sia per richiamare specificatamente i dettagli di una funzione

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1 MATLAB Matlab è un linguaggio ad alto rimento per la computazione tecnica. Esso integra il calcolo, la visualizzazione e la programmazione in un ambiente di facile impiego in cui i problemi e le soluzioni sono espresse attraverso una notazione matematica familiare. I programmi e gli script di Matlab hanno estensione.m. Il linguaggio di programmazione è estremamente semplice e maneggevole in quanto l elemento di base è una matrice, infatti una variabile numerica viene considerata una matrice. Ciò permette la risoluzione di molti problemi di calcolo tecnici, in particolare quelli con le formulazioni vettoriali e matriciali, attraverso algoritmi più semplici e snelli rispetto a quelli che sarebbero necessari in un programma in linguaggio scalare non interattivo, quali, ad esempio, il C. Un aiuto immediato può essere richiamato direttamente dal prompt dei comandi (una doppia parentesi acuta), sia per listare tutti i possibili comandi >> help sia per richiamare specificatamente i dettagli di una funzione >> help fft FFT Discrete Fourier transform. FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. For matrices, the FFT operation is applied to each column. For N-D arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton dimension. FFT(X,N) is the N-point FFT, padded with zeros if X has less than N points and truncated if it has more. FFT(X,[],DIM) or FFT(X,N,DIM) applies the FFT operation across the dimension DIM. For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, with elements N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-)*(n-)/n), <= k <= N. n=

2 II The inverse DFT (computed by IFFT) is given by N x(n) = (/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-)*(n-)/n), <= n <= N. k= See also IFFT, FFT2, IFFT2, FFTSHIFT.. Numeri e variabili Matlab ha diverse tipologie di matrici implementate. Ad esempio una matrice 6 6 di numeri casuali può essere generata con il seguente comando >> rand(6) Una matrice 3 7 di numeri casuali può essere generata nel seguente modo >> rand(3,7) Una matrice di Hilbert 9 9 può essere costruita usando il seguente comando >> hilb(9) mentre un quadrato magico di Durer 7 7, ovvero una matrice la cui somma per righe e per colonne da sempre lo stesso valore, può essere generato digitando il seguente comando >> magic(7) Altre matrici, molto note nel calcolo matriciale, possono facilmente essere prodotte, come nell esempio che segue >> eye(3,3) >> ones(3,2) >> zeros(2,3) Le matrici possono essere anche riempite con numeri direttamente immessi da tastiera nel seguente modo >> A = [ 2 3; 4 5 6; 7 8 9] o, equivalentemente

3 MATLAB III >> A = [ ] Una volta fornita la matrice, essa è registrata automaticamente nel workspace di Matlab. Ora si può indicarla semplicemente come A e realizzare tutte le operazioni volute, ad esempio >> sum(a) produce il vettore riga costituito dalla somma delle colonne di A, mentre >> A produce la matrice trasposta. La diagonale e la traccia di A si calcolano con i seguenti comandi >> diag(a) 5 9 >> trace(a) 5 L altra diagonale, denominata antidiagonale, non presenta un istruzione apposita. Quindi per poterla rilevare è necessaria far uso di un ulteriore istruzione, fliplr che riporta una matrice da sinistra a destra. >> diag(flipr(a)) E possibile indicare un singolo elemento di una matrice specificando gli indici corrispondenti, ad esempio >> A(2,3) 8 è l elemento della matrica A che corrisponde alla posizione: seconda riga, terza colonna. Se si chiede un elemento non presente nella matrice, viene evidenziato un messaggio d errore

4 IV >> x = A(3,4) Index exceeds matrix dimensions Un elemento, però, può anche essere aggiunto ad una matrice >> x = A; >> x(3,4) = L operatore : (due punti) seleziona consecutivamente i valori compresi tra un minimo e un massimo >> : E possibile anche specificare un incremento/decremento specifico >> 2:-.: L operatore due punti può anche servire a specificare una serie di elementi di una matrice >> A(:3,3) Matlab ha alcune variabili già implementate, come pi, eps oppure ans, il cui valore è visibile insero il comando rispettivo sul prompt >> pi 3.46 >> eps 2,224e-6 >> help eps In qualsiasi momento è possibile verificare quali variabili sono in uso tramite il comando whos >> whos Name Size Bytes Class A 3x3 72 double array

5 MATLAB V Quando Matlab incontra un nome variabile nuovo, crea automaticamente la variabile, ad esempio il comando >> voto = 3; crea nel workspace di Matlab una variabile di nome voto a cui viene associato il valore 3. Se la variabile già esiste, Matlab sovrascrive i suoi contenuti, ad esempio >> voto = 3; >> voto = 9; >> who voto= 9 Attenzione: Matlab è case sensitive, ovvero la variabile A e la variabile a sono due variabili differenti! Matlab prevede la possibilità di inserire numeri complessi grazie agli indici speciali i o j >> x = 2 + 3i; >> y =.5 - j.25 Le operazioni con i numeri sono specificate dagli operatori classici (somma, sottrazione, divisione, moltiplicazione ed elevazione a potenza) >> a = x+y; 2,5 + 2,75i >> b = x-y;,5 + 3,25i >> c = x/y;,8 + 6,4i >> d = x*y;,75 +,i >> e = x^2; -5, + 2,i.2 Script e funzioni Matlab ha già predefinite al suo interno un gran numero di funzioni matematiche standard, come ad esempio sqrt e sin (radice quadrata e sinusoide). Per un elenco delle funzioni matematiche elementari, digitare

6 VI >> help elfun oppure, per un elenco più avanzato delle funzioni matematiche e delle matrici digitare >> help specfun >> help elmat Attenzione, i nomi delle funzioni non sono riservati, ovvero è possibile utilizzare alcuni di tali nomi come una nuova variabile, ad esempio >> eps =.e-9 e poi usare quel valore in successivi calcoli. Il valore originale può essere ripristinato con >> clear eps Per operazioni ripetitive è comodo far uso dei cosiddetti M-Files, ovvero dei file di testo contenenti codice Matlab. Per accedere all editor di testo di Matlab, scegliere OPEN o NEW dal menu file. Ad esempio, scrivo le seguenti righe in un file (script) denominato somma.m x = :; y = sum(x) e richiamando lo script sul prompt di Matlab >> somma 55 si ottiene come risposta la somma dei primi numeri naturali. Analogamente possiamo memorizzare una FUNZIONE su un file.m. Le funzioni sono dei particolari M-files che presentano nella prima riga la seguente sintassi: function [OUT] = nomefunzione(in) dove IN e OUT sono le variabili di ingresso e uscita della funzione, il cui nome è nomefunzione. Inoltre il nome del file che contiene la funzione deve essere identico a nomefunzione. Ad esempio, volo realizzare un m-file che esegue la somma dei valori presenti in un vettore d ingresso function [ris] = somma(v_in) % Funzione che realizza la somma degli elementi di un vettore ris = sum(v_in) Il simbolo % permette l inserimento di commenti nello script/funzione. Per chiamare la funzione appena creata basta digitare

7 MATLAB VII >> x = :; >> somma(x) >> ris= 55 Come altro esempio produciamo il file mod.m che esegue il modulo di due numeri o matrici function [ris] = mod(x,y) % Se x e y sono interi, ris è il resto intero della divisione di x per y. % Se x e y sono matrici allora ris è la matrice dei resti interi della % divisione dei rispettivi elementi. ris = x - y.*floor(x./y); Possiamo ora richiamare l M-file quando vogliamo, ad esempio >> x = 2; >> y = 3; >> mod(x,y) >> ris= 2 Una particolare attenzione meritano le due funzioni predefinite nargin e nargout. In particolare nargin(nomefunzione) restituisce il numero delle variabili in ingresso richieste dalla funzione nomefunzione, mentre nargout(nomefunzione) specifica il numero delle variabili d uscita della funzione nomefunzione..3 Cicli IF, FOR e WHILE La struttura if <condition>, <program> valuta una condizione e se essa è vera esegue delle istruzioni. La struttura if <condition>, <program> else analoga alla precedente, prevede di eseguire delle istruzioni anche nel caso in cui la condizione non è verificata. Una struttura alternativa è if <condition>, <program> elseif <condition2>, <program2>. Ad esempio, la funzione even function b=even(n) % Se n è un intero pari, allora b=, altrimenti b=. if mod(n,2)==, b=; else b=; restituisce in uscita se il numero in ingresso è pari, altrimenti resituisce. >> n=3.4 n = 3.4

8 VIII >> even(n) ans = Il ciclo for ripete un gruppo di istruzioni un numero prefissato di volte. Un termina le istruzioni. Ad esempio, la funzione add function c=add(a,b) % Questa funzione addiziona due matrici. [m,n]=size(a); [k,l]=size(b); if m~=k n~=l, r= ERRORE: le matrici non sono della stessa dimensione ; return, c=zeros(m,n); for i=:m, for j=:n, c(i,j)=a(i,j)+b(i,j); realizza la somma, elemento per elemento, di due matrici o numeri. >> A=rand(2,2) A = >> B=ones(2,2) B = >> C=add(A,B) C = Un altro semplice esempio è il seguente function scrivi_(n) for ii=:n disp( ciao, sono un ciclo for ) la cui esecuzione da

9 MATLAB IX >> n=3 n = 3 >> scrivi_(n) ciao, sono un ciclo for ciao, sono un ciclo for ciao, sono un ciclo for Il ciclo while invece esegue un set di istruzioni finquando una certa condizione non è soddisfatta, ad esempio la funzione twolog function l=twolog(n) % l è il floor del logaritmo in base 2 di n. l=; m=2; while m<=n l=l+; m=2*m; restituisce in uscita il floor del logaritmo in base 2 dell ingresso. n = 256 >> twolog(n) ans = 8 >> n=255 n = 255 >> twolog(n) ans = 7 Un altro semplice esempio è il seguente function scrivi_2(n) ii=; while ii <= n disp( ciao, sono un ciclo while ) ii=ii+;

10 X la cui esecuzione da >> n=3 n = 3 >> scrivi_2(n) ciao, sono un ciclo while ciao, sono un ciclo while ciao, sono un ciclo while.4 Grafici Per relizzare grafici Matlab prevede la funzione plot. Se x è un vettore, plot(x) produce un grafico lineare degli elementi del vettore x le cui ascisse sono l indice degli elementi di x. Se si specificano due vettori come argomenti, plot(x,y) produce un grafico di y rispetto a x. Ad esempio >> x = :; >> y = x + sin(x); >> plot(x,y) Il grafico risultante è il seguente (Fig..) Grafico di y = x + sin(x) y 5 Figura. Uso della funzione PLOT x È possibile specificare colore, stile della linea, e marcatori, attraverso un terzo argomento del comando plot, ad esempio il comando plot(x,y, r, --, * ) comporta la costruzione del grafico di y rispetto a x la cui linea è tratteggiata --, di colore rosso r e i cui valori sono marcati dall asterisco *.

11 MATLAB XI I tipi di colore sono: c, m, y, r, g, b, w, e k. Valori di stile sono: -, - -, :, -.. Altri marcatori comuni sono: +, o e x. E possibile aggiungere uno o più grafici ad una figura già presente tramite il comando hold >> n = :.:2*pi; >> plot(sin(n), -- ) >> hold >> plot(cos(n), o ) Matlab aggiungerà ogni altro grafico inserito alla figura esistente (Fig..2) sin(n) e cos(n) n Figura.2 Uso della funzione PLOT e del comando HOLD per inserire più curve in uno stesso grafico. Per inserire un grafico in una nuova figura occorre disabilitare il comando hold con hold off. E possibile generare una nuova figura vuota tramite il comando figure. Si possono aggiungere con estrema facilità etichette di testo agli assi e un titolo alla finestra con le seguenti istruzioni: >> xlabel( x ); >> ylabel( y ); >> title( Grafico di y in funzione di x ); La funzione subplot permette di esporre grafici multipli nella stessa finestra, ovvero il comando subplot(m,n,p) trasforma la finestra della figura in una matrice m n di sottografici, e ne seleziona il p-esimo come grafico corrente. Ad esempio >> subplot(,,), plot(sin(n)) >> hold >> subplot(,,2), plot(cos(n)) Il grafico risultante è il seguente (Fig..3) Il comando plot3 traccia un grafico tridimensionale dei vettori x, y, e z, supposti delle stesse dimensioni. Ad esempio...

12 XII.5 sin(n) n.5 cos(n) n Figura.3 Uso della funzione SUBPLOT e del comando HOLD per inserire più grafici in uno stesso spazio. >> x = :pi/5:*pi; >> plot3(sin(x),cos(x),x) Il grafico risultante è il seguente (Fig..4) Grafico 3D 4 3 z 2.5 y.5.5 x.5 Figura.4 Uso della funzione PLOT3 per inserire un grafico in tre dimensioni..5 I comandi LOAD e SAVE Alla chiusura Matlab perde il contenuto inserito in precedenza, così al successivo riavvio del programma non sarà possibile continuare il lavoro da dove si è arrivati. Per memorizzare le variabili inserite e ricaricarle in seguito esistono i comandi

13 Indice analitico XIII Load e Save. In particolare, il comando load legge file binari che contengono matrici, generati da precedenti sessioni di Matlab, o legge file di testo contenenti dati numerici. I file di testo dovrebbero essere organizzati come una tabella rettangolare di numeri, separata da spazi vuoti con una riga per linea, e un numero uguale di elementi in ciascuna fila. Per esempio, se al di fuori di Matlab si crea un file di testo che contiene queste quattro linee: e lo si salva con nome A.dat, la matrice A la possiamo caricare direttamente con Matlab utilizzando il seguente comando load A.dat Il comando save A.mat A permette la memorizzazione della matrice A in un file di nome A.mat, che può essere poi richiamato in Matlab attraverso il comando load A.mat. In generale il comando save nomefile nomevar nomevar2 permette il salvataggio in nomefile.m delle variabili nomevar e nomevar2. Anche un grafico salvato come file.m può essere visualizzato (e modificato) utilizzando il comando load.