 + 1/x 2.25 Quindi se x 4, allora x 2 + 1/x Abbiamo dimostrato che se x 4, allora 2 x x 2

16 nduzione strutturale Molte strutture possono essere definite ricorsivamente Espressioni: caso base: ualunue numero o lettera e un espressione caso induttivo: se E e F sono espressioni, allora lo sono anche E + F, E F e (E) Esempi: 3+(4x2), (2x(5+7))x4 Per dimostrare teoremi su una struttura X: si dimostra l enunciato sul caso base della def. di X, poi si suppone che l enunciato sia vero sulle strutture di cui X e composta secondo la definizione ricorsiva si dimostra l enunciato sulla struttura X

17 sempio Dimostrare con induzione strutturale che ogni espressione ha un numero uguale di parentesi aperte e chiuse Caso base: un carattere ha zero parentesi aperte e zero parentesi chiuse vero Induzione: Suppongo che E e F hanno un numero uguale di parentesi aperte e chiuse. Devo dimostrare che E + F, E F e (E) hanno un numero uguale di parentesi aperte e chiuse Per E + F e E F : se vale l enunciato per E e F, supponiamo che E abbia n parentesi aperte e chiuse e F ne abbia m E + F ne ha n + m parentesi aperte e n + m parentesi chiuse Per (E): se vale per E, supponiamo che E abbia n parentesi aperte e n chiuse (E) ha n + 1 parentesi aperte e n + 1 parentesi chiuse

18 nduzione mutua Non e sempre possibile dimostrare un singolo enunciato per induzione Si devono dimostrare congiuntamente un gruppo di enunciati S 1 (n), S 2 (n),..., S k (n) per induzione su n.

19 ommario Introduzione agli automi a stati finiti Concetti di base della teoria degli automi Tecniche di dimostrazione deterministici (DFA) non deterministici (NFA) non deterministici con ɛ-transizione (ɛ-nfa)

20 utomi a stati finiti deterministici Un DFA e una uintupla A = (Q, Σ, δ, 0, F ) Q e un insieme finito di stati Σ e un alfabeto finito (= simboli di input) δ e una funzione di transizione: Q Σ Q, (, a) p 0 Q e lo stato iniziale F Q e un insieme di stati finali (o stati accettanti)

21 sempio Esempio: Un automa A che accetta L = {x01y : x, y {0, 1} } L automa A = ({ 0, 1, 2 }, {0, 1}, δ, 0, { 1 }) come una tabella di transizione: L automa come un diagramma di transizione: Start , 1

22 ccettazione Un automa a stati finiti (FA) accetta una stringa w = a 1 a 2 a n se esiste un cammino nel diagramma di transizione che 1 Inizia nello stato iniziale 2 Finisce in uno stato finale (di accettazione) 3 Ha una seuenza di etichette a 1 a 2 a n Esercizio: Il DFA Start , 1 accetta la stringa 01101?

23 inguaggio accettato La funzione di transizione δ puo essere estesa a ˆδ che opera su stati e stringhe (invece che su stati e simboli) Base: ˆδ(, ɛ) = Induzione: ˆδ(, xa) = δ(ˆδ(, x), a) Formalmente, il linguaggio accettato da A e L(A) = {w Σ : ˆδ( 0, w) F } I linguaggi accettati da automi a stati finiti sono detti linguaggi regolari

24 sercizio Costruire un DFA A che accetta tutte e sole le stringhe con un numero pari di zeri e un numero pari di uni

25 sercizio Costruire un DFA A che accetta tutte e sole le stringhe con un numero pari di zeri e un numero pari di uni Start

26 sempio Start Rappresentazione tabulare dell automa

27 sercizio Start w = 0101 L(A)? Sì, poichè ˆδ( 0, 0101) è uno stato accettante. ˆδ( 0, ɛ) = 0 ˆδ( 0, 0) = δ(ˆδ( 0, ɛ), 0) = δ( 0, 0) = 2 ˆδ( 0, 01) = δ(ˆδ( 0, 0), 1) = δ( 2, 1) = 3 ˆδ( 0, 010) = δ(ˆδ( 0, 01), 0) = δ( 3, 0) = 1 ˆδ( 0, 0101) = δ(ˆδ( 0, 010), 1) = δ( 1, 1) = 0

28 sercizi DFA A per i seguenti linguaggi sull alfabeto {0, 1}: 1 Insieme di tutte le strighe che finiscono con 00 2 Insieme di tutte le stringhe con tre zeri consecutivi 3 Insieme delle stringhe con 011 come sottostringa 4 Insieme delle stringhe che cominciano o finiscono (o entrambe le cose) con 01

29 sercizi Ex.5 - Primo Compitino 2013 Sia L = {w {0, 1} tale che w ha esattamente una sola occorrenza della sottostringa 00} 1 Disegnare il diagramma di transizione di un DFA che riconosce L. 2 Caratterizzare gli stati con una breve descrizione a parole (cioè per ogni stato descrivere le stringhe che portano ad esso). 3 Assumendo di aver già dimostrato che gli stati non accettanti sono caratterizzati dalle stringhe descritte al punto precedente, dimostrare per mutua induzione che: (1) se w L allora w L(A) (2) se w L(A) allora w L. Esercizi per casa: tutti gli esercizi delle dispense sui DFA

30 ommario Introduzione agli automi a stati finiti Concetti di base della teoria degli automi Tecniche di dimostrazione deterministici (DFA): esercizi non deterministici (NFA): definizioni non deterministici con ɛ-transizione (ɛ-nfa)

31 sercizi su DFA Costruire un DFA per il seguente linguaggi sull alfabeto {0, 1}: Insieme delle stringhe che cominciano o finiscono (o entrambe le cose) con 01 Definire il linguaggio accettato dai DFA descritti alla lavagna sull alfabeto {a, b} Sia L = {w {0, 1} tale che w ha esattamente una sola occorrenza della sottostringa 00} Assumendo di aver già dimostrato che gli stati non accettanti sono caratterizzati dalle stringhe descritte al punto precedente, dimostrare per mutua induzione che: (1) se w L allora w L(A) (2) se w L(A) allora w L.

32 utomi a stati finiti non deterministici (NFA) Un NFA puo essere in vari stati nello stesso momento Esempio: un automa che accetta tutte e solo le stringhe che finiscono in 01. 0, 1 Start Ecco cosa succede uando l automa elabora l input (stuck) 2 (stuck)

33 efinizione formale di NFA Formalmente, un NFA e una uintupla A = (Q, Σ, δ, 0, F ) Q e un insieme finito di stati Σ e un alfabeto finito δ e una funzione di transizione Q Σ 2 Q (cioe l insieme dei sottoinsiemi di Q), (, a) {p 1, p 2,..., p n }, n 1 0 Q e lo stato iniziale F Q e un insieme di stati finali

34 sempio L NFA appena visto 0, 1 Start e definito da ({ 0, 1, 2 }, {0, 1}, δ, 0, { 2 }) dove δ e la funzione di transizione { 0, 1 } { 0 } 1 { 2 } 2

35 inguaggio accettato da un NFA Funzione di transizione estesa ˆδ. Base: ˆδ(, ɛ) = {} Induzione: ˆδ(, xa) = δ(p, a) p ˆδ(,x) Il linguaggio accettato da A e L(A) = {w Σ : ˆδ( 0, w) F }

36 sempio 0, 1 Start La stringa 001 appartiene a L(A)? ˆδ( 0, ɛ) = { 0 } ˆδ( 0, 0) = δ( 0, 0) = { 0, 1 } ˆδ( 0, 00) = δ( 0, 0) δ( 1, 0) = { 0, 1 } = { 0, 1 } ˆδ( 0, 001) = δ( 0, 1) δ( 1, 1) = { 0 } { 2 } = { 0, 2 } contiene 2 accettante uindi 001 L(A)

37 ommario Introduzione agli automi a stati finiti Concetti di base della teoria degli automi Tecniche di dimostrazione deterministici (DFA) non deterministici (NFA): teoremi non deterministici con ɛ-transizione (ɛ-nfa)

38 uivalenza di DFA e NFA Gli NFA sono di solito piu facili da programmare. Per ogni NFA N c e un DFA D, tale che L(D) = L(N), e viceversa. Per dimostrarlo si usa una construzione a sottonsiemi. Dato un NFA N = (Q N, Σ, δ N, 0, F N ) costruiremo un DFA D = (Q D, Σ, δ D, { 0 }, F D ) tali che L(D) = L(N)

39 I dettagli della costruzione a sottoinsiemi: Q D = {S : S Q N }. Nota: Q D = 2 Q N, anche se la maggior parte degli stati in Q D sono garbage, cioe non raggiungibili dallo stato iniziale. F D = {S Q N : S F N } Per ogni S Q N e a Σ, δ D (S, a) = p S δ N (p, a)

40 0, 1 Start Costruiamo δ D dall NFA sopra: 0 1 { 0 } { 0, 1 } { 0 } { 1 } { 2 } { 2 } { 0, 1 } { 0, 1 } { 0, 2 } { 0, 2 } { 0, 1 } { 0 } { 1, 2 } { 2 } { 0, 1, 2 } { 0, 1 } { 0, 2 } In particolare: δ D ({ 0 }, 0)= δ N ( 0, 0) = { 0, 1 } δ D ({ 0 }, 1)= δ N ( 0, 1) = { 0 } δ D ({ 0, 1 }, 0) = δ N ( 0, 0) δ N ( 1, 0) = { 0, 1 } = { 0, 1 } δ D ({ 0, 1 }, 1)= δ N ( 0, 1) δ N ( 1, 1) = { 0 } { 2 } = { 0, 2 }...

41 Nota: Gli stati di D corrispondono a sottoinsiemi di stati di N, ma potevamo denotare gli stati di D in un altro modo, per esempio A,..., F. 0 1 A A A B E B C A D D A A E E F F E B G A D H E F

42 Possiamo spesso evitare la crescita esponenziale degli stati costruendo la tabella di transizione per D solo per stati accessibili S come segue: Base: S = { 0 } e accessibile in D Induzione: Se lo stato S e accessibile, anche gli stati in a Σ δ D(S, a) sono accessibili. Esempio: Il DFA con stati accessibili solamente. 1 0 Start 0 1 { {, {, 0} } } 2 0 1

43 Teorema 2.11: Sia D il DFA ottenuto da un NFA N con la costruzione a sottoinsiemi. Allora L(D) = L(N). Prova: L(N) = {w Σ ˆδ N ( 0, w) F N } L(D) = {w Σ ˆδ D ({ 0 }, w) F D } = {w Σ ˆδ D ({ 0 }, w) F N } Per provare L(D) = L(N) basta provare che, w, ˆδ D ({ 0 }, w) = ˆδ N ( 0, w) (1) Mostriamo l enunciato (1) per induzione su w Base: w = ɛ. ˆδ D ({ 0 }, ɛ) = { 0 } per definizione di ˆδ D ˆδ N ( 0, ɛ) = { 0 } per definizione di ˆδ N Ip. Induttiva: L enunciato (1) vale w con w n

44 Passo Induttivo: Devo dimostrare che l enunciato (1) vale per w con w = n + 1. Sia w = xa. ˆδ D ({ 0 }, xa) def = δ D (ˆδ D ({ 0 }, x), a) i.h. = δ D (ˆδ N ( 0, x), a) cst = p ˆδ N ( 0,x) δ N (p, a) Ora segue che L(D) = L(N). def = ˆδ N ( 0, xa)

45 Teorema 2.12: Un linguaggio L e accettato da un DFA L e accettato da un NFA. Prova: La parte e il Teorema Per la parte notiamo che un ualsiasi DFA puo essere convertito in un NFA euivalente modificando la δ D in δ N secondo la regola seguente: Se δ D (, a) = p, allora δ N (, a) = {p}. Si puo mostrare per induzione su w che se ˆδ D ( 0, w) = p, allora ˆδ N ( 0, w) = {p}. L enunciato del teorema segue.

46 sercizi su NFA Esercizio 3 - I compitino 2013: Dato il seguente NFA: N=({ 0, 1 },{0, 1},δ N, 0, { 1 }), dove δ N ( 0, 0) = { 0, 1 }, δ N ( 0, 1) = { 1 }, δ N ( 1, 0) =, δ N ( 1, 1) = { 0, 1 }. 1 Verificare se le stringhe w 1 = 101 e w 2 = 0010 vengono o meno accettate dall automa mostrando tutti i passaggi. 2 Costruire il diagramma di transizione del DFA euivalente all NFA dato 3 Descrivere a parole il linguaggio accettato dall automa (suggerimento: è più facile osservando il DFA).

47 sercizi su NFA Esercizio 3 (1): w 1 = 101 e w 2 = 0010 accettate dall NFA N? w 1 = 101 L(A)? δˆ N ( 0, ɛ) = { 0 } δˆ N ( 0, 1) = δ N ( 0, 1) = { 1 } δˆ N ( 0, 10) = δ N ( 1, 0) = uindi w 1 = 101 L(A) w 2 = 0010 L(A)? δˆ N ( 0, ɛ) = { 0 } δˆ N ( 0, 0) = δ N ( 0, 0) = { 0, 1 } δˆ N ( 0, 00) = δ N ( 0, 0) δ N ( 1, 0) = { 0, 1 } = { 0, 1 } δˆ N ( 0, 001) = δ N ( 0, 1) δ N ( 1, 1) = { 1 } { 0, 1 } = { 0, 1 } δˆ N ( 0, 0010) = δ N ( 0, 0) δ N ( 1, 0) = { 0, 1 } = { 0, 1 } Poiche { 0, 1 } 1, w 2 = 0010 L(A)

48 sercizi su NFA Esercizio 3 (2) Costruire il diagramma di transizione del DFA euivalente all NFA dato? δ D ({ 0 }, 0)= δ N ( 0, 0) = { 0, 1 } δ D ({ 0 }, 1)= δ N ( 0, 1) = { 1 } δ D ({ 0, 1 }, 0)= δ N ( 0, 0) δ N ( 1, 0) = { 0, 1 } = { 0, 1 } δ D ({ 0, 1 }, 1)= δ N ( 0, 1) δ N ( 1, 1) = { 1 } { 0, 1 } = { 0, 1 } δ D ({ 1 }, 0)= δ N ( 1, 0) = δ D ({ 1 }, 1)= δ N ( 1, 1) = { 0, 1 } Disegnare graficamente il diagramma: { 0 } stato iniziale, { 0, 1 } e { 1 } stati accettanti Esercizio 3 (3) Descrivere il linguaggio accettato dall automa L(A) = {w {0, 1} + w = 1 o w = 0x o w = 11y, x, y {0, 1} }

49 sercizi su NFA Esercizi per casa: Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 con due 0 consecutivi o con due 1 consecutivi Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di a e di b e di c composte da zero o piu a seguite da zero o piu b seguite da zero o piu c Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 tale che almeno uno degli ultimi tre simboli e 1 Esercizi e del libro: Convertire in un DFA un NFA dato Esercizi delle dispense su NFA

50 utomi a stati finiti non deterministici con ɛ-transizione ɛ-nfa) Sono un estensione degli NFA dove permetto transizioni anche sulla stringa vuota Accettano sempre i linguaggi regolari Sono piu facili da progettare degli NFA

51 efinizione Un ɛ-nfa e una uintupla (Q, Σ, δ, 0, F ) Q e un insieme finito di stati Σ e un alfabeto finito δ e una funzione da Q Σ {ɛ} 2 Q 0 Q e lo stato iniziale F Q e un insieme di stati finali

52 pplicazione: NFA e ɛ-nfa per ricerche testuali NFA e ɛ NFA molto usati per la ricerca di un pattern in un testo Esempio: Costruire un NFA che accetta l insieme delle parole chiave {web, ebay} Esempio: Costruire un ɛ-nfa che accetta l insieme delle parole chiave {web, ebay}

53 sempio di ɛ-nfa Un ɛ-nfa che accetta numeri decimali consiste di: 1 Un segno + o -, opzionale 2 Una stringa di cifre decimali 3 un punto decimale 4 un altra stringa di cifre decimali Una delle stringhe (2) e (4) sono opzionali Start 0,1,...,9 0,1,...,9 ε,+, ε ,1,...,9 0,1,...,9 4.

54 sempio di ɛ-nfa Start 0,1,...,9 0,1,...,9 ε,+,- ε ,1,...,9 0,1,...,9 4. E = ({ 0, 1,..., 5 }, {., +,, 0, 1,..., 9}, δ, 0, { 5 }) dove la tabella delle transizioni per δ e ɛ +,-. 0,..., 9 0 { 1 } { 1 } 1 { 2 } { 1, 4 } 2 { 3 } 3 { 5 } { 3 } 4 { 3 } 5

55 psilon-chiusura Chiudiamo uno stato aggiungendo tutti gli stati raggiungibili da lui tramite una seuenza ɛɛ ɛ Definizione induttiva di ECLOSE() Base: ECLOSE() Induzione: p ECLOSE() and r δ(p, ɛ) r ECLOSE() Si puo applicare ECLOSE anche a un insieme S di stati ECLOSE(S) = S ECLOSE()

56 sempio di epsilon-chiusura ε ε ε 1 b ε a ε Per esempio, ECLOSE(1) = {1, 2, 3, 4, 6}

57 Definizione induttiva di ˆδ per automi ɛ-nfa Base: ˆδ(, ɛ) = ECLOSE() Induzione: ˆδ(, xa) = ECLOSE(p) p δ(t,a), t ˆδ(,x) Linguaggio accettato da un ɛ-nfa A = (Q, Σ, δ, 0, F ) L(A) = {w Σ ˆδ( 0, w) F }

58 sercizio Start 0,1,...,9 0,1,...,9 ε,+,- ε ,1,...,9 0,1,...,9 4. Esercizio: 5.6 L(E)? ˆδ( 0, ɛ) = ECLOSE( 0 )={ 0, 1 } ˆδ( 0, 5) = ECLOSE( 1 ) ECLOSE( 4 )= { 1, 4 } ˆδ( 0, 5.)= ECLOSE( 2 ) ECLOSE( 3 )= { 2, 3, 5 } ˆδ( 0, 5.6) = ECLOSE( 3 ) = { 3, 5 } 5.6 L(E) poiche ˆδ( 0, 5.6) 5

59 ommario Introduzione agli automi a stati finiti Concetti di base della teoria degli automi Tecniche di dimostrazione deterministici (DFA) non deterministici (NFA): esercizi non deterministici con ɛ-transizione (ɛ-nfa): teoremi ed esercizi

60 sercizi su NFA 1 Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 con due 0 consecutivi o con due 1 consecutivi 2 Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di a e di b e di c composte da zero o piu a seguite da zero o piu b seguite da zero o piu c 3 Costruire un NFA che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 tale che almeno uno degli ultimi tre simboli e 1

61 ipasso: Epsilon-chiusura Chiudiamo uno stato aggiungendo tutti gli stati raggiungibili da lui tramite una seuenza ɛɛ ɛ Definizione induttiva di ECLOSE() Base: ECLOSE() Induzione: p ECLOSE() and r δ(p, ɛ) r ECLOSE() Si puo applicare ECLOSE anche a un insieme S di stati ECLOSE(S) = S ECLOSE()

62 ipasso: ˆδ, L(E) Definizione induttiva di ˆδ per automi ɛ-nfa Base: ˆδ(, ɛ) = ECLOSE() Induzione: ˆδ(, xa) = ECLOSE(p) p δ(t,a), t ˆδ(,x) Linguaggio accettato da un ɛ-nfa A = (Q, Σ, δ, 0, F ) L(A) = {w Σ ˆδ( 0, w) F }

63 a ɛ-nfa a DFA Dato un ɛ-nfa E = (Q E, Σ, δ E, 0, F E ) costruiremo un DFA D = (Q D, Σ, δ D, D, F D ) tale che L(D) = L(E) Dettagli della costruzione: Q D = {S : S Q E e S = ECLOSE(S)} D = ECLOSE( 0 ) F D = {S : S Q D e S F E } δ D (S, a) = p δ E (t,a),t S ECLOSE(p)

64 sempio ɛ-nfa E Start 0,1,...,9 0,1,...,9 ε,+, ε ,1,...,9 0,1,...,9 4. Costruiamo DFA D corrispondente ad E: Si calcola D (stato iniziale) Per ogni stato S accessibile da D si calcola la funzione di transizione δ D (S, a), a Σ = {., +,, 0, 1,..., 9} D = ECLOSE( 0 ) = { 0, 1 } δ D ({ 0, 1 }, +)= ECLOSE(δ E ( 0, +)) ECLOSE(δ E ( 1, +)) = ECLOSE({ 1 }) ECLOSE( ) = { 1 } = { 1 } Completarlo per casa

65 sempio ɛ-nfa E Start DFA D corrispondente ad E 0,1,...,9 0,1,...,9 4. 0,1,...,9 0,1,...,9 0,1,...,9 ε,+, ε ,1,...,9 +,- {, } { } {, } { ,1,...,9., 3, 5 } Start.. 0,1,...,9 { 2 } { 3, 5 } 0,1,...,9 0,1,...,9

66 Teorema 2.22: Un linguaggio L e accettato da un ɛ-nfa E L e accettato da un DFA. Prova: ( =) Trasformiamo un DFA D in un ɛ-nfa aggiungendo la transizione δ E (, ɛ) =, in D in D e a Σ la transizione δ D (, a) = p diventa δ E (, a) = {p} Poiche le transizioni di D e E sono le stesse si conclude che L(E) = L(D). (= ) Usiamo D costruito come sopra. L(E) = {w Σ ˆδ E ( 0, w) F E } L(D) = {w Σ ˆδ D ( D, w) F D } = {w Σ ˆδ D ( D, w) F E } Per dimostrare che L(D) = L(E) basta mostrare per induzione su w che ˆδ E ( 0, w) = ˆδ D ( D, w) Base: ˆδ E ( 0, ɛ) def = ECLOSE( 0 ) cst = D def = ˆδ D ( D, ɛ)

67 Ip. induttiva: ˆδ E ( 0, x) = ˆδ( D, x) Induzione: ˆδ D ( D, xa) def = δ D (ˆδ D ( D, x), a) ip.ind = δ D (ˆδ E ( 0, x), a) cst = p δ E (t,a), t ˆδ E ( 0,x) ECLOSE(p) def = ˆδ E ( 0, xa)

68 sercizi su ɛ-nfa 1 Costruire un ɛ-nfa che accetta l insieme delle stringhe di a e di b e di c composte da zero o piu a seguite da zero o piu b seguite da zero o piu c 2 Costruire un ɛ-nfa che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 formate da 01 ripetuto una o piu volte o da 010 ripetuto una o piu volte 3 Costruire un ɛ-nfa che accetta l insieme delle stringhe di 0 e di 1 tale che almeno uno degli ultimi tre simboli e 1 4 Esercizi e del libro Dato un ɛ-nfa E Calcolare l ɛ-close di ogni stato di E Elencare tutte le stringhe di lunghezza minore o uguale a 3 accettate da E Trasformare E in un DFA euivalente 5 Esercizi delle dispense su ɛ-nfa