Espressioni regolari. Espressioni regolari

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Monica Milani
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2 spressioni regolari Un FA (NFA o DFA) e un metodo per costruire una macchina che riconosce linguaggi regolari. Una espressione regolare e un modo dichiarativo per descrivere un linguaggio regolare. Esempio: Le espressioni regolari sono usate, ad esempio, in comandi UNIX (grep) strumenti per l analisi lessicale di UNIX (Lex (Lexical analyzer generator) e Flex (Fast Lex)).

3 perazioni sui linguaggi Unione: L M = {w : w L o w M} Concatenazione: L.M = {w : w = xy,x L,y M} Potenze: L 0 = {ǫ}, L 1 = L, L k+1 = L.L k Chiusura di Kleene: L = L i i=0

4 Definizione induttiva di espressioni regolari Base: ǫ e sono espressioni regolari. L(ǫ) = {ǫ} e L( ) =. Se a Σ, allora a e un espressione regolare. L(a) = {a}. Induzione: Se E e un espressione regolare, allora (E) e un espressione regolare. L((E)) = L(E). Se E e F sono espressioni regolari, allora E + F e un espressione regolare. L(E + F) = L(E) L(F). Se E e F sono espressioni regolari, allora E.F e un espressione regolare. L(E.F) = L(E).L(F). Se E e un espressione regolare, allora E e un espressione regolare. L(E ) = (L(E)).

5 sempio Espressione regolare per L = {w {0,1} : 0 e 1 alternati in w} o, equivalentemente, (01) + (10) + 0(10) + 1(01) (ǫ + 1)(01) (ǫ + 0)

6 rdine di precedenza per gli operatori 1 Chiusura 2 Concatenazione (punto) 3 Piu (+) Esempio: e raggruppato in (0(1) ) + 1

7 quivalenza di FA e espr. regolari Abbiamo gia mostrato che DFA, NFA, e ǫ-nfa sono tutti equivalenti. -NFA NFA RE DFA Per mostrare che gli FA sono equivalenti alle espressioni regolari, mostreremo che 1 Per ogni DFA A possiamo trovare (costruire, in questo caso) un espressione regolare R, tale che L(R) = L(A). 2 Per ogni espressione regolare R esiste un ǫ-nfa A, tale che L(A) = L(R).

8 a tecnica di eliminazione di stati Etichettiamo gli archi con espressioni regolari di simboli R 1m q 1 p 1 Q 1 R 11 S P 1 s q k Q k R km P m p m R k1

9 Ora eliminiamo lo stato s. R + 11 Q 1 S* P 1 q 1 p 1 R 1m + Q 1 S* P m q k R k1 + Q k S* P 1 R km + Q k S* P m p m Per lo stato accettante q eliminiamo dall automa originale tutti gli stati eccetto q 0 e q.

10 Per ogni q F saremo rimasti con A q della forma Start R S U T e che corrisponde all espressione regolare E q = (R + SU T) SU o con A q della forma Start R che corrisponde all espressione regolare E q = R L espressione finale e q F E q

11 sempio A, dove L(A) = {W : w = x1b, o w = x1bc, x {0,1}, {b,c} {0,1}} 0,1 Start 1 0,1 0,1 A B C D La trasformiamo in un automa con espressioni regolari come etichette Start A B C D

12 sempio Start A B C D Eliminiamo lo stato B Start A 1( 0 + 1) C D Poi eliminiamo lo stato C e otteniamo A D Start A 1( 0 + 1) ( 0 + 1) D con espressione regolare (0 + 1) 1(0 + 1)(0 + 1)

13 sempio Da Start A 1( 0 + 1) C D possiamo eliminare D e ottenere A C Start A 1( 0 + 1) C con espressione regolare (0 + 1) 1(0 + 1) L espressione finale e la somma delle due espressioni regolari precedenti: (0 + 1) 1(0 + 1)(0 + 1) + (0 + 1) 1(0 + 1)

14 a espressioni regolari a ǫ-nfa Teorema 3.7: Per ogni espressione regolare R possiamo costruire un ǫ-nfa A, tale che L(A) = L(R). Prova: Per induzione strutturale: Base: Automa per ǫ,, e a. (a) (b) a (c)

15 Induzione: Automa per R + S, RS, e R R S (a) R S (b) R (c)

16 sempio Trasformiamo (0 + 1) 1(0 + 1) 0 1 (a) 0 1 (b)

17 sempio (b) Start (c)

18 eggi algebriche per i linguaggi L M = M L. L unione e commutativa. (L M) N = L (M N). L unione e associativa. (LM)N = L(MN). La concatenazione e associativa. Nota: La concatenazione non e commutativa, cioe, esistono L e M tali che LM ML.

19 L = L = L. e l identita per l unione. {ǫ}l = L{ǫ} = L. {ǫ} e l identita sinistra e destra per la concatenazione. L = L =. e l annichilatore sinistro e destro per la concatenazione.

20 L(M N) = LM LN. La concatenazione e distributiva a sinistra sull unione. (M N)L = ML NL. La concatenazione e distributiva a destra sull unione. L L = L. L unione e idempotente. = {ǫ}, {ǫ} = {ǫ}. L + = LL = L L, L = L + {ǫ}

21 (L ) = L. La chiusura e idempotente. Prova: ( ) i w (L ) w L j i=0 j=0 k,m N : w (L m ) k p N : w L p w i=0 w L L i

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